AUFGABEN TM II - Institut für Angewandte Mechanik

AUFGABEN
TM II
Sommersemester 2010
INSTITUT FÜR ANGEWANDTE MECHANIK
Technische Universtät Braunschweig
1

Inhalt
1. Kapitel Aufgaben
Zug und Druck in Stäben
2. + 3. Kapitel Aufgaben
Spannungszustand, Verzerrungszustand, Elastizitätsgesetz
4. Kapitel Aufgaben
Balkenbiegung
5. Kapitel Aufgaben
Torsion
7. Kapitel Aufgaben
Knickung
2

Aufgabe 1.1 :
Ein einseitig gelagerter Dehnstab wird in Richtung der Stablchsachse durch eine linear
steigende Streckenlast n(x) und eine Einzellast F belastet.
Gesucht ist die Verschiebungsfunktion u(x) mit Angabe der Randverschiebungen und
des Maximums.
Gegeben: E,A,a,n 0 ,F = n 0· a
n
0
01
01
0
01
00000000000000
11111111111111
1
01
01
x, u
01
a
2n
0
F
Aufgabe 1.2 :
01
01
01
01
01
00 11
00 11
00 11
00 11
00 11
r
x, u
a
2r
01
01
01
01
a
Ein sich verjüngender Stab mit Kreisquerschnitt
wird um eine Länge △ a gestaucht.
Zu bestimmen sind die Auflagerkräfte,
die Verschiebungsfunktion u(x) mit Angabe
der maximalen Verschiebung.
Gegeben:E, r, a, △ a=
8
a
3

Aufgabe 1.3 :
EA, a
2EA, a
∆ a
Ein zweiteiliger Dehnstab ist in entspannter
Lage 2a lang. Durch einen
Einbaufehler bei der Montage wird
der Stab um ∆a zusammengedrückt.
Zusätzlich greift eine Kraft F in der Mitte
des Stabes an.
01
01
01
01
F
00 11
00 11
00 11
00 11
Bestimmen Sie die beiden Auflagerreaktionen,
sowie die Funktion u(x).
Gegeben:
E, A, a, F, ∆a= Fa
6EA
Aufgabe 1.4 :
Ein Stab mit konstantem E-Modul E und konstanter 00 11
00 11
Querschnittsflche A wird durch sein Eigengewicht
γ= G a
und eine Einzellast F beansprucht.
EA,
Gesucht sind die Normalkraftfunktion N(x) und die
γ
Verschiebungsfunktion u(x).
F
Gegeben: E,A,a,G,γ= G a ,F = G
a
4

Aufgabe 1.5 :
n
0
00 11
00 11
00 11
00 11
00 11
00 11
00 11
A
a
B
EA
Der dargestellte Dehnstab wird durch eine linear verteilte Streckenlast beansprucht.
a) Geben Sie den Verlauf der Verschiebungsfunktion u(x) und der Normalkraft N(x)
an
b) Wie groß ist die Verschiebung des Punktes B ?
Gegeben: E, A, a, n 0
Aufgabe 1.6 :
Der skizzierte Dehnstab ist durch eine Streckenlast n in Richtung der Balkenlängsachse
beansprucht. Als Funktion der Koordinate x sind zu bestimmen:
a) die Normalkraft N(x),
b) die Verschiebung u(x).
0
01
01
00 11
00 11
00 11
00 11
1 x, u
A B C
a
a
n
01
01
01
01
5

Aufgabe 1.7 :
Die starre Scheibe ist durch
drei elastische Stäbe gelagert.
Ermitteln Sie für die
gegebene Belastung die
Verschiebungen der Punkte B
und C.
Gegeben: E, A, a, F
00 11
00 11
a
F
111111111
000000000
B
1
3
2
45 o
01 0 0 1 1
01
a
C
2a 2a __ a
2
Aufgabe 1.8 :
000000000
111111111
000000000
111111111
1 2 3 4
30o
30 o
00 11
000 111
00 11 000 11100
000 111
F
l
l
a
Ein mittig belasteter
starrer Balken ist auf
vier elastischen Stäben
gleicher Dehnsteifigkeit
EA gelagert.
Wie groß sind die
Stabkräfte?
Gegeben: F, EA, a, l
6

Aufgabe 1.9 :
Der dargestellte starre Balken ist in
B zweiwertig gelenkig gelagert
und in A und C durch zwei
Dehnstäbe gestützt.
Ermitteln Sie die Stabkräfte S 1 und
S 2 infolge der Last q !
Gegeben: EA, a, q
00000000000000000000000
11111111111111111111111
00000000000000000000000
11111111111111111111111
01
000 111
01
A0
1
01
B
C
000 111
01
0
01
0
01
0
1
1
01
01
EA
01
01
01
2
00 11 01
01
00 11
01
01
EA 01
01
01
01
a
2a
01
000 111
000 111
q
a
a
Aufgabe 1.10 :
01
01
01
01
01
A
3a
1
EA
B
F
Ermitteln Sie die Verschiebung des Knotens B infolge
der Last F.
4a
2
Gegeben:
EA, F, a
y
4a
C
00 11
00 11
x
7

