Numerische Simulation unterirdischer Versorgungsleitungen unter ...

Numerische Simulation unterirdischer Versorgungsleitungen
unter Erdbebeneinwirkung
Robert Borsutzky 1, 2 , Lutz Lehmann 1
1 Institut für Angewandte Mechanik, TU Braunschweig
2 Internationales Graduiertenkolleg 802 „Risikomanagement bei Natur- und Zivilisationsgefahren für Bauwerke
und Infrastrukturanlagen“, TU Braunschweig
1 EINLEITUNG
Unterirdische Versorgungsleitungen transportieren
Substanzen, wie Gas, flüssige Brennstoffe, Trinkoder
Abwasser, die für die Zivilisation lebenswichtig
sind und daher als Lifelines bezeichnet werden. Die
erdbebensichere Auslegung von Lifelines ist in seismisch
gefährdeten Gebieten von höchster Bedeutung
für die dort lebenden Menschen. Ein Beispiel für die
verheerenden Folgen von seismisch geschädigten
Versorgungsleitungen ist das Kobe Erdbeben, bei
dem 1995 aufgrund gebrochener Gasleitungen ganze
Stadtteile niederbrannten. Zur Vermeidung solcher
Katastrophen ist ein möglichst detailliertes Verständnis
des Verhaltens unterirdischer Versorgungsleitungen
unter Erdbebeneinwirkung notwendig.
Seismische Schädigungen unterirdischer Lifelines
können im Wesentlichen durch drei Phänomene verursacht
werden: Wellenausbreitung im Boden, permanente
Bodendeformation und aktive seismische
Verwerfung. Dieser Beitrag beschäftigt sich mit seismischer
Wellenausbreitung. Es wird ein dreidimensionales
numerisches Modell zur wirklichkeitsnahen Simulation
des Verhaltens unterirdischer Lifelines vorgestellt.
Hierbei wird nicht nur das Antwortverhalten
der Rohrleitung numerisch untersucht, sondern auch
der die Leitung umgebende Boden modelliert (Boden-
Struktur-Interaktion). Für die transiente Berechnung
wird ein hybrides Modell verwendet, in dem das mit
Finiten Elementen (FE) abgebildete Nahfeld mit der
von Wolf und Song entwickelten Scaled Boundary
Finite Element Method (SBFEM) gekoppelt wird (Wolf
et al. (1996), Wolf (2003)). Während die FE-
Modellierung eine detaillierte Simulation des Nahfeldes
mit nichtlinearem Materialverhalten ermöglicht,
wird mit der Beschreibung des linear-elastischen,
unendlichen Halbraums durch die SBFEM die Sommerfeld’sche
Abstrahlbedingung erfüllt.
Bei Berechnungen zur seismischen Boden-Struktur-
Interaktion wird zumeist die Fortpflanzung der seismischen
Wellen innerhalb des untersuchten Gebietes
aufgrund der relativ geringen Abmessungen des Gebietes
vernachlässigt. Da die hier untersuchten Schädigungen
unterirdischer Versorgungsleitungen gerade
durch Wellenausbreitungseffekte auftreten, verbietet
sich diese Vereinfachung für den vorgestellten Anwendungsfall.
In diesem Beitrag wird mit der von Bielak
et al. entwickelten Domain Reduction Method (Bielak
et al. (2003)) eine Möglichkeit der dynamischen
Lastaufbringung vorgestellt, durch die die seismische
Wellenausbreitung in ausgedehnten Gebieten simuliert
werden kann.
2 DOMAIN REDUCTION METHOD
Die Domain Reduction Method ist eine Zweischritt
Finite Elemente Methode zur Modellierung der von
Erdbeben induzierten Bodenbewegung, die von Bielak
und seinen Partnern entwickelt und verifiziert wurde
(Bielak et al. (2003), Yoshimura et al. (2003)).
