F - Institut für Angewandte Mechanik
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1<br />
AUFGABEN<br />
TM I<br />
INSTITUT FÜR ANGEWANDTE MECHANIK<br />
Technische Universtät Braunschweig
2<br />
Aufgabe 1.1 :<br />
In einem Koordinatensystem mit der Gittereinheit l = 1m ist ein Dreieck mit den<br />
Eckpunkten P 1 ,P 2 ,P 3 gegeben.<br />
Gesucht sind:<br />
z<br />
a) die Kantenlängen a, b, c des Dreiecks.<br />
P1<br />
P 2<br />
0000000000000000000000000000000<br />
1111111111111111111111111111111<br />
0000000000000000000000000000000<br />
1111111111111111111111111111111<br />
0000000000000000000000000000000<br />
1111111111111111111111111111111<br />
0000000000000000000000000000000<br />
1111111111111111111111111111111<br />
γ<br />
0000000000000000000000000000000<br />
1111111111111111111111111111111<br />
0000000000000000000000000000000<br />
1111111111111111111111111111111<br />
0000000000000000000000000000000<br />
1111111111111111111111111111111<br />
0000000000000000000000000000000<br />
1111111111111111111111111111111<br />
0000000000000000000000000000000<br />
1111111111111111111111111111111<br />
0000000000000000000000000000000<br />
1111111111111111111111111111111<br />
a<br />
0000000000000000000000000000000<br />
1111111111111111111111111111111<br />
0000000000000000000000000000000<br />
1111111111111111111111111111111<br />
0000000000000000000000000000000<br />
1111111111111111111111111111111<br />
y<br />
0000000000000000000000000000000<br />
1111111111111111111111111111111<br />
0000000000000000000000000000000<br />
1111111111111111111111111111111<br />
b<br />
0000000000000000000000000000000<br />
1111111111111111111111111111111<br />
0000000000000000000000000000000<br />
1111111111111111111111111111111<br />
0000000000000000000000000000000<br />
1111111111111111111111111111111<br />
0000000000000000000000000000000<br />
1111111111111111111111111111111<br />
0000000000000000000000000000000<br />
1111111111111111111111111111111<br />
0000000000000000000000000000000<br />
1111111111111111111111111111111<br />
0000000000000000000000000000000<br />
1111111111111111111111111111111<br />
0000000000000000000000000000000<br />
1111111111111111111111111111111<br />
0000000000000000000000000000000<br />
1111111111111111111111111111111<br />
0000000000000000000000000000000<br />
1111111111111111111111111111111<br />
0000000000000000000000000000000<br />
1111111111111111111111111111111<br />
0000000000000000000000000000000<br />
1111111111111111111111111111111 β<br />
0000000000000000000000000000000<br />
1111111111111111111111111111111<br />
0000000000000000000000000000000<br />
1111111111111111111111111111111<br />
0000000000000000000000000000000<br />
1111111111111111111111111111111<br />
0000000000000000000000000000000<br />
1111111111111111111111111111111<br />
α<br />
0000000000000000000000000000000<br />
1111111111111111111111111111111<br />
0000000000000000000000000000000<br />
1111111111111111111111111111111<br />
c<br />
0000000000000000000000000000000<br />
1111111111111111111111111111111<br />
x<br />
P3<br />
b) die Winkel α,β,γ des Dreiecks. (Es<br />
muß gelten: α+β+γ = 180 ◦ .)<br />
c) die Dreiecksfläche.<br />
d) die normierte Flächennormale und<br />
e) der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.<br />
Aufgabe 1.2 :<br />
Die Gittereinheit in diesem Koordinatensystem betrage a. Gegeben sind die Vektoren⃗a<br />
und ⃗ b.<br />
Gegeben: a<br />
Gesucht:<br />
a) die Koordinatenschreibweise<br />
von⃗a und⃗b.<br />
z<br />
b) das Skalarprodukt⃗a ·⃗b.<br />
C<br />
c) die Beträge |⃗a| und |⃗b|.<br />
d) der Richtungseinheitsvektor<br />
von⃗a und⃗b.<br />
a<br />
y<br />
b<br />
B<br />
e) der Winkel ϕ zwischen den<br />
beiden Vektoren.<br />
f) die Fläche des von ⃗a und ⃗ b<br />
aufgespannten Dreiecks.<br />
A<br />
x
3<br />
Aufgabe 1.3 :<br />
Gegeben seien die Vektoren<br />
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡<br />
18 10<br />
⃗a = ⎢<br />
⎣ 24 ⎥<br />
⎦ , ⃗ b = ⎢<br />
⎣ 40 ⎥<br />
⎦ , ⃗c = ⎢<br />
⎣<br />
0 80<br />
⎤ ⎡<br />
1<br />
10 ⎥<br />
⎦ , d ⃗ = ⎢<br />
⎣<br />
5<br />
0<br />
10<br />
5<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
Man berechne:<br />
a) den Ausdruck<br />
⃗f = (⃗a ·⃗b) ·( ⃗ b×(⃗c+ ⃗ d))<br />
b) den durch die Vektoren⃗a und ⃗ b eingeschlossenen Winkel ϕ.<br />
Aufgabe 1.4 :<br />
Man zerlege den Vektor⃗c, dessen Länge 5 Gittereinheiten betrage, in zwei Vektoren⃗a<br />
und⃗b, deren Richtungen parallel zu den Geraden AB und CD verlaufen sollen, so daß<br />
⃗c =⃗a+ ⃗ b gilt.<br />
a) Wie lang sind die Vektoren⃗a und⃗b?<br />
b) Wie groß ist der Winkel zwischen⃗a und⃗c?<br />
C<br />
B<br />
D<br />
A<br />
c
4<br />
Aufgabe 1.5 :<br />
Gegeben ist das ebene zentrale Kräftesystem mit den eingezeichneten Kräften F 1 , F 2 , F 3<br />
und F 4 .<br />
a) Bestimmen Sie die Resultierende ⃗R der vier Kräfte zeichnerisch und rechnerisch.<br />
b) Wie groß ist die Komponente der Resultierenden in Richtung der Geraden g − g ?<br />
g<br />
F 3<br />
F 2<br />
F 1<br />
F4<br />
g<br />
F<br />
F
5<br />
Aufgabe 2.1 :<br />
l<br />
000 111<br />
δ<br />
4r<br />
γ<br />
An einem Flaschenzug, der aus<br />
zwei Rollen (Durchmesser 4r und<br />
2r) und aus einem Seil besteht,<br />
hängt ein Schinken mit dem Gewicht<br />
G. Der Winkel γ ist gegeben.<br />
Bestimmen Sie:<br />
a) die durch das fleischfressende<br />
Monster aufzubringende<br />
Kraft.<br />
2r<br />
b) die Kraft in der Stange der<br />
Länge l.<br />
G<br />
c) den Winkel δ.<br />
Die Rollen seien reibungsfrei um<br />
ihre Mittelpunkte drehbar.<br />
Gegeben: γ = 45 o<br />
Aufgabe 2.2 :<br />
Gegeben ist ein Verband dreier Punktmassen im Schwerefeld. Das Seil wird über<br />
reibungsfrei gelagerte Rollen geführt, deren Radius vernachlässigbar klein ist.<br />
Gegeben:<br />
m 1 = m 3 = m, m 2 = √ 2m<br />
Gesucht: In Abhängigkeit von g<br />
und h:<br />
a) die statische Ruhelage w der<br />
Masse m 2 .<br />
b) die Seilkräfte und die Stabkräfte.<br />
h<br />
m<br />
1<br />
111111<br />
000000<br />
111111111<br />
000000000<br />
111111111<br />
000000000<br />
000000<br />
111111<br />
000000<br />
111111<br />
1<br />
00000<br />
00000<br />
0000 1111<br />
00000<br />
0000 1111 S<br />
S<br />
00000<br />
0000 1111<br />
000000000000000000<br />
111111111111111111 00000<br />
11111<br />
11111<br />
11111<br />
11111<br />
11111<br />
01<br />
1 2 01<br />
01<br />
m 2<br />
01<br />
000000000000000000<br />
111111111111111111 01<br />
000000000000000000<br />
111111111111111111<br />
000000000000000000<br />
111111111111111111<br />
000000000000000000<br />
111111111111111111<br />
000000000000000000<br />
111111111111111111<br />
000000000000000000<br />
111111111111111111<br />
000000000000000000<br />
111111111111111111<br />
000000000000000000<br />
111111111111111111<br />
000000000000000000<br />
111111111111111111<br />
000000000000000000<br />
111111111111111111<br />
000000000000000000<br />
111111111111111111<br />
000000000000000000<br />
111111111111111111<br />
w<br />
000000000000000000<br />
111111111111111111<br />
000000000000000000<br />
111111111111111111<br />
000000000000000000<br />
111111111111111111<br />
000000000000000000<br />
111111111111111111<br />
000000000000000000<br />
111111111111111111<br />
45 o = α<br />
000000000000000000<br />
111111111111111111<br />
F<br />
α<br />
F<br />
m<br />
2<br />
3
6<br />
Aufgabe 2.3 :<br />
y<br />
F<br />
3<br />
30<br />
o<br />
F<br />
60<br />
4<br />
F<br />
o<br />
2<br />
F<br />
45 o<br />
1<br />
F<br />
5<br />
x<br />
An einem Punkt greifen die bekannten<br />
Kräfte F 1 , F 2 und F 3 sowie die unbekannten<br />
Kräfte F 4 und F 5 an.<br />
Gegeben: F 1 = 100N,F 2 = 200N,F 3 = 300N<br />
Bestimmen Sie F 4 und F 5 so, daß die fünf<br />
Kräfte im Gleichgewicht stehen.<br />
Aufgabe 2.4 :<br />
An einem Ring A greifen die Kräfte ⃗K 1 und ⃗K 2<br />
an (s. Skizze).<br />
A H<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
A V<br />
A<br />
α<br />
β<br />
K<br />
2<br />
K<br />
1<br />
Werte: ⃗K 1 = 100N,<br />
⃗K 2 = 150N,<br />
α = 20 o<br />
β = 45 o<br />
a) Wie groß sind die Komponenten ⃗A H und<br />
⃗A V der Auflagerreaktionen?<br />
b) Wie groß (nur der Betrag) ist die Kraft,<br />
die ⃗K 1 und ⃗K 2 das Gleichgewicht hält?<br />
Man bestimme den Winkel zwischen der<br />
Gesamtauflagerreaktion und der Horizontalen.
7<br />
Aufgabe 2.5 :<br />
01<br />
01<br />
E<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
D<br />
g<br />
l 2<br />
l 01<br />
1 C B<br />
01<br />
Seil 01<br />
01<br />
0000 1111<br />
α<br />
1111 0000<br />
1111 0000<br />
00000<br />
0000 11111<br />
1111<br />
00000<br />
11111<br />
1111 0000<br />
00000<br />
11111 A<br />
00000<br />
11111 α<br />
Ein Gewicht wird auf einer ideal glatten,<br />
schiefen Ebene im Punkt A durch ein Seil<br />
festgehalten. Das Seil ist über eine kleine<br />
Rolle geführt und im Punkt B befestigt.<br />
Gegeben: G, l 2 = 3 √ 10a, α = 30 o , l 1 = 9a<br />
Gesucht: (a) Seilkraft<br />
(b) Auflagerkraft in A<br />
(c) Stabkräfte ⃗S 1 und ⃗S 2<br />
Aufgabe 2.6 :<br />
y<br />
d<br />
A<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
y<br />
b<br />
x c<br />
b<br />
α x<br />
β<br />
B<br />
G1<br />
0000 1111<br />
1111 0000<br />
C<br />
1111 0000<br />
γ<br />
D<br />
000 111<br />
000 111<br />
y c<br />
000 111<br />
111 000<br />
000 111<br />
G 111 000<br />
1111 0000<br />
G2<br />
1111 0000<br />
1111 0000<br />
An einem Seil ist an der Stelle x = b ein Faden angeknüpft, an dem das Gewicht G 1<br />
hängt. Das Seil wird über die Rolle in C geführt und am freien Ende durch das Gewicht<br />
G belastet. Die Rollen in C und D haben einen vernachlässigbar kleinen Radius.<br />
Gegeben:<br />
G, d, G 1 = 1 5 G, G 2 = 6 5 G, b = 1 3 d<br />
a) An welcher Stelle x = x c muß die Rolle C, an der das Gewicht G 2 hängt,<br />
aufgesetzt werden, damit Gleichgewicht herrscht?<br />
b) Wie groß ist dann die Durchsenkung y = y c der Rolle in C?<br />
c) Wie groß ist die Seilkraft im Bereich A - B?<br />
d) Berechne die Auflagerkraft im Punkt D.
8<br />
Aufgabe 2.7 :<br />
Zwei glatte zylindrische Scheiben mit<br />
den Einzelgewichten G werden von zwei<br />
Stäben gehalten. Die obere Scheibe stützt<br />
sich auf der am Boden liegenden Scheibe<br />
ab.<br />
Gegeben: G, r, α<br />
Gesucht: Alle auf die Scheiben<br />
wirkenden Kräfte.<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
1<br />
r<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
α<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
2<br />
r<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
00000000000000000000000000<br />
11111111111111111111111111<br />
00 11<br />
00000000000000000000000000<br />
11111111111111111111111111<br />
00000000000000000000000000<br />
11111111111111111111111111<br />
Aufgabe 2.8 :<br />
Ein einfacher Lastenaufzug gemäß der Skizze trage eine Last G = 1kN. Der Aufzug<br />
besteht aus den Stäben 1 und 2, einer Rolle mit einem vernachlässigbaren Radius und<br />
einem Seil.<br />
l<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
C<br />
Gegeben: l, G<br />
a) Wie groß ist der Betrag der Seilkraft?<br />
b) Gesucht ist die Seilkraft als Vektor dargestellt<br />
(Koordinatenschreibweise)<br />
l<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
A<br />
B<br />
2<br />
1<br />
l<br />
G<br />
- vor der Rolle, ⃗S 1<br />
- hinter der Rolle, ⃗S 2<br />
c) Wie groß sind die Stabkräfte der Stäbe<br />
1 und 2?<br />
d) Kann man notfalls einen Stab durch ein<br />
Seil ersetzen?<br />
e) Wie groß sind die Auflagerreaktionen<br />
in B?
9<br />
Aufgabe 2.9 :<br />
a<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
ϕ<br />
1<br />
2<br />
ϕ<br />
A<br />
0000 1111<br />
1111 0000<br />
G<br />
0000 1111<br />
1111 0000<br />
0000 1111<br />
1111 0000<br />
1111 0000<br />
Ein Wandkran besteht aus den gewichtslosen<br />
Stäben 1 und 2, die<br />
gelenkig miteinander verbunden<br />
und an der Wand gelagert sind.<br />
Das Seil ist an der Wand befestigt<br />
und läuft über die reibungsfrei<br />
gelagerte Rolle in A. An dem<br />
Seil hängt ein Gewicht mit der Gewichtskraft<br />
G.<br />
Hinweis: Die Rolle überträgt die<br />
Seilkräfte direkt in den Punkt A.<br />
Gegeben: a, G, ϕ = 30 o<br />
Berechnen Sie die Kräfte in den<br />
Stäben 1 und 2.<br />
Aufgabe 2.10 :<br />
An einem festen Punkt A sind sieben Seile befestigt (siehe Abbildung). Die Seile<br />
übertragen auf den Punkt Kräfte, die ein zentrales, ebenes Kräftesystem darstellen, das<br />
im Gleichgewicht sein soll.<br />
S<br />
6<br />
S<br />
60<br />
S<br />
60<br />
60<br />
000 111<br />
000 111 o<br />
S7<br />
45<br />
60<br />
1<br />
o<br />
o<br />
5<br />
o<br />
o<br />
30 o<br />
45o<br />
S<br />
2<br />
S<br />
S<br />
4<br />
3<br />
In Abhängigkeit von der Einzelkraft F sind die<br />
nicht gegebenen Seilkräfte so zu bestimmen,<br />
daß Gleichgewicht herrscht, und zwar:<br />
a) zeichnerisch.<br />
b) rechnerisch.<br />
Gegeben:<br />
|S⃗<br />
1 | = 2F: |S2 ⃗ | = F<br />
|S⃗<br />
3 | = 4F; |S4 ⃗ | =3F<br />
|S⃗<br />
5 | = 2F
10<br />
Aufgabe 2.11 :<br />
Ebene E<br />
F<br />
30 o<br />
D<br />
Die Stabkräfte S I , S II , S III<br />
sind rechnerisch nach Größe<br />
(in Abhängigkeit von ⃗ |F| =<br />
F) und in Richtung (Zug oder<br />
a<br />
C<br />
II<br />
I<br />
III<br />
B<br />
Druck) <strong>für</strong> das skizzierte System<br />
zu ermitteln.<br />
⃗F liegt in der Ebene E (siehe<br />
Skizze) und bildet mit der<br />
Horizontalen den Winkel 30 ◦ .<br />
Gegeben: Gittereinheit a<br />
a<br />
A<br />
a<br />
z<br />
x<br />
y<br />
Aufgabe 2.12 :<br />
Für das skizzierte Tragwerk, belastet durch das Gewicht G, sind die Stabkräfte zu<br />
bestimmen.<br />
Gegeben: α = 15 o<br />
β = 30 o<br />
γ = 45 o 0 00 1 11 0 0 1 1<br />
1<br />
γ<br />
2<br />
3<br />
G<br />
β<br />
α<br />
γ<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11
11<br />
Aufgabe 2.13 :<br />
Drei Stäbe (AE, BE, CE) sind im Punkt E gelenkig miteinander verbunden. Ein Seil ist<br />
mit einem Ende in D befestigt, läuft über eine Seilrolle in E und von hier über eine<br />
weitere Rolle in F. Das zweite Ende des Seiles ist in E befestigt (einfacher Flaschenzug).<br />
An der Seilrolle in F hängt ein Gewicht der Größe G.<br />
1<br />
z<br />
E<br />
Seil<br />
F<br />
G<br />
2<br />
B C<br />
3<br />
00 11 00 11<br />
0 00 1 11 00 11<br />
00 11 00 11<br />
00 11 00 11<br />
y<br />
D<br />
Gesucht sind die Stabkräfte.<br />
Die Koordinaten des Punktes E betragen<br />
(0, -a, 3a).<br />
⎡ ⎤<br />
0<br />
⃗G = G⎢<br />
⎣ 0 ⎥<br />
⎦<br />
−1<br />
01<br />
01<br />
01<br />
A<br />
00 11 00 11<br />
00 11 00 11<br />
00 11 00 11<br />
x<br />
Aufgabe 2.14 :<br />
Das skizzierte Tragwerk ist durch die Kraft F, die in der Ebene ABCD liegt, belastet.<br />
Bestimmen Sie die sechs Stabkräfte!<br />
Gegeben: α = 45 o 5<br />
F<br />
α<br />
A<br />
3<br />
B<br />
1<br />
4 6<br />
E<br />
00 11<br />
00 110<br />
1<br />
00 110<br />
1<br />
00 110<br />
1<br />
α<br />
C<br />
2<br />
α<br />
K<br />
00 11<br />
00 11 00 11<br />
00 11 00 11<br />
00 11 00 11<br />
F<br />
01<br />
000 1110<br />
1<br />
000 1110<br />
1<br />
000 1110<br />
1<br />
α<br />
D<br />
α<br />
α<br />
H<br />
000 1110<br />
1<br />
000 1110<br />
1<br />
G<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11
12<br />
Aufgabe 2.15 :<br />
00 11<br />
1<br />
a<br />
0000<br />
0000 1111<br />
1111 a<br />
0000 111100<br />
0000 1111 2<br />
0000 1111<br />
0000 1111<br />
0000 1111 a<br />
0000 1111<br />
0000 1111<br />
0000 1111 a<br />
0000 1111<br />
0000 1111<br />
0000 1111<br />
00 11<br />
00 11<br />
I<br />
3<br />
a<br />
α<br />
G 1<br />
3 a<br />
β<br />
G<br />
000 111<br />
4<br />
000 111 00 11<br />
000 111 00 11<br />
__ a 5<br />
000 111 a<br />
2000<br />
111<br />
000 111<br />
111000<br />
000<br />
000 111<br />
111<br />
__ a<br />
000 111 2<br />
000 111<br />
00 11<br />
Das Gewicht G 1 ist an einem Ring befestigt, der durch zwei Seile (undehnbar,<br />
gewichtslos) gehalten wird. Das eine Seil ist an der Spitze des Dreibeins I befestigt. Das<br />
andere Seil ist über eine Rolle (Radius vernachlässigbar klein) an der Spitze des<br />
Dreibeins II geführt und wird durch ein zweites Gewicht G belastet.<br />
Gegeben: G, a, α = 45 o<br />
a) Wie groß ist der Winkel β?<br />
b) Wie groß muß das Gewicht G 1 sein, damit α = 45 o wird?<br />
c) Wie groß sind die Stabkräfte in den Stäben 1-6?<br />
II<br />
6<br />
z<br />
y<br />
x<br />
Aufgabe 2.16 :<br />
2a<br />
a<br />
00 11<br />
00 110<br />
1<br />
00 110<br />
1<br />
a<br />
00 11<br />
00 110<br />
1<br />
00 110<br />
1<br />
x<br />
y<br />
1<br />
00<br />
00 11<br />
11 01<br />
2 2<br />
a 01<br />
01<br />
__a<br />
3<br />
z<br />
F<br />
2<br />
F<br />
1<br />
Der skizzierte räumliche Ausleger<br />
(Dreibein) aus den Stäben<br />
1, 2 und 3 ist durch zwei<br />
Kräfte ⃗F 1 und ⃗F 2 belastet. ⃗F 1<br />
verläuft parallel zur y-Achse,<br />
⃗F 2 zur x-Achse.<br />
Bestimmen Sie die Stabkräfte<br />
S 1 , S 2 , S 3 und geben Sie<br />
an, ob es sich um Zug- oder<br />
Druckstäbe handelt.<br />
Gegeben: ⃗ |F 1 | = F<br />
⃗ |F 2 | = 2F
13<br />
Aufgabe 2.17 :<br />
z<br />
0000 1111<br />
0000 1111<br />
0000 1111<br />
0000 1111<br />
1<br />
c<br />
1 2 3<br />
A<br />
a<br />
F<br />
y<br />
D F 2<br />
B<br />
0000 1111<br />
0000 1111<br />
0000 1111<br />
0000 1111<br />
b<br />
x<br />
C<br />
0000 1111<br />
0000 1111<br />
0000 1111<br />
Das skizzierte Dreibein, das aus den Stäben<br />
S 1 , S 2 und S 3 besteht, wird durch<br />
zwei Kräfte ⃗F 1 und ⃗F 2 belastet. ⃗F 1 ist parallel<br />
zur z-Achse und hat den Betrag F 1 ;<br />
⃗F 2 ist parallel zur x-Achse und hat den<br />
Betrag F 2 .<br />
Gegeben:<br />
F 1 = 100N, F 2 = 150N, a = 1,5m,<br />
b = c = 2m<br />
Wie groß sind die Stabkräfte S 1 ,S 2 und<br />
S 3 ?<br />
Aufgabe 3.1 :<br />
Ein durch Stäbe gelagerter Starrkörper wird durch vier Kräfte belastet.<br />
Bestimmen Sie die Stabkräfte.<br />
Gegeben: F, a<br />
F 1 = 2 √ 2F<br />
F 2 = 4F<br />
F 3 = 1 2√<br />
2F<br />
F 4 = √ 1 2<br />
F<br />
F<br />
3<br />
F<br />
4<br />
45 o<br />
45 o 2 2<br />
45 o<br />
00 11A<br />
00 11<br />
F<br />
2<br />
00000000000000<br />
11111111111111<br />
00000000000000<br />
11111111111111<br />
00000000000000<br />
11111111111111<br />
00000000000000<br />
11111111111111<br />
00000000000000<br />
11111111111111<br />
00000000000000<br />
11111111111111<br />
00000000000000<br />
11111111111111<br />
00000000000000<br />
11111111111111<br />
a<br />
a<br />
F<br />
1<br />
C<br />
2<br />
a<br />
45 o<br />
01<br />
01<br />
B<br />
000<br />
000 111<br />
111
14<br />
Aufgabe 3.2 :<br />
6 F<br />
An einem Quader mit der<br />
2<br />
3<br />
1<br />
5<br />
z<br />
y<br />
x<br />
Kantenlänge a greifen zwei<br />
Kräfte vom Betrag F an. Gegeben<br />
sind die Wirkungslinien<br />
von sechs weiteren Kräften<br />
(F 1 bis F 6 ).<br />
F<br />
4<br />
Bestimmen Sie die Kräfte F 1<br />
bis F 6 so, daß Gleichgewicht<br />
herrscht.<br />
Aufgabe 3.3 :<br />
Z<br />
a<br />
F<br />
1<br />
r<br />
A<br />
2<br />
Ein Schlüssel 2 greift in den zylindrischen Körper 1 an der Stelle Z mit einem Zapfen<br />
ein. Der Schlüssel stützt sich an der Stelle A reibungsfrei ab und wird durch eine Kraft F<br />
belastet.<br />
Wie groß sind die Zwischenreaktionen in A und Z ?
