AUFGABEN TM II - Institut für Angewandte Mechanik
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<strong>AUFGABEN</strong><br />
<strong>TM</strong> <strong>II</strong><br />
INSTITUT FÜR ANGEWANDTE MECHANIK<br />
Technische Universtät Braunschweig<br />
1
Aufgabe 1.1<br />
Eine homogene Scheibe konstanter Dicke und mit dem Gewicht G ist in A und B gelagert.<br />
Gegeben: G, a, α = 45 o<br />
Gesucht: Lagerkräfte in A und B<br />
a<br />
2a<br />
3__<br />
2<br />
a<br />
111111111111111<br />
000000000000000<br />
__ 1<br />
2<br />
a<br />
000000000000000<br />
111111111111111<br />
000<br />
000<br />
000<br />
000000000000000<br />
111111111111111<br />
000000000000000<br />
111111111111111<br />
111<br />
111<br />
111<br />
A<br />
000 111<br />
000 111<br />
α<br />
000 111<br />
__ 2<br />
3<br />
a<br />
B<br />
a<br />
111111111111111<br />
000000000000000<br />
111111111111111<br />
000000000000000<br />
Aufgabe 1.2<br />
y<br />
Für das skizzierte homogene ebene<br />
000000000000000000000<br />
111111111111111111111<br />
Gebilde, das aus einem Halbkreis,<br />
000000000000000000000<br />
111111111111111111111<br />
einem Rechteck, einem Geradenstück<br />
r<br />
000000000000000000000<br />
111111111111111111111<br />
und Halbkreisbogen besteht, berechne<br />
I 000000000000000000000<br />
111111111111111111111<br />
000000000000000000000<br />
111111111111111111111<br />
man die Koordinaten x S und y S des<br />
000000000000000000000<br />
111111111111111111111<br />
0000000000<br />
1111111111<br />
y S = r sin α<br />
α . 0000000000<br />
1111111111<br />
Gesamtschwerpunktes S.<br />
0000000000<br />
1111111111<br />
0000000000<br />
1111111111<br />
0000000000<br />
1111111111<br />
r <strong>II</strong> 0000000000<br />
1111111111<br />
0000000000<br />
1111111111<br />
0000000000<br />
1111111111<br />
0000000000<br />
1111111111<br />
Gegeben: m 1 = 4m, m 2 = 5m<br />
m 3 = 2m, m 4 = 3m<br />
Hinweis: Der Schwerpunkt <strong>für</strong> einen<br />
Kreisbogen mit einem Öffnungwinkel<br />
α lautet<br />
r<br />
r<br />
<strong>II</strong>I<br />
IV<br />
0000000000<br />
1111111111<br />
0000000000<br />
1111111111<br />
2m<br />
3m<br />
4m<br />
5m<br />
x<br />
r<br />
r<br />
2
Aufgabe 1.3<br />
0000000000000000<br />
1111111111111111<br />
0000000000000000<br />
1111111111111111<br />
0000000000000000<br />
1111111111111111<br />
0000000000000000<br />
1111111111111111<br />
0000000000000000<br />
1111111111111111<br />
b<br />
0000000000000000<br />
11111111111111111<br />
0000000000000000<br />
1111111111111111<br />
0000000000000000<br />
1111111111111111<br />
A<br />
0000000000000000<br />
1111111111111111<br />
1111111111111111<br />
b0000000000000000<br />
1111111111111111<br />
2<br />
0000000000000000<br />
1111111111111111<br />
0000000000000000<br />
1111111111111111<br />
0000000000000000<br />
1111111111111111<br />
