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B AUFGABEN<br />
In diesem Teil des Anhangs sind Klausuraufgaben zusammengestellt von den Prüfungsterminen:<br />
Herbst 1997 In Teil I und II waren jeweils 55 Punkte zu erreichen. Die Bearbeitungszeit von Teil I betrug<br />
60 Minuten und von Teil II 105 Minuten. Nur in Teil II waren Hilfsmittel zugelassen.<br />
Herbst 1998 In Teil I und II waren jeweils 50 Punkte zu erreichen. Die Bearbeitungszeit von Teil I und<br />
II betrug jeweils 60 Minuten. Nur in Teil II waren Hilfsmittel zugelassen.<br />
Frühjahr 1999 In Teil I waren 50 und in Teil II 40 Punkte zu erreichen. Die Bearbeitungszeit von Teil I<br />
und II betrug jeweils 60 Minuten. Nur in Teil II waren Hilfsmittel zugelassen.<br />
Herbst 2001 In Teil I waren 64 und in Teil II 36 Punkte zu erreichen. Die Bearbeitungszeit von Teil I<br />
betrug 45 Minuten und von Teil II 60 Minuten. Nur in Teil II waren Hilfsmittel zugelassen.<br />
Herbst 2003 In Teil I waren 60 und in Teil II 30 Punkte zu erreichen. Die Bearbeitungszeit von Teil I<br />
betrug 45 Minuten und von Teil II 45 Minuten. Nur in Teil II waren Hilfsmittel zugelassen.<br />
107
108 B Aufgaben<br />
Herbst 1997: Fragenteil<br />
Aufgabe 1: Interpolation<br />
18 Punkte<br />
1.1 Sie haben mit der Lagrange- und der Newton-Interpolation die gleichen Werte (21 Paare<br />
(x i ,y i ), i = 0,1,...,20) interpoliert:<br />
i.) Erhalten Sie die gleichen Polynome?<br />
ii.) Nennen Sie einen Vorteil der Newton- gegenüber der Lagrange-Interpolation.<br />
iii.) Welchen Polynomgrad haben die Polynome?<br />
1.2 Für eine Newton-Interpolation haben Sie ein Schema der dividierten Differenzen<br />
0 1 2 3<br />
0 0<br />
1<br />
1 1 x 1<br />
3 4<br />
3<br />
2<br />
−<br />
9<br />
1<br />
−<br />
2<br />
1<br />
x 2<br />
6 1<br />
berechnet. Leider sind 2 Werte verlorengegangen:<br />
i.) Berechnen Sie die fehlenden Werte x 1 und x 2 .<br />
ii.) Stellen Sie das entsprechende Interpolationspolynom auf.<br />
1.3 Wovon hängt bei der Polynominterpolation der Fehler im wesentlichen ab?<br />
1.4 Mit welcher einfachen Maßnahme kann der Fehler einer Polynominterpolation reduziert<br />
werden?<br />
1.5 Formulieren Sie die Bedingungen zur Bestimmung von periodischen kubischen Splines.<br />
1.6 B-Splines mit dem Trägervektor X = (x 0 ,x 1 ,...,x n ) sollen die Interpolationsbedingung<br />
n ( )<br />
∑ c i B i,k ξ j = y j an den Stützstellen ξ j erfüllen:<br />
i=0<br />
i.) Welchen Zusammenhang müssen x i und ξ i erfüllen?<br />
ii.) Wieviel Koeffizienten c i werden bei einem B-Spline der Ordnung k = 5 zur Bestimmung<br />
eines Wertes der zu interpolierenden Kurve benötigt?
109<br />
Aufgabe 2: Gewöhnliche Differentialgleichungen<br />
15 Punkte<br />
2.1 Formulieren Sie ein Anfangswertproblem 1. Ordnung.<br />
2.2 Welche Bedingungen muß dieses Anfangswertproblem erfüllen, wenn es genau eine Lösung<br />
hat?<br />
2.3 Ein Einschrittverfahren ist konsistent mit der Ordnung p:<br />
i.) Was bedeutet dies für den Fehler?<br />
ii.) Ist solch ein Verfahren auch konvergent?<br />
2.4 Es sei das 4-Schrittverfahren<br />
gegeben.<br />
y m+4 − y m+2 = h 3 (8 f m+3 − 5 f m+2 + 4 f m+1 − f m )<br />
i.) Ist dies ein explizites oder implizites Verfahren?<br />
ii.) Geben Sie die charakteristischen Polynome an?<br />
iii.) Ist dieses Verfahren nullstabil?<br />
2.5 Implizite Mehrschrittverfahren erreichen bei gleicher Schrittzahl oft eine höhere Konvergenzordnung<br />
als explizite Verfahren:<br />
i.) Welche Probleme ergeben sich beim impliziten Verfahren im Gegensatz zu den expliziten<br />
Verfahren, und wie können diese Probleme beseitigt werden?<br />
ii.) Welches Einsatzgebiet haben implizite Verfahren?<br />
Aufgabe 3: Integration und Differentiation<br />
10 Punkte<br />
3.1 Was bedeutet die Aussage: Eine Quadraturformel ist von der Ordnung m?<br />
3.2 Häufig werden sogenannte summierte Quadraturformeln benutzt:<br />
i.) Was bedeutet summierte Quadraturformel?<br />
ii.) Warum werden diese bevorzugt?<br />
3.3 Gegeben sind für eine Gaußsche Quadraturformel folgende 5 Stützstellen x i mit den Gewichten<br />
w i :<br />
x i −0.906179 −0.538469 0 1.538469 0.906179<br />
w i 0.236926 0.478628 0.568888 0.478628 0.236926
110 B Aufgaben<br />
i.) Welche Stützstelle ist falsch?<br />
ii.) Welche Ordnung kann diese Quadraturformel maximal erreichen?<br />
iii.) Wie kann sehr einfach getestet werden ob die Integrationgewichte richtig sind?<br />
Aufgabe 4: Lineare Gleichungssysteme<br />
12 Punkte<br />
4.1 Welche der folgenden Matrizen sind positiv definit?<br />
⎛<br />
1 1<br />
⎞<br />
1<br />
⎛<br />
1 0<br />
⎞<br />
5<br />
(a) ⎝1 2 1⎠<br />
(b) ⎝0 2 0⎠<br />
1 1 3<br />
5 0 1<br />
(c)<br />
⎛<br />
1 0<br />
⎞<br />
0<br />
⎝0 1 0 ⎠<br />
0 0 −1<br />
4.2 Für eine gegebene Matrix A berechnen zwei Personen unabhängig voneinander unterschiedliche<br />
Konditionszahlen cond(A):<br />
i.) Wie ist die Kondition einer Matrix definiert?<br />
ii.) Ist es möglich, daß beide Personen jeweils die Konditionszahl korrekt bestimmt<br />
haben?<br />
4.3 Bei sehr großen Gleichungssystemen werden gerne iterative Gleichungslöser benutzt:<br />
i.) Wann können iterative Gleichungslöser eingesetzt werden?<br />
ii.) Welche Vorteile haben iterative Gleichungslöser gegenüber z.B. dem Gaußschen<br />
Algorithmus?<br />
iii.) Zeigen Sie die Arbeitsweise des Jacobi-Verfahrens am Beispiel eines 2x2 Systemes<br />
auf.<br />
Lösung zu Aufgabe 1: Interpolation<br />
18 Punkte<br />
1.1 i.) ja, da die Polynominterpolation eindeutig ist. ➀<br />
ii.) Es können mühelos weitere Stützstellen hinzugefügt werden, ohne nochmal alles<br />
neu berechnen zu müssen.<br />
iii.) Grad 20 (einen weniger als Stützstellen)<br />
1.2 i.) x 1 =<br />
3<br />
2 − 1<br />
3 − 0 = 1 6 , x 2 = 1 − 4<br />
6 − 3 = −1 ➁<br />
ii.) P 3 (x) = 0 + x { 1 + (x − 1) [ 1<br />
6<br />
− 1 9 (x − 3)]} = − 1 9 x3 + 11<br />
18 x2 + 1 2 x ➂<br />
➀<br />
➀
111<br />
1.3 • von der Wahl der Stützstellen – äquidistant oder nicht – ➀<br />
• von der (n + 1)ten Ableitung der Funktion an einer unbekannten Stelle x 0 < ξ < x n<br />
➀<br />
1.4 Unterteilung des Interpolationsintervalls in mehrere Teilintervalle, in denen dann jeweils<br />
eine Interpolation durchgeführt wird.<br />
➀<br />
1.5<br />
oder (gleichwertige Antwort) Verwendung von Stützstellen, die zum Intervallende hin<br />
verdichtet sind.<br />
d 4 s<br />
= 0 Polynom 3. Grades ➀<br />
dx4 s ′′ (x i ) + = s ′′ (x i ) − Stetigkeit der 2. Ableitung ➀<br />
s(x i ) = y i Interpolationsbed. ➀<br />
s ′′ (x 0 ) = s ′′ (x n )<br />
s(x 0 ) = s(x n )<br />
1.6 i.) x i < ξ i < x i+k ➀<br />
ii.) Es werden 5 Koeffizienten benötigt (Lokalität der B-Splines).<br />
➀<br />
➀<br />
➀<br />
Lösung zu Aufgabe 2: Gewöhnliche Differentialgleichungen<br />
15 Punkte<br />
2.1 y ′ (x) = f (x,y) ➁, y(x = x 0 ) = y 0 ➀<br />
2.2 f (x,y) muß Lipschitz-stetig sein. ➀<br />
2.3 i.) Der lokale Fehler geht mit h p gegen Null, d.h. halbieren der Schrittweite ergibt<br />
1<br />
2 p<br />
kleineren Fehler.<br />
ii.) Nur wenn die Verfahrensfunktion Lipschitz-stetig ist.<br />
2.4 i.) explizit, da β 4 = 0 gilt. ➀<br />
ii.) ρ(ξ) = ξ 4 − ξ 2 , σ(ξ) = 8 3 ξ3 − 5 3 ξ2 + 4 3 ξ − 1 3<br />
➁<br />
iii.) ja, da ρ(ξ) = ξ 2 ( ξ 2 − 1 ) die Wurzeln ξ 1 = 0 und ξ 2,3 = ±1 besitzt, und die Wurzeln<br />
ξ 2,3 einfach sind.<br />
2.5 i.) Zur Lösung der Aufgabe müssen implizite Gleichungen gelöst werden, wenn die<br />
DGL nichtlinear ist. Dies wird umgangen durch den Einsatz eines Prädiktor-Korrektor-<br />
Verfahrens.<br />
ii.) steife DGL’s<br />
➀<br />
➀<br />
➂<br />
➁<br />
➀
112 B Aufgaben<br />
Lösung zu Aufgabe 3: Integration und Differentiation<br />
10 Punkte<br />
3.1 Ordnung m bedeutet, daß mindestens Polynome vom Grade (m − 1) exakt berechnet werden.<br />
➀<br />
3.2 i.) Es wird das Integrationsintervall unterteilt, und dann in jedem Teilintervall eine<br />
Quadraturformel angewandt. Das Endergebnis ist die Summe aller Integrationen<br />
über die Teilintervalle.<br />
➀<br />
ii.) Fehler ist kleiner, da dieser direkt von der Intervalllänge abhängt. Weiterhin müssen<br />
bei großen Intervallen viele Stützstellen durch ein Polynom mit hohem Grad<br />
approximiert werden, die zu Oszillationen neigen.<br />
➁<br />
3.3 i.) x 3 = 1.5384690 muß heißen x 3 = 0.5384690, da die Stützstellen immer paarweise<br />
symmetrisch und innerhalb des Intervalls [−1,1] liegen.<br />
ii.) Maximal m = 2n, d.h. m max = 10<br />
iii.) Das Integral R 1<br />
−1 dx über die konstante Funktion f (x) = 1 hat den Wert Zwei. Die<br />
numerische Formel ist dann nur die Summe über die Gewichte ∑ n i=0 w i (x i ) = 2. ➁<br />
➁<br />
➁<br />
Lösung zu Aufgabe 4: Lineare Gleichungssysteme<br />
12 Punkte<br />
4.1 (a) Alle Hauptminoren sind positiv, daher ist die Matrix positiv definit. ➀<br />
(b) Die dritte Hauptminore ist negativ, daher ist die Matrix nicht positiv definit.<br />
(c) Diese Matrix hat eine negative Zahl auf der Hauptdiagonalen und ist damit nicht positiv<br />
definit.<br />
➀<br />
4.2 i.) cond(A) = ‖A‖‖A −1 ‖ ➀<br />
ii.) Ja, wenn unterschiedliche Normen benutzt wurden.<br />
4.3 i.) Wenn gilt ρ(M) < 1, mit dem Spektralradius ρ der Matrix M, die von der Systemmatrix<br />
A abhängt. Dies ist z.B. bei diagonal dominanten Matrizen A der Fall die mit<br />
dem Gauß-Seidel-Verfahren gelöst werden.<br />
➁<br />
ii.) Sie lösen mit weniger Aufwand und haben manchmal weniger Rundungsfehler. ➁<br />
)<br />
iii.)<br />
} (k)<br />
a 11 x 1 +a 12 x 2 = r 1 x<br />
a 21 x 1 +a 22 x 2 = r 2<br />
(<br />
1<br />
=<br />
a 1<br />
11<br />
x (k)<br />
2<br />
= 1<br />
a 22<br />
(<br />
➁<br />
➀<br />
r 1 − a 12 x (k−1)<br />
2<br />
) ➁<br />
r 2 − a 21 x (k−1)<br />
1
113<br />
Herbst 1997: Rechenteil<br />
Aufgabe 1: Gewöhnliche Differentialgleichungen<br />
15 Punkte<br />
Gegeben sei die Differentialgleichung<br />
y ′′ + xy = 0 y(0) = 1, y ′ (0) = 0 .<br />
Berechnen Sie mit dem 2-stufigem Runge-Kutta-Verfahren (Methode von Heun)<br />
y m+1 = y m + h 2 (k 1 (x m ,y m ,h) + k 2 (x m ,y m ,h))<br />
k 1 (x m ,y m ,h) = f(x m ,y m ), k 2 (x m ,y m ,h) = f(x m + h,y m + hk 1 )<br />
eine Lösung im Punkt x = 0.4 mit der Schrittweite h = 0.2.<br />
Aufgabe 2: Interpolation<br />
15 Punkte<br />
Interpolieren Sie die Paare<br />
x i 0 π 3<br />
π<br />
2<br />
2π<br />
3<br />
π<br />
mit einem natürlichen kubischen Spline.<br />
y i 1 1 2<br />
0 − 1 2<br />
−1<br />
Hinweis:<br />
⎛<br />
a b<br />
⎞<br />
0<br />
⎛<br />
bc − d e be −b 2 ⎞<br />
A = ⎝c d b⎠ A −1 =<br />
det<br />
1 ⎝ ce −ae ab ⎠<br />
0 c e<br />
−c 2 ac bc − ad<br />
Aufgabe 3: Integration und Differentiation<br />
det = abc − ad e + cbe<br />
15 Punkte<br />
Gegeben sei das Integral<br />
Z 3<br />
0<br />
x 2<br />
1 + x dx<br />
3.1 Wieviel Teilintervalle N sind nötig, damit der Betrag des Fehlers der Quadraturformeln<br />
i) summierte Trapez-Regel<br />
ii) summierte Simpson-Regel<br />
kleiner als 4.5 · 10 −3 ist?