15<br />
Aufgabe 3.4 :<br />
Eine quadratische Platte sei<br />
durch 3 Pendelstützen senkrecht<br />
zur Erdoberfläche befestigt.<br />
Die Platte habe das Gewicht<br />
G.<br />
Wie groß sind die Kräfte in<br />
den Pendelstützen?<br />
Gegeben: G, a<br />
000 111<br />
000 111<br />
1<br />
A<br />
000000<br />
11111100000<br />
000000<br />
111111<br />
000000<br />
111111<br />
000000<br />
111111<br />
000000<br />
111111<br />
000000<br />
000000<br />
000000<br />
000000<br />
111111<br />
111111<br />
111111<br />
111111<br />
00<br />
a<br />
00<br />
000000<br />
111111<br />
00 11G<br />
000000<br />
111111<br />
00 11<br />
000000<br />
111111<br />
00 11<br />
00000<br />
11111 D 000000<br />
111111<br />
00 11<br />
C 00 11<br />
00000<br />
11111<br />
00000<br />
11111<br />
00000<br />
11111<br />
000 111a<br />
000 111<br />
00000<br />
11111 3<br />
00000<br />
11111<br />
00000<br />
11111<br />
00000<br />
11111 45 o<br />
00000<br />
11111<br />
000 111 000 111<br />
000 111<br />
B<br />
2<br />
01<br />
01<br />
01<br />
Aufgabe 3.5 :<br />
Ein Zweirad soll mit der Kraft F über eine Stufe gezogen werden. Die beiden Achsen<br />
des Gefährts sind mit jeweils 2G belastet.<br />
Gegeben: G, r<br />
Wie groß muß die Kraft F sein, damit das hintere Rad gerade vom Boden abhebt ?<br />
F<br />
1<br />
r<br />
000000000000000000000000000000000<br />
111111111111111111111111111111111<br />
000000000000000000000000000000000<br />
000000000000000000000000000000000<br />
000000000000000000000000000000000<br />
111111111111111111111111111111111<br />
111111111111111111111111111111111<br />
111111111111111111111111111111111<br />
A<br />
B<br />
r<br />
000000000000000000000000000000000<br />
111111111111111111111111111111111<br />
000000000000000000000000000000000<br />
111111111111111111111111111111111<br />
000000000000000000000000000000000<br />
111111111111111111111111111111111<br />
C<br />
4 r<br />
2<br />
r
16<br />
Aufgabe 3.6 :<br />
z<br />
y<br />
x<br />
F4<br />
F2<br />
F 1<br />
F<br />
3<br />
Gegeben ist die folgende AKG (Allgemeine<br />
Kräftegruppe) bestehend aus vier<br />
parallelen Kräften.<br />
F 1 = F<br />
F 2 = 2F<br />
F 3 = 3F<br />
F 4 = F<br />
Berechnen Sie GröSSe und Lage der Resultierenden<br />
dieser Kräftegruppe in Abhängikeit<br />
der Gitterweite a.<br />
Aufgabe 4.1 :<br />
q<br />
A<br />
l<br />
B<br />
Bestimmen Sie alle Auflagerreaktionen!<br />
Aufgabe 4.2 :<br />
A<br />
53,13°<br />
3a<br />
10F<br />
2a<br />
B<br />
Bestimmen Sie alle Auflagerreaktionen!<br />
Aufgabe 4.3 :<br />
6F<br />
A<br />
3a<br />
B<br />
a<br />
Bestimmen Sie alle Auflagerreaktionen!
17<br />
Aufgabe 4.4 :<br />
q<br />
A<br />
8a<br />
B<br />
4a<br />
Bestimmen Sie alle Auflagerreaktionen!<br />
Aufgabe 4.5 :<br />
30F<br />
B<br />
8a<br />
Bestimmen Sie alle Auflagerreaktionen!<br />
A<br />
a<br />
5a<br />
Aufgabe 4.6 :<br />
F<br />
3a<br />
Bestimmen Sie alle Auflagerreaktionen!<br />
A<br />
2a<br />
Aufgabe 4.7 :<br />
10 − a<br />
F<br />
20F<br />
B<br />
3a<br />
Bestimmen Sie alle Auflagerreaktionen!<br />
A<br />
4a<br />
6a<br />
2a
18<br />
Aufgabe 4.8 :<br />
2F<br />
45° 2 2F<br />
A<br />
B<br />
Bestimmen Sie alle Auflagerreaktionen!<br />
3a<br />
4a<br />
3a<br />
Aufgabe 4.9 :<br />
10F<br />
a<br />
A<br />
B<br />
Bestimmen Sie alle Auflagerreaktionen!<br />
2a<br />
3a<br />
Aufgabe 4.10 :<br />
F<br />
2a<br />
F<br />
a<br />
C<br />
a<br />
2a<br />
00 11<br />
A<br />
B<br />
000 111<br />
000 111<br />
Bei dem skizzierten, aus zwei Balken mit biegesteifen Ecken bestehenden System sind<br />
die Auflagerreaktionen in den Punkten A und B zu bestimmen.
19<br />
Aufgabe 4.11 :<br />
F<br />
C<br />
D<br />
A<br />
G<br />
B<br />
F<br />
4 a a 2 a a<br />
Zeichnen Sie <strong>für</strong> alle vier Teilkörper der Schere die entsprechenden Freikörperbilder und<br />
tragen Sie die auftretenden Kräfte ein. Bestimmen Sie die am Punkt G auftretende<br />
Ausgabekraft <strong>für</strong> eine gegebene Kraft F!<br />
Aufgabe 4.12 :<br />
01<br />
0000 1111 A D F e F e<br />
0000 1111<br />
0000 1111<br />
0000 1111<br />
E<br />
0000 111101<br />
01<br />
0000 1111<br />
c<br />
0000 111101<br />
01<br />
0000 1111<br />
B H K<br />
0000 1111<br />
0000 1111<br />
0000 1111 0000000000000000000<br />
1111111111111111111<br />
0000 1111<br />
d<br />
a<br />
b<br />
Eine symmetrische, durch zwei eingeprägte Kräfte belastete Vorderachse eines<br />
Kraftwagens ist oben dargestellt.<br />
Bei Vernachlässigung von Eigengewicht der Achsteile und Räder sind die inneren Kräfte<br />
an den Punkten A, B, D, E, H und K des Systems zu ermitteln.<br />
a = 0,24m b = 0,36m<br />
Gegeben:<br />
F e = 2500N<br />
c = 0,32m d = 0,15m
20<br />
Aufgabe 4.13 :<br />
C<br />
F<br />
b<br />
c<br />
Das Tragwerk (s. Skizze) ist durch eine<br />
Kraft ⃗F belastet. Bestimmen Sie<br />
a) die Auflagerkräfte,<br />
D<br />
E<br />
d<br />
b) die Stabkraft S DE ,<br />
c) die Gelenkkräfte C x ,C y !<br />
A<br />
000 111<br />
a<br />
a<br />
B<br />
00 11<br />
00 11<br />
Gegeben: b = 1 4 h c = 1 4 h d = 1 2 h<br />
Aufgabe 4.14 :<br />
6 a<br />
a<br />
2 a<br />
S<br />
2 a<br />
00000<br />
11111<br />
00000<br />
11111<br />
00000<br />
11111<br />
00000<br />
11111<br />
00000<br />
11111<br />
00000<br />
11111<br />
00000<br />
11111<br />
00000<br />
11111<br />
00000<br />
11111<br />
00000<br />
11111<br />
00000<br />
11111<br />
00000<br />
11111<br />
00000<br />
11111<br />
00000<br />
11111<br />
00000<br />
11111<br />
00000<br />
11111<br />
00000<br />
11111<br />
00000<br />
11111<br />
00000<br />
11111<br />
00000<br />
11111<br />
00000<br />
11111<br />
00000<br />
11111<br />
00000<br />
11111<br />
00000<br />
11111<br />
A<br />
B<br />
6 a<br />
E<br />
6 a<br />
C<br />
D<br />
000000<br />
111111<br />
000000<br />
111111<br />
000000<br />
111111<br />
000000<br />
111111<br />
000000<br />
111111<br />
000000<br />
111111<br />
000000<br />
111111<br />
000000<br />
111111<br />
000000<br />
111111<br />
000000<br />
111111<br />
000000<br />
111111<br />
000000<br />
111111<br />
000000<br />
111111<br />
000000<br />
111111<br />
000000<br />
111111<br />
000000<br />
111111<br />
000000<br />
111111<br />
000000<br />
111111<br />
000000<br />
111111<br />
000000<br />
111111<br />
000000<br />
111111<br />
000000<br />
111111<br />
000000<br />
111111<br />
000000<br />
111111<br />
000000<br />
111111<br />
000000<br />
111111<br />
000000<br />
111111<br />
Ein LKW mit dem Gesamtgewicht G ( Schwerpunkt S ) steht in der gezeichneten Lage<br />
auf einer Brücke, die in der Mitte durch das Rollenlager E geteilt ist.<br />
Bestimmen Sie alle Auf- und Zwischenlagerreaktionen in den Punkten A, B, C, D und E.<br />
Gegeben:<br />
G, a
21<br />
Aufgabe 4.15 :<br />
Der skizzierte Rahmen wird durch sein Eigengewicht belastet. Das Profil ist konstant, so<br />
daß der Rahmen I das Gewicht 3G und der Rahmen II das Gewicht G besitzt.<br />
Berechnen Sie die Auflagerreaktionen.<br />
a<br />
I<br />
2a<br />
D<br />
a<br />
II<br />
00 11<br />
00 110<br />
1<br />
01<br />
B<br />
A<br />
01<br />
00 11<br />
Aufgabe 4.16 :<br />
Eine quadratische Scheibe wird durch drei Stäbe statisch bestimmt gestützt. Die<br />
Belastung besteht aus sieben Einzelkräften. Bestimmen Sie die Auflagerreaktionen!<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
F 01<br />
C<br />
01<br />
00000 11111<br />
a 00000 11111<br />
F<br />
00000 11111<br />
a<br />
F<br />
00000 11111<br />
00000 11111<br />
a<br />
F 00000 11111<br />
00000 11111<br />
a<br />
F 00000 11111<br />
00000 11111<br />
a<br />
000 111 F 00000 11111<br />
01<br />
11100000<br />
11111<br />
01<br />
000 111 0<br />
000 111 0<br />
000 111 01<br />
1<br />
1<br />
A 45 o<br />
B<br />
000 111 00 11<br />
2F
22<br />
Aufgabe 4.17 :<br />
Ein starrer Rahmen ABCD wird belastet durch ein im Bereich BC angreifendes<br />
konstantes Streckenmoment und eine im Bereich CD angreifende parabolische<br />
Streckenlast mit dem Scheitelwert q.<br />
Berechnen Sie die Auflagerreaktionen!<br />
Gegeben: m = 3qa, qa = 100N, a = 200cm<br />
D<br />
a<br />
a<br />
00 11 A B 01<br />
C<br />
01<br />
00 11<br />
000 111<br />
00 11o<br />
45<br />
m<br />
q a<br />
Aufgabe 4.18 :<br />
a<br />
00000 11111 01<br />
000 111<br />
q<br />
01<br />
A<br />
0000000<br />
1111111<br />
01<br />
0000000<br />
1111111<br />
01<br />
01<br />
0000000<br />
1111111 01<br />
01<br />
x<br />
01<br />
2a<br />
B C<br />
a<br />
a a<br />
D<br />
000 111<br />
00 11<br />
00 11<br />
Ein Zug der Länge a (symbolisiert durch die Streckenlast q) befährt die Brücke ABC der<br />
Länge 3a. Die Koordinate x soll vom Auflager A bis zur Spitze des Zuges zählen.<br />
Gesucht ist die Stabkraft des Stabes BD <strong>für</strong> die Werte 0 ≤ x ≤ 3a, d.h. bis die Spitze des<br />
Zuges in C angekommen ist. Diese Stabkraft ist in Abhängigkeit von x aufzutragen<br />
(Kurvenform, charakteristische Werte).
23<br />
Aufgabe 4.19 :<br />
Eine Leiter stützt sich an drei Punkten A, B und C mit reibungsfrei drehbaren Rädern auf<br />
zwei parallele horizontale Schienen ab. Das Rad C kann nur Kräfte in der horizontalen<br />
Richtung aufnehmen, während die unteren Räder auch seitlich geführt sind.<br />
Die Resultierende ⃗G L des Leitereigengewichtes<br />
hat den in der Skizze<br />
angegebenen Angriffspunkt. Auf der Leiter<br />
steht eine Person mit einem Gewicht<br />
von G p = 800N, mit dem Angriffspunkt<br />
⎡ ⎤<br />
−0,8<br />
⃗r p = ⎢<br />
⎣ 0,7 ⎥<br />
⎦ m<br />
2,2<br />
a) Wie groß sind die von den Schienen<br />
auf die Räder ausgeübten<br />
Reaktionskräfte ?<br />
b) Wie weit darf sich die Person<br />
maximal seitlich herüberbeugen<br />
(Veränderung von r py ), wenn die<br />
Leiter nicht umfallen soll ?<br />
x<br />
A<br />
z<br />
a<br />
G<br />
L<br />
B<br />
e<br />
C<br />
g<br />
d<br />
c<br />
b<br />
y<br />
Gegeben: G L = 260N; a = 1,0m;<br />
Aufgabe 4.20 :<br />
d = 3,0m;<br />
b = 1,4m;<br />
e = 0,5m;<br />
c = 0,5m<br />
g = 1,2m<br />
F<br />
a<br />
a<br />
01<br />
01<br />
B<br />
A<br />
a<br />
TS I<br />
01<br />
01<br />
identische<br />
Auflager<br />
a<br />
TS II<br />
a<br />
z<br />
y<br />
C<br />
010101<br />
a<br />
x<br />
D<br />
a<br />
Für das skizzierte räumliche<br />
System sind die Auflagerreaktionen<br />
gesucht.<br />
Hinweis: Nehmen Sie die gesuchten<br />
Auflagerreaktionen<br />
in positiver Richtung des gegebenen<br />
Koordinatensystems<br />
an.