0000000000000000<br />
1111111111111111<br />
0000000000000000<br />
1111111111111111<br />
a<br />
4r __<br />
3π<br />
a<br />
Hinweis zur Lage<br />
des Schwerpunktes<br />
einer Halbkreisflache.<br />
a__<br />
2<br />
Ein Blechstück besteht aus einem<br />
Kreisring mit der Dicke b 1 und einem<br />
Rechteck mit der Dicke b 2 .<br />
Das spezifische Gewicht des Werkstoffes<br />
ist γ.<br />
Gegeben: a,b 1 ,γ<br />
Wie groß muß die Blechdicke b 2<br />
gewählt werden, damit der Massenmittelpunkt<br />
in A liegt ?<br />
Aufgabe 1.4<br />
y<br />
000000<br />
1111110<br />
100<br />
11<br />
000000<br />
1111110<br />
1<br />
01 000000<br />
1111110<br />
1<br />
000000<br />
1111110<br />
1__<br />
3 a<br />
000000<br />
1111110<br />
1<br />
a<br />
2<br />
000000<br />
1111110<br />
1<br />
000000<br />
1111110<br />
1<br />
01 000000<br />
1111110<br />
1<br />
00 11<br />
x<br />
01 01 01 01<br />
a<br />
a<br />
Man berechne den geometrischen<br />
Schwerpunkt des gezeichneten<br />
Blechstückes konstanter Dicke.<br />
Gegeben: a = 40 mm<br />
3
Aufgabe 1.5<br />
2a<br />
1,5a<br />
2a<br />
8a<br />
2a 4a<br />
0000 1111<br />
ϕ<br />
0000 1111<strong>II</strong>I<br />
0000 1111 0000000000000<br />
1111111111111<br />
<strong>II</strong><br />
0000 1111 0000000000000<br />
1111111111111<br />
0000 1111 0000000000000<br />
1111111111111<br />
0000000000000<br />
1111111111111<br />
0000000000000<br />
1111111111111<br />
α<br />
0000000000000G<br />
1111111111111<br />
000 111<br />
000 111<br />
000 111<br />
000 111<br />
x<br />
S w<br />
1,5a<br />
Gegeben: a = 0,5m; α = 20 o<br />
Wagen I: G I = 5kN<br />
Schwerpunkt:S w<br />
Würfel <strong>II</strong>:G <strong>II</strong> = 8kN<br />
Zylinder <strong>II</strong>I: G <strong>II</strong>I = 15kN<br />
Der auf einer schiefen Ebene stehende Wagen I ist mit einem Würfel <strong>II</strong> und einem Zylinder <strong>II</strong>I beladen und<br />
wird durch ein Gewicht G über ein gewichtloses Seil und eine Rolle in Ruhe gehalten. Rollen und Räder<br />
seien reibungsfrei.<br />
a) Man bestimme den Schwerpunkt des beladenen Wagens in geeigneten Koordinaten.<br />
b) Welches ist das kleinstmögliche G, das den Wagen im Gleichgewicht hält?<br />
c) Welcher Winkel ϕ stellt sich ein bei G = 20kN?<br />
4
Aufgabe 1.6<br />
Für den skizzierten Körper gebe man die Schwerpunktkoordinaten an.<br />
R<br />
Gegeben:<br />
a = 15 cm<br />
b = 40 cm<br />
l<br />
D = 20 cm<br />
R = 20 cm<br />
b<br />
D<br />
l = 40 cm<br />
z<br />
D<br />
a<br />
a<br />
2l<br />
x<br />
b<br />
y<br />
b<br />
Aufgabe 1.7<br />
Für den skizzierten aus drei Quadern<br />
a<br />
zusammengesetzten Körper sind die Schwer-<br />
a<br />
a<br />
I<br />
a<br />
punktkoordinaten im gegebenen Koordinatensystem<br />
zu berechnen.<br />
2a<br />
<strong>II</strong><br />
2a<br />
y<br />
x<br />
<strong>II</strong>I<br />
z<br />
2a<br />