In dem ersten Schritt dieser Methode wird ein Gebiet
großer Dimensionen betrachtet, welches sowohl
die Erdbebenquelle als auch die Umgebung der zu
untersuchenden Struktur enthält. Dieses Gebiet enthält
die wichtigsten geologischen Eigenschaften des
Ausbreitungspfades der seismischen Wellen, aber
weder eine detaillierte Modellierung des interessierenden
Gebietes an der Erdoberfläche noch die zu
untersuchende Struktur. Die Ausbreitung der Erdbebenwellen
wird entlang des Pfades vom Hypozentrum
bis zu dem Gebiet, in dem sich die zu analysierende
Struktur befindet, simuliert. Diese erste Simulation
kann durch verschiedene numerische Methoden erfolgen.
In einem zweiten Schritt wird das betrachtete Gebiet
auf die Umgebung der interessierenden Struktur
reduziert und mit zur Erdbebenanregung äquivalenten

Numerische Simulation unterirdischer Versorgungsleitungen unter Erdbebeneinwirkung
Ω
Kräften belastet, welche die seismische Welle in das
betrachtete Gebiet induzieren. Dieses zweite Gebiet
enthält nun die zu analysierende Struktur.
2.1.1 Theorie
+
Erdbebenquelle
p e
Γ e
Γ
Γ
Die Theorie der Domain Reduction Method ist ausführlich
in Bielak et al. (2003) erläutert. Im Folgenden
sind die wesentlichen Schritte der Methode aufgeführt.
Zunächst wird ein Gebiet großer Dimension betrachtet
(Abb. 1a), das das Gebiet, in dem sich die zu
analysierende Struktur befindet, sowie die Erdbebenerregung
in Form eines Lastvektors p
e
beinhaltet.
Wird dieses große Gebiet in einen Bereich Ω
0
, der
die die Umgebung der interessierenden Strukturen
+
beschreibt, und einen äußeren Bereich Ω aufgeteilt,
lässt sich die Bewegungsgleichung der FEM unter
Vernachlässigung von Dämpfungseinflüssen wie folgt
darstellen:
+
Ω 0
0
u b
a) Schritt I: Gebiet mit Erdbebenquelle
Struktur
Γ e
Γ
Ωˆ
+
u b
b) Schritt II: Gebiet mit Struktur
Ω
eff
p b
0
u i
u i
0
u e
w e
eff
p e
Abb. 1: Die zwei Schritte der Domain Reduction Method
Γˆ
+
Ω
⎡Mii
⎢ Ω
⎢Mbi
⎢
⎣
0
0
0
Ω
⎡K
ii
⎢ Ω
+ ⎢K
bi
⎢
⎣
0
0
0
M
Ω0
bb
K
M
Ω0
bb
Ω
ib
0
+ M
M
+
Ω
eb
K
Ω
ib
0
+ K
K
+
Ω
eb
+
Ω
bb
+
Ω
bb
M
M
0
K
K
+
Ω
be
+
Ω
ee
0
⎤⎧u&&
⎥⎪
⎥⎨u&&
⎥⎪
⎦⎩
u&&
+
Ω
be
+
Ω
ee
0
i
0
b
0
e
⎤⎧u
⎥⎪
⎥⎨u
⎥⎪
⎦⎩
u
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
0
i
0
b
0
e
⎫ ⎧ 0 ⎫
⎪ ⎪ ⎪
⎬ = ⎨ 0 ⎬.
⎪ ⎪ ⎪
⎭ ⎩pe
⎭
In Gl. (1) bezeichnet der Index i die Größen im Inneren
des Gebietes Ω
0
, b die auf dem die beiden Gebiete
trennenden Rand Γ und e die im äußeren Gebiet
Ω liegenden Größen. Da das Gebiet Ω
+
0
die zu
analysierende Struktur nicht enthält, handelt es sich
0 0
0
bei den Feldern u
i
, u
b
und u
e
um Freifeldbewegungen.