24<br />
Aufgabe 4.21 :<br />
Für den skizzierten Rahmenverband ermittle man die Stabkraft S AF und die<br />
Auflagerreaktion in den Punkten B und E.<br />
z<br />
E<br />
Hinweis: Das Lager in<br />
C ist eine Schiebehülse<br />
mit Kugelgelenk.<br />
F<br />
a<br />
A<br />
B<br />
000000<br />
111111<br />
000000<br />
111111<br />
000000<br />
111111<br />
01<br />
000000<br />
111111<br />
a<br />
a<br />
2 a<br />
y<br />
C<br />
a<br />
M<br />
D<br />
F<br />
x<br />
Gegeben:<br />
⎡ ⎤<br />
1<br />
⃗F = ⎢<br />
⎣ 0 ⎥<br />
⎦ F,<br />
2<br />
⎡ ⎤<br />
0<br />
⃗M = ⎢<br />
⎣ 6 ⎥<br />
⎦ Fa<br />
2<br />
Aufgabe 4.22 :<br />
Der skizzierte Rahmen ist sechswertig gestützt und in der angegebenen Weise belastet.<br />
Gesucht sind sämtliche Auflagerreaktionen.<br />
0000000<br />
1111111<br />
00 11<br />
0000000<br />
1111111<br />
00 11<br />
0000000<br />
1111111<br />
z<br />
0000000<br />
1111111<br />
0000000<br />
111111101<br />
D<br />
000000<br />
111111<br />
00 11<br />
0000000<br />
1111111<br />
4a<br />
01<br />
01<br />
000000<br />
111111 G<br />
00 11 01<br />
00 11 01<br />
000000<br />
111111<br />
h<br />
000000<br />
111111<br />
000000<br />
111111<br />
000000<br />
111111<br />
1100<br />
01<br />
00 11<br />
a<br />
000 111 B<br />
01<br />
000 111 0000 1111<br />
01<br />
01<br />
00 11<br />
0000 1111 00 11<br />
00 11<br />
F<br />
01<br />
01<br />
2a 00 11<br />
00 11<br />
0000 1111 00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
000<br />
000<br />
000 111 A<br />
111<br />
111 01<br />
01<br />
Q 1<br />
Q 2<br />
a<br />
00 11<br />
000 111<br />
000 111<br />
000 111<br />
000 111<br />
01<br />
C<br />
01<br />
01<br />
a<br />
01<br />
01 a<br />
01<br />
00 110<br />
1 E<br />
01<br />
01<br />
x<br />
y<br />
⎡ ⎤<br />
1<br />
⃗Q 1 = q⎢<br />
⎣ 0 ⎥<br />
⎦<br />
0<br />
⎡ ⎤<br />
0<br />
⃗Q 2 = q⎢<br />
⎣ 0 ⎥<br />
⎦<br />
−1
25<br />
Aufgabe 4.23 :<br />
e<br />
G<br />
B<br />
C<br />
a<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
__ a<br />
2<br />
A<br />
a<br />
00000000<br />
11111111<br />
00000000<br />
11111111<br />
00000000<br />
11111111<br />
I<br />
000000<br />
11111100<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
a<br />
a<br />
D0<br />
1<br />
01<br />
01<br />
Das skizzierte räumliche Tragwerk werde in Richtung⃗e G durch das Gewicht der Platte I<br />
belastet.<br />
a<br />
a<br />
z<br />
y<br />
x<br />
Gegeben:<br />
Gesucht:<br />
Gewicht G der Platte I, a<br />
Auflagerreaktionen in A, B, C und D
26<br />
Aufgabe 4.24 :<br />
Ein durch eine Einzelkraft<br />
und ein Einzelmoment<br />
belasteter<br />
Rahmen ist in A durch<br />
eine in Richtung AF<br />
verschiebliche<br />
Hülse<br />
und in C durch zwei<br />
Stäbe gestützt. Das<br />
Einzelmoment<br />
greift<br />
im Bereich BC an. Die<br />
Gitterweite beträgt a.<br />
Man ermittele die<br />
z<br />
000 111<br />
000 111<br />
A<br />
Auflagerreaktionen.<br />
F<br />
⎡ ⎤<br />
E<br />
Gegeben: 1<br />
01<br />
00<br />
⃗F = ⎢<br />
⎣ −1 ⎥<br />
⎦ F<br />
01<br />
00 11<br />
01<br />
−2<br />
⎡ ⎤<br />
1<br />
⃗M = ⎢<br />
⎣ 1 ⎥<br />
⎦ Fa<br />
−1<br />
F<br />
B<br />
y<br />
11<br />
x<br />
M<br />
C<br />
D<br />
00<br />
00 11<br />
11 01<br />
01<br />
01<br />
Aufgabe 5.1 :<br />
In einem Fachwerk bilden die<br />
an einem Knotenpunkt angreifenden<br />
Kräfte immer ein<br />
zentrales Kräftesystem, das<br />
im Gleichgewicht ist. Das<br />
skizzierte Fachwerk wird belastet<br />
durch die Kräfte F 1 =<br />
15kN, F 2 = 24kN:<br />
A<br />
01<br />
F<br />
1<br />
4<br />
1 3<br />
2<br />
2m<br />
2m<br />
F<br />
2<br />
5<br />
6<br />
7<br />
2m<br />
B<br />
00 11<br />
00 11<br />
1,5m<br />
Ermitteln Sie die Kräfte in den Stäben 1 bis 4 des Fachwerkes!
27<br />
Aufgabe 5.2 :<br />
Die Knotenpunktlasten des Dachbinders betragen F = 10kN.<br />
Ermitteln Sie die Stabkräfte <strong>für</strong> die Stäbe 1, 2, 3 und 6 des Fachwerkes.<br />
1,5m<br />
F<br />
F<br />
F<br />
2m<br />
__ F<br />
2<br />
2 3<br />
F<br />
6<br />
5<br />
8<br />
7<br />
9<br />
10<br />
11<br />
13<br />
12<br />
F<br />
15<br />
16<br />
__ F<br />
2<br />
1<br />
4<br />
00 11 00 11<br />
14<br />
17<br />
1,5m<br />
6m 1,5m<br />
Aufgabe 5.3 :<br />
Der Tragarm eines Freileitungsmastes nimmt drei Kabellasten von je F = 10kN auf.<br />
Ermitteln Sie bitte die Stabkräfte 1 bis 6. Achten Sie dabei besonders auf Stab 3.<br />
10<br />
1m<br />
9<br />
7<br />
6<br />
5<br />
3<br />
2<br />
8<br />
F<br />
4<br />
F<br />
1<br />
F<br />
1,2m 1,2m 1,2m
28<br />
Aufgabe 5.4 :<br />
Ein Fachwerk setzt sich gemäß der Skizze aus zwei im Knoten A miteinander gelenkig<br />
verbundenen Teilfachwerken I und II zusammen. Ermitteln Sie in Abhängigkeit von F:<br />
a) Die Auflagerreaktionen.<br />
b) Die Stabkräfte 9, 10 und 11 durch Führen eines Ritterschen Schnitts.<br />
4<br />
A<br />
7<br />
6F<br />
11<br />
2F<br />
1<br />
I<br />
3<br />
5 6<br />
8<br />
II<br />
10 12<br />
2a<br />
B<br />
000 111<br />
000 111<br />
a<br />
2<br />
a<br />
C<br />
00 11 00 11<br />
a a a a a<br />
9<br />
D<br />
Gegeben: F, a<br />
Aufgabe 5.5 :<br />
Ein ebenes Fachwerk ist in den Punkten A und B statisch bestimmt gestützt und wird<br />
durch drei parallele Einzelkräfte belastet.<br />
Gegeben: F, a<br />
Bestimmen Sie:<br />
a) Die Auflagerkräfte.<br />
b) Die Stabkräfte 6, 7 und 8 mit Hilfe des Ritterschen Schnittes.<br />
5F<br />
4<br />
8<br />
3F<br />
A<br />
1<br />
o<br />
60<br />
000 111<br />
2<br />
3<br />
o<br />
60<br />
5<br />
6<br />
7<br />
B<br />
00 11<br />
00 11<br />
9 11<br />
10<br />
a a a<br />
8F
29<br />
Aufgabe 5.6 :<br />
Für den skizzierten Dreigelenkbogen ermittele man:<br />
a) Die Auflagerreaktionen.<br />
b) Die Stabkräfte 1, 2 und 3 nach der Methode des Ritterschen Schnittes.<br />
45<br />
o<br />
2F<br />
a<br />
1<br />
a<br />
a<br />
2F<br />
Gegeben: F, a<br />
a<br />
a<br />
2<br />
C<br />
3<br />
F<br />
B<br />
a<br />
000 111<br />
000 111<br />
000 111<br />
A<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
Aufgabe 5.7 :<br />
a<br />
4a<br />
F<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
x<br />
5<br />
x<br />
6<br />
x<br />
9<br />
x<br />
7<br />
8 10 x<br />
12 13<br />
a<br />
a) Begründen Sie die statische<br />
Bestimmtheit des ebenen<br />
Fachwerkes.<br />
b) Bestimmen Sie die Stabkräfte<br />
1 und 2.<br />
c) Ermitteln Sie die Stabkräfte<br />
der angekreuzten Stäbe mit<br />
4a<br />
11<br />
14<br />
15<br />
16<br />
Hilfe von Ritterschen Schnitten<br />
und geben Sie an, ob die<br />
00000000<br />
11111111<br />
00000000<br />
11111111<br />
Stäbe auf Zug oder Druck beansprucht<br />
werden.<br />
2a 2a 2a 2a<br />
Gegeben: a, F
30<br />
Aufgabe 5.8 :<br />
F<br />
α<br />
2a<br />
8<br />
5 6 7<br />
a<br />
Für das gegebene Fachwerk<br />
sind sämtliche Stabkräfte in<br />
Abhängigkeit von F und α zu<br />
berechnen.<br />
4<br />
1 2<br />
3<br />
a<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
Aufgabe 5.9 :<br />
Das skizzierte Fachwerk ist durch die Kraft F belastet. Die vier Stabkräfte sind<br />
rechnerisch zu bestimmen.<br />
Gegeben: F, a<br />
2a a<br />
00 11<br />
00 11<br />
4<br />
2a<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
y<br />
2<br />
1<br />
3<br />
2a<br />
x<br />
F
31<br />
Aufgabe 5.10 :<br />
Ein Gewicht hängt an einem Seil, das im Punkt A über eine Seilrolle geführt und im<br />
Punkt B befestigt ist.<br />
Bestimmen Sie die vier Stabkräfte. (Der Durchmesser der Seilrolle ist vernachlässigbar<br />
klein.)<br />
Gegeben: G, a<br />
A<br />
C<br />
2<br />
G<br />
3a<br />
3 4<br />
1<br />
3a<br />
B<br />
000 111<br />
000 111<br />
a<br />
00 11 000 111<br />
a 2a<br />
6a<br />
Aufgabe 5.11 :<br />
a<br />
00 11<br />
00 11<br />
2a<br />
a<br />
00 11<br />
Für das dargestellte ebene Fachwerk sind<br />
sämtliche Stabkräfte zu ermitteln.<br />
Gegeben: a, F<br />
4 5<br />
6 2a<br />
3<br />
1 2<br />
2a<br />
F
32<br />
Aufgabe 5.12 :<br />
Gegeben ist der skizzierte Dreigelenkbogen, der durch eine trapezförmige Streckenlast<br />
beansprucht wird.<br />
Berechnen Sie:<br />
a) Die äußeren Reaktionen in<br />
den Auflagerpunkten A und<br />
B.<br />
b) Die Stabkräfte ⃗S 1 , ⃗S 2 ,. . .⃗S 6 .<br />
Gegeben: q, a<br />
q<br />
3<br />
2<br />
000 111 A<br />
000 111<br />
a<br />
1<br />
I<br />
4<br />
2a<br />
D<br />
8<br />
2a<br />
II<br />
3q<br />
7<br />
6<br />
5<br />
000 111 B<br />
000 111<br />
a<br />
a<br />
a<br />
Aufgabe 5.13 :<br />
4<br />
F<br />
8<br />
2F<br />
1<br />
3<br />
5<br />
7<br />
9<br />
000 111 A<br />
2<br />
00 11<br />
00 11 B<br />
Gegeben: F, a<br />
6<br />
Für das oben skizzierte Fachwerk mit der einheitlichen Stablänge a ermittele man die<br />
Stabkräfte ⃗S 4 ,⃗S 5 und ⃗S 6 mit Hilfe des Ritterschen Schnittverfahrens.
33<br />
Aufgabe 5.14 :<br />
Bestimme <strong>für</strong> das abgebildete<br />
Tragwerk:<br />
8<br />
F<br />
9<br />
a) alle Stabkräfte.<br />
7<br />
1 2<br />
10<br />
2a<br />
b) die Reaktionen in den<br />
Lagern B und C.<br />
Gegeben: a, F<br />
A<br />
4<br />
D<br />
3<br />
5<br />
E<br />
6<br />
B 000 1 11<br />
2a<br />
4a<br />
2a a a<br />
2a<br />
C<br />
01<br />
01
34<br />
Aufgabe 5.15 :<br />
Ein Brückensteg in Form des skizzierten Gelenkbalkens mit Fachwerkversteifungen<br />
wird in den Lagern A und B getragen.<br />
a) Wie groß sind die Stabkräfte im Fachwerk, wenn als Belastung nur das<br />
Eigengewicht G des homogenen Gelenkbalkens berücksichtigt wird?<br />
b) Auf dem Steg befinde sich ein Fahrzeug mit dem Gewicht G 4 . Das<br />
Fahrzeuggewicht kann durch eine punktförmige vertikale Last ersetzt werden.<br />
Welche Werte nimmt die Kraft im Stab 1 an, wenn das Fahrzeug langsam über den<br />
Steg fährt und das Balkeneigengewicht berücksichtigt wird?<br />
Gegeben: G, a<br />
__ G<br />
b 4 __ a<br />
2<br />
000 111 C G 0000 1111<br />
000 111<br />
D E<br />
0000 1111<br />
000 111<br />
0000 1111<br />
000 111 1 2 3<br />
0000 1111<br />
__ a<br />
2<br />
0000 1111<br />
4<br />
000 111 A<br />
00 11B<br />
000 111<br />
00 11<br />
a<br />
a<br />
Aufgabe 5.16 :<br />
Das skizzierte Fachwerk wird durch<br />
die beiden Kräfte F 1 und F 2 belastet.<br />
a) Wie groß darf die Kraft F 1 bei<br />
F 2<br />
F 2 =6 kN höchstens werden,<br />
wenn die Druckkraft auf den<br />
inneren Fachwerkstab 3 den<br />
Betrag von 7,5 kN nicht überschreiten<br />
darf?<br />
b) Wie groß sind bei der unter<br />
a) ermittelten Belastung die<br />
Kräfte in den Fachwerkstäben?<br />
Gegeben: a<br />
11<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
A<br />
4<br />
12<br />
10<br />
1<br />
a<br />
2<br />
3<br />
2<br />
13 14<br />
15<br />
17<br />
16<br />
F<br />
5<br />
1<br />
7 8<br />
9<br />
a<br />
6<br />
B<br />
00 11<br />
00 11<br />
a<br />
a<br />
a 2
35<br />
Aufgabe 6.1 :<br />
Ein einseitig gelagerter Dehnstab wird in Richtung der Stablächsachse durch eine linear<br />
steigende Streckenlast n(x) und eine Einzellast F belastet.<br />
Gesucht ist die Verschiebungsfunktion u(x) mit Angabe der Randverschiebungen und<br />
des Maximums.<br />
Gegeben: E,A,a,n 0 ,F = n 0 · a<br />
n<br />
0<br />
01<br />
01<br />
01<br />
0000000000000<br />
1111111111111<br />
0<br />
01<br />
0000000000000<br />
1111111111111<br />
1<br />
01<br />
00 11<br />
01<br />
x, u<br />
01<br />
a<br />
2n<br />
0<br />
F<br />
Aufgabe 6.2 :<br />
Ein sich verjüngender Stab mit Kreis-<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
r<br />
x, u<br />
a<br />
2r<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
a<br />
querschnitt wird um eine Länge △ a gestaucht.<br />
Zu bestimmen sind die Auflagerkräfte,<br />
die Verschiebungsfunktion u(x) mit Angabe<br />
der maximalen Verschiebung.<br />
Gegeben:E, r, a, △ a= a 8
36<br />
Aufgabe 6.3 :<br />
Ein zweiteiliger Dehnstab ist in entspannter<br />
Lage 2a lang. Durch einen<br />
EA, a<br />
2EA, a<br />
Einbaufehler bei der Montage wird der<br />
Stab um ∆a zusammengedrückt. Zusätzlich<br />
greift eine Kraft F in der Mitte des<br />
∆ a<br />
Stabes an.<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
F<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
Bestimmen Sie die beiden Auflagerreaktionen,<br />
sowie die Funktion u(x).<br />
Gegeben:<br />
E, A, a, F, ∆a = Fa<br />
6EA<br />
Aufgabe 6.4 :<br />
Ein Stab mit konstantem E-Modul E und konstanter 00 11<br />
00 11<br />
Querschnittsfläche A wird durch sein Eigengewicht<br />
γ = G a<br />
und eine Einzellast F beansprucht.<br />
EA,<br />
Gesucht sind die Normalkraftfunktion N(x) und die<br />
γ<br />
Verschiebungsfunktion u(x).<br />
F<br />
Gegeben: E,A,a,G,γ = G a ,F = G<br />
a
37<br />
Aufgabe 6.5 :<br />
n<br />
0<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
A<br />
a<br />
B<br />
EA<br />
Der dargestellte Dehnstab wird durch eine linear verteilte Streckenlast beansprucht.<br />
a) Geben Sie den Verlauf der Verschiebungsfunktion u(x) und der Normalkraft N(x)<br />
an<br />
b) Wie groß ist die Verschiebung des Punktes B ?<br />
Gegeben: E, A, a, n 0<br />
Aufgabe 6.6 :<br />
Der skizzierte Dehnstab ist durch eine Streckenlast n in Richtung der Balkenlängsachse<br />
beansprucht. Als Funktion der Koordinate x sind zu bestimmen:<br />
a) die Normalkraft N(x),<br />
b) die Verschiebung u(x).<br />
0<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
1 x, u<br />
A B C<br />
a<br />
a<br />
n<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01
38<br />
Aufgabe 6.7 :<br />
Die starre Scheibe ist durch<br />
drei elastische Stäbe gelagert.<br />
Ermitteln Sie <strong>für</strong> die<br />
gegebene Belastung die<br />
Verschiebungen der Punkte B<br />
und C.<br />
Gegeben: E, A, a, F<br />
a<br />
01<br />
01<br />
B<br />
F<br />
11111111<br />
00000000<br />
1<br />
3<br />
2<br />
45 o<br />
01 0 00 1 11<br />
01<br />
a<br />
C<br />
2a 2a __ a<br />
2<br />
Aufgabe 6.8 :<br />
00000000<br />
11111111<br />
00000000<br />
11111111<br />
1 2 3 4<br />
30o<br />
30 o<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11 000 11100<br />
00 11<br />
F<br />
l<br />
l<br />
a<br />
Ein mittig belasteter<br />
starrer Balken ist auf<br />
vier elastischen Stäben<br />
gleicher Dehnsteifigkeit<br />
EA gelagert.<br />
Wie groß sind die<br />
Stabkräfte?<br />
Gegeben: F, EA, a, l
39<br />
Aufgabe 6.9 :<br />
Der dargestellte starre Balken ist in<br />
B zweiwertig gelenkig gelagert<br />
und in A und C durch zwei<br />
Dehnstäbe gestützt.<br />
Ermitteln Sie die Stabkräfte S 1 und<br />
S 2 infolge der Last q !<br />
Gegeben: EA, a, q<br />
00000000000000000000000<br />
11111111111111111111111<br />
000000000000000000000001<br />
11111111111111111111111<br />
01<br />
0<br />
000 111<br />
01<br />
A0<br />
1<br />
01<br />
B<br />
C<br />
000 111<br />
01<br />
0<br />
01<br />
0<br />
01<br />
0<br />
1<br />
1<br />
01<br />
01<br />
EA<br />
01<br />
01<br />
01<br />
2<br />
00 11 01<br />
01<br />
00 11<br />
01<br />
01<br />
EA 01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
a<br />
2a<br />
01<br />
000 111<br />
000 111<br />
q<br />
a<br />
a<br />
Aufgabe 6.10 :<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
A<br />
3a<br />
1<br />
EA<br />
B<br />
F<br />
Ermitteln Sie die Verschiebung des Knotens B infolge<br />
der Last F.<br />
4a<br />
2<br />
Gegeben:<br />
EA, F, a<br />
y<br />
4a<br />
C<br />
00 11<br />
00 11<br />
x
40<br />
Aufgabe 6.11 :<br />
Ein Wandkran besteht aus den gewichtslosen<br />
Stäben 1 und 2, die in A gelenkig miteinander<br />
verbunden sind. Die Stäbe sind mit Hilfe von<br />
Gelenken an der Wand befestigt.<br />
An dem Seil, das über die in A befestigte<br />
gewichtslose Rolle gelegt ist, hängt das<br />
Gewicht G. Das Seil ist unter einem Winkel<br />
von 30 o an der Wand befestigt.<br />
Man berechne die Verschiebung des Punktes A.<br />
Gegeben: E, A, a, r, G<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
a<br />
1<br />
30 o<br />
EA<br />
2<br />
Seil<br />
30 o<br />
y<br />
x<br />
A<br />
G<br />
2r<br />
Aufgabe 6.12 :<br />
Für das skizzierte System sind die Stabkräfte<br />
zu ermitteln.<br />
Gegeben:<br />
E 1 = E 2 = E 3 = E<br />
ϕ 1 = 30 ◦<br />
A 1 = A 3 = A<br />
ϕ 2 = 60 ◦<br />
A 2 = 3 2 A<br />
F, l<br />
F<br />
000000<br />
111111<br />
000000<br />
111111<br />
000000<br />
111111<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
11<br />
1 200<br />
11<br />
00 11<br />
ϕ 00 11<br />
1 00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
ϕ<br />
00 11<br />
2 00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
3<br />
a<br />
Aufgabe 6.13 :<br />
00 11<br />
00 11<br />
Die drei Stäbe 1, 2 und 3 sind im entspannten Zustand eingebaut<br />
worden. Durch Erwärmung hat sich Stab 1 um △ a ver-<br />
a<br />
a<br />
B<br />
1<br />
EA<br />
2<br />
3<br />
EA<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
längert. Geben Sie die horizontale Verschiebung des Knotens<br />
B an.<br />
Gegeben: E, A, a, △ a<br />
a<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01
41<br />
Aufgabe 6.14 :<br />
Die beiden starren Scheiben I und II sind durch die Stäbe 1 und 2 sowie die zweiwertigen<br />
Auflager in B und C gelagert. Der Stab 3 verbindet die beiden Teilsysteme miteinander.<br />
Wie groß ist die Stabkraft S 3 <strong>für</strong> die angegebene Belastung?<br />
Gegeben:<br />
E, A, a, F<br />
A<br />
000 111<br />
000 111<br />
F<br />
1<br />
EA<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
B<br />
00 11<br />
3<br />
EA<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
000 111 C<br />
000 111<br />
EA<br />
F<br />
2 a<br />
D00<br />
11<br />
00 11<br />
a<br />
2a<br />
a<br />
Aufgabe 6.15 :<br />
q<br />
10<br />
A<br />
10<br />
10<br />
10<br />
7a<br />
EA<br />
1<br />
01<br />
1 B 0<br />
10<br />
01<br />
10<br />
10<br />
2<br />
EA<br />
9a<br />
10<br />
00 11<br />
00 11<br />
12a<br />
00 11<br />
00 11<br />
10<br />
12a<br />
00 11<br />
00 11<br />
a) Der dargestellte starre Mast wird durch einen Dehnstab 1 im Punkt A gehalten.<br />
Wie groß ist die Verschiebung der Punkte A und B infolge der angreifenden Last q<br />
(ohne Stab 2!)?<br />
b) Der Mast wird nun zusätzlich durch einen zweiten Dehnstab im Punkt B gehalten.<br />
Wie groß sind jetzt die Verschiebungen in den Punkten A und B ?