Aufgabe 1.11 :
Ein Wandkran besteht aus den gewichtslosen
Stäben 1 und 2, die in A gelenkig miteinander
verbunden sind. Die Stäbe sind mit Hilfe von
Gelenken an der Wand befestigt.
An dem Seil, das über die in A befestigte
gewichtslose Rolle gelegt ist, hängt das
Gewicht G. Das Seil ist unter einem Winkel
von 30 o an der Wand befestigt.
Man berechne die Verschiebung des Punktes A.
00 11
00 11
00 11
00 11
00 11
00 11
00 11
00 11
00 11
00 11
00 11
30 o
EA
2
Seil
30 o
Gegeben: E, A, a, r, G x
a
1
y
A
G
2r
Aufgabe 1.12 :
Für das skizzierte System sind die Stabkräfte
zu ermitteln.
Gegeben:
E 1 = E 2 = E 3 = E
ϕ 1 = 30 ◦
A 1 = A 3 = A
ϕ 2 = 60 ◦
A 2 =
2 3A
F, l
0000000
1111111
0000000
1111111
00 11
00 11
00 11
00 11
11
1 200
11
00 11
ϕ 00 11
1 00 11
00 11
00 11
00 11
00 11
ϕ
00 11
2 00 11
00 11
00 11
00 11
00 11
F
3
a
8

Aufgabe 1.13 :
000 111
000 111
a
B
1
EA
2
00 11
00 11
00 11
00 11
Die drei Stäbe 1, 2 und 3 sind im entspannten Zustand eingebaut
worden. Durch Erwärmung hat sich Stab 1 um △ a
verlängert. Geben Sie die horizontale Verschiebung des Knotens
B an.
Gegeben: E, A, a, △ a
a
3
EA
a
01
01
01
01
Aufgabe 1.14 :
Die beiden starren Scheiben I und II sind durch die Stäbe 1 und 2 sowie die zweiwertigen
Auflager in B und C gelagert. Der Stab 3 verbindet die beiden Teilsysteme miteinander.
Wie groß ist die Stabkraft S 3 für die angegebene Belastung?
Gegeben:
E, A, a, F
A
000 111
000 111
F
1
EA
00 11
00 11
00 11
00 11
00 11
00 11
00 11
00 11
00 11
00 11
00 11
B
00 11
3
EA
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111 C
000 111
EA
F
2 a
D00
11
00 11
a
2a
a
9

Aufgabe 1.15 :
q
10
A
10
10
10
7a
EA
1
01
1 B 0
10
01
10
10
2
EA
9a
00 11
00 11
12a
00 11
10
12a
00 11
00 11
10
a) Der dargestellte starre Mast wird durch einen Dehnstab 1 im Punkt A gehalten.
Wie groß ist die Verschiebung der Punkte A und B infolge der angreifenden Last q
(ohne Stab 2!)?
b) Der Mast wird nun zusätzlich durch einen zweiten Dehnstab im Punkt B gehalten.
Wie groß sind jetzt die Verschiebungen in den Punkten A und B ?
Aufgabe 1.16 :
Wie groß sind die Verschiebungen der
Punkte B und C infolge F, wenn die
starre Scheibe durch
a) die Stäbe 1, 2 und 3 gestützt wird?
b) die Stäbe 1, 2, 3 und 4 gestützt
wird?
Alle Stäbe haben den gleichen
Elastizitätsmodul E und die gleiche
Querschnittsfläche A.
2a
a
F
F 000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
000000
000000
111111
111111
111111
B
C
1 2 3
y
4
x
01
01
01
01
Gegeben:
E, A, F, a
00 11
a
00 11
a
00 11
00 11
a
10

Aufgabe 1.17 :
Für den skizzierten Stabverband sind die Stabkräfte S 1 - S 3 und die Verschiebung des
Lastangriffspunktes zu ermitteln.
Gegeben:
F, E, α=30 ◦ , β=60 ◦ , A 1 = A 3 = 2A, A 2 = A
00000000000000000000000
11111111111111111111111
y
1 2 3
β
α
a
x
F
Aufgabe 1.18 :
000 111
000 111
000 111
A1
E1
000 111
00 11
000 111
00 11
000 111
00 11
A2
A3
E2 E3
F
l
Ein als starr anzusehender Balken der
Länge 3a sei durch drei Stäbe und ein
einwertiges Rollenlager gestützt. Er
wird durch eine Einzelkraft F belastet.
Wie groß sind die Stabkräfte?
00 11
00 11
00 11
00 11
00 11
a a a
Gegeben:
a, l, E 1 A 2 = 3EA,
E 2 A 2 = 2EA, E 3 A 3 = 3EA, F
11

Aufgabe 2.1 :
Für das skizzierte Profil berechne man in
Abhängigkeit von a:
a) die Koordinaten des Schwerpunkts in einem
selbst zu wählenden Koordinatensystem,
b) die Flächenträgheitsmomente I y ,
I z und I yz bezogen auf das y-z-
Koordinatensystem im Punkte S
(Schwerpunkt),
c) die Flächenträgheitsmomente bezogen
auf das y-z-Koordinatensystem im Punkt
F.
Gegeben: a
a
3a
a
a
F
a a a
y
z
Aufgabe 2.2 :
y
Geben Sie die Hauptträgheitsmomente und
Hauptachsen des dargestellten Querschnitts
bezüglich des Schwerpunkts an.
Gegeben: a
6.6a
3a
2.4a
z
4a
6a
4a
12

