Aufgabe 1 18 Punkte

Technische Mechanik III Musterlösung F08-1
Aufgabe 1
18 Punkte
d
A
m 2
B
r/2
r
φ
c
g
Die Darstellung zeigt ein in Punkt A gelagetes
Scheibenpendel. Zwei Punktmassen m 2 sind
am Rand der Kreisscheibe m 1 befestigt. Dieses
Schwingungsfähige System wird aus seiner
Ruhelage um den Winkel ρ o ausgelenkt.
m 1
m2
Gegeben: c, r, m 1 = 40m, m 2 = 2,5m,
d = 200 √ cm
100
.
Das Pendel ist im Punkt B durch einen Dämpfer sowie eine Feder mit der Umgebung gekoppelt.
a) Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment Θ A .
Θ A = 1 2 m 1r 2 + m 2 r 2 + m 2 r 2
= r 2( 1
2
m 1 + 2m 2
)
= r 2 (20m+5m) = 25mr 2
b) Stellen Sie für dieses System die Bewegungdifferentialgleichung in Abhängigkeit von ϕ
auf.
FKB
gm 2
F d
F c
r/2
F c = csin(ϕ) r 2
φ
F d = d sin( ˙ϕ) r 2
gm 2
Momentensatz:
Θ A ¨ϕ = mgsin(ϕ)r − mgsin(ϕ)r − F c cos(ϕ) r 2 − F d cos(ϕ) r 2
25mr 2 ¨ϕ = −F c cos(ϕ) r 2 − F d cos(ϕ) r 2
= −csin(ϕ)cos(ϕ) r2 4 − d sin( ˙ϕ)cos(ϕ) r2 4
¨ϕ+
100m d
c
sin( ˙ϕ)cos(ϕ)+
100m sin(ϕ)cos(ϕ) = 0

c) Reduzieren Sie die von Ihnen aufgestellte DGL so, dass diese nur noch für kleine Winkel
gilt.
Kleine Winkel:
sin(ϕ) = (ϕ),cos(ϕ) = 1
sin( ˙ϕ) = ( ˙ϕ),cos( ˙ϕ) = 1
¨ϕ+ d
100m ˙ϕ+ c
100m ϕ = 0
d) Lösen Sie die Vereinfachte DGL (aus b)).
¨ϕ+2δ ˙ϕ+ω 2 ϕ = 0
2δ =
100m d =⇒ δ =
200m d = 200m
200 √ cm
100
= √ c
100m
ω 2 = c
100m
=⇒ ω = √ c
100m
D = δ ω = √ c
100m
√ c
100m
= 1 → aperiodischer Grenzfall
ϕ(t) = ϕ h + ϕ p
ϕ p = ϕˆ
p·0 = 0, ˙ϕ p = 0, ¨ϕ p = 0
ϕ h = e −ωt (A+Bt) = ϕ(t)
˙ϕ h = −ωe −ωt (A+Bt)+Be −ωt
Anfangswertbedingung:
ϕ(t = 0) = ϕ 0 = e −ω 0 (A+B 0) = A
˙ϕt = 0 = −ωe −ω 0 (A+B 0)+Be −ω 0
0 = −ωϕ 0 + B → B = ωϕ 0
ϕ(t) = e −ωt (ϕ 0 + ϕ 0 ω)
e) Handelt es sich im mechanischem Sinn um ein konservatives System? Begründen Sie Ihre
Antwort.
Nein, da Aufgrund des Dämpfers die Energie nicht konstant ist.

Technische Mechanik III Musterlösung F08-2
Aufgabe 2
19 Punkte
Auf einer Minigolfbahn soll der Golfball (Punktmasse m 1 ) in das Loch im Punkt D befördert
werden. Der Ball soll auf den Kreisbogen C-D (α = 30 o ) nicht abheben.
Gegeben: g, R, m 1 = m, m 2 = 2m, e = 0,5, µ AB = 0,5, µ BD = 0,0, α = 30 o .
a) Wie groß muß die Geschwindigkeit der Masse m 1 in Punkt A mindestens sein, damit der
Ball den Punkt D erreicht?
Arbeitssatz:
E KD = 0
E KD − E KA = W D A
E KA = 1 2 m v2 A
W D A = W H +W R
− 1 2 m v2 A = −mg R − µ ABmg 2R
v 2 A
= 2 (g R+g R)
v A = 2 √ g R
(mindestens)