a<br />
a<br />
a<br />
a) Alle drei Körper sind aus dem gleichen<br />
Material.<br />
b) Quader Quader <strong>II</strong> Quader <strong>II</strong>I<br />
(Stahl) (Kupfer) (Blei)<br />
γ = 76,97 γ = 87,27 γ = 110,8<br />
5
Aufgabe 1.8 (032)<br />
y<br />
Für das skizzierte Profil berechne man in Abhängigkeit von<br />
a:<br />
a) die Koordinaten des Schwerpunkts in einem selbst<br />
zu wählenden Koordinatensystem,<br />
b) die Flächenträgheitsmomente I y , I z und I yz bezogen<br />
auf das y-z-Koordinatensystem im Punkte S<br />
(Schwerpunkt),<br />
c) die Flächenträgheitsmomente bezogen auf das y-z-<br />
Koordinatensystem im Punkt F.<br />
Gegeben: a<br />
a<br />
3a<br />
a<br />
a<br />
F<br />
a a a<br />
z<br />
Aufgabe 1.9 (033)<br />
y<br />
Geben Sie die Hauptträgheitsmomente und Hauptachsen<br />
des dargestellten Querschnitts bezüglich des Schwerpunkts<br />
an.<br />
Gegeben: a<br />
6.6a<br />
3a<br />
2.4a<br />
z<br />
4a<br />
6a<br />
4a<br />
Aufgabe 1.10 (034)<br />
Für den dargestellten Querschnitt sind die Hauptträgheitsmomente und die Hauptachsen bezüglich des<br />
Schwerpunkts gesucht (mit Hilfe des Mohr’schen Kreises).<br />
y<br />
Gegeben: a<br />
z<br />
6a<br />
2a<br />
2a<br />
2a<br />
6
Aufgabe 1.11 (035)<br />
Für den skizzierten Querschnitt sind gesucht:<br />
a) die Lage des Schwerpunkts im y-z-Koordinatensystem,<br />
b) die Flächenträgheitsmomente I y , I z und I yz im Schwerpunktskoordinatensystem,<br />
c) die Hauptträgheitsmomente und die Hauptachsen bezüglich des Schwerpunkts.<br />
3a<br />
a<br />
y<br />
Gegeben: a<br />
3a<br />
z<br />
Aufgabe 1.12 (036)<br />
Berechnen Sie <strong>für</strong> den dargestellten Querschnitt die Flächenträgheitsmomente I y , I z und I yz bezüglich des<br />
angegebenen Schwerpunktkoordinatensystems.<br />
a<br />
y<br />
z<br />
S<br />
2a<br />
a<br />
2a<br />
a<br />
4a<br />
7<br />
a<br />
2a
Aufgabe 1.13 (037)<br />
Ermitteln Sie <strong>für</strong> den dargestellten Querschnitt die Hauptachsenrichtung ϕ ∗ und die Hauptträgheitsmomente<br />
I η und I ζ !<br />
a<br />
y<br />
ϕ∗<br />
ε<br />
a<br />
ζ<br />
z<br />
a<br />
a<br />
Aufgabe 1.14 (038)<br />
Ein Bach soll mit einer provisorischen Holzbrücke überquert werden, die aus zwei Baumstämmen des Radius<br />
r und einem Brett besteht. Wie groß ist die zulässige Belastung der Brücke, wenn auch das Eigengewicht<br />
γ berücksichtigt werden soll?<br />
Gegeben: r = 0.1m, σ zul = 10 4 kN/m 2 , γ = 6kN/m 3 .<br />
q<br />
0.4r<br />
x<br />
y<br />
S<br />
2r<br />
z<br />
z<br />
100r<br />
5π r<br />
8
Aufgabe 1.15 (039)<br />
a) Geben Sie die Normalspannungsverteilung σ als Funktion der Koordinaten y und z im Schnitt an der<br />
Stelle x an.<br />
b) Wie lautet die Funktion der Spannungsnulllinie?<br />
c) In welchem Punkt tritt die größte Normalspannung auf und wie groß ist sie?<br />