Aufgabe 2.3 :
Für den dargestellten Querschnitt sind die Hauptträgheitsmomente und die Hauptachsen
bezüglich des Schwerpunkts gesucht (mit Hilfe des Mohr’schen Kreises).
Gegeben: a
y
z
6a
2a
2a
2a
Aufgabe 2.4 :
Für den skizzierten Querschnitt sind gesucht:
a) die Lage des Schwerpunkts im y-z-Koordinatensystem,
b) die Flächenträgheitsmomente I y , I z und I yz im Schwerpunktskoordinatensystem,
c) die Hauptträgheitsmomente und die Hauptachsen bezüglich des Schwerpunkts.
y
3a
a
Gegeben: a
3a
z
13

Aufgabe 2.5 :
Berechnen Sie für den dargestellten Querschnitt die Flächenträgheitsmomente I y , I z und
I yz bezüglich des angegebenen Schwerpunktkoordinatensystems.
a
y
z
S
2a
a
2a
a
4a
a
2a
Aufgabe 2.6 :
Ermitteln Sie für den dargestellten Querschnitt die Hauptachsenrichtung ϕ ∗ und die
Hauptträgheitsmomente I η und I ζ !
a
y
ϕ∗
ε
a
ζ
z
a
a
14

Aufgabe 2.7 :
Ein Bach soll mit einer provisorischen Holzbrücke überquert werden, die aus zwei
Baumstämmen des Radius r und einem Brett besteht. Wie groß ist die zulässige
Belastung der Brücke, wenn auch das Eigengewicht γ berücksichtigt werden soll?
Gegeben: r=0.1m, σ zul = 10 4 kN/m 2 , γ=6kN/m 3 .
q
0.4r
x
y
S
2r
z
z
100r
5π r
Aufgabe 2.8 :
a) Geben Sie die Normalspannungsverteilung σ als Funktion der Koordinaten y und z
im Schnitt an der Stelle x an.
b) Wie lautet die Funktion der Spannungsnulllinie?
c) In welchem Punkt tritt die größte Normalspannung auf und wie groß ist sie?
d) Wie groß muß der Querschnittsparameter m gewählt werden, falls
σ zul = 14kN/cm 2 und P=14kN sind?
x
m
3m
m
m
A
P
y
S
m
m
B
3P
z
15

Aufgabe 2.9 :
a) Bestimmen Sie die Lage des Schwerpunktes.
b) Geben Sie die Lage des Hauptachsensystems, sowie die Größe der
Hauptträgheitsmomente an.
c) Wie lautet die Normalspannungsfunktion in Hauptachsenkoordinaten?
d) Bestimmen Sie die Lage der Spannungsnullinie.
e) In welchem Punkt tritt die größte Normalspannung auf und wie groß ist sie?
Gegeben: P, a
3a
3a
B
y
a
3P
2a
A
P
z
a
16

Aufgabe 2.10 :
Für den gegebenen Balken ermittle man die Spannungsfunktion und gebe die Lage und
Größe der maximalen Normalspannung an.
Gegeben: P, h, d, l
l
y
P
h
z
d
Aufgabe 2.11 :
Eine Regenrinne mit dem Gewicht G ist beidseitig gelenkig gelagert und wird nur durch
ihr Eigengewicht belastet. Gesucht sind:
a) Die Lage des Schwerpunktes im y-z-Koordinatensystem.
b) Die Hauptträgheitsmomente sowie die Hauptachsen bezüglich des Schwerpunktes.
c) Die Normalspannungsverteilung im Querschnitt der maximalen Beanspruchung in
Abhängigkeit von G, l, und a.
Gegeben: G, l, a
y
l
z
a
17

Aufgabe 2.12 :
Geben Sie für den dargestellten Balken die Spannungsfunktion im kritischen Querschnitt
an. Wie groß ist hier die maximale Normalspannung?
Gegeben: P, a
3P
24P
y
z
x
a
10a
a
a
a
Aufgabe 2.13 :
Der dargestellte Balken wird durch eine Einzellast beansprucht. Geben Sie die
Spannungsnulllinie sowie Lage und Größe der maximalen Normalspannung am
gefährdeten Querschnitt an!
Gegeben: P, a
y
x
P
z
S
3a
100a
6a
18

Aufgabe 2.14 :
Der gegebene Querschnitt wird durch ein Biege-
a
moment M y beansprucht. Bestimmen Sie
a) Die Lage der Hauptträgheitsachsen, sowie
die Größe der Hauptträgheitsmomente,
5a
y
M y
b) die Lage der Spannungsnulllinie,
c) die Normalspannung im Punkt i.
a
i
z
Gegeben: P, a, M y = 10 5 Pa
4a
a
4a
Aufgabe 2.15 :
In einem ebenen Bauteil seien die Spannungen
σ x , σ y und τ xy bekannt.
a) Geben Sie die Hauptnormalspannungen
und die Hauptrichtungen an!
b) Wie groß sind die Hauptschubspannungen?
c) Kontrollieren Sie mit dem Mohrschen
Spannungskreis die Ergebnisse der Punkte
a) und b).
τ
xy
σ
y
σ
x
σ
x
τ
xy
σ
y
Gegeben: σ x = 800N/mm 2 , σ y =−400N/mm 2 , τ xy =−400N/mm 2 .
19