42<br />
Aufgabe 6.16 :<br />
Wie groß sind die Verschiebungen der<br />
Punkte B und C infolge F, wenn die<br />
starre Scheibe durch<br />
a) die Stäbe 1, 2 und 3 gestützt wird?<br />
b) die Stäbe 1, 2, 3 und 4 gestützt<br />
wird?<br />
Alle Stäbe haben den gleichen<br />
Elastizitätsmodul E und die gleiche<br />
2a<br />
a<br />
F<br />
F<br />
000000<br />
111111<br />
000000<br />
111111<br />
000000<br />
111111<br />
000000<br />
111111<br />
000000<br />
111111<br />
000000<br />
111111<br />
000000<br />
111111<br />
000000<br />
111111<br />
000000<br />
000000<br />
000000<br />
111111<br />
111111<br />
111111<br />
B<br />
C<br />
1 2 3<br />
y<br />
4<br />
x<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
Querschnittsfläche A.<br />
Gegeben: E, A, F, a<br />
00 11<br />
a<br />
00 11<br />
00 11<br />
a<br />
00 11<br />
00 11<br />
a<br />
Aufgabe 6.17 :<br />
Für den skizzierten Stabverband sind die Stabkräfte S 1 - S 3 und die Verschiebung des<br />
Lastangriffspunktes zu ermitteln.<br />
Gegeben:<br />
F, E, α = 30 ◦ , β = 60 ◦ , A 1 = A 3 = 2A, A 2 = A<br />
0000000000000000000000<br />
1111111111111111111111<br />
y<br />
1 2 3<br />
β<br />
α<br />
a<br />
x<br />
F
43<br />
Aufgabe 6.18 :<br />
000 111<br />
000 111<br />
000 111<br />
A1<br />
E1<br />
000 111<br />
00 11<br />
000 111<br />
00 11<br />
000 111<br />
00 11<br />
A2<br />
A3<br />
E2 E3<br />
F<br />
l<br />
Ein als starr anzusehender Balken der<br />
Länge 3a sei durch drei Stäbe und ein<br />
einwertiges Rollenlager gestützt. Er<br />
wird durch eine Einzelkraft F belastet.<br />
Wie groß sind die Stabkräfte?<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
a a a<br />
Gegeben:<br />
a, l, E 1 A 2 = 3EA,<br />
E 2 A 2 = 2EA, E 3 A 3 = 3EA, F<br />
Aufgabe 7.1 :<br />
q<br />
Ermitteln und zeichnen Sie die Schnittgrößenfunktionen!<br />
A<br />
l<br />
B<br />
Hinweis: Die Auflagerreaktionen können<br />
Aufgabe 4.1 entnommen werden.<br />
Aufgabe 7.2 :<br />
53,13°<br />
10F<br />
Ermitteln und zeichnen Sie die Schnittgrößenfunktionen!<br />
A<br />
3a<br />
2a<br />
B<br />
Hinweis: Die Auflagerreaktionen können<br />
Aufgabe 4.2 entnommen werden.
44<br />
Aufgabe 7.3 :<br />
6F<br />
Ermitteln und zeichnen Sie die Schnittgrößenfunktionen!<br />
A<br />
3a<br />
B<br />
a<br />
Hinweis: Die Auflagerreaktionen können<br />
Aufgabe 4.3 entnommen werden.<br />
Aufgabe 7.4 :<br />
q<br />
Ermitteln und zeichnen Sie die Schnittgrößenfunktionen!<br />
A<br />
8a<br />
B<br />
4a<br />
Hinweis: Die Auflagerreaktionen können<br />
Aufgabe 4.4 entnommen werden.<br />
Aufgabe 7.5 :<br />
30F<br />
B<br />
8a<br />
Ermitteln und zeichnen Sie die Schnittgrößenfunktionen!<br />
Hinweis: Die Auflagerreaktionen können<br />
A<br />
a<br />
5a<br />
Aufgabe 4.5 entnommen werden.<br />
Aufgabe 7.6 :<br />
F<br />
Ermitteln und zeichnen Sie die Schnitt-<br />
3a<br />
größenfunktionen!<br />
Hinweis: Die Auflagerreaktionen können<br />
A<br />
2a<br />
Aufgabe 4.6 entnommen werden.
45<br />
Aufgabe 7.7 :<br />
10 − a<br />
F<br />
20F<br />
Ermitteln und zeichnen Sie die Schnitt-<br />
A<br />
4a<br />
6a<br />
2a<br />
B<br />
3a<br />
größenfunktionen!<br />
Hinweis: Die Auflagerreaktionen können<br />
Aufgabe 4.7 entnommen werden.<br />
Aufgabe 7.8 :<br />
2F<br />
45° 2 2F<br />
Ermitteln und zeichnen Sie die Schnittgrößenfunktionen!<br />
A<br />
3a<br />
4a<br />
3a<br />
B<br />
Hinweis: Die Auflagerreaktionen können<br />
Aufgabe 4.8 entnommen werden.<br />
Aufgabe 7.9 :<br />
10F<br />
a<br />
Ermitteln und zeichnen Sie die Schnittgrößenfunktionen!<br />
A<br />
2a<br />
3a<br />
B<br />
Hinweis: Die Auflagerreaktionen können<br />
Aufgabe 4.9 entnommen werden.
46<br />
Aufgabe 7.10 :<br />
Ein gerader Balken ist in den Punkten A und B statisch bestimmt gestützt und wird<br />
durch drei Einzelkräfte belastet.<br />
Man ermittele:<br />
a) Die Auflagerkräfte.<br />
b) Die Schnittkräfte N, Q und M.<br />
c) Der Verlauf der Schnittgrößen N, M, Q ist qualitativ über der Balkenachse<br />
einzutragen.<br />
45<br />
F<br />
63,435<br />
o<br />
A<br />
4F __<br />
2<br />
45 o<br />
o<br />
80,538<br />
000 111B<br />
00 11 000 111<br />
3a 4a 4a 3a<br />
37<br />
F<br />
Aufgabe 7.11 :<br />
Der dargestellte Balken wird durch eine parabelförmige Streckenlast beansprucht, die<br />
symmetrisch über seine Länge verteilt ist. Der maximale Wert der Streckenlast beträgt<br />
1<br />
4<br />
q o .<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
__ 1<br />
4<br />
q<br />
o<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
a<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
Gesucht ist der Verlauf der Schnittgrößen.
47<br />
Aufgabe 7.12 :<br />
Ein gerader Balken wird belastet durch eine Streckenlast vom Betrage 3qa = F und eine<br />
Einzelkraft vom Betrage βF.<br />
Man berechne in Abhängigkeit vom Parameter β:<br />
a) Die Auflagerkräfte in den Punkten A und<br />
B.<br />
b) Die Schnittgrößen Q und M.<br />
3a<br />
q<br />
2a<br />
βF<br />
c) Für welchen Wert β nimmt das maximale<br />
Biegemoment seinen kleinsten Wert an ?<br />
A<br />
000 111<br />
000<br />
000 111<br />
111 B<br />
d) Für diesen günstigsten Wert von β trage<br />
man den Verlauf von Q und M maßstäblich<br />
über der Balkenachse auf.<br />
Aufgabe 7.13 :<br />
Ein statisch bestimmt gestützter starrer Balken ABC ist im Bereich AB durch eine<br />
parabolische Streckenlast (Scheitel der Parabel in A) und im Bereich BC durch eine<br />
konstante Streckenlast q belastet.<br />
Gesucht:<br />
a) Die Auflagerkräfte.<br />
b) Die Funktionen <strong>für</strong> den Querkraft- und Momentenverlauf in beiden Bereichen.<br />
c) Die Größe des maximalen Biegemomentes und die Stelle, an der es auftritt.<br />
q<br />
A<br />
a a C<br />
B<br />
000 111 00 11
48<br />
Aufgabe 7.14 :<br />
a<br />
a<br />
F<br />
01<br />
01<br />
00 11<br />
2a<br />
Für das dargestellte Tragwerk sind <strong>für</strong><br />
die gegebene Belastung die Auflagerkräfte<br />
zu berechnen und der Biegemomentenverlauf<br />
zu skizzieren.<br />
Aufgabe 7.15 :<br />
Für den skizzierten Träger (Gelenke in B und C) zeichne man in Abhängigkeit von q und<br />
a mit Angabe der charakteristischen Werte, Vorzeichenfestlegung und Kurvenform:<br />
a) Den Querkraftverlauf.<br />
b) Den Biegemomentenverlauf.<br />
c) An welcher Stelle x tritt das maximale Biegemoment auf und wie groß ist es ?<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
A B C<br />
q<br />
a a a a<br />
D<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11
49<br />
Aufgabe 7.16 :<br />
Der skizzierte Rahmen ABCD ist in D durch ein Gelenk unterbrochen und in B und C<br />
gelagert. Als äußere Belastung greifen ein Einzelmoment und eine konstante<br />
Streckenlast an.<br />
Gegeben: F, a<br />
Gesucht: In Abhängigkeit von F und a<br />
a) Die Auflagerreaktionen.<br />
b) Die Gelenkkräfte im Punkt D.<br />
c) Die Beanspruchungsgrößen N, Q und M (in drei getrennte Skizzen maßstäblich<br />
über der Rahmenachse angetragen mit Angabe der charakteristischen Werte, der<br />
Kurvenform und der Beanspruchungsart).<br />
000 111<br />
E<br />
45 o<br />
a<br />
A<br />
4Fa<br />
Aufgabe 7.17 :<br />
F___2<br />
a<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
B D 00<br />
C<br />
11<br />
2a<br />
2a<br />
Für den skizzierten Träger mit Auflagern in den Punkten A, B und C und einem Gelenk<br />
in Punkt B ermittle man in Abhängigkeit von q und a:<br />
a) die Auflagerkräfte<br />
b) und skizziere den Querkraft- und Biegemomentenverlauf mit Angabe der<br />
charakteristischen Werte und Kurvenform.<br />
M=qa<br />
2<br />
q<br />
000 111<br />
000 111<br />
A B C<br />
D<br />
a<br />
a<br />
a<br />
a<br />
E
50<br />
Aufgabe 7.18 :<br />
Das skizzierte Tragwerk besteht aus den beiden starren Balken AG und GB, die in G<br />
gelenkig miteinander verbunden sind, und einem Stab CD.<br />
A<br />
00000000<br />
11111111<br />
00000000<br />
11111111<br />
00000000<br />
11111111<br />
00000000<br />
11111111<br />
00000000<br />
11111111<br />
00000000<br />
11111111<br />
00000000<br />
11111111<br />
00000000<br />
11111111<br />
00000000<br />
11111111<br />
00000000<br />
11111111 a<br />
00000000<br />
11111111<br />
00000000<br />
11111111<br />
00000000<br />
11111111<br />
00000000<br />
11111111<br />
00000000<br />
11111111<br />
C<br />
00000000<br />
11111111<br />
a<br />
45 o<br />
G<br />
a<br />
D<br />
y<br />
a<br />
45<br />
o<br />
+M<br />
000 111 000 111<br />
x<br />
B<br />
Der Balken AG ist durch eine<br />
konstante Streckenlast (Schneelast)<br />
belastet. Die Größe der Resultierenden<br />
dieser Last ist 2 F.<br />
Gesucht sind die Auflagerkräfte<br />
und die Stabkraft.<br />
Für den Balken AG sind der<br />
Längskraft-, Querkraft- und Biegemomentenverlauf<br />
zu skizzieren<br />
(charakteristische Werte angeben).<br />
Aufgabe 7.19 :<br />
Die beiden starren Balken AD und DBC sind in D gelenkig miteinander verbunden. Die<br />
Punkte A und C verbindet ein Seil.<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
A<br />
( E )<br />
2a<br />
Seil<br />
q<br />
D<br />
a<br />
C<br />
00 11<br />
00 11<br />
3 F<br />
B<br />
3a<br />
Für die angegebene Belastung<br />
(Streckenlast q und<br />
√<br />
Einzelkraft 3F) sind die<br />
Auflagerkräfte und die Seilkraft<br />
zu berechnen.<br />
Die<br />
Beanspruchungsgrößen<br />
sind über der Balkenachse<br />
aufzutragen<br />
(charakteristische<br />
Werte, Kurvenform).<br />
Gegeben: qa = F, a
51<br />
Aufgabe 7.20 :<br />
A<br />
C<br />
00 11<br />
00 11<br />
a<br />
B<br />
E<br />
D<br />
F__<br />
a<br />
a<br />
F<br />
F G<br />
a<br />
Fa<br />
000 111<br />
000 111<br />
H<br />
a<br />
Für den dargestellten Rahmen sind<br />
a) die Auflagerreaktionen<br />
b) die Schnittgrößenverläufe<br />
zu ermitteln.<br />
Gegeben: a, F<br />
Aufgabe 7.21 :<br />
q<br />
3q<br />
00 11<br />
00 11<br />
Ein Balken wird durch eine horizontale und ei-<br />
4a<br />
ne vertikale Streckenlast belastet. Die Streckenlastordinaten<br />
sind auf die vertikale bzw. horizontale<br />
Projektion bezogen.<br />
000 111<br />
000 111<br />
3a<br />
Man ermittele den Verlauf der Schnittkräfte M,<br />
N und Q.<br />
Gegeben: q, a
52<br />
Aufgabe 7.22 :<br />
B<br />
4Fa<br />
C<br />
q<br />
G<br />
E<br />
4a<br />
Das skizzierte statisch bestimmte Tragwerk<br />
wird durch eine Streckenlast q · 2a = 12F und<br />
ein Einzelmoment 4Fa belastet.<br />
Gesucht: In Abhängigkeit von F und a<br />
D<br />
a) Die Auflagerreaktionen im Punkt A.<br />
4a<br />
b) Die Stabkraft S CD .<br />
2a<br />
a<br />
2a<br />
A<br />
00 11<br />
c) Die Schnittgrößen sind über dem Rahmen<br />
BGEA zu skizzieren (mit Angabe<br />
der Schnittufer, Vorzeichen, Kurvenform<br />
und charakteristischen Werte).<br />
Aufgabe 7.23 :<br />
Die skizzierte Krankonstruktion besteht aus den beiden Teilen ABC und DCE, die in C<br />
gelenkig miteinander verbunden sind. An einem in A befestigten Seil, das in E über eine<br />
Rolle läuft, hängt ein Gewicht G. Ein zweites Seil ist in den Punkten D und B befestigt.<br />
Gesucht sind die Auflagerreaktionen und die Seilkraft des Seiles BD.<br />
Der Momentenverlauf ist zu skizzieren (charakteristische Werte).<br />
A<br />
D<br />
__ a<br />
g<br />
30 o 2<br />
C 30<br />
B<br />
o<br />
E<br />
a<br />
a<br />
000000000000<br />
111111111111<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
G<br />
z<br />
+M<br />
x
53<br />
Aufgabe 7.24 :<br />
z<br />
+M<br />
x<br />
a<br />
Seil<br />
Rolle<br />
a<br />
60 o<br />
G<br />
B<br />
An einem als Scheibenverband ausgebildeten<br />
Kran hängt ein Gewicht G an einem<br />
Seil, das in A befestigt ist und in B über<br />
eine Rolle läuft.<br />
a) Die Auflagerreaktionen sind zu bestimmen.<br />
A<br />
00 11<br />
C<br />
00 11<br />
00 11<br />
b) Die Schnittgrößen sind über der<br />
Rahmenachse aufzutragen.<br />
Aufgabe 7.25 :<br />
Das skizzierte ebene<br />
F<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
A<br />
2a<br />
I<br />
a<br />
II<br />
System, bestehend aus<br />
dem Balken I/II und<br />
den Stäben 1 bis 6,<br />
wird durch die Kraft F<br />
belastet.<br />
1 2 3<br />
4<br />
5 6<br />
a<br />
a<br />
Gesucht sind die Auflagerreaktionen<br />
sowie<br />
die Beanspruchungsgrößen<br />
im Balken<br />
(graphische Darstellung<br />
mit Angabe<br />
B<br />
01<br />
01<br />
charakteristischer Größen)<br />
und die Stabkräfte<br />
in den Stäben 1 bis 6.