d) Wie groß muß der Querschnittsparameter m gewählt werden, falls σ zul = 14kN/cm 2 und P = 14kN<br />
sind?<br />
x<br />
m<br />
3m<br />
m<br />
m<br />
A<br />
P<br />
y<br />
S<br />
m<br />
m<br />
B<br />
3P<br />
z<br />
Aufgabe 1.16 (040)<br />
a) Bestimmen Sie die Lage des Schwerpunktes.<br />
b) Geben Sie die Lage des Hauptachsensystems, sowie die Größe der Hauptträgheitsmomente an.<br />
c) Wie lautet die Normalspannungsfunktion in Hauptachsenkoordinaten?<br />
d) Bestimmen Sie die Lage der Spannungsnullinie.<br />
e) In welchem Punkt tritt die größte Normalspannung auf und wie groß ist sie?<br />
Gegeben: P, a<br />
3a<br />
3a<br />
B<br />
y<br />
a<br />
3P<br />
2a<br />
A<br />
P<br />
9<br />
z<br />
a
Aufgabe 1.17 (041)<br />
Für den gegebenen Balken ermittle man die Spannungsfunktion und gebe die Lage und Größe der maximalen<br />
Normalspannung an.<br />
Gegeben: P, h, d, l<br />
l<br />
y<br />
P<br />
h<br />
z<br />
d<br />
Aufgabe 1.18 (042)<br />
Eine Regenrinne mit dem Gewicht G ist beidseitig gelenkig gelagert und wird nur durch ihr Eigengewicht<br />
belastet. Gesucht sind:<br />
a) Die Lage des Schwerpunktes im y-z-Koordinatensystem.<br />
b) Die Hauptträgheitsmomente sowie die Hauptachsen bezüglich des Schwerpunktes.<br />
c) Die Normalspannungsverteilung im Querschnitt der maximalen Beanspruchung in Abhängigkeit von<br />
G, l, und a.<br />
Gegeben: G, l, a<br />
y<br />
l<br />
z<br />
10<br />
a
Aufgabe 1.19 (043)<br />
Geben Sie <strong>für</strong> den dargestellten Balken die Spannungsfunktion im kritischen Querschnitt an. Wie groß ist<br />
hier die maximale Normalspannung?<br />
Gegeben: P, a<br />
3P<br />
24P<br />
y<br />
z<br />
x<br />
a<br />
10a<br />
a<br />
a<br />
a<br />
Aufgabe 1.20 (044)<br />
Der dargestellte Balken wird durch eine Einzellast beansprucht. Geben Sie die Spannungsnulllinie sowie<br />
Lage und Größe der maximalen Normalspannung am gefährdeten Querschnitt an!<br />
Gegeben: P, a<br />
y<br />
x<br />
P<br />
z<br />
S<br />
3a<br />
100a<br />
6a<br />
11
Aufgabe 1.21 (045)<br />
Der gegebene Querschnitt wird durch ein Biegemoment M y<br />
beansprucht. Bestimmen Sie<br />
a) Die Lage der Hauptträgheitsachsen, sowie die Größe<br />
der Hauptträgheitsmomente,<br />
a<br />
5a<br />
y<br />
M y<br />
b) die Lage der Spannungsnulllinie,<br />
c) die Normalspannung im Punkt i.<br />
Gegeben: P, a, M y = 10 5 Pa<br />
a<br />
4a<br />
i<br />
z<br />
a<br />
4a<br />
Aufgabe 1.22 (046)<br />
P<br />
Der dargestellte Balken wird durch eine Einzellast<br />
P und eine Streckenlast q belastet. Man be-<br />
q<br />
stimme die Biegelinie und den Momentenverlauf<br />
mit Hilfe der Superpositionsmethode.<br />
EI<br />
Gegeben: EI, l, P, q = 2P/l<br />
x<br />
l<br />
Aufgabe 1.23 (047)<br />
Parabel 2. O.<br />
Gegeben ist ein elastischer Balken, der durch<br />
eine Streckenlast mit parabelförmigem Verlauf<br />
horiz. Tangente<br />