Aufgabe 2.16 :
In einem ebenen Bauteil seien die
Spannungen σ x , σ y und τ xy bekannt.
a) Wie groß sind die Spannungen
in den Schnitten, die
2σ
σ
um 45 ◦ gegenüber dem x-y-
3σ
3σ
Koordinatensystem
geneigt
sind?
b) Geben Sie die Hauptnormalund
-schubspannungen sowie
σ
2σ
die Hauptrichtungen an!
Aufgabe 2.17 :
Man ermittle für gegebene Hauptnormalspannungszustände
die Spannungen
unter einem Schnittwinkel von 30 ◦
σ
y
und kontrolliere die Ergebnisse mit
dem Mohrschen Spannungskreis!
a) σ x = 400N/mm 2 , σ y =
σ
x
o
30
σ
x
800N/mm 2 ;
b) σ x = 300N/mm 2 , σ y =
σ
y
−600N/mm 2 ;
20

Aufgabe 2.18 :
In einem Blech seien die Spannungen σ x , σ y und τ xy bekannt. Gesucht sind:
a) Größe und Richtung der Hauptnormalspannungen,
b) Größe und Richtung der maximalen
Schubspannung, sowie
die dazugehörigen Normalspan-
σ
x
σ
y
τ
xy
σ
x
nungen.
σ x = 220N/mm 2 ,
σ y =−60N/mm 2 ,
τ xy = 80N/mm 2 .
τ xy
σ
y
Aufgabe 2.19 :
In einem Bauteil sind die Normalspannungen
unter 0 ◦ , 45 ◦ und 90 ◦ gemessen
worden. Wie groß sind die Haupt-
y
normalspannungen?
σ(0 ◦ )=8σ,
σ(45 ◦ )=9σ,
ϕ
x
σ(90 ◦ )=2σ.
21

Aufgabe 2.20 :
In einen starren Sockel wird eine passende elastische Scheibe (Elastizitätsmodul E,
Querdehnzahl ν) der Höhe h und Breite b eingesetzt. Um welchen Betrag v verschiebt
sich der Rand unter der Druckspannung p, wenn angenommen wird, daß die Scheibe an
den vertikalen Berandungen reibungsfrei gleiten kann?
Gegeben: E, ν, p, b, h.
p
v
h
E,
ν
y
x
b
Aufgabe 2.21 :
In die Aussparung eines starren Fundaments soll eine Scheibe eingesetzt werden. Die
Abmessungen der Aussparung betragen h und b ∗ , die der Scheibe h und b. Zwischen
Scheibe und Aussparung treten keine Reibungskräfte auf.
Geben Sie die Spannungen im x-y-Koordinatensystem, sowie die
Hauptschubspannungen an!
Gegeben: b, b ∗ = 0.99 b, h, ν=0.2, E = 2.5·10 7 kN/m 2 .
h
h
E, ν
b
b*
22

Aufgabe 4.1 :
Der dargestellte Balken wird durch eine
Einzellast P und eine Streckenlast q be-
P
q
lastet. Man bestimme die Biegelinie und
den Momentenverlauf mit Hilfe der Superpositionsmethode.
Gegeben: EI, l, P, q=2P/l
x
EI
l
Aufgabe 4.2 :
Gegeben ist ein elastischer Balken,
der durch eine Streckenlast mit para-
horiz. Tangente
Parabel 2. O.
q
belförmigem Verlauf beansprucht wird.
Geben Sie den Verlauf der Momentenund
Biegelinie an.
Gegeben: EI, l, q
x
EI
l
Aufgabe 4.3 :
Das rechte Auflager eines beidseitig eingespannten
Balkens hat sich nach dem
Einbau um ∆l abgesenkt. Geben Sie den
Verlauf der Biegelinie an.
x
EI
l
Gegeben: EI, l, ∆l
l
23

Aufgabe 4.4 :
Das rechte Auflager eines elastischen
Balkens ist mit einem Winkelfehler ∆ϕ
eingebaut worden. Man ermittle die Biegelinie
mit Hilfe der Superpositionsmethode.
Gegeben: EI, l, ∆ϕ
x
ϕ
EI
l
Aufgabe 4.5 :
Gegeben ist ein elastischer Balken, der
q
durch eine Streckenlast q beansprucht
wird. Geben Sie den Verlauf der Biegeund
Momentenlinie an.
EI
Gegeben: EI, l, q
l
Aufgabe 4.6 :
Pl
Für das dargestellte System ist die Biegelinie
w(x) zu bestimmen.
Gegeben: EI, l, P
A
EI
B
l
24

Aufgabe 4.7 :
q
Für den dargestellten Balken sind die
Funktionen der Biegelinie w(x) und der
Momentenlinie M(x) gesucht.
Gegeben: EI, l, q, M = ql 2 /4, cl 3 = 3EI
EI
c
M
l
Aufgabe 4.8 :
Der skizzierte Balken wird in B durch eine
Einzellast P belastet. Vorher sind die
Federn entspannt. In Abhängigkeit von l,
A
B
P
C
EI, P und mit c=6EI/l 3 und C = 2EI/l
sind Querkraftverlauf, Momentenverlauf,
EI
c
Neigungslinie und Biegelinie zu bestimmen
und darzustellen.
l
Aufgabe 4.9 :
Für den dargestellten elastischen Balken
ist die Biegelinie w(x) infolge der kon-
q
stanten Streckenlast q zu ermitteln. Stel-
C
len Sie die Funktion mit Angabe des Ma-
EI
ximums qualitativ dar.
Gegeben: EI, l, q, C=6EI/l
l
25