54<br />
Aufgabe 7.26 :<br />
Ein ebenes Tragwerk wird durch eine Einzelkraft F belastet, deren Angriffspunkt<br />
veränderlich ist.<br />
a) Die Auflagerreaktionen und die Stabkräfte sind als Funktionen von x zu skizzieren.<br />
b) Für welche Stellung der Einzelkraft wird Stab 3 maximal beansprucht ?<br />
c) Für die unter b) ermittelte Laststellung sind die Schnittgrößen über der<br />
Balkenachse aufzutragen.<br />
x<br />
F<br />
A<br />
000 111<br />
000 111<br />
1<br />
D<br />
2<br />
B<br />
E<br />
4 5<br />
C<br />
000 111<br />
a<br />
F<br />
3<br />
G<br />
a<br />
a 2a a<br />
Aufgabe 7.27 :<br />
q o<br />
00 11<br />
00 11<br />
1 2 4<br />
3<br />
5<br />
a<br />
2<br />
00 11 __<br />
00 11<br />
x<br />
Spannschloss<br />
a 2a a<br />
z<br />
In dem skizzierten Balken mit Unterzug ist im Stab 3 ein Spannschloß eingebaut. Mit<br />
Hilfe des Spannschlosses wird im Stab 3 die Stabkraft S 3 = S erzeugt.<br />
Gegeben: a, q o<br />
Gesucht:<br />
a) Für ein vorgegebenes S bestimme man den Biegemomentenverlauf im Balken als<br />
M y = M y (x) mit Skizze des Momentenverlaufes und Angabe von<br />
charakteristischen Werten.<br />
b) Wie groß ist S zu wählen, damit bei vorgegebenem q o das betragsmäßig größte<br />
Biegemoment möglichst klein wird ?
55<br />
Aufgabe 7.28 :<br />
C<br />
Die skizzierte Krankonstruktion besteht<br />
2a<br />
aus den beiden Teilen ABC und BD. Im<br />
Punkt B sind die beiden Teile gelenkig<br />
miteinander verbunden.<br />
A<br />
a<br />
B<br />
2a<br />
o 60<br />
G<br />
Der Elefant Maxi mit dem Gewicht G<br />
hängt an einem Seil, das in D befestigt<br />
ist und in B und C über Rollen läuft. Ein<br />
zweites Seil verbindet die Punkte A und<br />
D miteinander.<br />
000 111 D<br />
000 111<br />
y<br />
+M<br />
x<br />
Für die dargestellte Stellung des Krans<br />
sind die Beanspruchungsgrößen zu skizzieren<br />
(charakteristische Werte).<br />
Aufgabe 7.29 :<br />
3<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
1<br />
2<br />
G<br />
q<br />
o<br />
4<br />
5<br />
A<br />
a<br />
x<br />
a a a a a<br />
z<br />
Gegeben: q o , a<br />
Für das skizzierte Tragwerk berechne man:<br />
a) Die Stabkräfte in den Stäben 1, 2, 3, 4 und 5.<br />
b) Die Schnittgrößen im Bereich 3a < x < 5a als Funktion von x.
56<br />
Aufgabe 7.30 :<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
x<br />
q o<br />
A<br />
00 11<br />
00 11<br />
1<br />
2 3<br />
4 5<br />
B<br />
__ 2<br />
a<br />
000 111<br />
000 111 3<br />
000 111<br />
a<br />
y<br />
+M<br />
x<br />
a a a a a a<br />
3a<br />
3a<br />
Für das mit viel Mühe skizzierte ebene Tragwerk sind gesucht:<br />
a) Die Auflagerreaktionen und Stabkräfte.<br />
b) Die Beanspruchungsgrößen im Bereich 0 ≤ x ≤ 3a. Diese sind maßstäblich<br />
aufzutragen.<br />
Aufgabe 7.31 :<br />
Gegeben: a, q o<br />
01<br />
01<br />
A<br />
01<br />
01<br />
00 11<br />
00 11<br />
B<br />
a a a<br />
G<br />
q<br />
o<br />
a) Man begründe die statische Bestimmtheit<br />
des dargestellten Tragwerkes.<br />
b) Man berechne die Auflagerreaktionen<br />
und die Gelenkkräfte.<br />
c) Man skizziere den Verlauf der Beanspruchungsgrößen<br />
und gebe die<br />
charakteristischen Werte an.
57<br />
Aufgabe 7.32 :<br />
Gegeben ist das abgebildete System, des-<br />
M b<br />
N<br />
R>r<br />
sen Gestänge und Räder gewichtslos sind.<br />
Q<br />
B sei ein reibungsfreies Gelenk. Im Gelenk<br />
A werde das Rad 1 durch eine Brem-<br />
01<br />
01<br />
01<br />
x<br />
I<br />
b<br />
r<br />
A<br />
1<br />
xII<br />
a<br />
B<br />
R<br />
2<br />
G<br />
se festgehalten.<br />
Gesucht sind die Beanspruchungsgrößen<br />
in der Stange als Funktionen von x I bzw.<br />
x II<br />
(Skizze mit den charakteristischen<br />
Werten). Viel Spaß!<br />
Aufgabe 7.33 :<br />
Zwei Rahmen sind in G ge-<br />
z<br />
+M<br />
x<br />
00 110<br />
1<br />
00 110<br />
1<br />
00 110<br />
1<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
D<br />
a<br />
lenkig miteinander verbunden.<br />
Für die skizzierte Belastung<br />
ermittele man<br />
q<br />
a) die Auflagerreaktionen.<br />
b) die Schnittgrößen.<br />
A<br />
000 111<br />
a<br />
B<br />
00 11<br />
a<br />
G<br />
a<br />
C<br />
(Die Schnittgrößen sind in<br />
drei getrennten Skizzen über<br />
den Rahmenachsen aufzutragen.)
58<br />
Aufgabe 7.34 :<br />
Der skizzierte Rahmen ist statisch bestimmt gestützt und wird im Bereich DE durch eine<br />
konstante Streckenlast q belastet.<br />
a<br />
a<br />
a<br />
Man berechne:<br />
q<br />
a) Die Auflagergrößen.<br />
B<br />
A<br />
00 11<br />
00 11<br />
C<br />
D<br />
E<br />
00 11<br />
00 11<br />
a<br />
a<br />
b) Die Schnittgrößen N, Q und M. Diese<br />
sind in drei getrennten Skizzen maßstäblich<br />
über der Rahmenachse aufzutragen.<br />
Aufgabe 7.35 :<br />
r<br />
ϕ M<br />
A<br />
F<br />
B<br />
C<br />
0000 1111<br />
0000 1111<br />
2r<br />
Für den skizzierten Rahmen sind die SchnittgröSSen<br />
über der Balkenachse aufzutragen<br />
(Kurvenform, charakteristische Werte).<br />
Gegeben: 0 ≤ ϕ ≤ 270;r;F
59<br />
Aufgabe 7.36 :<br />
Auf einen räumlichen Rahmen wirkt eine konstante Streckenlast q. Es sollen die<br />
räumlichen Schnittgrößen maßstäblich über den Rahmen aufgetragen werden.<br />
z<br />
C<br />
Anmerkung: Im Bereich BC<br />
sind die Komponenten der<br />
Querkraft und des Biegemo-<br />
A<br />
a<br />
q<br />
a<br />
B<br />
x<br />
00 11<br />
0000 1111<br />
D<br />
00 11<br />
0000 1111<br />
00 11<br />
0000 1111<br />
a<br />
y<br />
mentes in Richtung der Einheitsvektoren⃗t<br />
t , ⃗t n und⃗t b zu<br />
bestimmen und aufzutragen<br />
(⃗t n in Richtung der x-Achse).<br />
⎡ ⎤<br />
0<br />
Gegeben:⃗q = ⎢<br />
⎣ 0 ⎥<br />
⎦ q<br />
−1<br />
Aufgabe 7.37 :<br />
Ein Gewicht vom Betrag G ist an 3 Seilen<br />
z<br />
B<br />
gleicher Länge l an einem starren Rahmen<br />
aufgehängt. Man ermittle:<br />
C<br />
A<br />
a) die Lage des Gewichts G im Punkt<br />
E<br />
b) die Seilkräfte<br />
E<br />
G<br />
c) die Auflagerreaktionen im Punkt D<br />
a<br />
D<br />
00000<br />
11111<br />
00000<br />
1111101<br />
00000<br />
11111<br />
a<br />
a<br />
y<br />
d) die Schnittgrößen des Rahmens, die<br />
maßstäblich nach Größe und Richtung<br />
über der Rahmenachse aufzutragen<br />
sind.<br />
x<br />
Gegeben: l =<br />
√<br />
17<br />
2<br />
a, G
60<br />
Aufgabe 7.38 :<br />
F<br />
F<br />
a<br />
a<br />
A<br />
0000 1111<br />
000 0000 1111<br />
111 identische Auflager<br />
00 11<br />
01 00<br />
00 11<br />
11<br />
01<br />
01<br />
ϕ<br />
R<br />
B<br />
A<br />
000 111<br />
000 111<br />
000 111<br />
01<br />
01<br />
01<br />
ϕ<br />
R<br />
identische Auflager<br />
Von den gezeichneten beiden räumlichen Rahmen ist nur einer statisch bestimmt<br />
gelagert.<br />
a) Welcher ist statisch unbestimmt und warum?<br />
B<br />
00 11<br />
1100<br />
1100<br />
b) Man ermittle beim statisch bestimmten System die Beanspruchungsgrößen im<br />
Bogen als Funktion des Winkels ϕ.<br />
Aufgabe 7.39 :<br />
B<br />
z<br />
a<br />
a<br />
a<br />
C<br />
D<br />
Für den skizzierten Rahmen (bestehend<br />
aus der Geraden AB und dem<br />
Halbkreis BD), der durch die konstante<br />
Streckenlast q belastet ist,<br />
q<br />
q<br />
2a<br />
bestimme man die Schnittgrößen in<br />
beiden Bereichen.<br />
A<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
x<br />
y<br />
Gegeben: a,<br />
⃗q =<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
0<br />
0<br />
−1<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦ q
61<br />
Aufgabe 7.40 :<br />
Für den skizzierten<br />
A<br />
2a<br />
C<br />
R<br />
110000<br />
1111<br />
110000<br />
1111<br />
00 11 000 111 0000 1111<br />
00 11 000 111 0000 1111<br />
000 111 0000 1111<br />
b<br />
ϕ<br />
n<br />
t<br />
B<br />
D<br />
positive Beanspruchungsgrossen<br />
a<br />
F<br />
räumlichen Rahmen,<br />
der durch eine Einzelkraft<br />
F belastet wird,<br />
sind gesucht:<br />
a) Die Auflagerreaktionen.<br />
b) Die Beanspruchungsgrößen<br />
im<br />
Bogenstück als<br />
Funktionen des<br />
Winkels ϕ.<br />
Aufgabe 8.1 :<br />
Das skizzierte räumliche Tragwerk ist im Punkt A dreiwertig gelagert (KKM) und<br />
berührt im Punkt B die rauhe Ebene, die durch die Punkte D, E und F festgelegt ist. Die<br />
Gitterweite beträgt a.<br />
a) Für die gegebene Belastung ermittele man in Abhängigkeit von F und a die<br />
Auflagerreaktionen unter der Annahme, daß der Haftbeiwert µ zwischen Ebene<br />
und Tragwerk so groß ist, daß Gleichgewicht herrscht.<br />
b) Wie groß muß der Haftbeiwert µ sein, damit Gleichgewicht gerade noch möglich<br />
ist?<br />
z<br />
C F<br />
00 11<br />
00 11 00 11<br />
00 11 00 11<br />
00 11 00 11<br />
01<br />
01<br />
A<br />
00 110<br />
1<br />
01<br />
00 110<br />
1<br />
01<br />
⎡ ⎤<br />
00 110<br />
1<br />
01<br />
00 110<br />
1<br />
00 110<br />
1<br />
−2<br />
Gegeben: ⃗F = ⎢<br />
⎣ 0 ⎥<br />
⎦ F D<br />
5a<br />
−15<br />
a<br />
a<br />
a<br />
F<br />
B<br />
x<br />
E<br />
y
62<br />
Aufgabe 8.2 :<br />
Ein homogener, gerader Balken (Gewicht= 12 F) liegt im Punkt G auf einer rauhen,<br />
schiefen Ebene und ist im Punkt D durch die beiden Stäbe S 1 und S 2 gestützt<br />
(Gitterweite a).<br />
a) Wie groß muß der Haftreibungskoeffizient sein, damit Gleichgewicht möglich ist?<br />
b) Wie groß sind die beiden Stabkräfte und wie groß ist die Reaktionskraft der<br />
schiefen Ebene?<br />
G<br />
y<br />
D<br />
0<br />
z<br />
00 11<br />
00 110<br />
1<br />
00 110<br />
1<br />
A<br />
S 1<br />
S<br />
2<br />
01<br />
00 110<br />
1<br />
00 110<br />
1<br />
B<br />
x<br />
Aufgabe 8.3 :<br />
Schwerpunkt<br />
00000000000000000000000000000000<br />
11111111111111111111111111111111<br />
S<br />
00000000000000000000000000000000<br />
11111111111111111111111111111111<br />
00000000000000000000000000000000<br />
11111111111111111111111111111111<br />
00000000000000000000000000000000<br />
00000000000000000000000000000000<br />
00000000000000000000000000000000<br />
11111111111111111111111111111111<br />
11111111111111111111111111111111<br />
11111111111111111111111111111111<br />
1 m<br />
00000000000000000000000000000000<br />
11111111111111111111111111111111<br />
α<br />
00000000000000000000000000000000<br />
11111111111111111111111111111111<br />
00000000000000000000000000000000<br />
11111111111111111111111111111111<br />
00000000000000000000000000000000<br />
11111111111111111111111111111111<br />
00000000000000000000000000000000<br />
11111111111111111111111111111111<br />
00000000000000000000000000000000<br />
11111111111111111111111111111111<br />
1 m<br />
1,50 m 1,50 m<br />
µ<br />
Ein Lieferwagen mit den<br />
skizzierten Maßen wird an einem<br />
Hang auf nasser Fahrbahn<br />
abgestellt. Dabei möge<br />
zwischen Rad und Fahrbahn<br />
der Haftreibungskoeffizient<br />
µ= µ o =<br />
3 1 gegeben sein<br />
(d.h. an jeder Achse kann in<br />
Richtung der Fahrbahn maximal<br />
1 3<br />
der Normalkraft übertragen<br />
werden.).<br />
Bei welchem Winkel α (tan α = ?) rutscht der Wagen weg, wenn<br />
a) nur seine Hinterachse gebremst (blockiert!) wird, die Vorderachse sich aber frei<br />
drehen kann?<br />
b) nur seine Vorderachse gebremst wird?
63<br />
Aufgabe 8.4 :<br />
µ 2<br />
ϕ<br />
01<br />
01<br />
01<br />
45<br />
o<br />
m 2<br />
S<br />
x<br />
a<br />
0000000<br />
1111111<br />
m 1<br />
0000000<br />
1111111<br />
0000000<br />
1111111<br />
0000000<br />
1111111<br />
0000000<br />
1111111<br />
0000000<br />
1111111<br />
µ<br />
1<br />
blockiert 0000000<br />
1111111<br />
1<br />
0000000<br />
1111111<br />
0000000<br />
1111111<br />
30<br />
o<br />
0<br />
01<br />
A 01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
g<br />
Gegeben: µ 1 = 0,2 µ 2 = 0,5 m 2 = 2m 1<br />
Auf einem um den Punkt A drehbar gelagerten Balken liegt ein Klotz mit der Masse m 2 .<br />
Gehalten wird der Balken durch ein Seil, das über eine blockierte Rolle geführt und an<br />
der Masse m 1 befestigt ist. Für die zwischen Seil und Rolle bzw. Masse m 1 und<br />
Unterlage auftretende Haftreibung gelten die Koeffizienten µ 2 und µ 1 .<br />
Man bestimme den Bereich x 1 < x < x 2 , <strong>für</strong> den sich das System im Gleichgewicht<br />
befindet.
64<br />
Aufgabe 8.5 :<br />
Gegeben sind zwei Rollen, die auf<br />
derselben Achse befestigt und starr<br />
miteinander verbunden sind. Um<br />
diese Rollen sind Seile gewickelt,<br />
an deren Ende jeweils ein Gewicht<br />
hängt. Diese Anordnung soll entsprechend<br />
der Skizze durch eine<br />
Backenbremse gebremst werden.<br />
Gegeben:<br />
b = 100 cm<br />
d = 10 cm<br />
r 1 = 40 cm<br />
r 2 = 35 cm<br />
µ = 0,5<br />
G 2 = 1 2 G 1 = 100 N<br />
Gesucht:<br />
F<br />
b<br />
a<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
d<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
000 111<br />
000 111<br />
000 111<br />
r<br />
2<br />
G 2 G 1<br />
a) Die Mindestlänge von a, damit bei abgehängtem Gewicht G 1 gerade<br />
Selbsthemmung eintritt.<br />
r<br />
1<br />
Rolle 2<br />
b) Die Kraft F, die mindestens aufgebracht werden muß, damit das System in Ruhe<br />
ist.<br />
Rolle 1<br />
Aufgabe 8.6 :<br />
Ein Gestell aus zwei Stangen mit den Einzelgewichten G ist links fest gelagert und steht<br />
rechts auf dem Boden. Es trägt ein Gewicht Q am umgelenkten Seil.<br />
G<br />
h<br />
a<br />
b b<br />
000 111<br />
000 111<br />
000 111 Q<br />
000 111<br />
000 111<br />
G<br />
Gegeben:<br />
G, Q<br />
a<br />
h = 3 4<br />
b<br />
h<br />
= 1 2<br />
Gesucht<br />
a) Die Kontaktkräfte zwischen der<br />
rechten Stange und dem Boden.<br />
0000000000<br />
1111111111<br />
000000<br />
111111 0000000000<br />
1111111111<br />
0 0<br />
000000<br />
111111 0 1 µ o<br />
b) Der Haftungskoeffizient µ o , der gewährleistet,<br />
daß die Stange nicht<br />
wegrutscht.
65<br />
Aufgabe 8.7 :<br />
b=2a<br />
a<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
c<br />
α<br />
F<br />
000 111<br />
000 111<br />
000 111<br />
000 111<br />
000 111<br />
000 111<br />
000 111 000 111<br />
000 111 000 111<br />
000 111 000 111<br />
000 111<br />
M<br />
AN<br />
Die Kraft F wird durch einen Kniehebel auf die Bremshebel übertragen. Im angedrückten<br />
Zustand bildet der Kniehebel mit der Horizontalen einen Winkel von α = 30 ◦ .<br />
In den oberen Gelenkpunkten sorgt<br />
eine Rückholfeder da<strong>für</strong>, daß im unbelasteten<br />
Zustand die Bremsbeläge<br />
gerade um die Strecke △s von<br />
der Trommel entfernt sind. Gesucht<br />
ist die Kraft F, die auf den Kniehebel<br />
wirken muß, damit sich das<br />
Rad, an dem das Antriebsmoment<br />
M AN wirkt, nicht dreht.<br />
d<br />
r<br />
Gegeben:<br />
a, d, b = 2a, c, r,<br />
M AN , △s, µ Ha ft = µ<br />
Aufgabe 8.8 :<br />
Mit welcher Kraft F muß<br />
man den Bremshebel betäti-<br />
F<br />
gen, damit die Trommel, an<br />
r<br />
der das Antriebsmoment M AN<br />
wirkt, festgehalten wird?<br />
Gegeben:<br />
b<br />
a<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
M AN<br />
a, b, M AN , µ Ha ft = µ, r<br />
D<br />
000 111<br />
000 111
66<br />
Aufgabe 8.9 :<br />
In einer Vorrichtung wird eine Platte von Rolle und Bügel so eingeklemmt, daß sie nicht<br />
durchrutscht. Die Platte hat das Gewicht G 1 , die Rolle G 2 . Der Bügel ist glatt, der<br />
Haftungskoeffizient zwischen Platte und Rolle ist µ o . Die Geometrie der Verzahnung ist<br />
zu vernachlässigen.<br />
00000000000000<br />
11111111111111<br />
00000000000000<br />
11111111111111<br />
µ<br />
00000000000000<br />
11111111111111<br />
o<br />
00000000000000<br />
11111111111111<br />
00000000000000<br />
11111111111111<br />
00000000000000<br />
11111111111111<br />
00000000000000<br />
11111111111111<br />
00000000000000<br />
11111111111111<br />
G 1 G 2<br />
00000000000000<br />
11111111111111<br />
00000000<br />
11111111<br />
glatt 00000000<br />
11111111 α<br />
00000000<br />
11111111<br />
00000000<br />
11111111<br />
Gegeben: G 1 , G 2 , α, µ o<br />
Gesucht: a) Kontaktkraft zwischen Platte und Rolle.<br />
b) Gewichtsverhältnis G 2<br />
G 1<br />
. das bei gegebenem<br />
µ o Haftung ermöglicht.