q<br />
beansprucht wird. Geben Sie den Verlauf der<br />
Momenten- und Biegelinie an.<br />
Gegeben: EI, l, q<br />
x<br />
EI<br />
l<br />
Aufgabe 1.24 (048)<br />
Das rechte Auflager eines beidseitig eingespannten<br />
Balkens hat sich nach dem Einbau um ∆l abgesenkt.<br />
Geben Sie den Verlauf der Biegelinie an.<br />
x<br />
EI<br />
l<br />
Gegeben: EI, l, ∆l<br />
12<br />
l
Aufgabe 1.25 (049)<br />
Das rechte Auflager eines elastischen Balkens ist<br />
mit einem Winkelfehler ∆ϕ eingebaut worden.<br />
Man ermittle die Biegelinie mit Hilfe der Superpositionsmethode.<br />
Gegeben: EI, l, ∆ϕ<br />
x<br />
ϕ<br />
EI<br />
l<br />
Aufgabe 1.26 (050)<br />
q<br />
Gegeben ist ein elastischer Balken, der durch eine<br />
Streckenlast q beansprucht wird. Geben Sie<br />
den Verlauf der Biege- und Momentenlinie an.<br />
Gegeben: EI, l, q<br />
EI<br />
l<br />
Aufgabe 1.27 (053)<br />
Pl<br />
Für das dargestellte System ist die Biegelinie<br />
w(x) zu bestimmen.<br />
Gegeben: EI, l, P<br />
A<br />
EI<br />
B<br />
l<br />
Aufgabe 1.28 (055)<br />
q<br />
Für den dargestellten Balken sind die Funktionen<br />
der Biegelinie w(x) und der Momentenlinie M(x)<br />
gesucht.<br />
Gegeben: EI, l, q, M = ql 2 /4, cl 3 = 3EI<br />
EI<br />
c<br />
M<br />
13<br />
l
Aufgabe 1.29 (056)<br />
Der skizzierte Balken wird in B durch eine Ein-<br />
P<br />
zellast P belastet. Vorher sind die Federn entspannt.<br />
In Abhängigkeit von l, EI, P und mit<br />
c = 6EI/l 3 und C = 2EI/l sind Querkraftverlauf,<br />
Momentenverlauf, Neigungslinie und Biegelinie<br />
A<br />
EI<br />
c<br />
B<br />
C<br />
zu bestimmen und darzustellen.<br />
l<br />
Aufgabe 1.30 (057)<br />
Für den dargestellten elastischen Balken ist die<br />
Biegelinie w(x) infolge der konstanten Streckenlast<br />
q zu ermitteln. Stellen Sie die Funktion mit<br />
Angabe des Maximums qualitativ dar.<br />
Gegeben: EI, l, q, C = 6EI/l<br />
q<br />
EI<br />
l<br />
C<br />
Aufgabe 1.31 (051)<br />
Ermitteln Sie <strong>für</strong> folgenden elastischen Zwei-<br />
q<br />
feldbalken die Momentenlinie infolge der<br />
Streckenlast q!<br />
EI<br />
EI<br />
Gegeben: EI, l, q<br />
l<br />
l<br />
Aufgabe 1.32 (052)<br />
Ein statisch bestimmt gelagerter Zweifeldbalken<br />
ist durch eine Streckenlast beansprucht.<br />
q<br />
a) Geben Sie den Verlauf der Momentenfunktion<br />
an (<strong>TM</strong> I)!<br />
EI<br />
EI<br />
b) Wie lautet die Funktion der Biegelinie?<br />
Gegeben: EI, l, q<br />
14<br />
l<br />
l
Aufgabe 1.33 (054)<br />
Der dargestellte Balken ist durch ein Einzelmoment in B und durch eine Einzelkraft in C belastet. Berechnen<br />
Sie ausgehend von der Differentialgleichung 4. Ordnung (EIw ′′′′ = q) die Durchsenkung im Punkte C.<br />
Gegeben: EI, l, P<br />
2Pl<br />
P<br />
EI<br />
2EI<br />
A<br />
l<br />
B<br />
l<br />
C<br />
x 1<br />
x 2<br />
Aufgabe 1.34 (058)<br />