114 B Aufgaben<br />
3.2 Berechnen Sie das Integral mit der Simpson-Regel für N = 3.<br />
Aufgabe 4: Lineare Gleichungssysteme<br />
10 Punkte<br />
Gegeben ist die Matrix A und ihre Inverse A −1<br />
⎛<br />
⎞<br />
2 1 2 0<br />
⎛<br />
⎞<br />
91 −20 29 38<br />
6 6 3 3<br />
A = ⎜−1 1 3 6 ⎟ A −1 = 1<br />
⎜−101 28 −34 −40<br />
⎟<br />
⎝<br />
0 0 − 11 ⎠<br />
33 ⎝ −24 6 −12 −18⎠<br />
−3<br />
44 −11 22 22<br />
2<br />
4.1 Ist die Matrix A positiv definit?<br />
4.2 Führen Sie die LU-Zerlegung von A mit einer Spaltenpivotisierung durch.<br />
4.3 Berechnen Sie detA<br />
4.4 Berechnen Sie die Konditionszahl cond(A) in der<br />
i.) l 1 -Norm (Spaltensummennorm)<br />
ii.) l ∞ -Norm (Zeilensummennorm).<br />
Lösung zu Aufgabe 1: Gewöhnliche Differentialgleichungen<br />
15 Punkte<br />
Überführen der DGL 2. Ordnung mit y ′ = z 2 und y = z 1 ergibt ein DGL-System 1. Ordnung. ➀<br />
z ′ } ( ) ′ ( ) ( ) ( )<br />
1 = z 2<br />
z ′ 2 + xz 1 = 0 ➀<br />
z1 z2<br />
=<br />
z 2 −xz ➀<br />
z1 (0) 1<br />
=<br />
1 z 2 (0) 0 ➀<br />
Berechnung der Steigungen des 1. Schrittes<br />
( ) (<br />
( ( ) 0<br />
k 1 (x 0 ,z 0 ) =<br />
−0 · 1 ➀ 0 0<br />
k2 (x 0 ,z 0 ) = f x 0 + h,z 0 + h =<br />
0))<br />
−h ➁<br />
z 1 = z 0 + h ( 1<br />
2 [k 1 (x 0 ,z 0 ) + k 2 (x 0 ,z 0 )] = +<br />
0)<br />
h ( ( ) 0 1<br />
=<br />
2 −h)<br />
−0.02 ➀<br />
Berechnung der Steigungen des 2. Schrittes<br />
( ) ( ) −0.02 0.02<br />
k 1 (x 1 ,z 1 ) = = −<br />
−h · 1 0.2 ➀<br />
(<br />
( )) 0.02<br />
k 2 (x 1 ,z 1 ) = f x 1 + h,z 1 − h<br />
0.2<br />
[ ( ) ( 0.02 0.06<br />
− −<br />
0.2 0.3984<br />
z 2 = z 1 + h 2<br />
( 0.06<br />
= −<br />
0.3984<br />
)]<br />
=<br />
)<br />
➁<br />
)<br />
➁<br />
( 0.992<br />
−0.07984<br />
➀
115<br />
Damit erhält man den Wert y(0.4) = 0.992 als Endergebnis.<br />
Lösung zu Aufgabe 2: Interpolation<br />
➀<br />
15 Punkte<br />
Der natürlich kubischen Spline hat die Form:<br />
s i (x) = a i (x − x i ) 3 + b i (x − x i ) 2 + c i (x − x i ) + d i , i = 0,1,2,3, mit y ′′<br />
0 = y′′ 4 = 0 ➀<br />
Die Intervallabstände sind: h 0 = h 3 = π 3 ,h 1 = h 2 = π 6<br />
Berechnung der inneren zweiten Ableitungen:<br />
⎛<br />
π<br />
⎞⎛<br />
π 6<br />
0 y ′′ ⎞ ⎛ ⎞<br />
⎝ π 2<br />
6 3<br />
π π 1<br />
⎠⎝<br />
6<br />
y ′′ ⎠<br />
2 = 1 −9<br />
⎝ 0 ⎠<br />
π π<br />
0 6<br />
π<br />
9<br />
y ′′<br />
3<br />
Die Invertierung ergibt y ′′<br />
1 = − 9 ,y ′′<br />
π 2 2 = 0 und y′′ 3 = 9 , womit die b<br />
π 2 i gegeben sind. ➁<br />
Damit berechnen sich die restlichen Koeffizienten zu:<br />
a 0 = − 9<br />
2π 3 a 1 = 9 π 3 a 2 = 9 π 3 a 3 = − 9<br />
2π 3<br />
c 0 = − 1 c 1 = − 5 c 2 = − 13 c 3 = − 5<br />
π<br />
2π 4π 2π<br />
Abschließend erhält man die Splines<br />
s 0 (x) = − 9<br />
2π 3 x3 − 1 π x + 1<br />
s 1 (x) = 9 (<br />
π 3 x − π ) 3 9 −<br />
(x<br />
3 2π 2 − π ) 2 5 −<br />
3 2π<br />
s 2 (x) = 9 (<br />
π 3 x − π ) 3 13<br />
(<br />
− x − π )<br />
2 4π 2<br />
s 3 (x) = − 9<br />
2π 3 (x − 2π 3<br />
) 3<br />
+ 9<br />
2π 2 (x − 2π 3<br />
Gesamt wurden noch zwei Rechenpunkte vergeben.<br />
➂<br />
(<br />
x − π )<br />
+ 1 3 2<br />
) 2<br />
− 5 (<br />
x − 2π )<br />
− 1 2π 3 2<br />
Lösung zu Aufgabe 3: Integration und Differentiation<br />
➁<br />
➁<br />
➁<br />
➀<br />
➁<br />
15 Punkte<br />
3.1 i) Der allgemeine Fehler der summierten Trapez-Regel ist E 1S [ f ] = − h2<br />
4 f ′′ (ξ) mit h =<br />
b−a<br />
N . Dies ergibt einen Fehler zu E 1S[ f ] = − 9 f ′′ (ξ).<br />
➁<br />
4N 2<br />
Die zweite Ableitung von f ist f ′′ (ξ) = 2 mit dem Maximum max( f ′′ (ξ)) = 2.<br />
(1+ξ) 3<br />
➁
116 B Aufgaben<br />
Damit ist der Betrag des Fehlers |E 1S [ f ]| = | − 9 |. Dies führt für die geforderte<br />
2N 2<br />
Genauigkeit auf N = 32.<br />
ii) Der Fehler der summierten Simpson-Regel ist E 2S [ f ] = − h4 (b−a)<br />
180<br />
f (4) (ξ) mit h =<br />
b−a<br />
2N .<br />
( )<br />
Die vierte Ableitung von f ist f (4) (ξ) = 24 mit dem Maximum max f (4) ξ =<br />
(1+ξ) 5<br />
24. ➀<br />
Damit ist der Betrag des Fehlers |E 2S [ f ]| = | − 34 |. Dies führt für die geforderte<br />
20N 4<br />
Genauigkeit auf N = 5.<br />
3.2 Mit h = 1 2 und x 1 = 0.5,x 2 = 1,x 3 = 1.5,x 4 = 2,x 5 = 2.5 erhält man für das Integral<br />
Q 2S = 2.8877.<br />
➁<br />
➀<br />
➂<br />
➃<br />
Lösung zu Aufgabe 4: Lineare Gleichungssysteme<br />
10 Punkte<br />
4.1 nein, da ein Hauptdiagonalenelement negativ ist. ➀<br />
4.2 Zuerst wird die erste mit der zweiten Zeile getauscht, und nachfolgend die erste Spalte<br />
bis auf das Pivot auf Null gezwungen:<br />
➀<br />
⎛<br />
⎞ ⎛<br />
⎞ ⎛<br />
⎞<br />
6 6 3 3 6 6 3 3<br />
1 0 0 0<br />
⎜ 2 1 2 0<br />
⎟<br />
⎝−1 1 3 6 ⎠ → ⎜<br />
0 −1 1 −1<br />
⎟<br />
⎝<br />
7 13<br />
0 2 ⎠ L = 1<br />
⎜ 3<br />
1 0 0<br />
⎟<br />
⎝<br />
2 2<br />
− 1<br />
0 0 − 11<br />
2<br />
−3 0 0 − 11<br />
6<br />
0 1 0⎠<br />
2<br />
−3<br />
0 0 0 1<br />
Zeilentausch dritte und zweite Zeile, und nachfolgend wird die zweite Spalte unterhalb<br />
des Pivot auf Null gezwungen:<br />
➀<br />
⎛<br />
⎞ ⎛<br />
⎞ ⎛<br />
⎞<br />
6 6 3 3 6 6 3 3<br />
1 0 0 0<br />
7 13<br />
⎜0 2 2 2 ⎟<br />
⎝0 −1 1 −1⎠ → 7 13<br />
⎜0 2 2 2 ⎟<br />
⎝ 11 9<br />
0 0 ⎠ L = ⎜− 6 1 1 0 0<br />
⎟<br />
⎝ 1<br />
4 4<br />
3<br />
− 1<br />
0 0 − 11<br />
2<br />
−3 0 0 − 11<br />
2<br />
1 0⎠<br />
2<br />
−3<br />
0 0 0 1<br />
Zeilentausch vierte und dritte Zeile, und nachfolgend wird die dritte Spalte unterhalb des<br />
Pivot auf Null gezwungen:<br />
➁<br />
⎛<br />
⎞ ⎛<br />
⎞ ⎛<br />
⎞<br />
6 6 3 3 6 6 3 3<br />
1 0 0 0<br />
7 13<br />
⎜0 2 2 2<br />
⎝0 0 − 11 ⎟<br />
2<br />
−3⎠ → 7 13<br />
⎜0 2 2 2<br />
⎝0 0 − 11 ⎟<br />
2<br />
−3⎠<br />
L = ⎜− 6 1 1 0 0<br />
⎟<br />
⎝ 0 0 1 0⎠<br />
11 9 3 1<br />
0 0 4 4<br />
0 0 0 4 3<br />
− 1 2<br />
− 1 2<br />
0<br />
⎛ ⎞<br />
0 1 0 0<br />
Die Permutationsmatrix hat damit die Form: P = ⎜0 0 1 0<br />
⎟<br />
⎝0 0 0 1⎠<br />
➀<br />
1 0 0 0
117<br />
4.3 detPdetA = det(PA) = det(LU) = spurU = 6 · 2 · − 11<br />
2<br />
detA = 49.5.<br />
· 34<br />
= −49.5 mit detP = −1 folgt<br />
4.4 i.) cond(A) 1 = 106.3636 (Spaltensummennorm) ➀<br />
ii.) cond(A) ∞ = 110.7272 (Zeilensummennorm).<br />
➁<br />
➀
118 B Aufgaben<br />
Herbst 1998: Fragenteil<br />
Aufgabe 1: Interpolation<br />
10 Punkte<br />
1.1 Sie möchten einen Funktionsverlauf mit einer nicht differenzierbaren Stelle, einem Peak,<br />
interpolieren. Setzen Sie voraus, daß Sie alle nötigen Informationen über die Funktion für<br />
die jeweilige Interpolation besitzen.<br />
i.) Welche Interpolation würden Sie wählen?<br />
ii.) Welche Interpolation ist dafür ungeeignet?<br />
1.2 Für eine Newton-Interpolation haben Sie ein Schema der dividierten Differenzen<br />
0 1 2 3<br />
−1 1<br />
x 1<br />
0 0 9<br />
2 0<br />
2 −2 1<br />
3<br />
3 0<br />
berechnet. Leider ist 1 Wert verlorengegangen:<br />
i.) Berechnen Sie den fehlenden Wert x 1 .<br />
ii.) Welchen Grad hat das Polynom (Begründung ohne Teil c)?<br />
iii.) Stellen Sie das entsprechende Interpolationspolynom auf.<br />
1.3 Warum werden bei der Lagrange-Interpolation Stützkoeffizienten eingeführt?<br />
Aufgabe 2: Lineare Gleichungssysteme<br />
9 Punkte<br />
2.1 i.) Geben Sie die Definition für eine diagonal dominante Matrix an.<br />
ii.) Geben Sie dazu ein Beispiel (3x3 Matrix) an.<br />
2.2 Wie kann bei bekannter LU-Zerlegung einer Matrix A sehr schnell unter Ausnützung der<br />
LU-Zerlegung die Determinante der Matrix A berechnet werden?<br />
2.3 Geben Sie 2 Gründe für den Einsatz von Pivotstrategien an.<br />
2.4 Nennen Sie 2 Matrixeigenschaften der Matrix A, die eine Pivotstrategie beim Lösen des<br />
Gleichungssystems Ax = b unnötig machen.