Aufgabe 4.10 :
Ermitteln Sie für folgenden elastischen
q
Zweifeldbalken die Momentenlinie infolge
der Streckenlast q!
EI
EI
Gegeben: EI, l, q
l
l
Aufgabe 4.11 :
Ein statisch bestimmt gelagerter Zweifeldbalken
ist durch eine Streckenlast beansprucht.
q
a) Geben Sie den Verlauf der Momentenfunktion
an (TM I)!
EI
EI
b) Wie lautet die Funktion der Biegelinie?
l
l
Gegeben: EI, l, q
Aufgabe 4.12 :
Der dargestellte Balken ist durch ein Einzelmoment in B und durch eine Einzelkraft in C
belastet. Berechnen Sie ausgehend von der Differentialgleichung 4. Ordnung
(EIw ′′′′ = q) die Durchsenkung im Punkte C.
Gegeben: EI, l, P
2Pl
P
EI
2EI
A
l
B
l
C
x x 2
1
26

Aufgabe 4.13 :
Der skizzierte Balken ist durch eine
Streckenlast q belastet. Ermitteln Sie
ausgehend von der Differentialgleichung
EIw ′′ = −M die Verschiebung im Punkt
B.
Gegeben: EI, l, q
q
A
EI
l
B
l
2 2
C
Aufgabe 4.14 :
Geben Sie für den Zweifeldträger den Verlauf der Momente und die Biegelinie in beiden
Bereichen an.
Gegeben: EI, l, q
q
EI
x 1 x 2
l
l
27

Aufgabe 4.15 :
Berechnen Sie die Durchbiegung des dargestellten Balkens im Punkt C infolge der
angegebenen Belastung.
EI
A B C
q
l
x 1 x 2
l
Gegeben: q, EI, l, M 1 (x 1 )=qlx 1 − 3 2 ql2 , M 2 (x 2 )=− 1 2 qx 2 2 + qlx 2 − 1 2 ql2
Aufgabe 4.16 :
Qz
Der dargestellte Querschnitt wird durch
eine Querkraft Q z beansprucht; ermitteln
Sie die Schubspannungsverteilung!
Gegeben: t, a, Q z , t ≪ a
t
2t
y
z
2t
2t
t
4a
3a
6a
3a
Aufgabe 4.17 :
Qz
Der dargestellte Querschnitt (Blechdicke t), wird
durch eine Querkraft Q z beansprucht. Geben Sie
die dazugehörige Schubspannungsverteilung an!
Gegeben: t, a, Q z , t ≪ a
2a
y
z
a
28

Aufgabe 4.18 :
Ein einseitig eingespannter Balken wird durch eine Streckenlast beansprucht.
a) Geben Sie die Schubspannungsverteilung im Querschnitt der maximalen
Schubspannung an.
b) Wie muß die Blechdicke gewählt werden, damit an keiner Stelle die maximal
zulässige Schubspannung τ zul überschritten wird?
Gegeben: q=50kN/m, a, t, τ zul = 9kN/cm 2 , t ≪ a
t
a
q
3t
y
2a
x
80a
z
t
a
Aufgabe 4.19 :
Der beidseitig gelenkig gelagerte Einfeldbalken wird durch eine Streckenlast
beansprucht. Gesucht ist die Schubspannungsverteilung im Querschnitt i.
Gegeben: q=P/l, l, t, a, t ≪ a
q
i 2t 2t
t
a
2l
4a
29

Aufgabe 4.20 :
Ein Zweifeldbalken wird durch eine Einzellast belastet. Geben Sie die
Schubspannungsverteilung infolge der maximal auftretenden Querkraft an.
Gegeben: P, a, t, l, t ≪ a
P
2t
t
a
2t
2l
l
a
Aufgabe 4.21 :
Das dargestellte System wird durch sein Eigengewicht belastet. Geben Sie die
dazugehörige Schubspannungsverteilung am Querschnitt der maximalen Querkraft an!
Gegeben: γ, a, t, t ≪ a
γ
t
a
20a
t
a
30

Aufgabe 4.22 :
Stellen Sie qualitativ für folgende symmetrische dünnwandige Querschnitte den
Schubspannungsverlauf jeweils für eine Querkraft in y- und z-Richtung dar.
Kennzeichnen Sie
• Extrema,
• den Verlauf
(linear, quadratisch, etc),
• Sprünge
t
2t
S
3t
2t
S
S
y
t
z
• und die Richtung der
Schubspannungen.
31

Aufgabe 5.1 :
Ein Torsionsstab wird durch ein konstantes Torsionsmoment pro Längeneinheit, sowie
ein Einzeltorsionsmoment belastet. Gesucht ist der Torsionsmomentenverlauf. Geben Sie
die maximale Schubspannung infolge Torsion am kritischen Querschnitt an.
Gegeben: GI T , l, m 0 , M = m 0 l
x
GI
l
T
m
0
M
y
z
l/10
m
0
Aufgabe 5.2 :
Der dargestellte Torsionsstab wird durch ein
konstantes Streckentorsionsmoment m 0 belastet.
Geben Sie den Verlauf des Torsionsmomentes
und des Verdrehwinkels ϑ an.
Gegeben: GI T , l, m 0
x
m 0
GI T
l
32