Der skizzierte Balken ist durch eine Streckenlast<br />
q belastet. Ermitteln Sie ausgehend von der Differentialgleichung<br />
EIw ′′ = −M die Verschiebung<br />
im Punkt B.<br />
Gegeben: EI, l, q<br />
q<br />
A<br />
EI<br />
l<br />
B<br />
l<br />
2 2<br />
C<br />
Aufgabe 1.35 (059)<br />
Geben Sie <strong>für</strong> den Zweifeldträger den Verlauf der Momente und die Biegelinie in beiden Bereichen an.<br />
Gegeben: EI, l, q<br />
q<br />
EI<br />
x 1 x 2<br />
l<br />
15<br />
l
Aufgabe 1.36<br />
(adgl2o)<br />
Berechnen Sie die Durchbiegung des dargestellten Balkens im Punkt C infolge der angegebenen Belastung.<br />
EI<br />
A B C<br />
q<br />
l<br />
x 1 x 2<br />
l<br />
Gegeben: q, EI, l, M 1 (x 1 ) = qlx 1 − 3 2 ql2 , M 2 (x 2 ) = − 1 2 qx 2 2 + qlx 2 − 1 2 ql2<br />
16
Aufgabe 2.1 (026)<br />
In einem ebenen Bauteil seien die Spannungen σ x ,<br />
σ y und τ xy bekannt.<br />
τ<br />
xy<br />
σ<br />
y<br />
a) Geben Sie die Hauptnormalspannungen und<br />
die Hauptrichtungen an!<br />
σ<br />
x<br />
σ<br />
x<br />
b) Wie groß sind die Hauptschubspannungen?<br />
c) Kontrollieren Sie mit dem Mohrschen Spannungskreis<br />
die Ergebnisse der Punkte a) und<br />
τ<br />
xy<br />
b).<br />
σ<br />
y<br />
Gegeben: σ x = 800N/mm 2 , σ y = −400N/mm 2 , τ xy = −400N/mm 2 .<br />
Aufgabe 2.2 (027)<br />
In einem ebenen Bauteil seien die Spannungen σ x ,<br />
σ y und τ xy bekannt.<br />
a) Wie groß sind die Spannungen in den<br />
Schnitten, die um 45 ◦ gegenüber dem x-y-<br />
3σ<br />
2σ<br />
σ<br />
3σ<br />
Koordinatensystem geneigt sind?<br />
b) Geben Sie die Hauptnormal- und -<br />
schubspannungen sowie die Hauptrichtungen<br />
an!<br />
σ<br />
2σ<br />
Aufgabe 2.3 (028)<br />
Man ermittle <strong>für</strong> gegebene Hauptnormalspannungs-<br />
σ<br />
y<br />
zustände die Spannungen unter einem Schnittwinkel<br />
von 30 ◦ und kontrolliere die Ergebnisse mit dem<br />
Mohrschen Spannungskreis!<br />
a) σ x = 400N/mm 2 , σ y = 800N/mm 2 ;<br />
σ<br />
x<br />
o<br />
30<br />
σ<br />
x<br />
b) σ x = 300N/mm 2 , σ y = −600N/mm 2 ;<br />
17<br />
σ<br />
y
Aufgabe 2.4<br />
(029a)<br />
In einem Blech seien die Spannungen σ x , σ y und τ xy bekannt. Gesucht sind:<br />
a) Größe und Richtung der Hauptnormalspannungen,<br />
b) Größe und Richtung der maximalen Schubspannung,<br />
sowie die dazugehörigen Normalspannungen.<br />
σ<br />
x<br />
σ<br />
y<br />
τ<br />
xy<br />
σ<br />
x<br />
σ x = 220N/mm 2 ,<br />
σ y = −60N/mm 2 ,<br />
τ xy = 80N/mm 2 .<br />
τ xy<br />
σ<br />
y<br />
Aufgabe 2.5<br />
(029b)<br />
In einem Bauteil sind die Normalspannungen unter<br />
0 ◦ , 45 ◦ und 90 ◦ gemessen worden. Wie groß sind die<br />
Hauptnormalspannungen?<br />
σ(0 ◦ ) = 8σ,<br />
σ(45 ◦ ) = 9σ,<br />
σ(90 ◦ ) = 2σ.<br />
y<br />
ϕ<br />
x<br />
Aufgabe 2.6 (030)<br />
In einen starren Sockel wird eine passende elastische Scheibe (Elastizitätsmodul E, Querdehnzahl ν) der<br />
