Der goldene Schnitt - Institut für Numerische und Angewandte ...

(c) Es ist
(d) Es ist
(e) Es ist
k∑
j=0
k∑
f j = f k+2 − 1, k = 0, 1, . . . .
j=0
fj 2 f j+1 = f kf k+1 f k+2
, k = 0, 1, . . . .
2
k∑
f j f k−j = 1 5 (k − 1)f k + 2 5 kf k−1, k = 1, . . . .
j=0
4. Sei
(f) Es ist (1 − φ) k = f k+1 − φf k , k = 0, 1, . . ..
⎛
A k :=
⎜ .
⎝
Man berechne det(A k ).
1 −1 0 0 · · · 0 0 0
1 1 −1 0 · · · 0 0 0
0 1 1 −1 · · · 0 0 0
.
.
.
. .. . . . 0 0 0 0 · · · 1 1 −1
0 0 0 0 · · · 0 1 1
⎞
∈ R k×k .
⎟
⎠
5. Sei {f k } die Folge der Fibonacci-Zahlen, also f 0 := 0, f 1 := 1 und f k := f k−1 + f k−2 ,
k = 2, 3, . . .. Dann ist
⎧
f k+1 x
k∑
⎪⎨
k+1 + f k x k+2 − x
f j x j x
=
2 , x 2 + x − 1 ≠ 0,
+ x − 1
k = 0, 1, . . . .
j=0 ⎪⎩
(k + 1)f k+1 x k + (k + 2)f k x k+1 − 1
, x 2 + x − 1 = 0,
2x + 1
6. Sei {f k } die Folge der Fibonacci-Zahlen, also f 0 := 0, f 1 := 1 und f k := f k−1 + f k−2 ,
k = 2, 3, . . .. Ferner sei die Folge {g k } definiert durch g 0 := 2, g 1 := 1 und g k :=
g k−1 + g k−2 , k = 2, 3, . . .. Man zeige:
(a) Es ist g k = f k−1 + f k+1 , k = 1, 2, . . ..
(b) Es ist f 2k = f k g k , k = 0, 1, . . ..
7. Allgemeiner als in Aufgabe 6 bezeichnet man eine Folge {a k } k=0,1,... als eine Lucas-
Folge, wenn a k = a k−1 + a k−2 , k = 2, 3, . . .. Man zeige, dass
a k = a 1 f k + a 0 f k−1 , k = 1, 2, . . . ,
wobei {f k } natürlich die Folge der Fibonacci-Zahlen ist.
8. Sei {a k } k=0,1,... eine Lucas-Folge, siehe Aufgabe 7, und a 0 + a 1 φ ≠ 0. Dann ist
a k+1
lim = φ.
k→∞ a k
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