Das totale Wellenfeld u
+
e
im äußeren Gebiet Ω
unter Berücksichtigung der Interaktionswirkung der
Struktur kann durch die Summe der Freifeldbewegung
0
u
e
und einer Relativbewegung w
e
beschrieben werden:
e
e
e
(1)
u = u
0 + w . (2)
Stellt man nun analog zur Gl. (1) die Bewegungsgleichung
für das die Struktur enthaltende Modell
(Abb. 1b) dar und ersetzt unter Verwendung der umgeformten
Gl. (2) u durch w , ergibt sich:
⎡M
⎢
⎢M
⎢
⎣
0
Ω
ii
Ω
bi
⎡K
⎢
+ ⎢K
⎢
⎣
0
Ω
ii
Ω
bi
M
Ω
bb
K
M
+ M
M
Ω
bb
Ω
ib
ˆ +
Ω
eb
K
Ω
ib
ˆ +
Ω
eb
e
ˆ +
Ω
bb
+ K
K
ˆ +
Ω
bb
M
M
0
K
K
ˆ +
Ω
be
ˆ +
Ω
ee
0
ˆ +
Ω
be
ˆ +
Ω
ee
e
⎤⎧
u&&
i ⎫
⎥⎪
⎪
⎥⎨u&&
b ⎬
⎥⎪
⎪
⎦⎩
w&&
e ⎭
⎤⎧
u ⎧
i ⎫ pi
⎥⎪
⎪ ⎪
⎥⎨ub
⎬ = ⎨pb
⎥⎪
⎪ ⎪
⎦⎩
we
⎭ ⎩
pe
eff
eff
eff
⎫
⎪
⎬.
⎪
⎭
Durch Umformen lässt sich der Lastvektor der rechten
Seite der Gl. (3) wie folgt schreiben:
p
eff
⎧pi
⎪
= ⎨pb
⎪
⎩
pe
eff
eff
eff
⎫ ⎧
⎪ ⎪
⎬ = ⎨−
⎪ ⎪
⎭ ⎩
(3)
0 ⎫
ˆ + ˆ +
Ω 0 Ω 0 ⎪
Mbe
u& e
− K
be
ue
⎬.
(4)
ˆ +
0 ˆ +
Ω
Ω 0
M + ⎪
eb
u&&
b
K
eb
ub
⎭
eff
p stellt die zur Erdbebenanregung pe
äquivalenten
Belastung am Rand des interessierenden Gebietes
dar. Aus Gl. (4) ist ersichtlich, dass die effektiven Lasten
p nur von den unbekannten Verschiebungsgrö-
eff
ßen auf dem Rand Γ und einem unmittelbar an ihn
anschließenden Rand Γ
e
abhängig sind und auch nur
dort wirken, da die vorkommenden Submatrizen nur
für die dortigen Freiheitsgrade Einträge ungleich Null
besitzen.

Numerische Simulation unterirdischer Versorgungsleitungen unter Erdbebeneinwirkung
2.1.2 Anwendung
Auf den Umformungen der Gleichungen (2) bis (4)
des bekannten FE Schemas kann nun die Zweischritt
Methode aufgebaut werden.
In dem ersten Schritt (Abb. 1a) werden nach der
+
Aufteilung des Gebietes in Ω
0
und Ω die Freifeldbewegungen
u
0
0
e
und u
b
auf den Rändern Γ und Γ
e
berechnet und an den jeweiligen Knoten gespeichert.
Für diesen ersten Schritt kann jede geeignete Methode
verwendet werden, durch die die Wellenausbreitung
zwischen Erdbebenzentrum und interessierendem
Gebiet modelliert werden kann. Neben der FEM
stehen beispielsweise die Randelementmethode
(BEM) oder Green’sche Funktionen zur Auswahl.
+
Das äußere Gebiet Ω kann in dem zweiten
+
Schritt (Abb. 1b) auf ein Gebiet Ωˆ reduziert werden,
eff
da die effektiven Lasten p der Erdbebenanregung
aus Gl. (4) nur in einer Schicht um das interessierende
Gebiet wirken. Diese Kräfte werden aus den Bewegungsfeldern
u
0
0
e
und u
b
ermittelt. Daraufhin können
die totalen Bewegungsfelder u
i
, u
b
und das
relative Feld w
e
aus Gl. (3) berechnet werden, die
das Verhalten des detailliert modellierten Bodens und
der mit ihm verbundenen Struktur beschreiben.
Entsprechen sich die beiden inneren Gebiete Ω
0
und Ω aus den beiden Schritten so verschwindet die
+
Relativbewegung w
e
in dem äußeren Gebiet Ωˆ .