Aufgabe 5.3 :
Ein Brückenelement mit dünnwandigem Kastenquerschnitt wird exzentrisch durch eine
Einzelkraft P belastet. Gesucht sind die maximale Schubspannung infolge
Torsionsmoment und die Verdrehung des Endquerschnittes. Das Torsionsmoment ist zu
berechnen.
Gegeben: P, a, t, l, G
x
P
2a
P
GI T
l
a
t
2t
t
t
a
Aufgabe 5.4 :
Für einen Stab, der durch das Torsionsmoment M t = 1.2·10 3 kNcm belastet wird, stehen
drei Querschnitte zur Auswahl. Wie müssen diese dimensioniert werden, damit die
zulässige Schubspannung τ zul = 9kN/cm 2 nicht überschritten wird? Welcher Querschnitt
ist vom Materialaufwand am günstigsten?
b/10
c/10
a
b
c/2
a b c
33

Aufgabe 5.5 :
Der dargestellte Kragbalken wird durch eine exzentrisch angreifende Last P
beansprucht. Geben Sie die maximale Schubspannung infolge Torsion an!
Gegeben: P, t, r, t ≪ r
π r
P
r
S
t
2t
π r
34

Aufgabe 7.1 :
Berechnen Sie die Knicklast für den skizzierten
Balken.
Gegeben: l, EI
EI
l
P krit
Aufgabe 7.2 :
Der abgebildete Stab ist am linken Balkenende
fest eingespannt. Am rechten Balkenende
ist er in der x-z-Ebene gelenkig,
in der x-y-Ebene voll eingespannt gelagert.
Geben Sie die kritische Knicklast
y
z
x
F
an!
Gegeben: l, EI y = 2EI, EI z = EI
l
Aufgabe 7.3 :
Berechnen Sie für die dargestellten Balken die Knicklast.
Gegeben: l, EI
a) b)
EI F F EI
l
l
Aufgabe 7.4 :
Für den dargestellten Balken ist die
Knicklast in Abhängigkeit von EI und a
F
EI
C
zu ermitteln.
Gegeben: EI, a, C=EI/a
a
35

Aufgabe 7.5 :
Der abgebildete Balken ist am linken
Balkenende fest eingespannt und am
rechten Balkenende durch eine Feder
elastisch gelagert. Ermitteln Sie die
kritische Knicklast!
Gegeben: EI, a, c=EI/a 3
EI
a
c
F
36

Lösungen für die Übungsaufgaben
Aufgabe 1.1 :
n(x)= n 0
a · x+n 0
N(x)=− n 0x 2
2a − n 0x+ 1 2 n 0a
u(x)=
E F x3
A
(− − x2
6a 2 2a + 1 2 x)
Extremwerte:
u(x 1 = 0,41a) = F
(0,41a) 2
2a
E A (−(0,41a)3 6a 2
+ 2· 1 0,41a)
= 0,109
E Fa
A
(max. Verschiebung
nach rechts)
(max. Ver-
u(x = a) = − 1 6 E Fa
A
schiebung nach links)
Aufgabe 1.2 :
u(x)= −x·a
4(x+a)
A x =−N = 1 4 Eπr2
B x = N =− 1 4 Eπr2
Aufgabe 1.3 :
A= 4 9F (gerichtet nach rechts)
−
B= 5 9F (gerichtet nach rechts)
Bereich 1: u(x 1 )=
EA 1 (− 4 9 F· x 1)
Bereich 2: u(x 2 )=
2EA 1 ( 5 9 F·x 2−
9 8Fa)
Aufgabe 1.4 :
N(x)=− G a · x+2G
u(x)= 1
EA (− 1 2 G a · x2 + 2G·x)
Aufgabe 1.5 :
a) N(x)=− n 0
a · x2 2 a
+ n 0 2
u(x)= n 0
EA (− 6a
x 3 +
2 a x)
b) u(x=a)=
3
1 a 2 n 0
EA
Aufgabe 1.6 :
Bereich AB: N(x 1 )= n·a
4
u(x 1 )= 1
EA ( na 4 · x 1)
Bereich CB: N(x 2 )= n·a
4 − n·x 2
u(x 2 )= n
EA (− x2 2
2
+ a 4· x 2+ a2
4 )
Aufgabe 1.7 :
w Bx = −Fa
2EA
w Cx = w Bx = −Fa
2EA
w Cy =− 3 2 F·a
EA
w By = −Fa
2EA
Aufgabe 1.8 :
S 1 = S 2 = S 4 =− 2 9 F (Druck)
S 3 =− 5 9 F(Druck)
Aufgabe 1.9 :
S 1 = qa (Zug)
S 2 =−qa (Druck)
Aufgabe 1.10 :
u=− 161
16 Fa
EA
v=−3 Fa
EA
(u, v positiv gerichtet nach rechts bzw.
oben)
Aufgabe 1.11 :
Stabverlängerungen: △a 1 = 4,732 G·a
E A
(Stabverlängerung)
△a 2 =−7,464 G·a
E A
(Stabverkürzung)
Verschiebungen: x a = 4,732 G·a
E A
y a = 23,124 G·a
E A
37

