e - Institut für Angewandte Mechanik

VL 5
Impulssatz, Stoß
Momentensatz
Arbeitssatz
Energiesatz
Technische Mechanik III
Dr.-Ing. Jens-Uwe Böhrnsen
Institut für Angewandte Mechanik
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Impulssatz, Stoß
Integration des 2. NEWTONschen Axioms
d
dt m ẋ= d m v=F
dt
Führt auf den Impulssatz
m v−m v 0
= ∫ t
Der Impuls ist gegeben durch
t 0
p=m v=m ẋ
F d t
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Impulssatz, Stoß
Wirkt keine Kraft bleibt der Impuls konstant
Stoßkraft ergibt sich aus Integration der Kraft
Für Stoßvorgänge gilt
p=m v=m v 0
=const.
F= ∫ t s
0
F dt
F=mv−v 0
t s
Stoßzeit
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Impulssatz, Stoß
v=v 0
v=0
t M
v=v
Kompression
-Kraft wächst bis Max.
-Körper verformen sich
F
K
=m⋅0−mv 0
=
Restitution
∫ t M
t=0
K dt
-Kraft sinkt bis auf Null
-Körper entspannen sich
F R
=mv−m⋅0= ∫ t s
t M
R dt
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Impulssatz, Stoß
In Komponenten
F x
=m v x −m v x
F y
=m v y −m v y
Winkelbeziehungen
v x
=−v cos ,
v x
=v cos ,
Glatte Wand
F y
=0
v y
=v sin
v y
=v sin
v y
=v y
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Impulssatz, Stoß
Ideal elastischer Stoß
Vollständige Rückbildung
daher:
F
R
= F
K
m v x
=−m v x
v x
=−v x
Einfallswinkel = Ausfallswinkel
=
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Impulssatz, Stoß
Ideal-Plastischer Stoß
Keine Restitution
also
F R
=0
v x =0=v cos = 2
Massenpunkt rutscht entlang der
glatten Wand mit
v= v y
=v y
90°
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Impulssatz, Stoß
Teilelastischer Stoß
teilweise Restitution
reale Bedingungen
Stoßzahl
F
R
=e F
K
e
ideal-elastisch
ideal-plastisch
teilelastisch (real)
e=1
e=0
0≤e≤1
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Impulssatz, Stoß
Teilelastischer Stoß
F
R
=e
einsetzen
und
wegen
folgt
F K
m v x
=e−m v x
v x
=−e v x
v
tan = y
= = 1 v x
−e v x
e tan
e≤1
≥
v y
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Impulssatz, Stoß
Stoßzahl
Experimentell Bestimmung
freier Fall
nach dem Aufprall
es folgt
e=− v x
v x
v=2 g h 1
h 2
= v 2
2g v=2 g h 2
e=− v
v = 2 g h 2
e= h 2
2 g h 1
h 1
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Impulssatz, Stoß
Tennisball: Qualitätsprüfung
Ideal-elastisch
h 2
=h 1
Ideal-plastisch
h 2
=0
teilelastisch
h 2
≤h 1
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Momentensatz
Statik:
M 0 =r×F
Kinetik:
L 0 =r× p=r×m v
Kraft x Hebelarm = Moment
Impuls x Abstand = Impulsmoment
auch: Drehimpulsvektor oder Drallvektor
Senkrecht auf Ortsvektor und
Geschwindigkeitsvektor
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Momentensatz
Ortsvektor vom festen
Pkt. Zum Massenpunkt
r
Geschwindigkeitsvektor
v
Betrag vom Drallvektor
L 0 =r ⊥
m v
Impuls x Abstand
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Momentensatz
Zusammenhang zwischen Drehimpuls und Moment
NETONsche Axiom mit Ortsvektor multiplizieren
Umformung ergibt
also
r×m d v
dt
d L 0
dt
M 0
r× m d v
dt =r×F
= d dt
r×m v
= d L0
dt
L 0
=M 0 Zeitl. Änderung des Drehimpulses
Ist gleich dem Moment
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Momentensatz
Falls das Moment verschwindet
Bewegung in 2-D (x,y Ebene)
nur z-Komponente
also
d L z
0
dt
M 0 =0 L 0 =r×mv=const.
=M z
0
L 0 =r ⊥
m v
L 0 =mx v y
− y v x
Drall konstant
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Momentensatz
Sonderfall: Kreisbewegung
also
v=r =r ˙
L 0 =m r v=m r 2
Massenträgheitsmoment
m r 2 = 0
Drehimpuls wird zu
L 0 = 0
Momentensatz
M 0 = 0 ¨
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Technische Mechanik III
Momentensatz
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Momentensatz
Beispiel: Punktpendel
∑ M A =−mgl sin = A ¨
A =m l 2
mit:
folgt:
−mgl sin =ml 2 ¨
¨ g sin =0
l
Für kleine Winkel gilt:
sin ≈ ¨ g l =0
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Arbeitssatz, Energiesatz
NEWTONsche Axiom mit kleiner Lageänderung
m d v
dt d r=F d r ,
einsetzen und Integration
∫ v 1
v 0
m v d v= ∫ r 1
⇒ m v 2
1
2 − m v 2
0
2
r 0
= ∫ r 1
r 0
F d r
F d r
d r=v dt
Kinetische Arbeit W der Kraft F
Energie E k
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Arbeitssatz, Energiesatz
Arbeitssatz
Einheit: Kraft x Weg
E k1
−E k0
=W
Die Arbeit welche die Kräfte zwischen
Zwei Bahnpunkten verrichten
Ist gleich der Änderung der
Kinetischen Energie
W , E k
[1 Nm]=[1 Joule]
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Arbeitssatz, Energiesatz
Am Massenpunkt greifen eingeprägte und
Zwangskräfte an.