Fügt man hingegen eine zu untersuchende Struktur in
das Gebiet Ω ein, ist es notwendig, auf dem Rand
+
Γ durchlässige Randbedingungen in das Modell zu
implementieren, die eine ungewünschte Reflektion der
Welle in das Gebiet Ω vermeiden. Eine geeignete
Methode die Wellenabstrahlung in den unendlichen
Halbraum zu modellieren ist die Scaled Boundary
Finite Element Method.
3 SCALED BOUNDARY FINITE ELEMENT
METHOD
Die von Wolf und Song entwickelte Scaled Boundary
Finite Element Method (SBFEM) verbindet das Konzept
der geometrischen Ähnlichkeit mit der Standard
Finite Element Prozedur (Wolf et al. (1996), Wolf
(2003)).
Betrachtet wird eine wie in Abb. 2 dargestellte
Struktur mit dem sie umgebenden Boden. Sowohl die
Struktur als auch der lokale Boden werden im Nahfeld
durch gewöhnliche Finite Elemente modellierte. Das
an das Nahfeld gekoppelte Fernfeld repräsentiert den
unendlichen Halbraum und wird durch Scaled Boundary
Finite Elements abgebildet.
Struktur: Rohrleitung
Fernfeld: SBFEM
Nahfeld: FEM
3.1 Scaled Boundary Transformation
Nahfeld-Fernfeld
Grenzfläche
Abb. 2: Schematische Darstellung der Diskretisierung
und Aufteilung in Nahfeld und Fernfeld
In der SBFEM wird die Geometrie des zu analysierenden
Gebietes durch eine zweidimensionale Finite
Element Diskretisierung auf dem Rand in den lokalen
Koordinaten η und ζ und in radialer Richtung durch
den Skalierungsfaktor ξ beschrieben. Durch die Scaled
Boundary Transformation wird das Kartesischen
Koordinatensystem x , y , z in das Scaled Boundary
Koordinatensystem ξ , η , ζ überführt.
Während die Koordinatenachsen η und ζ in Umfangsrichtung
des Randes verlaufen, hat die radiale
Koordinate ξ ihren Ursprung in dem Skalierungszentum
O und nimmt auf dem durch η und ζ beschriebenen
Rand den Wert 1 an (Abb. 3).
Durch die numerische Behandlung des Gebietes in
Umfangsrichtung mit Finiten Elementen werden die
das Problem beschreibenden partiellen Differentialgleichungen
zu gewöhnlichen in radialer Richtung. Die
Koeffizienten dieser gewöhnlichen Differentialgleichungen
werden durch die FE-Näherung in Umfangsrichtung
bestimmt, woraufhin die Gleichungen analytisch
in radialer Richtung gelöst werden können.
Für ein unbegrenztes Medium zeigt die radiale Koordinate
ξ vom Rand aus ins Unendliche. Die Rand-
Skalierungzentrum
z
ξ=0
y
ζ
ξ=1
x
finite element of structure/soil interface
Finites Element der Grenzfläche
η
ξ
Abb. 3: Scaled Boundary Finite Element Koordinatensystem

Numerische Simulation unterirdischer Versorgungsleitungen unter Erdbebeneinwirkung
bedingung dort wird durch die analytische Lösung
beschrieben.
Ausgehend von den Gleichungen der linearen E-
lastizität kann mit der Methode der gewichteten Residuen
und dem Prinzip der virtuellen Arbeit eine dynamische
Steifigkeitsmatrix für das unbegrenzte Gebiet
im Frequenzbereich gewonnen werden. Für Berechnungen
im Zeitbereich muss diese Matrix durch eine
inverse Fourier-Transformation in die Einflussmatrix
∞
(acceleration unit impulse response matrix) M überführt
werden.
∞
Mit der Matrix M können die Wechselwirkungskräfte
r des unendlichen Halbraums durch ein Faltungsintegral
bestimmt werden:
3,9 m
20 m
Ω
0
p
e
r (t) =
t
∫
0
∞
M ( t − τ)
u& ( τ)
dτ.
(5)
b
Diese Wechselwirkungskräfte werden an der Grenzfläche
des durch Finite Elemente modellierten Nahfeldes
zum unendlichen linear elastischen Halbraum
aufgebracht und beschreiben dort dessen Antwortverhalten.