A Lösungen der Aufgaben<br />
Aufgabe 1.1<br />
a) a = √ 24m b) α = 60,30 o c) A = 9,64m<br />
b = √ 17m β = 46,98 o d) |⃗n = 1<br />
c = √ 29m<br />
γ = 72,72 o<br />
⎡<br />
√ ⎢<br />
93<br />
⎣<br />
−5<br />
2<br />
−8<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦ e) S S = (2; 8 3 ; 2 3 )<br />
Aufgabe 1.2<br />
a) ⃗a T = a[3;−3;−2] c) |⃗a| = √ 22a d) ⃗e T (a) = 1 √<br />
22<br />
[3;−3;−2]<br />
⃗ b T = a[4;2;−2] | ⃗ b| = √ 24a ⃗e T (b) = 1 √<br />
24<br />
[4;2;−2]<br />
b) ⃗a ·⃗b = 10a 2 e) ϕ = 64,2 o f) A = 10,34a 2<br />
Aufgabe 1.3<br />
⎡ ⎤<br />
−120<br />
a) ⃗f = 11400⎢<br />
⎣ −2 ⎥<br />
⎦ b) ϕ a,b = 65,03 o<br />
16<br />
Aufgabe 1.4<br />
a) |⃗a| = 4,04m b) ϕ = 45 o<br />
| ⃗ b| = 3,57m<br />
Aufgabe 1.5<br />
Resultierende: Komponente in Richtung g-g:<br />
[ ]<br />
1<br />
⃗R = F R g = √ 1<br />
4<br />
10<br />
F<br />
67
68 A Lösungen der Aufgaben<br />
Aufgabe 2.1<br />
a) S = 1 2<br />
G b) F = 1,399G δ = 14,64o<br />
Aufgabe 2.2<br />
a) W = 1 2√<br />
2h b) Seilkräfte: Zugstäbe:<br />
S 1 = m · g<br />
S 2 = m · g<br />
F 1 = m · g<br />
F 2 = m · g<br />
Aufgabe 2.3<br />
F 4 = 485,79N F 5 = 431,99N<br />
Aufgabe 2.4<br />
a) A H = 200N b) |⃗A| = 212,6N A V = 71,6N ϕ = 19,8 o<br />
Aufgabe 2.5<br />
a) F S = 1 3<br />
√<br />
3G c) S1 = −9+√ 3<br />
6<br />
G (Druck)<br />
b) N = 1 3√<br />
3G S2 = 1 2√<br />
10G (Zug)<br />
Aufgabe 2.6<br />
a) x G = 4 9 d<br />
⎡ ⎤<br />
1<br />
b) y C =<br />
12 5 d d) ⃗D = 4 5 G ⎢<br />
⎣ 2 ⎥<br />
⎦<br />
0<br />
c) S 4 = 1,13G<br />
Aufgabe 2.7<br />
S 1 = G · tanα (Zug) N A = 2G (Boden)<br />
S 2 = G · tanα (Druck) N B =<br />
cosα 1 · G (Scheibe 1/2)
69<br />
Aufgabe 2.8<br />
a) S = G c) S 1 = ( √ 2 − 1)G (Druck)<br />
b) <strong>für</strong> r ≪ AE gilt S 2 = ( √ 2 − 1)G (Druck)<br />
[ ] [ ]<br />
−1<br />
0<br />
⃗S 1 = √ G ; ⃗S 2 2 =<br />
1<br />
G<br />
d) Nein !<br />
e) B x = B y =<br />
2 1(2 − √ 2)G = 0,29kN<br />
Aufgabe 2.9<br />
S 1 = 2,73G (Zug) S 2 = −3,73G (Druck)<br />
Aufgabe 2.10<br />
S 6 = 3,06G S 7 = 4,77G<br />
Aufgabe 2.11<br />
S I = −0,0513F (Druck) S II = 1,02F (Zug) S III = −1,42F (Druck)<br />
Aufgabe 2.12<br />
S 1 = −2,64G (Druck) S 2 = −3,35G (Zug) S 3 = −2,64G (Druck)<br />
Aufgabe 2.13<br />
√<br />
S 1 = − 10<br />
60 G (Druck) S 2 = −<br />
24 5 · √11G<br />
(Druck) S 3 = −<br />
24 5 · √11G<br />
(Druck)<br />
Aufgabe 2.14<br />
S 3 = −<br />
2 1 √<br />
2F (Druck) S1 = −<br />
2 1 F (Druck) S 2 = −<br />
2 1 F (Druck)<br />
S 4 =<br />
2 1 F (Zug) S 6 = −F (Druck) S 5 = 1 2 F (Zug)<br />
xd
70 A Lösungen der Aufgaben<br />
Aufgabe 2.15<br />
a) β = 30 o c) S 3 =<br />
√<br />
3<br />
2 G (Druck)<br />
b) G 1 = 1 2 (√ 3+1)G S 4 = 1 2√<br />
15G (Druck)<br />
c) S 1 =<br />
S 2 =<br />
√<br />
3<br />
2 G S 5 = 0,173G (Zug)<br />
√<br />
3<br />
2 G S 6 = 0,11G (Zug)<br />
Aufgabe 2.16<br />
S 1 = − 1 2√<br />
21F (Druck) S2 = 3 2√<br />
21F (Zug) S3 = − √ 33F (Druck)<br />
Aufgabe 2.17<br />
F 1 = −166,7N (Druck); F 2 = 283,3N (Zug); F 3 = −212,13N (Druck);<br />
Aufgabe 3.1<br />
S A = 3F (Zug); S B = −2F (Druck); S C = F (Zug);<br />
Aufgabe 3.2<br />
F 1 = −F (Druck); F 2 = F 3 = F 5 = F (Zug);<br />
F 4 = F 6 = 2F<br />
(Zug);<br />
Aufgabe 3.3<br />
A = a r · F Z x = − a r · F Z y = F<br />
Aufgabe 3.4<br />
S 1 = 1 2 G<br />
S 2 = − 1 2 G<br />
(Zug)<br />
(Druck)<br />
S 3 = − 1 2√<br />
2G (Druck)
71<br />
Aufgabe 3.5<br />
F = 2 √ 15G<br />
Aufgabe 3.6<br />
⃗r z =<br />
[ 113<br />
3<br />
]<br />
a<br />
Aufgabe 4.1<br />
A x = 0<br />
Aufgabe 4.2<br />
A y = ql<br />
2<br />
B y = ql<br />
2<br />
A x = −6F A y = 3,2F B y = 4,8F<br />
Aufgabe 4.3<br />
A x = 0 A y = −2F B y = 8F<br />
Aufgabe 4.4<br />
A x = 0 A y = 3qa B y = 9qa<br />
Aufgabe 4.5<br />
A y = 25F B x = 0 B y = 5F<br />
Aufgabe 4.6<br />
A x = 0 A y = F M A = 2Fa<br />
Aufgabe 4.7<br />
A x = 0 A y = 45F B y = 25F<br />
Aufgabe 4.8<br />
A y = 2F B x = −2F B y = 2F<br />
Aufgabe 4.9<br />
A x = −10F A y = −2F B y = 2F
72 A Lösungen der Aufgaben<br />
Aufgabe 4.10<br />
A x = − F 2<br />
B x = − F 2<br />
A y = 0<br />
B y = F<br />
Aufgabe 4.11<br />
G = 15F<br />
Aufgabe 4.12<br />
A H = −B H = D H = −K H = 1171,9N E = H = 4166,7N<br />
B V = −2500N<br />
K V = −1666,7N<br />
Aufgabe 4.13<br />
A x = 0<br />
A y = 3 8 F<br />
B y = 5 8 F<br />
S DE = 3 4 · ah F<br />
C x = − 3 4 · ah F<br />
C y = 3 8 F<br />
Aufgabe 4.14<br />
A x = − 7 3 G C = 0<br />
A y = 8 9 G<br />
B = 7 3 G<br />
D = 1 9 G<br />
E = 2 9 G<br />
Aufgabe 4.15<br />
A x = 0<br />
M B = − 3 2 · Ga<br />
A y = 2G D x = 0<br />
B y = 2G<br />
D y = G
73<br />
Aufgabe 4.16<br />
A x = −4F<br />
B x = 0<br />
C x = 0<br />
A y = −4F<br />
B y = 3F<br />
C y = F<br />
Aufgabe 4.17<br />
A = 2 3√<br />
2qa = 94,3N By = − 2 3 qa = −66,7N M b = − 8 3 qa2 = −533Nm<br />
Aufgabe 4.18<br />
0 ≤ x ≤ a: S BD = − qx2<br />
5 √ 3a<br />
a ≤ x ≤ 3a:<br />
S BD = 2q √<br />
3<br />
(− x 5 + a<br />
10 )<br />
Aufgabe 4.19<br />
a) ⃗A =<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
−128,3<br />
0<br />
370<br />
⎤<br />
b) −0,16m ≤ r py ≤ 1,16m<br />
⎡<br />
⎥<br />
⎦ N; ⃗B = ⎢<br />
⎣<br />
−128,3<br />
0<br />
690<br />
⎤<br />
⎡<br />
⎥<br />
⎦ N; ⃗C = ⎢<br />
⎣<br />
256,7<br />
0<br />
0<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦ N;<br />
Aufgabe 4.20<br />
A x = A z = − 1 2 F; B y = 1 2 F; M AX = M AZ = 1 2 F a<br />
D z = 0; C z = 1 2 F; C x = C y = − 1 2 F;<br />
Aufgabe 4.21<br />
⃗S =⃗0; ⃗F F =⃗0; ⃗B =<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
−1<br />
1<br />
−2<br />
⎤<br />
⎡<br />
⎥<br />
⎦ F; ⃗E = ⎢<br />
⎣<br />
0<br />
−1<br />
0<br />
⎤<br />
⎡<br />
⎥<br />
⎦ F; ⃗M E = ⎢<br />
⎣<br />
−1<br />
0<br />
−2<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦ F a;
74 A Lösungen der Aufgaben<br />
Aufgabe 4.22<br />
⎡ ⎤<br />
0<br />
⃗A = ⎢<br />
⎣ 0 ⎥<br />
⎦<br />
qa<br />
⎡ ⎤<br />
−2qa<br />
⃗E = ⎢<br />
⎣ 0 ⎥<br />
⎦<br />
2qa<br />
⎡ ⎤<br />
0<br />
⃗M A = ⎢<br />
⎣ 0 ⎥<br />
⎦<br />
−qa 2<br />
⎡ ⎤<br />
0<br />
⃗F = ⎢<br />
⎣ 0 ⎥<br />
⎦<br />
0<br />
⃗D =<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
−2qa<br />
0<br />
−2qa<br />
⎡ ⎤<br />
0<br />
⃗G = ⎢<br />
⎣ 0 ⎥<br />
⎦<br />
qa<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
Aufgabe 4.23<br />
⃗A =<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
⃗C =⃗0<br />
⎤<br />
0<br />
0 ⎥<br />
1<br />
4<br />
⎦ G: ⃗M A =<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
0<br />
1<br />
3<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦ Ga<br />
4 ; ⃗B =<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
3<br />
4<br />
0<br />
0<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦ G; ⃗D =<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
− 3 4<br />
0<br />
⎥<br />
⎦ G<br />
3<br />
4<br />
⎤<br />
Aufgabe 4.24<br />
⃗A =<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
−1<br />
−2<br />
1<br />
⎤<br />
⎡<br />
⎥<br />
⎦ F; ⃗M A = ⎢<br />
⎣<br />
−6<br />
3<br />
−9<br />
⎤<br />
⎡<br />
⎥<br />
⎦ F a; ⃗D = ⎢<br />
⎣<br />
0<br />
0<br />
1<br />
⎤<br />
⎡<br />
⎥<br />
⎦ F; ⃗E = ⎢<br />
⎣<br />
0<br />
0<br />
3<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦ F;<br />
Aufgabe 5.1<br />
S 1 = −51,26kN (Druck) S 3 = −21,36kN (Druck)<br />
S 2 = 48,00kN (Zug) S 4 = −29,90kN (Druck)<br />
Aufgabe 5.2<br />
S 1 = −11,25kN (Druck) S 3 = −10,0kN (Druck)<br />
S 2 = 12,31kN (Zug) S 6 = 12,31kN (Zug)
75<br />
Aufgabe 5.3<br />
S 1 = −36,00kN (Druck) S 4 = −54,0kN (Druck)<br />
S 2 = 37,36kN (Zug) S 5 = 20,59kN (Zug)<br />
S 3 = 0 S 6 = 37,36kN (Zug)<br />
Aufgabe 5.4<br />
a) B H = 2F S 9 = 2F (Zug)<br />
B V = F<br />
S 10 = −2 √ 5F(Druck)<br />
C V = F S 11 = −2F (Druck)<br />
D V = 4F<br />
Aufgabe 5.5<br />
a) A H = 0 b) S 6 = − 13 √<br />
3<br />
F<br />
A V = −F S 7 = − 12 √<br />
3<br />
F<br />
B = 17F S 8 = 19 √<br />
3<br />
F<br />
(Druck)<br />
(Druck)<br />
(Zug)<br />
Aufgabe 5.6<br />
a) A x = 0,793 b) S 1 = − √ 2F (Druck)<br />
A y = 2,207F S 2 = 0<br />
−B H = B V = 0,207F S 3 = −1,121F (Druck)<br />
Aufgabe 5.7<br />
b) S 1 = −4F (Druck) c) S 4 = − √ 4 F 5<br />
(Druck) S 9 = 0<br />
S 2 = √ 17F (Zug) S 5 = −F (Druck) S 10 = 0<br />
S 6 = √ 4 F 5
76 A Lösungen der Aufgaben<br />
Aufgabe 5.8<br />
S 1 = −F(cosα+ 1 2 sinα) (Druck) S 5 = −F · cosα (Druck)<br />
S 2 = −<br />
2 1 √<br />
5F · sinα (Druck) S6 = S 2 (Druck)<br />
S 3 = S 4 = S 8 = F · sinα (Zug) S 7 = 1 2<br />
F · sinα (Zug)<br />
Aufgabe 5.9<br />
S 1 = − 1 3 F (Druck) S 3 = 1 3<br />
√<br />
5F (Zug)<br />
S 2 = 1 3<br />
√<br />
2F (Zug) S4 = 2 3<br />
(Zug)<br />
Aufgabe 5.10<br />
S 1 = −2 √ 2F (Druck) S 3 = 2 5<br />
√<br />
10F (Zug)<br />
S 2 = 2 5<br />
√<br />
10F (Zug) S4 = − 4 5√<br />
2F (Druck)<br />
Aufgabe 5.11<br />
S 1 = 1 3√<br />
2F (Zug); S3 = − 1 3 F (Druck); S 5 = 1<br />
24√<br />
13F (Zug)<br />
S 2 = 1 3√<br />
5F (Zug); S4 = 1 8√<br />
5F (Zug); S6 = 2 3 F (Zug)<br />
Aufgabe 5.12<br />
a) A x = 9 2 qa b) S 1 = − 9 2√<br />
2qa S4 = −3 √ 5qa<br />
A y = 5qa S 2 = − 1 2 qa S 5 = − 9 2√<br />
2qa<br />
B x = − 9 2 qa S 3 = − 3 2√<br />
2qa S6 = − 5 2 qa<br />
B y = 7qa<br />
Alle Stäbe sind Druckstäbe!<br />
Aufgabe 5.13<br />
S 6 = 0 S 4 = F (2+ 1 √<br />
3<br />
) ≈ 2,58F (Zug)<br />
S 5 = − 2 √<br />
3<br />
F ≈ −1,16F
77<br />
Aufgabe 5.14<br />
Stabkräfte:<br />
S 1 = S 2 = − 4√ 1 5F (Druck) S3 =<br />
4 1 F (Zug)<br />
S 4 = S 6 = −<br />
2 1 F (Druck) S 5 = S 7 = S 8 = S 9 = S 10 = 0<br />
Auflagerkräfte:<br />
C x = 3 4 F (←) B x =<br />
4 3 F (→) C y = B y =<br />
2 1 F (↑)<br />
Aufgabe 5.15<br />
a) S 1 = −0,192G (Druck) S 2 = −0,516G (Druck)<br />
S 3 = 0 S 4 = 0,229G (Zug)<br />
⎧<br />
⎫ ⎧<br />
⎪⎨ (0,354 · ba<br />
− 0,546)G ⎪⎬ ⎪⎨ 0 ≤ b ≤<br />
4 5 a<br />
b) S 1 = (−0,177 · ba<br />
+ 0,117)G <strong>für</strong><br />
5<br />
4<br />
a ≤<br />
4 7 ⎪⎩ −0,192G<br />
⎪⎭ ⎪⎩<br />
a<br />
7<br />
4<br />
a ≤ b ≤ 3a<br />
Aufgabe 5.16<br />
a) F 1 ≤ 1820N<br />
b)<br />
i S i [N] Zug/Druck<br />
i<br />
S i [N] Zug/Druck<br />
1 985 D<br />
2 1970 Z<br />
3 7500 D<br />
4 1970 D<br />
5 985 Z<br />
6 4180 Z<br />
7 985 Z<br />
8 1970 Z<br />
9 1393 D<br />
10 7500 D<br />
11 2786 D<br />
12 1970 Z<br />
13 3214 D<br />
14 6515 Z<br />
15 7393 D<br />
16 2956 Z<br />
17 3941 Z
78 A Lösungen der Aufgaben<br />
Aufgabe 6.1<br />
u(x) = F<br />
EA (− 1 2 x+ 1 2 · x2<br />
a + 1 6 · x3<br />
a 2 );<br />
u(x = 0) = 0;<br />
u(x = 0,414a) = 0,109 Fa<br />
EA<br />
u max = u(x = a) = − 1 6 Fa<br />
EA<br />
(max. Verschiebung nach rechts)<br />
(max. Verschiebung nach links)<br />
Aufgabe 6.2<br />
Auflagerkräfte:<br />
A = 1 4 Eπr2 (links); B = − 1 4 Eπr2 (rechts)<br />
Verschiebungsfunktion:<br />
u(x) = a2<br />
4 ( 1<br />
x+a − 1 a ); u max = u(x = a) = − 1 8<br />
Aufgabe 6.3<br />
Auflagerkräfte: A = 4 9 F (links); B = 5 9 F (rechts)<br />
Verschiebungsfunktion:<br />
4Fa<br />
9EA<br />
-<br />
Fa<br />
6EA<br />
x<br />
u(x)<br />
Aufgabe 6.4<br />
N(x) = − G a<br />
x+2G; u(x) =<br />
1<br />
EA (− 1 2 · Ga · x2 + 2G · x)<br />
Aufgabe 6.5<br />
a) u(x) = 1<br />
EA ( µ oa<br />
2 x − µ ox 3<br />
6a );<br />
b) u B = u(x = a) = µ oa 2<br />
3EA<br />
N(x) = − µ o<br />
a · x2<br />
2 + µ oa<br />
2<br />
Aufgabe 6.6<br />
u 1 (x 1 ) = na<br />
4EA · x 1:<br />
N 1 (x 1 ) = na 4 ;<br />
u 2 (x 2 ) = na2<br />
4EA + na<br />
4EA · x 2 − n<br />
2EA · x2 2<br />
N 2(x 2 ) = na<br />
4 − n · x 2
79<br />
Aufgabe 6.7<br />
W Bx = − 1 2 Fa<br />
EA ;<br />
W Cx = − 1 2 Fa<br />
EA ;<br />
W By = − 1 2 Fa<br />
EA ;<br />
W Cy = − 3 2 Fa<br />
EA ;<br />
Aufgabe 6.8<br />
S 1 = S 2 = S 4 = 2 9 F (Druck) S 3 = 5 9 F (Druck)<br />
Aufgabe 6.9<br />
S 1 = 1 2 qa (Zug) S 2 = −<br />
2 1 qa (Druck)<br />
Aufgabe 6.10<br />
u = − 161<br />
16 · Fa<br />
EA ;<br />
Fa<br />
v = −3<br />
EA<br />
Aufgabe 6.11<br />
x a = 4,732 Ga<br />
EA ;<br />
y a = 23,124 Ga<br />
EA<br />
Aufgabe 6.12<br />
S 1 = 0,4F (Zug); S 2 = 0,5384F (Zug); S 3 = 0,2308F (Zug);<br />
Aufgabe 6.13<br />
w H =<br />
△a<br />
2(1+ √ 2)<br />
(nach links)<br />
Aufgabe 6.14<br />
S 3 = 0,8F<br />
(Druck)<br />
Aufgabe 6.15<br />
a) w a = 4000 qa 2<br />
9 EA<br />
b) w a = 16000 qa 2<br />
63 EA<br />
w b = 250 qa2<br />
EA<br />
w b = 1000 qa 2<br />
7 EA
80 A Lösungen der Aufgaben<br />
Aufgabe 6.16<br />
a) w xB = (2 √ 2 − 1) Fa<br />
EA ;<br />
b) x B = 0,3787 Fa<br />
EA ;<br />
w x C<br />
= (2 √ 2 − 1) Fa<br />
EA ;<br />
w x C<br />
= 0,3787 Fa<br />
EA ;<br />
w y B<br />
= Fa<br />
EA ;<br />
w y C<br />
= − Fa<br />
EA ;<br />
w y B<br />
= 1,3787 Fa<br />
EA ; w y C<br />
= − Fa<br />
EA ;<br />
Aufgabe 6.17<br />
S 1 = 0,297F (Zug) w x = 0,109 Fa<br />
EA<br />
S 2 = 0,406F (Zug) w y = −0,406 Fa<br />
EA<br />
S 3 = 0,515F<br />
(Zug)<br />
Aufgabe 6.18<br />
S 1 =<br />
37 7 F; (Zug) S 2 =<br />