119<br />
Aufgabe 3: Nichtlineare Gleichungssysteme<br />
11 Punkte<br />
3.1 Was sagt der Banachsche Fixpunktsatz sinngemäß aus (keine Formel erforderlich)?<br />
3.2 Beschreiben Sie das Bisektions-Verfahren?<br />
3.3 Wann und mit welcher Ordnung konvergiert das Newton-Verfahren?<br />
Aufgabe 4: Integration und Differentiation<br />
10 Punkte<br />
4.1 Geben Sie die Definition für die Ordnung m eines Quadraturverfahrens an.<br />
4.2 Die numerische Differentiation soll aus Stabilitätsgründen vermieden werden. Begründen<br />
Sie warum dies so ist am Beispiel einer Differentiation erster Ordnung (keine Rechnung).<br />
4.3 Nennen Sie je einen Vorteil und einen Nachteil der<br />
i.) Newton-Cotes Formeln, und<br />
ii.) der Gauß Quadratur.<br />
Aufgabe 5: Gewöhnliche Differentialgleichungen<br />
10 Punkte<br />
5.1 Was bedeutet der Ausdruck: das Verfahren hat eine Fehlerordnung O ( h 3) ?<br />
5.2 Wie ist die Lipschitzstetigkeit einer Funktion f (x,y) definiert, und geben Sie ein hinreichendes<br />
Kriterium dafür an.<br />
5.3 i.) Welche Bedingung erfüllt ein nullstabiles Mehrschrittverfahren?<br />
ii.) Warum muß die Nullstabilität von Einschrittverfahren nicht nachgewiesen werden.<br />
Lösung zu Aufgabe 1: Interpolation<br />
10 Punkte<br />
1.1 i.) Hermite-Interpolation mit Intervallteilung an der unstetigen Stelle. Hermite deshalb,<br />
da damit der starke Anstieg bei einem Peak durch Benutzung der Ableitungen gut<br />
approximiert werden kann.<br />
➁<br />
ii.) Spline-Interpolation mit Ordnung > 1, da diese eine Stetigkeit an dieser Stelle erzwingen<br />
würden, die nicht gegeben ist.<br />
➁
120 B Aufgaben<br />
1.2 i.) x 1 = 0 − 1<br />
0 + 1 = −1 ➀<br />
ii.) Grad 2, da 4 Stützstellen ein Polynom 3. Grades ergeben, aber hier der höchste<br />
Koeffizient c 4 = 0 ist, damit nur 2. Grades.<br />
iii.) P 3 (x) = 1 + (−1)(x − (−1)) + 9(x + 1)(x − 0) = 9x 2 + 8x<br />
1.3 i.) Damit bei einer neuerlichen Rechnung mit den gleichen Stützstellen, aber z.B. anderen<br />
Funktionswerten, die Stützkoeffizienten λ i nicht noch einmal berechnet werden<br />
müssen. Die Stützkoeffizienten hängen nicht von den Funktionswerten y i ab. ➀<br />
➂<br />
➀<br />
Lösung zu Aufgabe 2: Lineare Gleichungssysteme<br />
9 Punkte<br />
2.1 i.) |a ii | > n ∑<br />
ii.)<br />
j=1<br />
j≠i<br />
⎛<br />
5 0<br />
⎞<br />
1<br />
⎝2 5 0⎠<br />
0 0 1<br />
|a i j | ➀<br />
2.2 detL = 1 und detU = ∏<br />
n u ii und detA = detLU = detU. Es wird nur das Produkt der<br />
i=1<br />
Hauptdiagonalelemente von U gebildet.<br />
➂<br />
2.3 • Vermeidung von „Null-Pivots“, da diese ein Lösen unmöglich machen würden. ➀<br />
• Vermeidung von Addition oder Subtraktion sehr großen von sehr kleinen Werten.<br />
Dies würde nötig sein, wenn das Pivotelement eine andere Größenordnung besitzt<br />
als die restlichen Elemente. Damit verringert eine Pivotstrategie den Rundungsfehler.<br />
➀<br />
2.4 • A positiv definit. ➀<br />
• A diagonal dominant.<br />
➀<br />
➀<br />
Lösung zu Aufgabe 3: Nichtlineare Gleichungssysteme<br />
11 Punkte<br />
(<br />
3.1 • Wenn die Abbildung T x (k)) kontrahierend ist, dann besitzt die nichtlineare Gleichung<br />
einen Fixpunkt x ∗ .<br />
• Eine Fixpunktiteration ( konvergiert gegen diesen Fixpunkt für jeden beliebigen Startwert<br />
x (0) , falls T x (k)) kontrahierend ist.<br />
➁<br />
➁
121<br />
• Der Fehler ist durch die Lipschitzkonstante beschränkt und abschätzbar.<br />
3.2 Bedingung f (a) f (b) < 0 mit x ∈ [a,b], danach Intervallhalbierung. Neue Intervallgrenze<br />
f ( ) (<br />
a+b<br />
2 für f (a), falls f (a) gleiches Vorzeichen hat wie f a+b<br />
)<br />
2 , sonst wird f (b) durch<br />
f ( )<br />
a+b<br />
2 ersetzt. Diese Intervallhalbierung wird solange durchgeführt, bis die Intervalllänge<br />
eine gewisse vorgegebene Größe unterschreitet. Der Mittelpunkt davon ist dann der<br />
gesuchte Fixpunkt.<br />
➂<br />
3.3 Für einen Startwert der „nahe genug“ bei der gesuchten Lösung liegt. Falls Konvergenz<br />
vorliegt, dann quadratische Ordnung.<br />
➁<br />
➁<br />
Lösung zu Aufgabe 4: Integration und Differentiation<br />
10 Punkte<br />
4.1 Bezeichnet E [ f ] den Fehler zwischen der exakten und der numerischen Lösung, so gilt<br />
für die Ordnung m: E [x m ] ≠ 0 und E [ x m−1] = 0, d.h. ein Polynom vom Grade (m − 1)<br />
wird exakt integriert.<br />
4.2 Der Rechenfehler geht mit der Ordnung O (h) und der Verfahrensfehler mit O ( h −1) gegen<br />
Null. Daher wird bei kleiner werdender Schrittweite der Gesamtfehler zuerst kleiner,<br />
und dann wieder größer.<br />
➂<br />
4.3 i.) Vorteil: Bei nächst höherer Stützstellenanzahl können die Ergebnisse aus den vorherigen<br />
Schritten mit benutzt werden.<br />
Nachteil: Nicht so hohe Genauigkeit.<br />
ii.) Vorteil: Sehr hohe Genauigkeit (m = 2n).<br />
Nachteil: Falls Kontrolle der Ergebnisse mit nächst höherer Stützstellenanzahl erfolgen<br />
soll, können die vorher berechneten Ergebnisse nicht mit benutzt werden.<br />
➀<br />
➂<br />
➀<br />
➀<br />
➀<br />
Lösung zu Aufgabe 5: Gewöhnliche Differentialgleichungen<br />
10 Punkte<br />
5.1 Wenn die Schrittweite halbiert wird, dann wird der Fehler 1 2 3 , also 8-mal kleiner. ➀<br />
5.2 Definition Lipschitzstetigkeit: ‖ f (x,y 1 ) − f (x,y 2 )‖ ≤ L‖y 1 − y 2 ‖ für beliebige y 1 und y 2<br />
aus dem Wertebereich und L existiert.<br />
➂<br />
Ein hinreichendes Kriterium ist die Existenz der partiellen Ableitung ∂ f<br />
∂y . ➀<br />
5.3 i.) Die Wurzeln des charakteristischen Polynoms ρ(ξ) = k ∑<br />
i=0<br />
α i ξ i liegen im Einheitskreis,<br />
oder auf dem Einheitskreis, sind dann aber einfach.<br />
➂
122 B Aufgaben<br />
ii.) Da alle Einschrittverfahren die Bedingung ρ(ξ) = −1+ξ erfüllen, haben diese Verfahren<br />
nur eine einfache Wurzel auf dem Einheitskreis, und sind damit nullstabil.<br />
➁
123<br />
Aufgabe 1: Interpolation<br />
Herbst 1998: Rechenteil<br />
12 Punkte<br />
Gegeben ist eine B-Spline Kurve der Ordnung k = 3, die Koeffizienten c i und der Trägervektor<br />
X = (0,0,0,1,2,3,5,7,9,10,10,10)<br />
1.1 Berechnen Sie den Kurvenpunkt mit Hilfe des DeBoor Algorithmus an der Stelle x = 3.2<br />
in Abhängigkeit von den Koeffizienten c i .<br />
1.2 Berechnen Sie die Ableitung an der Stelle x = 3.2 in Abhängigkeit von den Koeffizienten<br />
c i .<br />
Aufgabe 2: Integration und Differentiation<br />
5 Punkte<br />
Das Integral<br />
Z 5<br />
[ (x 2 − 1 ) 2<br />
− x<br />
5 ] dx<br />
soll mit den Gaußschen Quadraturformeln berechnet werden.<br />
0<br />
2.1 Wieviel Integrationsstützstellen sind nötig, um das Integral exakt (unter Vernachlässigung<br />
von Rundungsfehler) zu integrieren (Begründung)?<br />
2.2 Berechnen Sie das Integral exakt mit der Gaußschen Quadraturformel. Gewichte und<br />
Stützstellen sind der nachfolgenden Tabelle zu entnehmen (Rechnen Sie mit 4 Stellen<br />
Genauigkeit).<br />
n = 2 x 1 = 0.577350269189626 w 1 = 1<br />
n = 3 x 1 = 0.774596669241483 w 1 = 0.555555555555556<br />
x 2 = 0 w 2 = 0.888888888888889<br />
n = 4 x 1 = 0.861136311594053 w 1 = 0.347854845137454<br />
x 2 = 0.339981043584856 w 2 = 0.652145154862546<br />
n = 5 x 1 = 0.906179845938664 w 1 = 0.236926885056189<br />
x 2 = 0.538469310105683 w 2 = 0.478628670499366<br />
x 3 = 0 w 3 = 0.568888888888889<br />
Hinweis: Sollten Sie Teil a.) nicht gelöst haben, so nehmen Sie n = 3 Stützstellen zur Berechnung<br />
in Teil b.) an.