Sortiert man die Größen des reduzierten FE-
Gebietes Ω ˆ + ∪ Ω aus Gl. (3) so, dass die auf dem die
+
Grenzfläche darstellenden Rand Γ liegenden mit
dem Index r bezeichnet werden, erhält man die gekoppelte
Bewegungsgleichung der beiden Methoden:
⎡M
⎢
⎢M
⎢ 0
⎢
⎢⎣
0
Ω
ii
Ω
bi
⎡K
⎢
⎢K
+
⎢ 0
⎢
⎢⎣
0
Ω
ii
Ω
bi
M
Ω
bb
K
M
+ M
M
Ω
bb
Ω
ib
ˆ +
Ω
eb
0
K
Ω
ib
ˆ +
Ω
eb
ˆ +
Ω
bb
+ K
K
0
4 ANWENDUNG
ˆ +
Ω
bb
M
M
M
0
K
K
K
ˆ +
Ω
be
ˆ +
Ω
ee
ˆ +
Ω
er
0
ˆ +
Ω
be
ˆ +
Ω
ee
ˆ +
Ω
er
0 ⎤⎧
u&&
i ⎫
⎥⎪
⎪
0 ⎥
u&&
b
ˆ +
Ω ⎨ ⎬
M ⎥
⎪w
&&
re e ⎪
ˆ + ⎥
Ω
M ⎥⎪
⎪
⎦⎩w
&&
rr r ⎭
(6)
eff
0 ⎤⎧
ui
⎫ ⎧ p ⎫
i
⎥⎪
⎪ ⎪ eff ⎪
0 ⎥
ub
pb
ˆ + ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬.
Ω
K ⎥
eff
⎪w
re e ⎪ ⎪ pe
⎪
ˆ + ⎥
Ω
K ⎥⎪
⎩
⎪
⎭
⎪ eff ⎪
⎦ w
rr r ⎩p
r
+ r⎭
Mit der zuvor erläuterten Vorgehensweise soll nun
das seismische Antwortverhalten einer unterirdischen
Versorgungsleitung simuliert werden.
4.1 Simulation der Erdbebenanregung
In dem ersten Schritt der Domain Reduction Method
wird die Ausbreitung der seismischen Welle von ihrem
Entstehungsort zu dem Gebiet hin simuliert, in dem
sich die zu analysierende Struktur befindet.
Für die hier beschriebene Untersuchung wird eine
Rayleighwelle induziert. Rayleighwellen sind Oberflächenwellen,
die aus der Interaktion von Primärwellen
und der vertikalen Komponente von Scherwellen entstehen
und bei einem Erdbeben mit bis zu 70% die
Abb. 4: Randelementnetz mit Anregung und Gebiet Ω
0
meiste Energie transportieren. Sie sind deshalb auch
für unterirdische Versorgungsleitungen, die durch
seismische Wellen beansprucht werden, die häufigste
Schadenursache. Zur Simulation der durch eine impulsartige
Belastung an der Bodenoberfläche induzierten
Rayleighwelle wird die BEM verwendet.
Das in Abb. 4 dargestellte BEM-Netz besteht aus
linearen Dreieckselementen, die die Oberfläche des
als unendlicher linear-elastischer Halbraum modellierten
Bodens diskretisieren. In Abb. 4 ist das Gebiet Ω
0
eingezeichnet, in welchem sich im zweiten Schritt die
Versorgungsleitung befinden wird. Das Gebiet Ω
0
liegt so weit von dem Belastungsort entfernt, dass
sich die durch einen vertikalen Impuls erzeugte Rayleighwelle
aufbauen kann.
Als Eingangsgrößen für den zweiten Schritt der
Domain Reduction Method müssen die Bewegungsgrößen
an den Rändern Γ und Γ
e
(Abb. 5) gespeichert
werden. Da in der folgenden FE-Berechnung nur
diagonal besetzte Massenmatrizen verwendet werden,
vereinfacht sich Gl. (4) zu
eff
⎧p
⎫
i ⎧ 0 ⎫
⎪ ⎪ ⎪ ˆ +
eff eff
Ω 0⎪
p = ⎨pb
⎬ = ⎨−
K
be
ue
⎬.