Aufgabe 1.12 :
S 2 = 0,5374F (Zug)
S 1 = 0,4F (Zug)
S 3 = 0,2313F (Zug)
Aufgabe 1.13 :
△l 2 = 0,207△a nach links
Aufgabe 2.1 :
0
7
· qa2
EA
Aufgabe 2.5 :
37 F
Aufgabe 1.14 :
S 3 =−0,8F
Aufgabe 1.15 :
a) u A = 4000
9
· qa2
EA
u B = 250 qa2
EA
b) w A = 16000
63
· qa2
EA
w B = 1000
Aufgabe 1.16 :
a) w Bx = w Cx =(2 √ 2−1)· F·a
EA
w By =△l 2 = F·a
EA
w Cy =△l 3 =− F·a
EA
b) w Bx = w Cx = 0,3787· F·a
EA
w Cy =△l 3 =− F·a
EA
w By =△l 2 = 1,3787· F·a
EA
Aufgabe 1.17 :
S 3 = 0,515F
S 1 = 0,297F
S 2 = 0,406F
Aufgabe 1.18 :
S 2 = 8 37 F
S 1 = 7 37 F
S 3 = 22
a) 3.1a unterhalb Querschnittsoberkante
auf Symmetrieachse
b) I y = 50.85a 4 , I z = 13.25a 4 , I yz =
c) I y = 105a 4 , I z = 47a 4 , I yz =
−42.75a 4
Aufgabe 2.2 :
I 1 = I y = 1922.64a 4 , I 2 = I z = 2348a 4 ,
(ϕ ∗ = 0)
Aufgabe 2.3 :
I y = 115.5a 4 , I z = 19.5a 4 , I yz = 19.2a 4 ,
ϕ ∗ = 10.9 ◦ , I η = 119.16a 4 , I ζ =
15.77a 4
Aufgabe 2.4 :
a) ŷ S =−0.263 a, ẑ S = 0.963 a
b) I y = 16.9 a 4 , I z = 39.6 a 4
I yz =−6.58 a 4
c) ϕ ∗ = 15.05 ◦ , I η = 15.2 a 4
I ζ = 41.4 a 4
Lage des Schwerpunkts: auf der Symmetrieachse,
1.7a unterhalb der Querschnittsoberkante.
I y = 36.9 a 4 , I z = 126.7 a 4 , I yz = 0
Aufgabe 2.6 :
ϕ ∗ = 45 ◦ , I η = 1.25 a 4 , I ζ = 0.583 a 4
Aufgabe 2.7 :
I y = 1.966 π r 4 , σ max = 3237 q/m,
38
q zul = 2.335 kN/m

Aufgabe 2.8 :
a) σ = 1 3 · P
m 2 − 10
29 · P
m 3 · η+ 3 11 ·
P
m 3 · ζ
b) ζ= 110
87 η− 11 9 m
c) σ max = 1.604 P m 2 in der rechten
unteren Ecke.
d) m er f = 1.27 cm
Aufgabe 2.9 :
a) ŷ S = 3a, ẑ S = 2a
b) ϕ ∗ = 18.435 ◦ ,I η = 13.5a 4 ,I ζ =
58.5a 4
c) σ= 2P
18a 2 − 13.9P 3.80P
η−
58.5a3 13.5a 3 ζ
d) ζ=0.395a−0.846η
a) σ=− P dh + 6 P
d 2 h· y+ 6 P
h 2 d · z
b) σ max =−7 P dh
Aufgabe 2.10 :
Aufgabe 2.11 :
σ max
y
d/6
a) ŷ S = 3.5 a, ẑ S = 2 a
z
h/6
SNL
σ m ax
b) ϕ ∗ = 25.1 ◦ , I η = 15.8 a 4 ,
I ζ = 39.2 a 4
c) σ ( ) =
0.053 0.113 G l
η−
39.22· 15.8 · ζ a 4
e) σ max = 1.205P/a 2 SNL
y
η
η
y
z
ζ
z
ζ
39

Aufgabe 2.12 :
σ=
(
−8−12 √ 2 ζ a + 60√ 2
7
P
a 2
σ max =− 204
7
η
Aufgabe 2.13 :
ζ
σ max
)
η
a
P
a 2
−100 Pa (
σ= (−4.5 a 4
60.75 a 8 )y+(18 a 4 )z )
Spannungsnullinie: y=4z
σ max =±44.4 P a 2
SNL
max σ Zug
y
max σ Druck
Aufgabe 2.14 :
z
a) ϕ ∗ = 35.78 ◦ , I η = 144.5 a 4 , I ζ =
18.00 a 4
b) y=1.021 z
c) σ i = 9393 P a 2
y
Aufgabe 2.15 :
a) σ 1 = 920 N/mm 2 , σ 2 =
−520 N/mm 2 ,
ϕ ∗ =−16,84 ◦
b) τ max = 720 N/mm 2
Aufgabe 2.16 :
a) σ x =−4σ, σ y = 0, τ xy =+σ
b) ϕ ∗ = 31.7 ◦ , ϕ ∗∗ = 76.7 ◦ ,
σ 1 = 0.23 σ, σ 2 =−4.23 σ,
Aufgabe 2.17 :
a) σ ξ = 500 N/mm 2 , σ η =
700 N/mm 2 ,
τ=174 N/mm 2
b) σ ξ = 75 N/mm 2 , σ η =
−375 N/mm 2 ,
τ=−390 N/mm 2
Aufgabe 2.18 :
σ 1 = 241.2 N/mm 2 , σ 2 =
−81.24 N/mm 2 ,
ϕ ∗ = 14.87 ◦
Aufgabe 2.19 :
σ 1 = 10 σ, σ 2 = 0
Aufgabe 2.20 :
v r = ρ E ·(ν2 − 1)·h
Aufgabe 2.21 :
σ x =−260000 kN/mm 2
σ y =−52000 kN/mm 2
τ max =±104000 kN/mm 2
η
z
ζ
40