124 B Aufgaben<br />
Aufgabe 3: Gewöhnliche Differentialgleichungen<br />
9 Punkte<br />
Gegeben ist das 2-Schrittverfahren<br />
y m+2 = 3y m+1 − 2y m + h[−3 f m+2 + 3 f m+1 − f m ]<br />
3.1 Berechnen Sie die Konsistenzordnung p und die Fehlerkonstante C ∗ p.<br />
3.2 Ist das Verfahren konvergent? (Begründung!)<br />
Aufgabe 4: Gewöhnliche Differentialgleichungen<br />
7 Punkte<br />
Zeigen Sie, daß das Trapez-Verfahren<br />
eine Konsistenzordnung von p = 2 besitzt.<br />
y m+1 = y m + h 2 [ f (x m,y(x m )) + f (x m+1 ,y m+1 )]<br />
Hinweis: Gehen Sie davon aus, daß y m = y(x m ) exakt vorliegt.<br />
Aufgabe 5: Nichtlineare Gleichungssysteme<br />
17 Punkte<br />
Gegeben ist die nichtlineare Gleichung<br />
in der Standardform.<br />
5x 2 − x − 1 = 0 x ∈ [0.2;1]<br />
5.1 Geben Sie zwei Fixpunktformen an, und untersuchen Sie deren Kontraktion.<br />
5.2 Schätzen Sie für eine konvergente Fixpunktform die Anzahl der nötigen Iterationsschritte<br />
für eine Fixpunktiteration ab, wenn ein ε = 10 −5 erreicht werden soll.<br />
5.3 Berechnen Sie mit dem Startwert x (0) = 0.5 die Iterationswerte x (1) ,x (2) und x (3) mit dem<br />
Newton-Verfahren.<br />
Lösung zu Aufgabe 1: Interpolation<br />
12 Punkte<br />
1.1 Der gesuchte Wert liegt zwischen x 5 = 3 und x 6 = 5, daher ist i = 5. Bei einem B-Spline<br />
der Ordnung k = 3 werden daher die Koeffizienten c 3 ,c 4 und c 5 benötigt. Für den DeBoor-
125<br />
Algorithmus wird benötigt:<br />
c 2 5 = ( 1 − α 2 )<br />
5 c<br />
1<br />
4 + α 2 5 c1 5 mit α 2 5 = 3.2 − 3<br />
5 − 3 = 0.1 ➀<br />
c 1 4 = ( 1 − α 1 )<br />
4 c3 + α 1 4c 4 mit α 1 4 = 3.2 − 2<br />
5 − 2 = 0.4 ➀<br />
c 1 5 = ( 1 − α 1 )<br />
5 c4 + α 1 5 c 5 mit α 1 5 = 3.2 − 3<br />
7 − 3 = 0.05 ➀<br />
Damit erhält man s(x = 3.2) = c 2 5 = 0.54c 3 + 0.455c 4 + 0.005c 5 .<br />
1.2 Die Ableitung eines B-Splines der Ordnung k = 3 ist allgemein<br />
d<br />
dx B i,3 (x) =<br />
2<br />
x i+2 − x i<br />
B i,2 −<br />
Dies wird eingesetzt und mit einem Indexshift erhält man<br />
n<br />
n<br />
[<br />
d<br />
2<br />
c i B i,3 = c i B i,2 −<br />
dx<br />
x i+2 − x i<br />
∑<br />
i=0<br />
∑<br />
i=0<br />
2<br />
x i+3 − x i+1<br />
B i+1,2 ➀<br />
]<br />
n+1<br />
2<br />
B i+1,2 =<br />
x i+3 − x i+1<br />
∑<br />
i=0<br />
Mit der Definition von B-Splines ergibt sich die Formel<br />
d<br />
dx<br />
n<br />
∑<br />
i=0<br />
c i B i,3 =<br />
n+1<br />
∑<br />
i=0<br />
2(c i − c i−1 )<br />
x i+2 − x i<br />
= (c 5 − c 4 )(x − 3)<br />
4<br />
x − x i<br />
B i,1 +<br />
x i+1 − x i<br />
n+1<br />
∑<br />
i=0<br />
+ (c 4 − c 3 )(5 − x)<br />
3<br />
2(c i − c i−1 )<br />
x i+2 − x i<br />
➁<br />
2(c i − c i−1 )<br />
B i,2 ➁<br />
x i+2 − x i<br />
x i+2 − x<br />
B i+1,1<br />
x i+2 − x i+1<br />
Einsetzen des Wertes führt auf das Endergebnis d<br />
dx s(x = 3.2) = 0.05c 5 + 0.55c 4 − 0.6c 3 .<br />
➀<br />
➁<br />
➀<br />
Lösung zu Aufgabe 2: Integration und Differentiation<br />
5 Punkte<br />
2.1 Ein Polynom 5. Grades wird mit 3 Stützstellen exakt integriert, da die Gauß-Quadratur<br />
von der Ordnung m = 2n ist. Die Ordnung wiederum ist definiert als Grad eines exakt zu<br />
integrierenden Polynoms +1.<br />
➂<br />
2.2<br />
Q 3 = 5 2<br />
= 5 2<br />
3<br />
∑<br />
k=1<br />
( 5<br />
w k f<br />
2 x k + 5 )<br />
2 ➀<br />
[<br />
0.5556 f<br />
= −2057.6731 ➀<br />
( 5<br />
2 (−0.7746) + 5 ( ( 5 5<br />
+ 0.8889 f + 0.5556 f<br />
2)<br />
2)<br />
2 2)]<br />
(0.7746) + 5
126 B Aufgaben<br />
Lösung zu Aufgabe 3: Gewöhnliche Differentialgleichungen<br />
9 Punkte<br />
3.1 Das Verfahren hat die Parameter α 2 = 1,α 1 = −3,α 0 = 2,β 2 = −3,β 1 = 3 und β 0 = −1.<br />
Damit berechnet sich die Konsistenzordnung zu:<br />
➀<br />
p = 0 :<br />
1 − 3 + 2 = 0 ➀<br />
p = 1 : 1 − 3 − 3 + 2 · 1 + 3 = 0 ➀<br />
p = 2 :<br />
− 3 2 − 3 + 2 · 1 − 2 · (−3) = 7 2 ➀<br />
Dies bedeutet eine Konsistenzordnung p max = 1. Die Fehlerkonstante ist<br />
C p = 7 2 , σ(1) = −3 + 3 − 1 = −1 ⇒ C∗ p = − 7 2 ➁<br />
3.2 Die Wurzeln des charakteristischen Polynoms sind:<br />
ρ(ξ) = ξ 2 − 3ξ + 2 = 0 ⇒ ξ 1,2 = 3 2 ± 1 2<br />
√<br />
9 − 8 =<br />
3<br />
2 ± 1 2 ➁<br />
Aufgrund der Wurzel ξ 2 = 2 ist das Verfahren nicht nullstabil, und damit nicht konvergent.<br />
➀<br />
Lösung zu Aufgabe 4: Gewöhnliche Differentialgleichungen<br />
7 Punkte<br />
Der lokale Diskretisierungsfehler ist<br />
le = y(x m+1) − y(x m )<br />
h<br />
− f (x m,y(x m ))<br />
2<br />
− f (x m+1,y m+1 )<br />
2<br />
Es werden eine Taylor-Reihenentwicklung für y(x m+1 ) und für f (x m+1 ,y m+1 ) benötigt. Diese<br />
lauten:<br />
y(x m+1 ) = y(x m ) + h f (x m ,y(x m )) + h2<br />
2 f ′ (x m ,y(x m )) + O ( h 3) ➀<br />
f (x m+1 ,y m+1 ) = f (x m ,y(x m )) + h f ′ (x m ,y(x m )) + O ( h 2) ➁<br />
Setz man diese Entwicklungen in den lokalen Fehler le ein, so erkennt man le = O ( h 2) . Damit<br />
ist gezeigt, daß das Trapez-Verfahren die Ordnung p = 2 besitzt.<br />
Lösung zu Aufgabe 5: Nichtlineare Gleichungssysteme<br />
➁.<br />
➁<br />
17 Punkte<br />
5.1 i.) Die Umformung nach x ergibt die einfachste Fixpunktform x = 5x 2 − 1. Die Ableitung<br />
der Iterationsvorschrift ist |T ′ (x)| = 10|x|. Diese ist nur für x < 0.1 kleiner 1.<br />
Da der Wertebereich beschränkt ist 0.2 < x < 1, ist diese Fixpunktform nicht kontrahierend,<br />
und damit ist für eine Fixpunktiteration keine Konvergenz zu erwarten.<br />
➃
127<br />
√<br />
x + 1<br />
ii.) Die Umformung nach x 2 mit anschließenden Wurzelziehen ergibt x =<br />
5 . Es<br />
wird willkürlich die positive Wurzel betrachtet. Die Kontraktion wird folgendermaßen<br />
untersucht:<br />
➀<br />
|T ′ (x)| =<br />
1<br />
∣<br />
2 √ 5 √ x + 1<br />
∣ < 1 ➁ für alle x ∈ [0.2;1] ➀<br />
Damit ist diese Fixpunktform kontrahierend.<br />
5.2 Die Lipschitzkonstante wird nach oben durch deren Maximalwert L = |T ′ (x = 0.2)| =<br />
0.2041 abgeschätzt. ➀<br />
Damit gilt für den a-priori Fehlerschätzer<br />
➀<br />
5.3<br />
ε ≤ 0.20k<br />
0.8 · ‖x(1) − x (0) ‖<br />
} {{ }<br />
max=0.8<br />
➁ ⇒<br />
Damit muß man mit 8 Iterationen rechnen.<br />
log<br />
ε0.8<br />
0.8<br />
log0.20 ≥ k ➀ ⇒ 7.15 ≥ k<br />
➀<br />
x (k+1) = x (k) − 5x(k)2 − x (k) − 1<br />
10x (k) − 1<br />
x (1) = 0.5625 ➀<br />
x (2) = 0.5625 − 50.56252 − 0.5625 − 1<br />
100.5625 − 1<br />
x (3) = 0.5583 ➀<br />
= 0.5583 ➀
128 B Aufgaben<br />
Frühjahr 1999: Fragenteil<br />
Aufgabe 1: Interpolation<br />
10 Punkte<br />
1.1 Begründen Sie, warum bei der Newton- und der Lagrange-Interpolation das gleiche Polynom<br />
berechnet wird.<br />
1.2 Sie haben für eine Hermite-Interpolation folgende Werte<br />
gegeben<br />
f (x) f ′ (x) f ′′ (x)<br />
0 1<br />
1<br />
2<br />
0<br />
1 2 1 −<br />
i.) Stellen Sie das Schema der dividierten Differenzen auf.<br />
ii.) Stellen Sie das entsprechende Interpolationspolynom auf.<br />
1.3 Welche Eigenschaften (Stetigkeit, Differenzierbarkeit) hat ein kubischer B-Spline an einem<br />
3-fachen Knoten?<br />
Aufgabe 2: Lineare Gleichungssysteme<br />
9 Punkte<br />
2.1 Geben Sie<br />
i.) ein notwendiges und hinreichendes<br />
ii.) und ein hinreichendes<br />
Konvergenzkriterium für ein Iterationsverfahren x (k+1) = Mx (k) + s zur Lösung eines linearen<br />