(7)
⎪ ⎪ ⎪ ˆ +
eff
Ω 0 ⎪
⎩
pe
⎭ ⎩ K
eb
ub
⎭
0
Dies bedeutet, dass lediglich die Verschiebungen u
e
0
und u
b
an den Rändern ausgelesen werden müssen.
An den Knoten der Oberfläche des Gebietes Ω
0
ergeben
sich die Verschiebungen direkt aus der Randelementberechnung.
Die Verschiebungen der unterhalb
liegenden Punkte werden danach durch eine
Innenpunktauswertung bestimmt.
4.2 Detailliertes Modell
Das dynamische Verhalten des reduzierten Gebietes
wird durch ein hybrides FE-SBFEM-Modell beschrie-

Numerische Simulation unterirdischer Versorgungsleitungen unter Erdbebeneinwirkung
Knoten A
Γ
e
Γ
Ω
0
4 x 10-7 Zeit [s]
3
+
Ω
vertikale Verschiebung [m]
2
1
0
-1
-2
a) Gebiet ohne Rohrleitung
Knoten A
Γ
e
Γ
Ω
-3
Large Scale Simulation (BEM)
Reduziertes Gebiet (FEM-SBFEM)
Reduziertes Gebiet (FEM)
-4
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
Abb. 6: Vertikale Freifeldverschiebungen am Knoten A
b) Gebiet mit Rohrleitung
Abb. 5: Halbe FE-Netze der reduzierten Gebiete mit den
Rändern Γ und Γ
ben. Der Boden wird darin durch Kontinuums-, die
Rohrleitung durch Schalenelemente abgebildet. In
Abb. 5a ist das reduzierte Gebiet ohne die zu analysierende
Versorgungsleitung abgebildet. Abb. 5b zeigt
das Modell der in den Boden eingebetteten Rohrleitung.
In beiden Abbildungen sind die Ränder Γ und
Γ
e
eingetragen, an denen die aus Gl. (7) berechneten
und zur Erdbebenanregung p
e
äquivalenten Kräfte
eff
p angreifen.
4.2.1 Gebiet ohne Rohrleitung
e
Zunächst wird die Freifeldbewegung des Gebietes Ω
0
zur Verifizierung der Domain Reduction Method berechnet.
Die Graphen in Abb. 6 zeigen die vertikale
Verschiebung des Knotens A. Die Kurvenverläufe der
BEM-Berechnung und der Simulation durch das hybride
FE-SBFEM-Modell stimmen gut überein. Die Abweichungen
der beiden Verschiebungsverläufe sind
einerseits auf die unterschiedlichen Eigenschaften der
Ωˆ
+
beiden numerischen Näherungsverfahren andererseits
auf eine eventuell zu grobe Diskretisierung des
Gebietes und der Zeit zurückzuführen. Da eine feinere
Diskretisierung allerdings einen größeren numerischen
Aufwand bedeuten würde und die Verläufe für
eine Erdbebensimulation genügend gut übereinstimmen,
wird auf eine genauere und aufwendigere Berechnung
verzichtet.
In Abb. 6 ist zusätzlich der Verschiebungsverlauf
aus einer reinen FE-Simulation aufgetragen. Man
erkennt im Bereich über 0,27 s eine deutliche Abweichung
von den beiden anderen Verläufen. Diese Abweichung
resultiert aus der Reflektion der auf den
+
Rand Γ treffenden Wellen, die durch die Kopplung
mit der SBFEM vermieden wird.
4.2.2 Gebiet mit Rohrleitung
Nach der Verifizierung der Domain Reduction Method
wird die zu analysierende Versorgungsleitung, wie in
Abb. 5b dargestellt, in das numerische Modell eingefügt.
In Abb. 7 sind wie zuvor die vertikalen Verschiebungsverläufe
der reinen FE-Simulation und der hybriden
FE-SBFE-Berechnung an Punkt A zu sehen. Als
Referenz ist die mit der BEM berechnete Freifeldverschiebung
aufgetragen.
