Der goldene Schnitt - Institut für Numerische und Angewandte ...

Die entsprechende Aussage bei Euklid (XIII, 1) lautet:
• Teilt man eine Strecke stetig, so wird ihr größerer Abschnitt, wenn man die Hälfte
der ganzen Strecke hinzufügt, quadriert fünfmal so groß wie das Quadrat über
die Hälfte.
Für einen arithmetischen Beweis (L=Länge der gesamten Strecke, l = L/φ=Länge der
größeren Strecke) ist
( L
2 + L ) 2 ( L
) 2
= 5
φ 2
nachzuweisen, was einfach ist. Ein geometrischer Beweis folgt aus der Konstruktion
des goldenen Schnitts (II, 11), wie wir sie in Abbildung 2 durchgeführt haben. Nach
Konstruktion ist nämlich |AE| = 1 |AB|, der Satz von Pythagoras, angewandt auf
2
△EAB, ergibt |EB| 2 = 5 4 |AB|2 . Wegen
|EB| = |EF | = |EA| + |AF | = |AB|
2
ist daher
( |AB|
) 2 ( |AB|
) 2,
+ |AP | = 5
2
2
das ist gerade die Behauptung.
• Von ihrer zweiten wesentlichen Wirkung (Cap. XI).
+ |AP |
Wenn eine Grösse in zwei Theile getheilt und zu der einen eine Grösse hinzugefügt
wird, so dass das Quadrat dieser Summe das Fünffache des Quadrats der hinzugefügten
Größe ist, so folgt mit Nothwendigkeit, dass die genannte zugefügte
Größe die Hälfte der in die beiden Theile zerlegten ersten Grösse sei, und dass
die, zu welcher sie hinzugefügt, ihr größerer Abschnitt, und dass sie die ganze in
ihnen nach unserer Proportion getheilt sei.
Bei Euklid (XIII, 2) findet man eine etwas andere Formulierung:
• Wird quadriert eine Strecke fünfmal so groß wie das Quadrat eines Abschnittes
von ihr, dann ist, wenn man das doppelte des genannten Abschnitts stetig teilt,
der größere Abschnitt der Rest der ursprünglichen Strecke.
Ein analytischer Beweis der Aussage bei Euklid ist einfach. Ist nämlich 1 = √ 5α, so ist
2α/φ = 1 − α. Die Aussage bei Pacioli ist ebenfalls klar, wenn zu Beginn unter einer
Teilung einer Größe eine stetige Teilung verstanden wird. Denn aus α + 1/φ = √ 5α
folgt α = 1 2 .
• Über ihre dritte besondere Wirkung (Cap. XII).
Wenn eine Größe nach unserer Proportion getheilt ist, und wenn man dem kleineren
Abschnitt die Hälfte des größeren hinzufügt, so wird alsdann stets das Quadrat
der Summe das Fünffache des Quadrats der Hälfte des genannten größeren
Abschnitts sein.
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