Gleichungssystems an.<br />
2.2 Stellen Sie die Idee von iterativen Gleichungslösern am Beispiel eines 2x2 Systems und<br />
des Gauß-Seidel-Verfahrens (Einzelschrittverfahren) dar.<br />
Aufgabe 3: Nichtlineare Gleichungssysteme<br />
11 Punkte<br />
3.1 Geben Sie die Fixpunkt- und Standardform einer nichtlinearen Gleichung an.<br />
3.2 Geben Sie die drei zentralen Aussagen des Banachschen Fixpunktsatzes sinngemäß wieder<br />
(keine Formel erforderlich).<br />
3.3 Was bedeutet quadratische Konvergenz eines iterativen Verfahrens?
129<br />
Aufgabe 4: Integration und Differentiation<br />
7 Punkte<br />
4.1 Geben Sie die Definition für die Ordnung m eines Quadraturverfahrens an.<br />
4.2 Von welchen zwei Faktoren hängt der Fehler einer Newton-Cotes Quadraturformel im<br />
wesentlichen ab?<br />
4.3 Begründen Sie, warum die Summe über die Gewichte einer Gaußschen Integrationsformel<br />
immer 2 ergeben muß.<br />
Aufgabe 5: Gewöhnliche Differentialgleichungen<br />
13 Punkte<br />
5.1 Es sei das 3-Schrittverfahren<br />
gegeben.<br />
y m+3 − 5y m+1 = h 2 (2 f m+2 + 4 f m+1 − f m )<br />
i.) Ist dies ein explizites oder implizites Verfahren?<br />
ii.) Geben Sie die charakteristischen Polynome an.<br />
iii.) Ist dieses Verfahren nullstabil?<br />
5.2 Bei Mehrschrittverfahren gibt es sogenannte Startwerte:<br />
i.) Wozu werden diese benötigt?<br />
ii.) Wieviele sind bei einem 3-Schritt-Verfahren notwendig?<br />
5.3 Häufig werden Runge-Kutta-Verfahren benutzt:<br />
i.) Sind dies Ein- oder Mehrschrittverfahren?<br />
ii.) Was bedeutet s-stufiges Runge-Kutta-Verfahren?<br />
iii.) Geben Sie einen Nachteil und einen Vorteil von impliziten Runge-Kutta-Verfahren<br />
an.<br />
Lösung zu Aufgabe 1: Interpolation<br />
10 Punkte<br />
1.1 Polynominterpolationen sind nach dem Satz von Peano eindeutig. Damit muß jede Berechnungsvorschrift<br />
auf das gleiche Polynom führen.<br />
➁
130 B Aufgaben<br />
1.2 i.)<br />
0 1 2 3 4<br />
0 1<br />
0 1<br />
1<br />
2<br />
0<br />
1<br />
2<br />
0 1<br />
1<br />
2<br />
−1<br />
1 − 1 2<br />
1 2 0<br />
1<br />
1 2<br />
1<br />
2<br />
➃<br />
ii.)<br />
P(x) = 1 + 1 2 (x − 0) + 0 · (x − 0)2 + 1 2 (x − 0)3 − 1 · (x − 0) 3 (x − 1)<br />
= 1 + 1 2 x + 3 2 x3 − x 4 ➁<br />
1.3 Es ist stetig, aber nicht differenzierbar. ➁<br />
Lösung zu Aufgabe 2: Lineare Gleichungssysteme<br />
9 Punkte<br />
2.1 i.) Für den Spektralradius muß gelten: ρ(M) < 1 ➁<br />
ii.) starkes Zeilensummenkriterium: Für die Systemmatrix A von Ax = b muß gelten:<br />
|a i j | < |a ii | 1 ≤ i ≤ n ➂<br />
∑ n j=1<br />
j≠i<br />
2.2 Ausgehend von zwei beliebigen Startwerten x (0)<br />
1(<br />
und x (0)<br />
2 )<br />
➀ wird nach der Vorschrift<br />
➀ a } (k+1)<br />
11x 1 +a 12 x 2 = r 1 x<br />
1<br />
=<br />
a 1<br />
11<br />
r 1 − a 12 x (k)<br />
2<br />
(<br />
)<br />
a 21 x 1 +a 22 x 2 = r 2 x (k+1)<br />
2<br />
=<br />
a 1<br />
22<br />
r 2 − a 21 x (k+1) iteriert. ➁<br />
1<br />
Lösung zu Aufgabe 3: Nichtlineare Gleichungssysteme<br />
11 Punkte<br />
3.1 Fixpunktform: x = T (x), Standardform: f (x) = 0. ➁<br />
(<br />
3.2 • Wenn die Abbildung T x (k)) kontrahierend ist, dann besitzt die nichtlineare Gleichung<br />
einen Fixpunkt x ∗ .<br />
➁
131<br />
• Eine Fixpunktiteration ( konvergiert gegen diesen Fixpunkt für jeden beliebigen Startwert<br />
x (0) , falls T x (k)) kontrahierend ist.<br />
• Der Fehler ist durch die Lipschitzkonstante beschränkt und abschätzbar.<br />
3.3 Quadratische Konvergenz bedeutet, daß sich die Norm des Fehlers pro Iterationsschritt<br />
für k → ∞ quadratisch, also „hoch zwei“ verbessert. In Formeln lim k→∞<br />
‖e k+1 ‖<br />
‖e k ‖ p = K. ➂<br />
➁<br />
➁<br />
Lösung zu Aufgabe 4: Integration und Differentiation<br />
7 Punkte<br />
4.1 Bezeichnet E [ f ] den Fehler zwischen der exakten und der numerischen Lösung, so gilt<br />
für die Ordnung m: E [x m ] ≠ 0 und E [ x m−1] = 0, d.h. ein Polynom vom Grade (m − 1)<br />
wird exakt integriert.<br />
4.2 Bei einer Newton-Cotes Formel für n + 1 Stützstellen von der n + 1-ten Ableitung der zu<br />
integrierenden Funktion und von der Intervallänge.<br />
➁<br />
4.3 Die Summe über die Gewichte entspricht einer Integration über die konstante Funktion<br />
f (x) = 1 im Intervall I = [−1;1]. Dies ergibt zwingend den Wert 2.<br />
➁<br />
➂<br />
Lösung zu Aufgabe 5: Gewöhnliche Differentialgleichungen<br />
13 Punkte<br />
5.1 i.) Es ist ein explizites Verfahren. ➀<br />
ii.) ρ(ξ) = ξ 3 − 5ξ und σ(ξ) = ξ 2 + 2ξ − 1 2<br />
iii.) Die Wurzeln des charakteristischen Polynoms ρ(ξ) = ξ ( ξ 2 − 5 ) sind ξ 1 = 0 und<br />
ξ 2,3 = ± √ 5. Da ξ 2,3 außerhalb des Einheitskreises liegen, ist dieses Verfahren nicht<br />
nullstabil.<br />
➁<br />
5.2 i.) Für den ersten Rechenschritt benötigt ein k-Schrittverfahren alle Werte y 0 ,y 1 ,...,y k−1 .<br />
Diese müssen bekannt sein, damit der erste Rechenschritt durchgeführt werden kann,<br />
da all diese Werte in der entsprechenden Vorschrift auftreten.<br />
ii.) Es sind 3 Werte notwendig.<br />
5.3 i.) Es sind Einschrittverfahren. ➀<br />
ii.) Es werden s Werte von f (x,y) zwischen (x m ,y m ) und (x m+1 ,y m+1 ) zur Auswertung<br />
für einen Schritt herangezogen.<br />
iii.) Nachteil: Es müssen nichtlineare Gleichungssysteme gelöst werden.<br />
Vorteil: Es können sehr hohe Konsistenz/Konvergenzordnungen erreicht werden. ➀<br />
➁<br />
➁<br />
➀<br />
➁<br />
➀
132 B Aufgaben<br />
Frühjahr 1999: Rechenteil<br />
Aufgabe 1: Interpolation<br />
13 Punkte<br />
Interpolieren Sie die Funktion f (x) = x 3 im Intervall I = [−1;1] mit den Stützstellen x 0 =<br />
−1, x 1 = −0.5, x 2 = 0, x 3 = 0.5 und x 4 = 1 mit kubischen Splines. Sie können die Annahme<br />
treffen, daß die zweiten Ableitungen am Rand von I sich wie die Hälfte der zweiten Ableitungen<br />
der benachbarten Stützstellen verhalten.<br />
Hinweis:<br />
⎛ ⎞<br />
⎛<br />
a b 0<br />
bc − d e be −b 2 ⎞<br />
• A = ⎝c d b⎠ A −1 =<br />
det<br />
1 ⎝ ce −ae ab ⎠<br />
0 c e<br />
−c 2 ac bc − ad<br />
det = abc−ad e+cbe<br />
• Setzen Sie nur die Koeffizienten in die Splines ein, aber multiplizieren Sie diese nicht<br />
mehr aus.<br />
Aufgabe 2: Integration und Differentiation<br />
7 Punkte<br />
Sie haben die Funktion f (x) = cosx + x 2 mit der summierten Trapezregel im Intervall I = [0;5]<br />
mit 5 Teilintervallen integriert. Schätzen Sie den Betrag des Integrationsfehlers nach oben und<br />
unten ab.<br />
Aufgabe 3: Gewöhnliche Differentialgleichungen<br />
9 Punkte<br />
Berechnen Sie die Koeffizienten des Mehrschrittverfahrens<br />
α 2 y m+2 + α 1 y m+1 + α 0 y m = h f m+2 ,<br />
sodaß die größtmögliche Konvergenzordnung erreicht wird, und geben Sie diese an.<br />
Aufgabe 4: Nichtlineare Gleichungssysteme<br />
11 Punkte<br />
Gegeben ist die nichtlineare Gleichung<br />
in der Standardform.<br />
2x 2 − 5x + 1 = 0 x ∈ R +<br />
4.1 Geben Sie zwei Fixpunktformen an.<br />
4.2 Bestimmen Sie den Wertebereich von x ∈ R + der beiden in Teil a) bestimmten Fixpunktformen<br />
für eine konvergente Fixpunktiteration.