37 8 F; (Zug) S 3 = 22<br />
37<br />
F; (Zug)<br />
Aufgabe 7.1<br />
N(x) = 0<br />
Q(x) = −qx+ ql<br />
2<br />
M(x) = − q 2 x2 + ql<br />
2 x<br />
ql<br />
2<br />
+<br />
0<br />
−<br />
ql<br />
−<br />
2<br />
N Q M<br />
+<br />
ql²<br />
8<br />
Aufgabe 7.2<br />
N(x 1 ) = 6F Q(x 1 ) = 3,2F M(x 1 ) = 3,2F x 1 x<br />
N(x 2 ) = 0 Q(x 2 ) = −4,8F M(x 2 ) = −4,8F x 2 + 9,6Fa<br />
6F<br />
3,2F<br />
+ +<br />
N Q −4,8F M<br />
−<br />
+<br />
9,6Fa
4F<br />
81<br />
Aufgabe 7.3<br />
N(x 1 ) = 0F Q(x 1 ) = −2F M(x 1 ) = −2F x 1 x<br />
N(x 2 ) = 0 Q(x 2 ) = 6F M(x 2 ) = 6F x 2 − 6Fa<br />
6F<br />
−6Fa<br />
N<br />
0<br />
Q<br />
−<br />
−2F<br />
+ −<br />
M<br />
Aufgabe 7.4<br />
N(x 1 ) = 0F Q(x 1 ) = −qx 1 + 3qa M(x 1 ) = − q 2 x2 1 + 3qax 1<br />
N(x 2 ) = 0 Q(x 2 ) = −qx 2 + 4qaF M(x 2 ) = − q 2 x2 2 + 4qax 2 − 8qa 2<br />
N<br />
0<br />
3qa<br />
+<br />
Q<br />
−<br />
4qa<br />
−5qa<br />
+ −<br />
M<br />
+<br />
4,5qa²<br />
−8qa²<br />
Aufgabe 7.5<br />
N(x 1 ) = −20F Q(x 1 ) = 15F M(x 1 ) = 15F x 1<br />
N(x 2 ) = 4F Q(x 2 ) = −3F M(x 2 ) = −3F x 2 + 25Fa<br />
−<br />
−20F<br />
+ 15F +<br />
−3F<br />
25Fa<br />
N Q M
82 A Lösungen der Aufgaben<br />
Aufgabe 7.6<br />
N(x 1 ) = −F Q(x 1 ) = 0 M(x 1 ) = −2Fa<br />
N(x 2 ) = 0 Q(x 2 ) = F M(x 2 ) = F x 2 − 2Fa<br />
F<br />
+ −<br />
−2Fa<br />
−F<br />
−<br />
−<br />
N<br />
Q<br />
M<br />
Aufgabe 7.7<br />
3F<br />
0<br />
N(x 1 ) = −27F + 6 F a x 1<br />
Q(x 1 ) = −8 F a x 1 + 36F<br />
−<br />
N<br />
M(x 1 ) = −4 F a x2 1 + 36F x 1<br />
−27F<br />
N(x 2 ) = 0<br />
Q(x 2 ) = −5F<br />
M(x 2 ) = −5F x 2 2 + 80Fa<br />
36F<br />
+<br />
x 1,0 = 4,5a<br />
−4F<br />
−5F<br />
Q<br />
−25F<br />
−<br />
N(x 3 ) = 0<br />
Q(x 3 ) = −25F<br />
M(x 3 ) = −25F x 2 3 + 50Fa<br />
+<br />
81Fa<br />
+<br />
80Fa<br />
M<br />
50Fa
83<br />
Aufgabe 7.8<br />
N(x 1 ) = 0 Q(x 1 ) = +2F M(x 1 ) = 2F x 1<br />
N(x 2 ) = 0 Q(x 2 ) = 0 M(x 2 ) = 6Fa<br />
N(x 3 ) = −2F Q(x 3 ) = −2F M(x 3 ) = −2F x 3 + 6Fa<br />
2F<br />
+<br />
N<br />
−<br />
−2F<br />
Q<br />
−<br />
−2F<br />
M<br />
+<br />
6Fa<br />
Aufgabe 7.9<br />
N(x 1 ) = 10F Q(x 1 ) = −2F M(x 1 ) = −2F x 1<br />
N(x 2 ) = 0 Q(x 2 ) = −2F M(x 2 ) = −2F x 2 + 6Fa<br />
N(x 3 ) = 0 Q(x 3 ) = 10F M(x 3 ) = 10F x 3 − 10Fa<br />
10Fa<br />
N<br />
10F<br />
+<br />
0<br />
0<br />
Q<br />
10F<br />
+<br />
−<br />
−2F<br />
M<br />
−10Fa<br />
−<br />
−<br />
−4Fa +<br />
6Fa<br />
4Fa<br />
6Fa
84 A Lösungen der Aufgaben<br />
Aufgabe 7.10<br />
A x = 4F A y = 7F B y = 7F<br />
1. Bereich: (0 ≤ x ≤ 3a)<br />
N(x) = 3F<br />
Q(x) = −6F<br />
M(x) = −6F · x<br />
2. Bereich: (3a ≤ x ≤ 7a)<br />
N(x) = −F<br />
Q(x) = F<br />
M(x) = F (x − 21a)<br />
3F<br />
3. Bereich: (7a ≤ x ≤ 11a)<br />
F<br />
N(x) = F<br />
Q(x) = −F<br />
N<br />
F<br />
M(x) = −F (7a+x)<br />
6F<br />
4. Bereich: (11a ≤ x ≤ 14a)<br />
N(x) = F<br />
Q(x) = 6F<br />
M(x) = −6F (14a − x)<br />
Q<br />
M<br />
−6F<br />
F<br />
−18 Fa<br />
−F<br />
−14 Fa<br />
−18 Fa<br />
Aufgabe 7.11<br />
N(x) = 0; Q(x) = −q o a[ 1 2 ( x a )2 − 1 3 ( x a )3 ]; M(x) = q o a 2 [ 1 12 − 1 6 ( x a )3 + 1<br />
12 ( x a )4 ]<br />
Aufgabe 7.12<br />
a) A y = 3 2 q oa − 2βF B y = 3 2 q oa+5βF<br />
b) Bereich I: Bereich II:<br />
Q I (x I ) = 3 2 qa − β · 2qa − qx I<br />
M I (x I ) = (( 3 2 qa − β · 2qa)x I − q · xI 2<br />
2<br />
Q II (x II ) = β · 3qa<br />
M II (x I I) = −β · 6qa 2 + β · 3qx II<br />
c) β = 0,39
85<br />
Aufgabe 7.13<br />
a) B = 11<br />
12 qa C y = 5<br />
12 qa C x = 0<br />
b) Bereich A-B: Bereich B-C:<br />
Q(x) = − 1 3 qa( x a )3 Q(x) = qa( 7 12 − x a )<br />
M(x) = −<br />
12 1 qa2 (<br />
a x)4 M(x) = qa 2 (<br />
12 7 · xa − 12 1 − 2a<br />
x 2 )<br />
c) bei x = 7<br />
12 a ist |M max| = 25<br />
288 qa2<br />
Aufgabe 7.14<br />
A x = 1 2 F A y = F B x =<br />
2 1F B y = −F<br />
Der Momentenverlauf ist in den 4 Bereichen linear.<br />
Gelenke: M = 0<br />
Ecken: |M| = F a<br />
Aufgabe 7.15<br />
Q<br />
3<br />
qa<br />
2<br />
+<br />
qa<br />
2<br />
-<br />
qa<br />
2<br />
M<br />
5 2<br />
qa<br />
2<br />
qa<br />
2<br />
8<br />
- -<br />
qa 2<br />
qa<br />
2<br />
2<br />
M max = M(x = 0) = 5 2 qa2<br />
Aufgabe 7.16<br />
E = F C y = 3F C x = 2F<br />
M C = 6Fa D x = −2F D y = 3F<br />
−<br />
F<br />
N 2F<br />
Q − 3F M<br />
+<br />
+<br />
4Fa<br />
−6Fa<br />
−<br />
quadratische Parabel
86 A Lösungen der Aufgaben<br />
Aufgabe 7.17<br />
Q<br />
M<br />
M=qa 2 q<br />
qa qa 2qa<br />
−qa 2<br />
−<br />
+<br />
qa<br />
0<br />
0<br />
qa<br />
−<br />
+<br />
−qa<br />
1<br />
−<br />
2<br />
−<br />
qa2<br />
horiz. Tangente<br />
Bereich I:<br />
Q(x I ) =qa<br />
M(x I ) =−qa 2 (1 − x I<br />
a )<br />
Bereich II:<br />
Q(x II ) = 0<br />
M(x II ) = 0<br />
Bereich III:<br />
Q(x III ) = −q · x III<br />
M(x III ) = −q · x2 III<br />
2<br />
Bereich IV:<br />
Q(x IV ) = qa(1 − x IV<br />
M(x IV )<br />
a<br />
)<br />
= − 1 2 qa2 (1 − x IV<br />
a<br />
) 2<br />
Aufgabe 7.18<br />
Auflagerkräfte: A x = 0 A y = 1,5F B = 0,5F Stabkraft: S = F<br />
(Zug)<br />
Bereich I: (0 ≤ x ≤ a)<br />
N I (x) =<br />
2 1 √<br />
2F(<br />
3<br />
2<br />
−<br />
a x )<br />
Q I (x) =<br />
2 1 √<br />
2F(−<br />
3<br />
2<br />
+<br />
a x)<br />
M I (x) = 1 √<br />
2 2Fa[−<br />
3<br />
2 · xa + 2 1 ( a x )2 ]<br />
Bereich II: (a ≤ x ≤ 2a)<br />
N II (x) =<br />
2 1 √<br />
2F (<br />
5<br />
2<br />
−<br />
a x )<br />
Q II (x) =<br />
2 1 √<br />
2F (−<br />
1<br />
2<br />
+<br />
a x)<br />
M II (x) = 1 √<br />
2 2Fa[−1 −<br />
1<br />
2 · xa + 1 2 ( a x )2 ]<br />
−<br />
4<br />
1<br />
− 2F<br />
−<br />
−<br />
4<br />
−<br />
3<br />
− 2F<br />
−<br />
4<br />
1<br />
− 2F<br />
3<br />
−<br />
4<br />
2F<br />
+<br />
1<br />
−<br />
4<br />
2F<br />
−<br />
4<br />
1<br />
− 2F<br />
−<br />
−<br />
4<br />
3<br />
− 2F<br />
+<br />
Knick<br />
1<br />
2− 2Fa<br />
N<br />
−<br />
4<br />
3<br />
− 2F<br />
Q<br />
M
87<br />
Aufgabe 7.19<br />
Bereich I: (0 ≤ x I ≤ 3a)<br />
N(x I ) = + 1 2√<br />
3F<br />
F<br />
F<br />
q<br />
3 F<br />
3 F<br />
Bereich II<br />
3a<br />
x II<br />
z II<br />
x I<br />
0,5 F Bereich I<br />
2,5 F<br />
z I<br />
2a<br />
a<br />
Q(x I ) = F − F a · x I<br />
M(x I ) = F · x I −<br />
2a F · x2 I<br />
Bereich II: (0 ≤ x II ≤ √ 3a)<br />
N(x II ) = −0,5F<br />
Q(x II ) =<br />
2 1 √<br />
3F<br />
M(x II )= −1,5F · a − 1 √<br />
2 3F · xII
88 A Lösungen der Aufgaben<br />
Aufgabe 7.20<br />
Bereich I: (A-B)<br />
N(x 1 ) = 0<br />
Q(x 1 ) = − F a · x 1<br />
M(x 1 ) = − F a · x1<br />
2<br />
2<br />
Bereich II: (C-D)<br />
N(x 2 ) = − 3<br />
2 √ 2 F<br />
Q(x 2 ) = 3<br />
2 √ 2 F<br />
M(x 2 ) = 3<br />
2 √ 2 F · x 2<br />
Bereich III: (E-F)<br />
0 0 0<br />
−<br />
3F<br />
2 2<br />
1<br />
F<br />
2<br />
+<br />
−<br />
3F 1<br />
+ −F<br />
−<br />
2 2<br />
2 F<br />
N<br />
Q<br />
N(x 3 ) = 0<br />
Q(x 3 ) = 1 2 F<br />
M(x 3 ) = Fa+ 1 2 F · x 3<br />
Bereich IV: (G-H)<br />
Fa<br />
+<br />
1<br />
2<br />
Fa<br />
3<br />
2<br />
Fa<br />
+<br />
3<br />
2<br />
Fa<br />
Fa<br />
M<br />
N(x 4 ) = 0<br />
Q(x 4 ) = − 1 2 F<br />
M(x 4 ) = 3 2 F · a − 1 2 F · x 4<br />
Aufgabe 7.21<br />
12,4 qa<br />
5,7 qa<br />
N(x) = − 24<br />
25<br />
qx − 7,6qa<br />
-<br />
Q(x) = − 57<br />
25 qx+5,7qa<br />
-<br />
+<br />
7,125 qa<br />
2<br />
M(x) = −<br />
50 57 qx2 + 5,7qax<br />
7,6 qa<br />
+<br />
5,7 qa<br />
Parabel 2.O.<br />
N<br />
Q<br />
M
89<br />
Aufgabe 7.22<br />
a) A x = 0 A y = 12F M A = −52Fa<br />
b) S CD = 35F (Druck)<br />
−4Fa<br />
−16Fa<br />
−<br />
+<br />
quadr. Parabel<br />
32 Fa<br />
horiz. Tangente<br />
21F<br />
+<br />
+<br />
16F<br />
−<br />
−12F<br />
+<br />
−<br />
M<br />
−<br />
N<br />
−<br />
16F<br />
Q<br />
−21F<br />
−52Fa<br />
−12F<br />
Aufgabe 7.23<br />
Gleichgewichtssystem:<br />
Biegemomentenverlauf:<br />
a<br />
G<br />
G<br />
G<br />
G<br />
G a<br />
1<br />
2 G a<br />
G<br />
a<br />
a<br />
2 G G<br />
G a
90 A Lösungen der Aufgaben<br />
Aufgabe 7.24<br />
z<br />
x<br />
+M<br />
G<br />
2<br />
G<br />
o<br />
30<br />
G<br />
30<br />
o<br />
3<br />
2 G<br />
60 o<br />
30<br />
o<br />
G<br />
1<br />
3<br />
2<br />
G<br />
N<br />
+<br />
3<br />
G<br />
+<br />
M<br />
Q<br />
1<br />
2 G +<br />
1<br />
2 G -<br />
1<br />
2<br />
+<br />
-<br />
G a<br />
1<br />
2<br />
G a<br />
Aufgabe 7.25<br />
Auflagerreaktionen: A x = F; B x = −F; B y = F<br />
Beanspruchungsgrößen:<br />
0 ≤ x I ≤ 2a 0 ≤ x II ≤ a<br />
N = −F<br />
N = −F<br />
Q = −F<br />
Q = 2F<br />
M = −F · x I M = 2F(x II − a)
91<br />
Aufgabe 7.26<br />
Auflagerkräfte: A x = 0; A y = F −<br />
5 1 F · xa ; C = 5 1 F · xa<br />
{ } { 35<br />
F · xa<br />
0 ≤ x ≤ 2a<br />
Stabkräfte: S 3 =<br />
2F −<br />
5 2 F · xa<br />
<strong>für</strong><br />
(Zug)<br />
2a ≤ x ≤ 5a<br />
S 1 = √ 2S 3 (Zug) S 5 = √ 2S 3 (Zug)<br />
S 2 = −S 3 (Druck) S 4 = −S 3 (Druck)<br />
max. Beanspr. x = 2a max.S 3 = 6 5 F<br />
F<br />
3<br />
5<br />
F<br />
2 6 5<br />
F<br />
6<br />
5<br />
F<br />
6<br />
5<br />
F<br />
6<br />
2 F<br />
5<br />
2<br />
5<br />
F<br />
N<br />
−<br />
−<br />
6<br />
5<br />
F<br />
Q<br />
3<br />
+ 5<br />
−<br />
−<br />
3<br />
5<br />
F<br />
F<br />
−<br />
2<br />
5<br />
F<br />
−<br />
+<br />
4<br />
5<br />
F<br />
M<br />
_<br />
−<br />
3<br />
5<br />
Fa<br />
_<br />
−<br />
4<br />
5<br />
Fa<br />
Aufgabe 7.27<br />
a) 0 ≤ x ≤ a: M (x) = 2q o ax − 1 2 q ox 2 − 1 2 Sx<br />
a ≤ x ≤ 3a:<br />
M (x) = 2q o ax − 1 2 q ox 2 − 1 2 Sa<br />
3a ≤ x ≤ 4a: M (x) = 2q o ax −<br />
2 1 q ox 2 + 1 2S(x − 4a)<br />
b) S = 7 2 q oa
92 A Lösungen der Aufgaben<br />
Aufgabe 7.28<br />
G<br />
C<br />
1<br />
G<br />
1 G 2<br />
Q<br />
N<br />
M<br />
G<br />
1<br />
2 G 2<br />
A<br />
G<br />
1<br />
2 G<br />
B<br />
G<br />
G<br />
60o<br />
G<br />
−G<br />
−<br />
+<br />
1<br />
− G<br />
2<br />
−<br />
−<br />
−G (1+<br />
1<br />
3 )<br />
−Ga<br />
−<br />
−<br />
1<br />
2 G<br />
G a<br />
+<br />
−<br />
G<br />
2 3 2<br />
1<br />
G<br />
−3G<br />
−Ga<br />
−<br />
Aufgabe 7.29<br />
a) S 1 = 2 3√<br />
2qo a (Zug) S 2 = − 2 3 q oa (Druck) S 3 = 2 3 q oa (Zug)<br />
S 4 = −|S 2 | (Druck) S 5 = |S 1 | (Zug)<br />
b)<br />
Bereich I:<br />
N(x 1 ) = − 2 3 q o a<br />
Q(x 1 ) = q o a(1 − x 1<br />
2a )2<br />
M(x 1 ) = − 2 3 q o a 2 (1 − x 1<br />
2a )3 + 2 3 q o a 2<br />
Bereich II:<br />
N(x 2 ) = − 2 3 q o a<br />
Q(x 2 ) = 1 4 q o a(1 − x 2<br />
a<br />
) 2 − 2 3 q o a<br />
M(x 2 ) = − 1<br />
12 q o a 2 (1 − x 2<br />
a<br />
) 3 + 2 3 q o a 2 (1 − x 2<br />
a<br />
)<br />
I<br />
II<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
x 1 x 2<br />
A x<br />
M A<br />
A z<br />
Gz<br />
G x<br />
Gz<br />
q<br />
o<br />
S 4 S 5<br />
z<br />
x
93<br />
Gx<br />
G z<br />
2<br />
3 q o a<br />
2<br />
2<br />
3 q o a 3 q o a<br />
Q<br />
q o a<br />
+<br />
− 5<br />
q<br />
12 o a<br />
1 qo a 4<br />
−<br />
2<br />
− 3 q o a<br />
q o<br />
N<br />
−<br />
2<br />
− 3 q o a<br />
M<br />
−<br />
−<br />
7 q o a<br />
4<br />
2<br />
Aufgabe 7.30<br />
a)<br />
A x = 0<br />
A y<br />
B<br />
b)<br />
= 9 4 q oa<br />
= 3 4 q oa<br />
S 1 = 9 8√<br />
10qo a (Zug)<br />
S 2 = 9 8 q oa (Zug)<br />
S 3 = S 2 (Zug)<br />
S 5 = S 1 (Zug)<br />
19<br />
9<br />
4 q o a<br />
9<br />
8<br />
q<br />
o<br />
a<br />
27<br />
9<br />
8 q o a<br />
8 q o a<br />
3<br />
4<br />
q<br />
o<br />
a<br />
27<br />
8<br />
q o<br />
a<br />
Q<br />
9<br />
8 q o a 11<br />
q<br />
8 o<br />
a<br />
+<br />
1<br />
3<br />
q<br />
4 q o 4 o<br />
a<br />
4 q o<br />
5<br />
4 q o a<br />
a<br />
−<br />
13 2<br />
8 q o a<br />
N<br />
−<br />
−<br />
27<br />
8<br />
q<br />
o a<br />
M<br />
+<br />
−<br />
7<br />
q<br />
o a 2<br />
4<br />
1<br />
4 q o a 2
94 A Lösungen der Aufgaben<br />
Aufgabe 7.31<br />
q o a<br />
2<br />
00 11<br />
00 11<br />
G x = 0<br />
G y = 1 2 q oa<br />
q 2 o a<br />
2<br />
x III<br />
q o a<br />
2<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
x I<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
q o<br />
x II<br />
Q<br />
qo a<br />
2<br />
+<br />
−<br />
−<br />
q o a<br />
2<br />
N<br />
+<br />
q o a<br />
2<br />
M<br />
q<br />
− o a2<br />
2<br />
−<br />
qo a<br />
8<br />
2<br />
Aufgabe 7.32<br />
N (xI ) = 0<br />
Q (xI ) = G<br />
M (xI ) = −G(a+b+R−x I )<br />
√<br />
N (xII ) = − 1 − (R−r)2<br />
a<br />
G<br />
Q (xII ) = (1+ R−r<br />
a )G<br />
M (xII ) = −(1+ R−r<br />
a<br />
)(a − x II)G<br />
Aufgabe 7.33<br />
A x = 0; A z = −qa; B z = 4qa; M D = 1 2 qa2<br />
Q<br />
−qa<br />
−<br />
2qa<br />
+<br />
−2qa<br />
G<br />
M<br />
1qa 2<br />
2<br />
2 qa<br />
− 3 2<br />
−<br />
Parabel 2.O.<br />
G<br />
+
95<br />
Aufgabe 7.34<br />
a)<br />