) Wie groß darf die Geschwindigkeit der Masse m 1 in Punkt A höchstens sein, damit sie in
Punkt C nicht abhebt?
mg
Newton:
∑F = m ṡ2 R = m g cos(α) − N
mgcos(α)
N = m g cos(α) − m v2 c
R
≥ 0
α
N
−→ v 2 c = g R cos(α) = g R
√
3
2
Arbeitssatz: E Kc − E KA = WA
c
1
2 m v2 C − 2 1 m v2 A
= −m g Rcos(α) − µ m g 2R
v 2 A = v2 C
+ 2 (cos(α)g R+g R)
= g Rcos(α)+2 g Rcos(α)+2 g R
v 2 A = g R (3cos(α)+2)
v A = 2,144 √ g R
Die Masse m 1 erhält ihre Geschwindigkeit durch einen Stoßvorgang mit dem Schäger der Masse
m 2 . Der Stoß erfolgt teilelastisch. Betrachten Sie den Schläger als Punktmasse.
c) Welche Geschwindigkeit muß des Schläger m 2 direkt vor dem Stoß haben, damit der
Golfball m 1 die Geschwindigkeit v a erreicht?
Punktmasse/Punktmasse
v¯
1 = v 1m 1 +v 2 m 2 −em 2 (v 1 −v 2 )
m 1 +m 2
gesucht v 2 :
geg: v 1 = 0, v¯
1 = v A
v A = v 2m 2 +v 2 m 2 e
m 1 +m 2
= v 2(m 2 +m 2 e)
m 1 +m 2
−→ v 2 = v A(m 1 +m 2 )
m 2 +m 2 e
= v A(m+2m)
2m+m
= v A

Technische Mechanik III Musterlösung F08-3
Aufgabe 3
2 Punkte
Eine Scheibe der Masse m und des Radius r rollt (rauhe Bahn) von Punkt A aus herunter. Sie
hebt in Punkt B ab. Erreicht sie wieder das ursprüngliche Höhenniveau? Begründen Sie Ihre
Antwort.
Nein, weil ein Teil in Rotationsenergie enthalten ist.
Technische Mechanik III Musterlösung F08-4
Aufgabe 4
3 Punkte
Gegeben ist die Differentialgleichung eines Einmasseschwingers:
mẍ+dẋ+c 1 x+c 2 x = mg+F 0 cos(Ωt)
Skizzieren Sie ein mögliches zugehöriges mechanisches System.
F o cos( Ω t)
g
C 1
C 2
d

Technische Mechanik III Musterlösung F08-5
Aufgabe 5
1 Punkte
Kann es bei einem Einmasseschwinger ohne außere Anregung zur Resonanzkatastrophe kommen?
Begründen Sie Ihre Anwort.
Nein, da es nur zu eines Resonanzkatastrofe kommen kann, wenn die Erregerfrequenz Ω gleich
die Eigenfrequenz ω ist. In diesen Fall wäre Ω jedoch gleich 0.
Technische Mechanik III Musterlösung F08-6
Aufgabe 6
7 Punkte
Die Eigenfrequenz ω der skizzierten Systeme ist bekannt. Die Federkonstante c 1 ebenso. Ermitteln
Sie die Federkonstante c 2 für beide Syteme.
ω 2 = C 1+C 2
m
C 2 = ω 2 m −C 1
(a)
ω 2 = C ers
m
1
C ers
= 1 C 1
+ 1 C 2
ω 2 m = C 1 C 2
C 1 +C 2
(b)
−→ C ers = C 1 C 2
C 1 +C 2
1
ω 2 m = C 1+C 2
C 1 C 2
= 1 C 1
+ 1 C 2
1
C 2
= 1
ω 2 m − C 1 1
= 1 −
ω 2 m C 1
ω2 m
ω 2 m C 1
1
C 2
= C 1−ω 2 m
ω 2 m C 1
−→ C 2 = ω2 m C 1
C 1 −ω 2 m