133<br />
Lösung zu Aufgabe 1: Interpolation<br />
13 Punkte<br />
Die äquidistante Intervallunterteilung ergibt ein h i = 1 2➀, sowie die Annahme über die Ableitungen<br />
y ′′<br />
0 = 1 2 y′′ 1 und y′′ 4 = 1 2 y′′ 3➁. Damit bestimmen sich die restlichen Ableitungen durch<br />
⎛<br />
2 1 ⎞⎛<br />
2<br />
0 y ′′ ⎞ ⎛<br />
⎝ 1<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1 1<br />
⎠⎝y ′′ ⎠<br />
0 1 2 = 1 −36 − y ′′ ⎞<br />
1<br />
⎝ 0 ⎠ ➁<br />
4<br />
2<br />
2<br />
36 − y ′′<br />
3<br />
zu y ′′<br />
0 = −2, y′′ 1 = −4, y′′ 2<br />
die Koeffizienten<br />
y ′′<br />
3<br />
= 0, y′′ 3 = 4 und y′′ 4 = 2 ➁, womit die b i gegeben sind. Das führt auf<br />
a 0 = − 2 3<br />
a 1 = 4 3<br />
a 2 = 4 3<br />
a 3 = − 2 3<br />
c 0 = 2.42 c 1 = 0.92 c 2 = −0.083 c 3 = 0.92 ➀<br />
Abschließend erhält man die Splines<br />
s 0 (x) = − 2 3 (x + 1)3 − (x + 1) 2 + 2.42(x + 1) − 1<br />
s 1 (x) = 4 (<br />
x + 1 3 (<br />
− 2 x +<br />
3 2) 1 2 (<br />
+ 0.92 x +<br />
2) 1 )<br />
− 1 2 8<br />
s 2 (x) = 4 3 x3 − 0.083x<br />
s 3 (x) = − 2 (<br />
x − 1 3 (<br />
+ 2 x −<br />
3 2) 1 2 (<br />
+ 0.92 x −<br />
2) 1 )<br />
+ 1 2 8<br />
➀<br />
➁<br />
Es wurden noch zwei Rechenpunkte vergeben.<br />
Lösung zu Aufgabe 2: Integration und Differentiation<br />
➁<br />
7 Punkte<br />
Der Fehler der summierten Trapezregel ist E 1S [ f ] = − h2 (b−a)<br />
12<br />
f ′′ (ξ). Hier sind h = 1, b −<br />
a = 5 ➁und f ′′ (x) = 2 − cosx➀. Die zweite Ableitung kann also durch 1 ≤ | f ′′ (x)| ≤ 3<br />
➁abgeschätzt werden. Damit wird der Fehler durch 5<br />
12 ≤ |E 1S[ f ]| ≤ 5 4<br />
➁abgeschätzt.<br />
Lösung zu Aufgabe 3: Gewöhnliche Differentialgleichungen<br />
9 Punkte<br />
Mit den freien 4 Konstanten können maximal die folgenden 4 Gleichungen erfüllt werden.<br />
p = 0 : α 0 + α 1 + α 2 = 0<br />
p = 1 : α 1 + 2α 2 = 1 ➁<br />
p = 2 :<br />
1<br />
2 α 1 + 2α 2 = 2
134 B Aufgaben<br />
Die Lösung dieses Gleichungssystems führt auf α 0 = 1 2 , α 1 = −2 und α 2 = 3 2<br />
➀. Dies ergibt<br />
eine Konsistenzordnung von p = 2 ➀. Es muß nun überprüft werden, ob auch p = 3 erfüllt<br />
wird.<br />
p = 3 :<br />
1<br />
6 (−2) + 4 3<br />
3 2 = −1 3<br />
Dies ist nicht der Fall. Da nach der Konvergenz und nicht nur Konsistenz gefragt ist, müssen<br />
noch die Wurzeln des charakteristischen Polynoms ρ(ξ) = 3 2 ξ2 − 2ξ + 1 2<br />
➀untersucht werden.<br />
Diese sind ξ 1 = 1 und ξ 2 = 1 3<br />
➁. Damit ist das Verfahren nullstabil und konvergent mit der<br />
Ordnung p = 2 ➀.<br />
➀<br />
Lösung zu Aufgabe 4: Nichtlineare Gleichungssysteme<br />
11 Punkte<br />
4.1 Die Umformung nach x ergibt die zwei Fixpunktformen<br />
√<br />
5<br />
• x =<br />
2 x − 1 2 mit x ∈ [ 1 5 ,∞[ ➁<br />
• x =<br />
5 2x2 + 1 5<br />
mit x ∈ R+<br />
➁<br />
4.2 Die Ableitung dieser Fixpunktformen muß kleiner Eins sein ➀. Damit gilt:<br />
• |T ′ 5<br />
(x)| = |<br />
2 √ 33<br />
| < 1 für x ∈]<br />
10x−2 40 ;∞[ ➂<br />
• |T ′ (x)| = | 4 5 x| < 1 für x ∈ [0; 5 4 [<br />
➂
135<br />
Herbst 2001: Fragenteil<br />
Aufgabe 1: Interpolation<br />
14 Punkte<br />
1.1 Wovon hängt bei der Polynominterpolation der Fehler im wesentlichen ab? (zwei Abhängigkeiten)<br />
1.2 Sie haben für eine Hermite-Interpolation folgende Werte<br />
gegeben<br />
f (x) f ′ (x) f ′′ (x)<br />
0 1<br />
1<br />
2<br />
0<br />
1 2 1 −<br />
i.) Stellen Sie das Schema der dividierten Differenzen auf.<br />
ii.) Stellen Sie das entsprechende Interpolationspolynom auf.<br />
1.3 Formulieren Sie die Bedingungen zur Bestimmung von natürlichen kubischen Splines.<br />
Aufgabe 2: Lineare Gleichungssysteme<br />
11 Punkte<br />
2.1 Geben Sie zwei Gründe für den Einsatz von Pivotstrategien an.<br />
2.2 Nennen Sie zwei Matrixeigenschaften der Matrix A, die eine Pivotstrategie beim Lösen<br />
des Gleichungssystems Ax = b unnötig machen.<br />
2.3 Bei sehr großen Gleichungssystemen werden gerne iterative Gleichungslöser benutzt:<br />
i.) Welche Vorteile haben iterative Gleichungslöser gegenüber z.B. dem Gaußschen<br />
Algorithmus? (zwei Vorteile)<br />
ii.) Stellen Sie die Idee von iterativen Gleichungslösern am Beispiel eines 2x2 Systems<br />
und des Gauß-Seidel-Verfahrens (Einzelschrittverfahren) dar.<br />
Aufgabe 3: Nichtlineare Gleichungssysteme<br />
13 Punkte<br />
3.1 Beschreiben Sie das Bisektions-Verfahren.<br />
3.2 Geben Sie die drei zentralen Aussagen des Banachschen Fixpunktsatzes sinngemäß wieder<br />
(keine Formel erforderlich).
136 B Aufgaben<br />
3.3 Geben Sie den Vorteil und zwei Nachteile des Newton-Verfahrens an.<br />
Aufgabe 4: Integration und Differentiation<br />
10 Punkte<br />
4.1 Geben Sie die Definition für die Ordnung m eines Quadraturverfahrens an.<br />
4.2 Gegeben sind für eine Gaußsche Quadraturformel folgende 5 Stützstellen x i mit den Gewichten<br />
w i :<br />
x i −1.906179 −0.538469 0 0.538469 0.906179<br />
w i 0.236926 0.478628 0.568888 0.478628 0.236926<br />
i.) Welche Stützstelle ist falsch? (Begründung!)<br />
ii.) Welche Ordnung kann diese Quadraturformel maximal erreichen?<br />
iii.) Wie kann sehr einfach getestet werden ob die Integrationgewichte richtig sind?<br />
Aufgabe 5: Gewöhnliche Differentialgleichungen<br />
16 Punkte<br />
5.1 Es sei das 4-Schrittverfahren<br />
gegeben.<br />
y m+4 − y m+2 = h 3 (8 f m+3 − 5 f m+2 + 4 f m+1 − f m )<br />
i.) Ist dies ein explizites oder implizites Verfahren?<br />
ii.) Geben Sie die charakteristischen Polynome an!<br />
iii.) Ist dieses Verfahren nullstabil?<br />
5.2 Implizite Mehrschrittverfahren erreichen bei gleicher Schrittzahl oft eine höhere Konvergenzordnung<br />
als explizite Verfahren:<br />
i.) Welche Probleme ergeben sich beim impliziten Verfahren im Gegensatz zu den expliziten<br />
Verfahren, und wie können diese Probleme beseitigt werden?<br />
ii.) Welches Einsatzgebiet haben implizite Verfahren?<br />
5.3 Häufig werden Runge-Kutta-Verfahren benutzt:<br />
i.) Sind dies Ein- oder Mehrschrittverfahren?<br />
ii.) Was bedeutet s-stufiges Runge-Kutta-Verfahren?<br />
iii.) Geben Sie einen Nachteil und einen Vorteil von impliziten Runge-Kutta-Verfahren<br />
an.
137<br />
Lösung zu Aufgabe 1: Interpolation<br />
14 Punkte<br />
1.1 • von der Wahl der Stützstellen – äquidistant oder nicht – ➀<br />
1.2 i.)<br />
• von der (n + 1)ten Ableitung der Funktion an einer unbekannten Stelle x 0 < ξ < x n<br />
➁<br />
0 1 2 3 4<br />
0 1<br />
0 1<br />
1<br />
2<br />
0<br />
1<br />
2<br />
0 1<br />
1<br />
2<br />
−1<br />
1 − 1 2<br />
1 2 0<br />
1<br />
1 2<br />
1<br />
2<br />
➃<br />
ii.)<br />
P(x) = 1 + 1 2 (x − 0) + 0 · (x − 0)2 + 1 2 (x − 0)3 − 1 · (x − 0) 3 (x − 1)<br />
= 1 + 1 2 x + 3 2 x3 − x 4 ➁<br />
1.3<br />
d 4 s<br />
= 0 Polynom 3. Grades ➀<br />
dx4 s ′′ (x i ) + = s ′′ (x i ) − Stetigkeit der 2. Ableitung ➀<br />
s(x i ) = y i Interpolationsbed. ➀<br />
s ′′ (x 0 ) = s ′′ (x n ) = 0<br />
➁<br />
Lösung zu Aufgabe 2: Lineare Gleichungssysteme<br />
11 Punkte<br />
2.1 • Vermeidung von „Null-Pivots“, da diese ein Lösen unmöglich machen würden. ➀<br />
• Vermeidung von Addition oder Subtraktion sehr großen von sehr kleinen Werten.<br />
Dies würde nötig sein, wenn das Pivotelement eine andere Größenordnung besitzt<br />
als die restlichen Elemente. Damit verringert eine Pivotstrategie den Rundungsfehler.<br />
➁
138 B Aufgaben<br />
2.2 • A positiv definit. ➀<br />
• A diagonal dominant.<br />
2.3 i.) Sie lösen mit weniger Aufwand und haben manchmal weniger Rundungsfehler. ➁<br />
ii.) Ausgehend von zwei beliebigen Startwerten x (0)<br />
1(<br />
und x (0)<br />
2<br />
➀wird<br />
)<br />
nach der Vorschrift<br />
➀ a } (k+1)<br />
11x 1 +a 12 x 2 = r 1 x<br />
1<br />
=<br />
a 1<br />
11<br />
r 1 − a 12 x (k)<br />
2<br />
(<br />
)<br />
a 21 x 1 +a 22 x 2 = r 2 x (k+1)<br />
2<br />
=<br />
a 1<br />
22<br />
r 2 − a 21 x (k+1) iteriert. ➁<br />
1<br />
➀<br />
Lösung zu Aufgabe 3: Nichtlineare Gleichungssysteme<br />
13 Punkte<br />
3.1 Bedingung f (a) f (b) < 0 mit x ∈ [a,b], danach Intervallhalbierung. Neue Intervallgrenze<br />
f ( ) (<br />
a+b<br />
2 für f (a), falls f (a) gleiches Vorzeichen hat wie f a+b<br />
)<br />
2 , sonst wird f (b) durch<br />
f ( )<br />
a+b<br />
2 ersetzt. Diese Intervallhalbierung wird solange durchgeführt, bis die Intervalllänge<br />
eine gewisse vorgegebene Größe unterschreitet. Der Mittelpunkt davon ist dann der<br />
gesuchte Fixpunkt.<br />
➃<br />
(<br />
3.2 • Wenn die Abbildung T x (k)) kontrahierend ist, dann besitzt die nichtlineare Gleichung<br />
einen Fixpunkt x ∗ .<br />
• Eine Fixpunktiteration ( konvergiert gegen diesen Fixpunkt für jeden beliebigen Startwert<br />
x (0) , falls T x (k)) kontrahierend ist.<br />
• Der Fehler ist durch die Lipschitzkonstante beschränkt und abschätzbar.<br />
3.3 Vorteil: Quadratische Konvergenz. ➀<br />
Nachteil: (1) Konvergenz nur, wenn Startwert ‘nahe genug’ an der Lösung liegt.<br />
(2) Die Ableitung der zu lösenden Funktion muß vorliegen oder aufwendig berechnet<br />
werden.<br />
➀<br />
➁<br />
➁<br />
➁<br />
➀<br />
Lösung zu Aufgabe 4: Integration und Differentiation<br />
10 Punkte<br />
4.1 Bezeichnet E [ f ] den Fehler zwischen der exakten und der numerischen Lösung, so gilt<br />
für die Ordnung m: E [x m ] ≠ 0 und E [ x m−1] = 0, d.h. ein Polynom vom Grade (m − 1)<br />
wird exakt integriert.<br />
4.2 i.) x 0 = −1.906179 muß heißen x 0 = −0.906179, da die Stützstellen immer paarweise<br />
symmetrisch und innerhalb des Intervalls [−1,1] liegen.<br />
ii.) Maximal m = 2n, d.h. m max = 10<br />
➂<br />
➁<br />
➁
139<br />
iii.) Das Integral R 1<br />
−1 dx über die konstante Funktion f (x) = 1 hat den Wert Zwei. Die<br />
numerische Formel ist dann nur die Summe über die Gewichte ∑ n i=0 w i (x i ) = 2. ➂<br />
Lösung zu Aufgabe 5: Gewöhnliche Differentialgleichungen<br />
16 Punkte<br />
5.1 i.) explizit, da β 4 = 0 gilt. ➀<br />
ii.) ρ(ξ) = ξ 4 − ξ 2 , σ(ξ) = 8 3 ξ3 − 5 3 ξ2 + 4 3 ξ − 1 3<br />
➁<br />
iii.) ja, da ρ(ξ) = ξ 2 ( ξ 2 − 1 ) die Wurzeln ξ 1 = 0 und ξ 2,3 = ±1 besitzt, und die Wurzeln<br />
ξ 2,3 einfach sind.<br />
5.2 i.) Zur Lösung der Aufgabe müssen implizite Gleichungen gelöst werden, wenn die<br />
DGL nichtlinear ist. Dies wird umgangen durch den Einsatz eines Prädiktor-Korrektor-<br />
Verfahrens.<br />
ii.) steife DGL’s<br />
5.3 i.) Es sind Einschrittverfahren. ➀<br />
ii.) Es werden s Werte von f (x,y) zwischen (x m ,y m ) und (x m+1 ,y m+1 ) zur Auswertung<br />
für einen Schritt herangezogen.<br />
iii.) Nachteil: Es müssen nichtlineare Gleichungssysteme gelöst werden.<br />
Vorteil: Es können sehr hohe Konsistenz/Konvergenzordnungen erreicht werden. ➀<br />
➃<br />
➂<br />
➀<br />
➁<br />
➀
140 B Aufgaben<br />
Aufgabe 1: Interpolation<br />
Herbst 2001: Rechenteil<br />
12 Punkte<br />
Gegeben ist die periodische Funktion f (x). Diese soll mit fünf äquidistanten Stützstellen x 0 =<br />
0,x 1 = 0.2,x 2 = 0.4,x 3 = 0.6,x 4 = 0.8,x 5 = 1 im Intervall I = [0;1] mit kubischen periodischen<br />
Splines interpoliert werden.<br />
1.1 Wie lauten in diesem Fall die Bestimmungsgleichungen der periodischen Splines?<br />
1.2 Stellen Sie das Gleichungssystem zur Berechnung der zweiten Ableitungen soweit auf,<br />
daß es gelöst werden könnte.<br />
Hinweis: Das Gleichungssytem soll nicht gelöst, sondern nur lösungsbereit aufgestellt werden.<br />