-Zwangskräfte (Reaktionskräfte) senkrecht zur
Bahn! Daher keine Arbeit!
Arbeitsintegral
W = ∫ r 1
r 0
F e ⋅d r
Nur die eingeprägten Kräfte verrichten Arbeit!
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Arbeitssatz, Energiesatz
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Beispiel: Klotz auf schiefer
Ebene, mit Reibung!
Gewicht:
Reibung:
Für
Arbeitssatz:
W G
=mg sin x
W R
=−R x=− N x
W R
=− mg cos x
0 v 0
=0, 1 v=v 1
1
2 m v 2 1−0=mg sin x−mg cos x
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Arbeitssatz, Energiesatz
Arbeitssatz:
1
2 m v 1
2
E kin
Mit:
folgt:
=mg sin x−mg cos x
∑ W
h=x sin
v 1 =2gh1−cot
Bewegung nur für
cot 1 tan
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Arbeitssatz, Energiesatz
Leistung:
P= dW dt
Pro Zeiteinheit verrichtete Arbeit
, dW =F⋅d r
P=F⋅v , [1W]=[ 1 Nm s ]
Wirkungsgrad: Nutzarbeit zu Aufgewendeter Arbeit
= P N
P A
,
1
(Infinitesimale Änderung)
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Arbeitssatz, Energiesatz
Einfache Form:
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Für Konservative Kräfte
Konservative Kräfte:
-Arbeit ist unabhängig vom Weg
-Sie besitzen ein Potential
W = ∫ 1
0
Es ergibt sich die Arbeit zu:
F=F x
e x
F y
e y
F z
e z
F d r= ∫ 1
0
F x
dxF y
dyF z
dz
Das Integral ist wegunabhängig falls
Integrand vollständiges Differential
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Arbeitssatz, Energiesatz
Potential oder potentielle Energie
−d E P
=F x
dxF y
dyF z
dz
Totales Differential
d E P = ∂ E p
∂ x dx∂ E p
∂ y dy∂ E p
∂ z dz
vergleichen liefert
F x =− ∂ E p
∂ x ,
F y=− ∂ E p
∂ y ,
F z=− ∂ E p
∂ z
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Arbeitssatz, Energiesatz
Kraft
F x =− ∂ E p
∂ x ,
Gradient einführen
grad E P = ∂ E p
∂ x e x ∂ E p
∂ y e y ∂ E p
∂ z e z
also
F=−grad E p
F y=− ∂ E p
∂ y ,
F z=− ∂ E p
∂ z
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Arbeitssatz, Energiesatz
Kraft
F x =− ∂ E p
∂ x ,
F y=− ∂ E p
∂ y ,
x-Komponente nach y Ableiten
y-Komponente nach x Ableiten
⋮
Es folgt bei zyklischem Vertauschen d. Koordinaten
∂ F x
∂ y =−∂ F y
∂ x ,
∂ F y
∂ z =−∂ F z
∂ y ,
F z=− ∂ E p
∂ z
∂ F z
∂ x =−∂ F x
∂ z
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Arbeitssatz, Energiesatz
Überprüfen, ob Kraft aus Potential abgeleitet
werden kann.
=∣
Mit Rotation:
∂
e x
e y
e z
∂ x
rot F
∂ ∂ ∂
∂ x ∂ y ∂ z
F x
F y
F z∣=∇×F=
×
∂
∂ y
∂
∂ z
F
x
F y
F z
= ∂ F z
∂ y −∂ F y
∂ z e x ∂ F x
∂ z −∂ F z
∂ x e y ∂ F y
∂ x − ∂ F x
∂ y e z=0
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Arbeitssatz, Energiesatz
Für wirbelfreies Kraftfeld
somit besitzen die Kräfte ein Potential und es gilt
dW =−dE p
Für die Arbeit folgt
W = ∫ 1
0
rot F =0
Änderung der Arbeit gleich
Änderung der Potentiellen Energie
dW =− ∫ 1
0
dE p
=−E p1
−E p0
Potentielle Energie abhängig vom Bezugssystem
Änderung zw. (0) und (1) unabhängig davon!
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Arbeitssatz, Energiesatz
Energiesatz
E k1
E p1
=E k0
E p0
=const.
Bei konservativen Systemen (Kräfte haben ein
Potential) bleibt bei der Bewegung die Summe aus
kinetischer und potentieller Energie konstant!
Potential der Gewichtskraft
Potential der Federkraft
Reibung ist nicht konservativ:
!Arbeitssatz anwenden!
E p
=G z
E p
= 1 2 cx2 , E p
= 1 2 c T
2
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