Aufgabe 4.1 :
M(x)=Pl
( ) 5
6 − ξ−ξ2 mit ξ=x/l
w(x) =
P l 3 ( 1
EI 12 ξ4 + 1 6 ξ3 − 5 12 ξ2 + 1 6)
Aufgabe 4.2 :
M(x)= q l2
12
w(x)= q l4
360 EI
Aufgabe 4.3 :
(
1−ξ
4 ) mit ξ=x/l
( )
ξ 6 − 15ξ 2 + 14
w(x)=∆l ( 3ξ 2 − 2ξ 3) mit ξ=x/l
Aufgabe 4.7 :
a) M(x) = q a2 (
−1+4 ξ−2ξ
2 )
4
mit ξ=x/a
b) w(x)= q a4 (
ξ 4 − 4ξ 3 + 3ξ 2)
24 EI
Aufgabe 4.8 :
Q
+
P
6
x
Q(x)= P 6
Aufgabe 4.4 :
w(x) = ∆ϕ l
(ξ− 3 2 ξ2 + 1 )
2 ξ3
ξ=x/l
Aufgabe 4.5 :
mit
M(x) = q 0 l 2 (
−1+5ξ−4ξ
2 ) mit
8
ξ=x/l
w(x)= q 0 l 4 (
2ξ 4 − 5ξ 3 + 3ξ 2)
48 EI
Aufgabe 4.6 :
w(x) = P l3 (
−ξ+2ξ 2 − ξ 3) mit ξ =
4 EI
x/l
M
M(x)= Px
6
Pa 2
6EI
w’
+
+
Pa
6
w ′ (x)= P(6a2 − x 2 )
12EI
x
x
Pa 2
12EI
x
+
5Pa 3
36EI
w Par. 3. O.
w(x)= P(6a2 x−x 3 )
36EI
41

Aufgabe 4.9 :
Aufgabe 4.12 :
w(x) = q a4 (
ξ 4 − 6ξ+5 ) mit ξ = w c =− 5 P l 3
24 EI
6 EI
x/a
5qa 4 +
x
24EI
Aufgabe 4.13 :
w
w B = 5 q l 4
768 EI
Aufgabe 4.10 :
Linker Bereich: M(x 1 )= q l2
(3 ξ−3)
16
mit ξ=x 1 /l
Aufgabe 4.14 :
Linker Bereich:
Rechter Bereich: M(x 2 ) =
q l 2 (
−8ξ 2 + 3 ξ ] mit ξ=x 2 /l
16
ξ=x 1 /l
Aufgabe 4.11 :
Linker Bereich:
a) M(x 1 ) = q l2
(ξ−1) mit Rechter Bereich:
2
ξ=x 1 /l
ξ=x 2 /l
b) w(x 1 )= q l4 (
−ξ 3 + 3ξ 2)
12 EI
Rechter Bereich:
a) M(x 2 ) = q l2 (
−ξ 2 + ξ ) q l 4
mit 96 EI
2
ξ=x 2 /l
b) w(x 2 ) =
Aufgabe 4.15 :
(
ξ 4 − 2ξ 3 − 3ξ+4 )
q l 4
24 EI
42
a) M(x 1 ) = q l2 (
−8ξ 2 + 7ξ ) mit
16
b) w(x 1 )= q l4 (
4ξ 4 − 7ξ 3 + 3ξ )
96 EI
a) M(x 2 ) = q l2
(ξ−1) mit
16
b) w(x 2 ) =
(
−ξ 3 + 3ξ 2 − 2ξ )
w(C)= 41ql4
24EI

Aufgabe 4.16 :
Aufgabe 4.19 :
7.9
0.3
0.34
a/4
S
7.1
5.5
4.0
2.35a
S
I y = 89.09a 3 t
[ ]
Qz
τ
100at
0.6
Aufgabe 4.20 :
6
[ P
τ
at]
Aufgabe 4.17 :
6/16
24
27
I y = 13
12 a3 t
[ ] P
τ
13at
9/16
τ
[ ]
Qz
at
Aufgabe 4.21 :
6/16
I y = 1 3 a3 t
τ
30 √ 2γa
Aufgabe 4.18 :
a
b) t ≥ 1cm
Aufgabe 5.1 :
3
6
9
max Q z = 80qa
[ ]
Qz
τ
40at
2m 0 l
M t
+
m 0 l
τ max = 32000m 0
πl 2
43

Aufgabe 5.2 :
F krit = π2 EI
4 l 2 Aufgabe 7.2 :
M T (x)= m 0 l
2 (l− 2ξ) mit ξ=x 2/l
ϑ= m 0 l 2
(ξ−ξ 2 )
2 GI T
Aufgabe 5.3 :
τ max = P
a l Aufgabe 7.3 :
, ϑ(i) = −P ,I T =
3 a t GI T
9
2+ √ 5 a3 t
Aufgabe 5.4 :
a) a = 8.62 cm → F = Aufgabe 7.4 :
31.62 cm 2
am günstigsten!
74.34 cm 2
b) b = 9.37 cm → F =
0.86 EI
F krit =
l 2
Aufgabe 7.5 :
c) c = 12.28 cm → F =
39.21 cm 2
Aufgabe 5.5 :
τ max = P
6 r t
Aufgabe 7.1 :
x-y-Ebene: F 1 = 4 π2 EI
l 2
x-z-Ebene: F 2 = 4.08 π2 EI
l 2
F krit = F 1 da F 1 < F 2 ist.
a) F krit = π2 EI
l 2
b) F krit = 4 π2 EI
l 2
F krit = 1.80932 EI
l 2
44