Es ist zu erkennen, dass die Verschiebungen des
Gebietes mit der Versorgungsleitung kleiner ausfallen
als die des Freifeldes, qualitativ aber ähnlich verlaufen.
Das Boden-Rohrleitung-System verhält sich also
wie erwartet steifer als der alleinige Boden. Für die
FE-Simulation ist wieder die durch Reflektionseffekte

Numerische Simulation unterirdischer Versorgungsleitungen unter Erdbebeneinwirkung
vertikale Verschiebung [m]
4 x 10-7 3
2
1
0
Zeit [s]
-1
-2
-3
Large Scale Simulation (BEM)
Reduziertes Gebiet (FEM-SBFEM)
Reduziertes Gebiet (FEM)
-4
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
Abb. 7: Vertikale Verschiebungen am Knoten A für das
Gebiet mit Rohrleitung
verursachte deutliche Zunahme der Verschiebungen
ab dem Zeitpunkt 0,27s zu sehen.
Das Verschiebungsfeld des halben Gebietes Ω
zum Zeitpunkt 0,2375 s ist in Abb. 8 dargestellt. Es
sind die durch eine ellipsenförmige Partikelbewegung
auftretenden Druck- und Zugzonen zu erkennen, welche
für eine Rayleighwelle typisch sind. Neben den
Verschiebungsverläufen werden also auch die charakteristischen
Eigenschaften der Wellen durch die äquivalenten
Kräfte p in das innere Gebiet Ω imple-
eff
mentiert.
Die Anwendung zeigt, dass die Domain Reduction
Method in Kombination mit der SBFEM die realitätsnahe
Simulation einer sich fortpflanzenden seismischen
Welle in einem Gebiet ermöglicht, welches
nicht deren kompletten Fortpflanzungspfad umfasst.
Die vorgestellte Methode ist daher besonders für die
Analyse von Strukturen wie unterirdischer Versorgungsleitungen
geeignet, die aufgrund ihrer Ausdehnung
durch Wellenausbreitungseffekte gefährdet sind.
5 ZUSAMMENFASSUNG
In diesem Beitrag ist eine Methode zur numerischen
Untersuchung von unterirdischen Versorgungsleitungen
vorgestellt. Zur Erzeugung einer seismischen
Anregung wird die Domain Reduction Method verwendet.
Die Analyse der Versorgungsleitung und des
umgebenden Bodens basiert auf einer hybriden FE-
SBFE Methode.
Berechnungen bei denen das Verhalten einer
Rohrleitung unter der Einwirkung einer Rayleighwelle
untersucht wird, zeigen dass durch die vorgestellte
Methode eine realistische seismische Wellenausbreitung
in dem betrachteten Gebiet simuliert wird.
Auf diesen Ergebnissen aufbauend sollen die an
der Oberfläche numerisch berechneten Verschiebungen
einem gemessenen Verlauf angepasst werden,
der bei einem Erdbeben aufgezeichnet wurde. Durch
diese sehr realitätsnahe Belastung wird für Bemessungen
die Zuverlässigkeit des Lastfalls Erdbeben
erhöht und die Auslegung von seismisch gefährdeten
Versorgungsleitungen sicherer.
6 LITERATUR
Bielak, J. & Loukakis, K. & Hisada, Y. & Yoshimura, C.
(2003), Domain Reduction Method for Three-Dimensional
Earthquake Modeling in Localized Regions, Part I: Theory,
Bulletin of the Seismological Society of America, 93(2), 817-
824.
Wolf, J. P. (2003), The Scaled Boundary Finite Element
Method, John Wiley & Sons Ltd, Chichester.
Wolf, J. P. & Song, C. (1996), Finite-Element Modelling of
Unbounded Media, John Wiley & Sons Ltd, Chichester.
Yoshimura, C. & Bielak, J. & Hisada, Y. & Fernandez, A.
(2003), Domain Reduction Method for Three-Dimensional
Earthquake Modeling in Localized Regions, Part II: Verification
and Applications, Bulletin of the Seismological Society
of America, 93(2), 825-840.
Abb. 8: Verschiebungsfeld des halben Gebietes Ω
(t=0,2375 s)