A x<br />
A z<br />
= 5 8 qa<br />
= 3 8 qa<br />
S = 2,5√ 2<br />
4<br />
qa<br />
b)<br />
Bereich I:<br />
N(x I ) = − 3 8 qa<br />
Q(x I ) = − 5 8 qa<br />
0 ≤ x I ≤ a<br />
M(x I ) = − 5 8 qa · x I<br />
Bereich II: 0 ≤ ϕ ≤ π 2<br />
N II (ϕ) = −qa( 5 8 sinϕ+ 3 8 cosϕ)<br />
Q II (ϕ) = qa( 3 8 sinϕ − 5 8 cosϕ)<br />
M II (ϕ) = qa 2 (− 2 8 − 3 8 cosϕ − 5 8 sinϕ)<br />
Bereich III: 0 ≤ x III ≤ a<br />
N(x III ) = − 5 8 qa<br />
Q(x III ) = 3 8 qa<br />
M(x III ) = qa 2 (− 7 8 + 3 8<br />
Bereich IV:<br />
N(x IV ) = 0<br />
0 ≤ x IV ≤ a<br />
Q(x IV ) = q(a − x IV )<br />
x III<br />
a )<br />
M(x IV ) = q(a − x IV ) 1 2 (a − x IV)<br />
a a a<br />
q<br />
C D<br />
E<br />
III IV<br />
II<br />
a<br />
x<br />
B<br />
S<br />
d<br />
A x<br />
I<br />
α<br />
a<br />
G<br />
z<br />
Az<br />
N<br />
Q<br />
M<br />
qa<br />
−<br />
5<br />
8<br />
−<br />
3<br />
−<br />
−<br />
8 qa<br />
qa<br />
3<br />
8 qa +<br />
59°<br />
−<br />
−<br />
5<br />
qa<br />
8<br />
7<br />
−<br />
8 qa 2<br />
1<br />
−<br />
2 qa 2<br />
−0,979qa² −<br />
−<br />
−<br />
5<br />
8 qa linear<br />
2<br />
quadr. Parabel<br />
59 o<br />
−<br />
Aufgabe 7.35<br />
Bereich B - C:<br />
N = F<br />
Q = 0<br />
M = Fr<br />
Bereich A - B:<br />
0<br />
01<br />
01<br />
ϕ 0 01<br />
1<br />
1<br />
N = −F · sinϕ<br />
Q = −F · cosϕ<br />
M = −Fr · sinϕ
96 A Lösungen der Aufgaben<br />
N Q M<br />
F<br />
+<br />
−<br />
−F<br />
−<br />
−Fr<br />
+<br />
F<br />
−<br />
−F<br />
+<br />
Fr<br />
Aufgabe 7.36<br />
F b<br />
1<br />
2<br />
2<br />
qa<br />
1<br />
2<br />
2<br />
qa<br />
F t<br />
t<br />
qa<br />
F n = 0<br />
+<br />
-<br />
+<br />
+<br />
M<br />
1<br />
4<br />
2<br />
qa<br />
2<br />
+<br />
qa<br />
Mn M b<br />
-<br />
1<br />
2 qa 2 1<br />
4<br />
2<br />
qa<br />
2<br />
1<br />
2<br />
2<br />
qa<br />
1<br />
+<br />
2<br />
1<br />
2 qa 2<br />
- + -<br />
2<br />
2<br />
qa<br />
2
97<br />
Aufgabe 7.37<br />
a) P E ( 3 2 a; 2 3 a; 2a)<br />
b) S 3 = 4√ 1 8,5G S2 = G S 1 = 1 4√ 8,5G<br />
⎡ ⎤<br />
⎡ ⎤<br />
0<br />
1<br />
c) ⃗F D = ⎢<br />
⎣ 0 ⎥<br />
⎦<br />
⃗M D = ⎢<br />
⎣ −1 ⎥<br />
⎦ 2 3 G · a<br />
G<br />
0<br />
3<br />
00 11Druck<br />
00000000000000000000000000<br />
11111111111111111111111111<br />
00 11 8 G 00 11<br />
00000000000000000000000000<br />
11111111111111111111111111 00000000000000000000<br />
11111111111111111111<br />
Druck<br />
00000000000000000000000000<br />
11111111111111111111111111<br />
00000000000000000000000<br />
11111111111111111111111<br />
00000000000000000000<br />
11111111111111111111<br />
00000000000000000000000000<br />
11111111111111111111111111<br />
00000000000000000000000<br />
11111111111111111111111<br />
00000000000000000000<br />
11111111111111111111<br />
3 00000000000000000000000<br />
11111111111111111111111<br />
8 G<br />
00000000000000000000<br />
11111111111111111111<br />
00000000000000000000000<br />
11111111111111111111111<br />
00000000000000000000<br />
11111111111111111111<br />
00000000000000000000000<br />
11111111111111111111111<br />
00000000000000000000000<br />
11111111111111111111111<br />
N 00000000000000000000000<br />
11111111111111111111111<br />
00000000000000000000000<br />
11111111111111111111111<br />
Druck<br />
00000000000000000000000<br />
11111111111111111111111<br />
00000000000000000000000<br />
11111111111111111111111<br />
00000000000000000000000<br />
11111111111111111111111<br />
00000000000000000000000<br />
11111111111111111111111<br />
00000000000000000000000<br />
11111111111111111111111<br />
00000000000000000000000<br />
11111111111111111111111<br />
00000000000000000000000<br />
11111111111111111111111<br />
00000000000000000000000<br />
00000000000000000000000<br />
00000000000000000000000<br />
11111111111111111111111<br />
11111111111111111111111<br />
11111111111111111111111<br />
4<br />
5 G<br />
00000000000000000000000<br />
11111111111111111111111<br />
00000000000000000000000<br />
11111111111111111111111<br />
00000000000000000000000<br />
11111111111111111111111<br />
00000000000000000000000<br />
11111111111111111111111<br />
00000000000000000000000<br />
11111111111111111111111<br />
00000000000000000000000<br />
11111111111111111111111<br />
00000000000000000000000<br />
11111111111111111111111<br />
00000000000000000000000<br />
11111111111111111111111<br />
00000000000000000000000<br />
11111111111111111111111<br />
00000000000000000000000<br />
11111111111111111111111<br />
00000000000000000000000<br />
11111111111111111111111<br />
00000000000000000000000<br />
11111111111111111111111<br />
00000000000000000000000<br />
11111111111111111111111<br />
00000000000000000000000<br />
11111111111111111111111<br />
00000000000000000000000<br />
11111111111111111111111<br />
00000000000000000000000<br />
00000000000000000000000<br />
00000000000000000000000<br />
11111111111111111111111<br />
11111111111111111111111<br />
11111111111111111111111<br />
9<br />
10<br />
Ga<br />
M x<br />
00 113<br />
00000000000000000000000000<br />
11111111111111111111111111<br />
00 11 8 G<br />
00000000000000000000000000<br />
11111111111111111111111111<br />
00000000000000000000<br />
11111111111111111111<br />
00000000000000000000000<br />
11111111111111111111111<br />
00000000000000000000000000<br />
11111111111111111111111111 00000000000000000000<br />
11111111111111111111<br />
00000000000000000000000<br />
11111111111111111111111<br />
00000000000000000000000000<br />
11111111111111111111111111 00000000000000000000<br />
11111111111111111111<br />
01 3 00000000000000000000000<br />
11111111111111111111111<br />
8 G<br />
1<br />
00000000000000000000<br />
11111111111111111111<br />
00 11<br />
00 11 2 G<br />
00000000000000000000000<br />
11111111111111111111111<br />
00000000000000000000<br />
11111111111111111111<br />
00000000000000000000000<br />
11111111111111111111111 00000000000000<br />
11111111111111<br />
00000000000000000000000<br />
11111111111111111111111<br />
00 11<br />
00000000000000<br />
11111111111111<br />
1<br />
Q 00000000000000000000000<br />
11111111111111111111111 00000000000000<br />
11111111111111<br />
2<br />
y 00000000000000000000000<br />
11111111111111111111111<br />
00000000000000000000000<br />
11111111111111111111111<br />
00000000000000000000000<br />
11111111111111111111111<br />
Q<br />
00000000000000000000000<br />
11111111111111111111111<br />
z 00000000000000000000000<br />
11111111111111111111111<br />
00000000000000000000000<br />
11111111111111111111111<br />
00000000000000000000000<br />
11111111111111111111111<br />
00000000000000000000000<br />
11111111111111111111111<br />
00000000000000000000000<br />
11111111111111111111111<br />
4<br />
00000000000000000000000<br />
11111111111111111111111<br />
5 G<br />
00000000000000000000000<br />
11111111111111111111111<br />
00 113<br />
2 Ga 00 11 3<br />
2 Ga<br />
000000000000000000000<br />
1111111111111111111110000000000000<br />
0000000000000000000000000000<br />
1111111111111111111111111111<br />
0000000000000<br />
1111111111111<br />
0000000000000000000000000000<br />
1111111111111111111111111111 0000000000000<br />
1111111111111<br />
0000000000000000000000000000<br />
1111111111111111111111111111 0000000000000<br />
1111111111111<br />
113<br />
0000000000000000000000000000<br />
1111111111111111111111111111 0000000000000<br />
1111111111111<br />
2 Ga<br />
0000000000000000000000000000<br />
1111111111111111111111111111<br />
M<br />
0000000000000000000000000000<br />
1111111111111111111111111111<br />
y<br />
0000000000000000000000000000<br />
1111111111111111111111111111<br />
0000000000000000000000000000<br />
1111111111111111111111111111<br />
0000000000000000000000000000<br />
1111111111111111111111111111<br />
0000000000000000000000000000<br />
1111111111111111111111111111<br />
0000000000000000000000000000<br />
1111111111111111111111111111<br />
00 113<br />
2 Ga 0000000000000000000000000000<br />
1111111111111111111111111111<br />
00 11 0000000000000000000000000000<br />
1111111111111111111111111111<br />
0000000000000000000000000000<br />
1111111111111111111111111111<br />
0000000000000000000000000000<br />
1111111111111111111111111111<br />
0000000000000000000000000000<br />
1111111111111111111111111111<br />
00 119 Ga<br />
000000000000000000000<br />
111111111111111111111<br />
8<br />
0000000000000000000000000<br />
1111111111111111111111111<br />
0000000000000000000000000<br />
1111111111111111111111111<br />
0000000000000000000000000<br />
1111111111111111111111111<br />
00000000000000000<br />
11111111111111111<br />
0000000000000000000000000<br />
1111111111111111111111111<br />
00000000000000000<br />
11111111111111111<br />
0000000000000000000000000<br />
1111111111111111111111111 00000000000000000<br />
11111111111111111<br />
0000000000000000000000000<br />
1111111111111111111111111 00000000000000000<br />
11111111111111111<br />
0000000000000000000000000<br />
1111111111111111111111111<br />
M 01 00 119 Ga<br />
0000000000000000000000000<br />
1111111111111111111111111<br />
z<br />
8<br />
0000000000000000000000000<br />
1111111111111111111111111<br />
0000000000000000000000000<br />
1111111111111111111111111<br />
000 111 120000000000000000000000000<br />
1111111111111111111111111<br />
0000000000000000000000000<br />
1111111111111111111111111<br />
Ga<br />
10<br />
0000000000000000000000000<br />
1111111111111111111111111<br />
0000000000000000000000000<br />
1111111111111111111111111<br />
0000000000000000000000000<br />
1111111111111111111111111<br />
0000000000000000000000000<br />
1111111111111111111111111<br />
0000000000000000000000000<br />
1111111111111111111111111<br />
0000000000000000000000000<br />
1111111111111111111111111
98 A Lösungen der Aufgaben<br />
Aufgabe 7.38<br />
a) Das linke System ist statisch bestimmt.<br />
b)<br />
Bereich I (0 ≤ ϕ ≤ π 2 ):<br />
⎡ ⎤ ⎡ ⎤<br />
N t<br />
−cosϕ<br />
⎢<br />
⎣ Q n<br />
⎥<br />
⎦ = 1 2 F ⎢<br />
⎣ 0 ⎥<br />
⎦ ;<br />
Q b −sinϕ<br />
⎡ ⎤<br />
sinϕ<br />
⃗M t = −F · a · sinϕ⎢<br />
⎣ 0 ⎥<br />
⎦<br />
cosϕ<br />
⎢<br />
⎣<br />
⃗M n = − 1 2 F · R(1 − cosϕ) ⎡<br />
0<br />
1<br />
0<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎡<br />
⃗M b = F · a · cosϕ⎢<br />
⎣<br />
−cosϕ<br />
0<br />
sinϕ<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
Bereich II mit neuem Winkel (0 ≤ ϕ 2 ≤ π 2 ):<br />
N t = − 1 2 F sinϕ 2 Q n = 0 Q b =<br />
2 1<br />
⎡ ⎤<br />
F · cosϕ<br />
⎡ ⎤<br />
0<br />
0<br />
⃗M t = ⎢<br />
⎣ 0 ⎥<br />
⎦<br />
⃗M n = 1 2 F · R(sinϕ − 1) ⎢<br />
⎣ 1 ⎥<br />
⎦<br />
0<br />
0<br />
⃗M b =<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
0<br />
0<br />
0<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
Aufgabe 7.39<br />
Bereich DB:<br />
⎡ ⎤<br />
0<br />
⃗F S = ⎢<br />
⎣ 0 ⎥<br />
⎦<br />
−qa · α<br />
⎡<br />
⎤<br />
−qa 2 · α(−cosα+cos( α 2 ))<br />
⃗M S = ⎢<br />
⎣ qa 2 · α(−sinα+sin( α 2 ))<br />
⎥<br />
⎦<br />
0<br />
Bereich BA:<br />
⎡ ⎤<br />
0<br />
⃗F S = ⎢<br />
⎣ 0 ⎥<br />
⎦<br />
−q(a · π+x 2 )<br />
⎡ ⎤<br />
−qa 2 · π<br />
⃗M S = ⎢<br />
⎣ −2qa 2 ⎥<br />
⎦<br />
0
99<br />
Aufgabe 7.40<br />
a) ⃗A =<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
1<br />
0<br />
0<br />
⎤<br />
⎡<br />
⎥<br />
⎦ F; ⃗B = ⎢<br />
⎣<br />
−2<br />
0<br />
0<br />
⎤<br />
⎡<br />
⎥<br />
⎦ F; ⃗C = ⃗D = ⎢<br />
⎣<br />
0<br />
0<br />
0<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
b) F t = F · sinϕ F n = 0 F b = −F · cosϕ<br />
⎡ ⎤<br />
⎡ ⎤<br />
⎡<br />
sinϕ<br />
0<br />
⃗M t = −F · a · cosϕ⎢<br />
⎣ 0 ⎥<br />
⎦ M ⃗ n = −F · R · sinϕ⎢<br />
⎣ 1 ⎥<br />
⎦<br />
⃗M b = −F · a · sinϕ⎢<br />
⎣<br />
cosϕ<br />
0<br />
−cosϕ<br />
0<br />
sinϕ<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
Aufgabe 8.1<br />
a) ⃗A =<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
−4<br />
3<br />
0<br />
b) µ ≥ 1 5√<br />
5<br />
⎤<br />
⎡<br />
⎥<br />
⎦ F; ⃗B = ⎢<br />
⎣<br />
6<br />
3<br />
15<br />
⎤<br />
⎡<br />
⎥<br />
⎦ F; ⃗M A = ⎢<br />
⎣<br />
0<br />
60<br />
0<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦ Fa<br />
Aufgabe 8.2<br />
a) µ ≥ 0,3768 b) S 1 = √ 5F;<br />
S 2 = 2 √ 5F;<br />
R = 9 √ 5F;<br />
Aufgabe 8.3<br />
a) α = 8,35 o b) α = 10,62 o<br />
Aufgabe 8.4<br />
0,458a ≤ x ≤ 0,060a<br />
Aufgabe 8.5<br />
a) a = 5cm; b) F ≥ 22,5kN
100 A Lösungen der Aufgaben<br />
Aufgabe 8.6<br />
a) N = G+ 1 2 Q · ah<br />
H = 1 bh ab<br />
2G · + Q( + a 2h 2 h − 1)<br />
b) µ o ≤ 1 4 − Q<br />
16G<br />
1+ 3Q<br />
8G<br />
Aufgabe 8.7<br />
F ≥ 2 √<br />
3<br />
(c · △les+ a2 −µd 2<br />
4a 2 µr M AN)<br />
Aufgabe 8.8<br />
F ≥ R µ · ab = 1 µr · ab · M AN<br />
Aufgabe 8.9<br />
N 1 = G 1 [<br />
1<br />
cosα +(1+ G 2<br />
G 1<br />
)tanα]<br />
G 2<br />
G 1<br />
≥ cosα−µ o(1+sinα)<br />
µ o sinα