Aufgabe 2: Nichtlineare Gleichungssysteme<br />
14 Punkte<br />
Gegeben ist die nichtlineare Gleichung<br />
1<br />
2 sinx + x = 1 x ∈ R .<br />
2.1 Geben Sie eine kontrahierende Fixpunktform und deren Wertebereich an (Nachweis erforderlich).<br />
2.2 Finden Sie einen geeigneten Startwert, um ein Newton-Verfahren zur Lösung benutzen<br />
zu können (Raten ist nicht zulässig).<br />
2.3 Berechnen Sie die ersten drei Schritte des Newton-Verfahrens mit einem Startwert von<br />
x 0 = 0.7.<br />
Aufgabe 3: Gewöhnliche Differentialgleichungen<br />
10 Punkte<br />
Gegeben ist die Differentialgleichung zweiter Ordnung<br />
y ′′ − 2y = 1 mit y ′ (x = 0) = 0 , y(x = 0) = 1 .<br />
Diese soll mit dem expliziten 3-Schritt-Verfahren<br />
gelöst werden.<br />
y m+1 = y m + h<br />
12 [23 f m − 16 f m−1 + 5 f m−2 ] mit h = 1 = const.<br />
3.1 Führen Sie eine Startrechnung mit dem expliziten Euler-Verfahren durch.
141<br />
3.2 Berechnen Sie die ersten zwei Schritte des obigen Mehrschrittverfahrens.<br />
Lösung zu Aufgabe 1<br />
12 Punkte<br />
a.) Die Bedingungen lauten:<br />
d 4 s<br />
dx 4 = 0 s′′ (x i ) + = s ′′ (x i ) − s(x i ) = y i ➁<br />
s ′′ (x 0 ) = s ′′ (x 5 ) s(x 0 ) = s(x 5 ) s ′ (x 0 ) = s ′ (x 5 ) ➂<br />
b.) Die äquidistante Intervallunterteilung ergibt ein h i = h = 0.2➀. Damit bestimmen sich<br />
die zweiten Ableitungen durch<br />
⎛ ⎞⎛<br />
4 1 y ′′ ⎞ ⎛<br />
1 6(y 2 − y 1 ) − 6(y 1 − y 0 ) − h 2 y ′′ ⎞<br />
h 2 ⎜1 4 1<br />
⎟⎜y ′′<br />
0<br />
2<br />
⎝ 1 4 1⎠⎝y ′′ ⎟<br />
⎠ = ⎜ 6(y 3 − y 2 ) − 6(y 2 − y 1 )<br />
⎟<br />
⎝<br />
3 6(y 4 − y 3 ) − 6(y 3 − y 2 ) ⎠ ➀<br />
1 4 y ′′<br />
4 6(y 5 − y 4 ) − 6(y 4 − y 3 ) − h 2 y ′′<br />
0<br />
Die fehlende Gleichung erhält man durch s ′ (x 0 ) = s ′ (x 5 )<br />
s ′ 4 (x 5 ) = y 5 − y 4<br />
4<br />
h = s ′ 0 (x 0 ) = y 1 − y 0<br />
0<br />
h<br />
h 6<br />
h 6<br />
6(y 1 − y 0 ) − 6(y 5 − y 4 ) = h 2 ( 2y ′′<br />
5 + y′′ 4 + y ′′<br />
1 + 2y ′′ )<br />
0<br />
+ 2y′′ 5 + y′′<br />
Damit ist das zu lösende Gleichungssystem<br />
⎛<br />
⎞⎛<br />
4 1 1 y ′′ ⎞ ⎛<br />
0<br />
h 2 1 4 1<br />
y ′′<br />
1<br />
⎜ 1 4 1<br />
⎟⎜y ′′<br />
2<br />
⎝ 1 4 1⎠⎝y ′′ ⎟<br />
⎠ = ⎜<br />
⎝<br />
3<br />
1 1 4<br />
y ′′<br />
4<br />
− y′′ 1 + 2y′′<br />
6(y 1 − y 0 ) − 6(y 5 − y 4 )<br />
6(y 2 − y 1 ) − 6(y 1 − y 0 )<br />
6(y 3 − y 2 ) − 6(y 2 − y 1 )<br />
6(y 4 − y 3 ) − 6(y 3 − y 2 )<br />
6(y 5 − y 4 ) − 6(y 4 − y 3 )<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
➁<br />
➀<br />
➁<br />
Lösung zu Aufgabe 2<br />
14 Punkte<br />
a.) Eine kontrahierende Fixpunktform ist x = 1 − 1 2<br />
sinx, da die hinreichende Bedingung<br />
|T ′ (x)| =<br />
2 1 cosx < 1 für alle x ∈ R erfüllt ist. ➂
142 B Aufgaben<br />
b.) Bisektionsverfahren für die Standardform f (x) = 1 2<br />
sinx +x−1 = 0 wird benutzt um den<br />
Startwert einzugrenzen.<br />
c.)<br />
Startintervall wird gewählt zu [0;1], da f (x = 0) < 0 , f (x = 1) > 0.<br />
1. Schritt f (x = 0.5) = −0.26 ⇒ neues Intervall [0.5;1] ➀<br />
2. Schritt f (x = 0.75) = 0.090 ⇒ neues Intervall [0.5;0.75] ➀<br />
Das genügt um Startwert auf x = 0.7 zu setzen, da | f (x = 0.75)| < | f (x = 0.5)|.<br />
Newtonverfahren x (k+1) = x (k) 1<br />
− 2<br />
sinx (k) + x (k) − 1<br />
➁<br />
1<br />
2 cosx(k) + 1<br />
x (1) = 0.6840071567 x (2) = 0.6840366565 x (2) = 0.6840366566 ➂<br />
➀<br />
➀<br />
➁<br />
Lösung zu Aufgabe 3<br />
10 Punkte<br />
a.) Zuerst muß die DGL 2.Ordnung in ein System von 2 DGLs 1. Ordnung umgeformt werden.<br />
Substitution z 1 = y , z 2 = y ′ ⇒ z′ 1 = z 2<br />
z ′ 2 = 1 + 2z 1<br />
➁<br />
AB z 1 (x = 0) = 1 , z 2 (x = 0) = 0 ➁<br />
Startrechnung mit explizitem Euler<br />
( ) ( )<br />
z2m<br />
z m+1 = z m + h<br />
1 + 2z ➀ 1<br />
z1 =<br />
1m 3<br />
( ) 4<br />
z 2 =<br />
6 ➁<br />
b.) Rechnung mit Mehrschrittverfahren<br />
z m+3 = z m+2 + h ( )<br />
23z2m+2 − 16z 2m+1 + 5z 2m<br />
12 12 + 46z 1m+2 − 32z 1m+1 + 10z ➀<br />
1m<br />
( ) ( ) 11.5 44.04<br />
z 3 = z<br />
20.5 4 =<br />
55.75 ➁
143<br />
Herbst 2003: Fragenteil<br />
Aufgabe 1: Interpolation<br />
13 Punkte<br />
1.1 Die Interpolation soll mit periodischen kubschen Splines erfolgen:<br />
i.) Welche Bedingungen müssen diese Splines erfüllen?<br />
ii.) Für welche Funktionen eignet sich diese Interpolation besonders?<br />
iii.) Welchen Vorteil hat diese Spline-Interpolation gegenüber einer Newton-Interpolation<br />
in Teilintervallen?<br />
1.2 Sie haben mit der Lagrange- und der Newton-Interpolation die gleichen Werte (21 Paare<br />
(x i ,y i ), i = 0,1,...,20) interpoliert:<br />
i.) Erhalten Sie die gleichen Polynome?<br />
ii.) Nennen Sie einen Vorteil der Newton- gegenüber der Lagrange-Interpolation.<br />
iii.) Welchen Polynomgrad haben die Polynome?<br />
1.3 B-Splines mit dem Trägervektor X = (x 0 ,x 1 ,...,x n ) sollen die Interpolationsbedingung<br />
n ( )<br />
∑ c i B i,k ξ j = y j an den Stützstellen ξ j erfüllen:<br />
i=0<br />
i.) Welchen Zusammenhang müssen x i und ξ i erfüllen?<br />
ii.) Wieviel Koeffizienten c i werden bei einem B-Spline der Ordnung k = 5 zur Bestimmung<br />
eines Wertes der zu interpolierenden Kurve benötigt?<br />
Aufgabe 2: Lineare Gleichungssysteme<br />
10 Punkte<br />
2.1 i.) Geben Sie die Definition für eine diagonal dominante Matrix an.<br />
ii.) Geben Sie dazu ein Beispiel (3x3 Matrix) an.<br />
2.2 Für eine gegebene Matrix A berechnen zwei Personen unabhängig voneinander unterschiedliche<br />
Konditionszahlen cond(A):<br />
i.) Wie ist die Kondition einer Matrix definiert?<br />
ii.) Ist es möglich, daß beide Personen jeweils die Konditionszahl korrekt bestimmt<br />
haben?<br />
2.3 Bei sehr großen Gleichungssystemen werden gerne iterative Gleichungslöser benutzt:
144 B Aufgaben<br />
i.) Welche Vorteile haben iterative Gleichungslöser gegenüber z.B. dem Gaußschen<br />
Algorithmus? (zwei Vorteile)<br />
ii.) Stellen Sie die Idee von iterativen Gleichungslösern am Beispiel eines 2x2 Systems<br />
und des Gauß-Seidel-Verfahrens (Einzelschrittverfahren) dar.<br />
Aufgabe 3: Nichtlineare Gleichungssysteme<br />
10 Punkte<br />
3.1 Geben Sie die Fixpunkt- und Standardform einer nichtlinearen Gleichung an.<br />
3.2 Geben Sie eine kontrahierende Fixpunktform der Gleichung x − sinx = 0, x ∈ [−1;1] an.<br />
Schränken Sie notfalls den Wertebereich von x ein.<br />
3.3 Beschreiben Sie das Bisektions-Verfahren.<br />
3.4 Wann und mit welcher Ordnung konvergiert das Newton-Verfahren?<br />
Aufgabe 4: Integration und Differentiation<br />
12 Punkte<br />
4.1 Gegeben sind für eine Gaußsche Quadraturformel folgende 5 Stützstellen x i mit den Gewichten<br />
w i :<br />
x i −1.906179 −0.538469 0 0.538469 0.906179<br />
w i 0.236926 0.478628 0.568888 0.478628 0.236926<br />
i.) Welche Stützstelle ist falsch? (Begründung!)<br />
ii.) Welche Ordnung kann diese Quadraturformel maximal erreichen?<br />
iii.) Wie kann sehr einfach getestet werden ob die Integrationgewichte richtig sind?<br />
4.2 Von welchen zwei Faktoren hängt der Fehler einer Newton-Cotes Quadraturformel im<br />
wesentlichen ab?<br />
4.3 Die numerische Differentiation soll aus Stabilitätsgründen vermieden werden. Begründen<br />
Sie warum dies so ist am Beispiel einer Differentiation erster Ordnung (keine Rechnung).
145<br />
Aufgabe 5: Gewöhnliche Differentialgleichungen<br />
15 Punkte<br />
5.1 Formulieren Sie ein Anfangswertproblem 1. Ordnung.<br />
5.2 Welche Bedingungen muß dieses Anfangswertproblem erfüllen, wenn es genau eine Lösung<br />
hat?<br />
5.3 Ein Einschrittverfahren ist konsistent mit der Ordnung p:<br />
i.) Was bedeutet dies für den Fehler?<br />
ii.) Ist solch ein Verfahren auch konvergent?<br />
5.4 Es sei das 4-Schrittverfahren<br />
gegeben.<br />
y m+4 − y m+2 = h 3 (8 f m+3 − 5 f m+2 + 4 f m+1 − f m )<br />
i.) Ist dies ein explizites oder implizites Verfahren?<br />
ii.) Geben Sie die charakteristischen Polynome an?<br />
iii.) Ist dieses Verfahren nullstabil?<br />
5.5 Implizite Mehrschrittverfahren erreichen bei gleicher Schrittzahl oft eine höhere Konvergenzordnung<br />
als explizite Verfahren:<br />
i.) Welche Probleme ergeben sich beim impliziten Verfahren im Gegensatz zu den expliziten<br />
Verfahren, und wie können diese Probleme beseitigt werden?<br />
ii.) Welches Einsatzgebiet haben implizite Verfahren?<br />
Lösung zu Aufgabe 1: Interpolation<br />
13 Punkte<br />
1.1 i.)<br />
d 4 s<br />
= 0 Polynom 3. Grades ➀<br />
dx4 s ′′ (x i ) + = s ′′ (x i ) − Stetigkeit der 2. Ableitung ➀<br />
s(x i ) = y i Interpolationsbed. ➀<br />
s ′′ (x 0 ) = s ′′ (x n )<br />
s(x 0 ) = s(x n )<br />
➀<br />
➀
146 B Aufgaben<br />
ii.) Periodische Funktionen, z.B. sinx<br />
iii.) Es werden glatte Funktionen erzeugt, d.h. die Krümmung ist stetig. Bei Newton<br />
könnten Knicke an den Intervallgrenzen auftreten.<br />
➁<br />
1.2 i.) ja, da die Polynominterpolation eindeutig ist. ➀<br />
ii.) Es können mühelos weitere Stützstellen hinzugefügt werden, ohne nochmal alles<br />
neu berechnen zu müssen.<br />
iii.) Grad 20 (einen weniger als Stützstellen)<br />
1.3 i.) x i < ξ i < x i+k ➀<br />
ii.) Es werden 5 Koeffizienten benötigt (Lokalität der B-Splines).<br />
➀<br />
➀<br />
➀<br />
➀<br />
Lösung zu Aufgabe 2: Lineare Gleichungssysteme<br />
10 Punkte<br />
2.1 i.) |a ii | > n ∑<br />
ii.)<br />
j=1<br />
j≠i<br />
⎛<br />
5 0<br />
⎞<br />
1<br />
⎝2 5 0⎠<br />
0 0 1<br />
|a i j | ➀<br />
2.2 i.) cond(A) = ‖A‖‖A −1 ‖ ➀<br />
ii.) Ja, wenn unterschiedliche Normen benutzt wurden.<br />
2.3 i.) Sie lösen mit weniger Aufwand und haben manchmal weniger Rundungsfehler. ➁<br />
ii.) Ausgehend von zwei beliebigen Startwerten x (0)<br />
1(<br />
und x (0)<br />
2<br />
➀wird<br />
)<br />
nach der Vorschrift<br />
➀ a } (k+1)<br />
11x 1 +a 12 x 2 = r 1 x<br />
1<br />
=<br />
a 1<br />
11<br />
r 1 − a 12 x (k)<br />
2<br />
(<br />
)<br />
a 21 x 1 +a 22 x 2 = r 2 x (k+1)<br />
2<br />
=<br />
a 1<br />
22<br />
r 2 − a 21 x (k+1) iteriert. ➁<br />
1<br />
➀<br />
➀<br />
Lösung zu Aufgabe 3: Nichtlineare Gleichungssysteme<br />
10 Punkte<br />
3.1 Fixpunktform: x = T (x), Standardform: f (x) = 0. ➁<br />
3.2 Eine kontrahierende Fixpunktform ist x = sinx, da T ′ (x) = cosx < 1 gilt für alle x ∈<br />
[−1;1],x ≠ 0. Es muß also der Definitionsbereich eingeschränkt werden. ➂
147<br />
3.3 Bedingung f (a) f (b) < 0 mit x ∈ [a,b], danach Intervallhalbierung. Neue Intervallgrenze<br />
f ( ) (<br />
a+b<br />
2 für f (a), falls f (a) gleiches Vorzeichen hat wie f a+b<br />
)<br />
2 , sonst wird f (b) durch<br />
f ( )<br />
a+b<br />
2 ersetzt. Diese Intervallhalbierung wird solange durchgeführt, bis die Intervalllänge<br />
eine gewisse vorgegebene Größe unterschreitet. Der Mittelpunkt davon ist dann der<br />
gesuchte Fixpunkt.<br />
➂<br />
3.4 Für einen Startwert der „nahe genug“ bei der gesuchten Lösung liegt. Falls Konvergenz<br />
vorliegt, dann quadratische Ordnung.<br />
➁<br />
Lösung zu Aufgabe 4: Integration und Differentiation<br />
12 Punkte<br />
4.1 i.) x 0 = −1.906179 muß heißen x 0 = −0.906179, da die Stützstellen immer paarweise<br />
symmetrisch und innerhalb des Intervalls [−1,1] liegen.<br />
ii.) Maximal m = 2n, d.h. m max = 10<br />
iii.) Das Integral R 1<br />
−1 dx über die konstante Funktion f (x) = 1 hat den Wert Zwei. Die<br />
numerische Formel ist dann nur die Summe über die Gewichte ∑ n i=0 w i (x i ) = 2. ➂<br />
4.2 Bei einer Newton-Cotes Formel für n + 1 Stützstellen von der n + 1-ten Ableitung der zu<br />
integrierenden Funktion und von der Intervallänge.<br />
➁<br />
4.3 Der Rechenfehler geht mit der Ordnung O (h) und der Verfahrensfehler mit O ( h −1) gegen<br />
Null. Daher wird bei kleiner werdender Schrittweite der Gesamtfehler zuerst kleiner,<br />
und dann wieder größer.<br />
➂<br />
➁<br />
➁<br />
Lösung zu Aufgabe 5: Gewöhnliche Differentialgleichungen<br />
15 Punkte<br />
5.1 y ′ (x) = f (x,y) ➁, y(x = x 0 ) = y 0 ➀<br />
5.2 f (x,y) muß Lipschitz-stetig sein. ➀<br />
5.3 i.) Der lokale Fehler geht mit h p gegen Null, d.h. halbieren der Schrittweite ergibt<br />
1<br />
2 p<br />
kleineren Fehler.<br />
ii.) Nur wenn die Verfahrensfunktion Lipschitz-stetig ist.<br />
5.4 i.) explizit, da β 4 = 0 gilt. ➀<br />
ii.) ρ(ξ) = ξ 4 − ξ 2 , σ(ξ) = 8 3 ξ3 − 5 3 ξ2 + 4 3 ξ − 1 3<br />
➁<br />
iii.) ja, da ρ(ξ) = ξ 2 ( ξ 2 − 1 ) die Wurzeln ξ 1 = 0 und ξ 2,3 = ±1 besitzt, und die Wurzeln<br />
ξ 2,3 einfach sind.<br />
➀<br />
➀<br />
➂
148 B Aufgaben<br />
5.5 i.) Zur Lösung der Aufgabe müssen implizite Gleichungen gelöst werden, wenn die<br />
DGL nichtlinear ist. Dies wird umgangen durch den Einsatz eines Prädiktor-Korrektor-<br />
Verfahrens.<br />
ii.) steife DGL’s<br />
➁<br />
➀
149<br />
Herbst 2003: Rechenteil<br />
Aufgabe 1<br />
8 Punkte<br />
Gegeben sei das implizite Eulerverfahren<br />
y m+1 = y m + h f (x m+1 ,y m+1 ) .<br />
a.) Zeigen Sie, daß es die Konsitenzordnung p max = 1 besitzt!<br />
b.) Wie groß ist die Fehlerkonstante C ∗ p?<br />
Hinweis: Die Berechnung der Konsistenzordnung mit den Formeln für Mehrschrittverfahren ist<br />
kein Nachweis. Gehen Sie davon aus, daß y m = y(x m ) exakt vorliegt.<br />
Aufgabe 2<br />
10 Punkte<br />
Gegeben ist die nichtlineare Gleichung<br />
a.) Geben Sie zwei Fixpunktformen an.<br />
1<br />
2 sinx + x2 − x = 1 x ∈ R .<br />
b.) Zeigen Sie für eine dieser zwei Fixpunktformen das sie kontrahierend ist und in welchem<br />
Wertebereich dies gilt?<br />
c.) Berechnen Sie die ersten zwei Schritte des Sekanten-Verfahrens mit den Startwerten x 0 =<br />
0.7 und x 1 = 0.8.<br />
Aufgabe 3<br />
12 Punkte<br />
Gegeben ist das Zwei-Schrittverfahren<br />
y m+2 + α 1 y m+1 = h[β 0 f m + β 1 f m+1 + β 2 f m+2 ] .
150 B Aufgaben<br />
Bestimmen Sie die freien Koeffizienten α 1 ,β 0 ,β 1 und β 2 so, daß ein Verfahren entsteht das eine<br />
maximale Konsistenzordnung erreicht aber noch nullstabil ist.<br />
Hinweis: Die Koeffizienten müssen berechnet werden!<br />
Lösung zu Aufgabe 1<br />
8 Punkte<br />
Der lokale Diskretisierungsfehler ist<br />
le = y(x m+1) − y(x m )<br />
h<br />
− f (x m+1 ,y m+1 ) ➁.<br />
Es werden eine Taylor-Reihenentwicklung für y(x m+1 ) und für f (x m+1 ,y m+1 ) benötigt. Diese<br />
lauten:<br />
y(x m+1 ) = y(x m ) + h f (x m ,y(x m )) + h2<br />
2 f ′ (x m ,y(x m )) + O ( h 3) ➁<br />
f (x m+1 ,y m+1 ) = f (x m ,y(x m )) + h f ′ (x m ,y(x m )) + O ( h 2) ➁<br />
Setz man diese Entwicklungen in den lokalen Fehler le ein, so erkennt man le = h 2 f ′ + O ( h 2) .<br />
Damit ist gezeigt, daß das implizite Euler-Verfahren die Ordnung p = 1 und die Fehlerkonstante<br />
C ∗ p = 1 2 besitzt.<br />
➁<br />
Lösung zu Aufgabe 2<br />
10 Punkte<br />
a.) Die zwei Fixpunktformen lauten:<br />
x = 1 2 sinx + x2 − 1 ➀ x =<br />
Die erste ist kontrahierend, da gilt<br />
|T ′ (x)| = | 1 2 cosx + 2x| ≤ |1 2<br />
√<br />
1 + x − 1 2 sinx ➀<br />
cosx| + 2|x| < 1 ➁ für − 0.5 < x < 0.5 ➁<br />
b.) Die Formel für das Sekanten-Verfahren lautet in diesem Fall<br />
(<br />
12<br />
sinx (k) − x (k) + x (k)2 − 1)(x (k−1) − x (k))<br />
x (k+1) = x (k) − ( ➁<br />
1<br />
2 sinx (k−1) − sinx (k)) − x (k−1) + x (k) + x (k−1)2 − x (k)2<br />
Damit können die Werte x 2 = 1.725643229 und x 3 = 1.279301234 berechnet werden ➁.
151<br />
Lösung zu Aufgabe 3<br />
12 Punkte<br />
Das Verfahren hat die Parameter α 2 = 1 und α 0 = 0 gegeben. Damit berechnet sich die Konsistenzordnung<br />
zu:<br />
p = 0 :<br />
p = 1 :<br />
p = 2 :<br />
p = 3 :<br />
α 1 = −α 2 = −1 ➀<br />
β 0 + β 1 + β 2 = 1 ➀<br />
β 1 + 2β 2 = 3 ➀ 2<br />
1<br />
2 β 1 + 4 2 β 2 = 7 6 ➀<br />
Die letzten drei Gleichungen sind ein lösbares Gleichungssystem für die β’s. Diese lauten β 0 =<br />
−<br />
12 1 ,β 1 =<br />
12 8 und β 2 =<br />
12 5 ➂. Auf Grund der ersten Dahlquist-Schranke weis man, daß die<br />
Konsistenzordnung p = 3 die maximal mögliche ist ➂.<br />
Die Wurzel des charakteristischen Polynoms ist:<br />
ρ(ξ) = 1 − ξ = 0 ⇒ ξ 1 = 1<br />
welche einfach ist. Damit ist auch die Nullstabilität gezeigt ➁.