Höhe h und Breite b eingesetzt. Um welchen Betrag v verschiebt sich der Rand unter der Druckspannung p,<br />
wenn angenommen wird, daß die Scheibe an den vertikalen Berandungen reibungsfrei gleiten kann?<br />
Gegeben: E, ν, p, b, h.<br />
p<br />
v<br />
h<br />
E,<br />
ν<br />
y<br />
x<br />
b<br />
18
Aufgabe 2.7 (031)<br />
In die Aussparung eines starren Fundaments soll eine Scheibe eingesetzt werden. Die Abmessungen der<br />
Aussparung betragen h und b ∗ , die der Scheibe h und b. Zwischen Scheibe und Aussparung treten keine<br />
Reibungskräfte auf.<br />
Geben Sie die Spannungen im x-y-Koordinatensystem, sowie die Hauptschubspannungen an!<br />
Gegeben: b, b ∗ = 0.99 b, h, ν = 0.2, E = 2.5 · 10 7 kN/m 2 .<br />
h<br />
h<br />
E, ν<br />
b<br />
b*<br />
19
Aufgabe 4.1 (060)<br />
Qz<br />
Der dargestellte Querschnitt wird durch eine Querkraft<br />
Q z beansprucht; ermitteln Sie die Schubspannungsverteilung!<br />
Gegeben: t, a, Q z , t ≪ a<br />
t<br />
2t<br />
y<br />
z<br />
2t<br />
2t<br />
t<br />
4a<br />
3a<br />
6a<br />
3a<br />
Aufgabe 4.2 (061)<br />
Qz<br />
Der dargestellte Querschnitt (Blechdicke t), wird durch eine<br />
Querkraft Q z beansprucht. Geben Sie die dazugehörige<br />
Schubspannungsverteilung an!<br />
2a<br />
y<br />
Gegeben: t, a, Q z , t ≪ a<br />
z<br />
a<br />
Aufgabe 4.3 (062)<br />
Ein einseitig eingespannter Balken wird durch eine Streckenlast beansprucht.<br />
a) Geben Sie die Schubspannungsverteilung im Querschnitt der maximalen Schubspannung an.<br />
b) Wie muß die Blechdicke gewählt werden, damit an keiner Stelle die maximal zulässige Schubspannung<br />
τ zul überschritten wird?<br />
Gegeben: q = 50kN/m, a, t, τ zul = 9kN/cm 2 , t ≪ a<br />
t<br />
a<br />
q<br />
3t<br />
y<br />
2a<br />
x<br />
80a<br />
20<br />
z<br />
t<br />
a
Aufgabe 4.4 (063)<br />
Der beidseitig gelenkig gelagerte Einfeldbalken wird durch eine Streckenlast beansprucht. Gesucht ist die<br />
Schubspannungsverteilung im Querschnitt i.<br />
Gegeben: q = P/l, l, t, a, t ≪ a<br />
q<br />
i 2t 2t<br />
t<br />
a<br />
2l<br />
4a<br />
Aufgabe 4.5 (064)<br />
Ein Zweifeldbalken wird durch eine Einzellast belastet. Geben Sie die Schubspannungsverteilung infolge<br />
der maximal auftretenden Querkraft an.<br />
Gegeben: P, a, t, l, t ≪ a<br />
P<br />
2t<br />
t<br />
a<br />
2t<br />
2l<br />
l<br />
a<br />
Aufgabe 4.6 (065)<br />
Das dargestellte System wird durch sein Eigengewicht belastet. Geben Sie die dazugehörige Schubspannungsverteilung<br />
am Querschnitt der maximalen Querkraft an!<br />
Gegeben: γ, a, t, t ≪ a<br />
γ<br />
t<br />
a<br />
20a<br />
t<br />
a<br />
21
Aufgabe 4.7<br />
(aschub)<br />
Stellen Sie qualitativ <strong>für</strong> folgende symmetrische dünnwandige Querschnitte den Schubspannungsverlauf<br />
jeweils <strong>für</strong> eine Querkraft in y- und z-Richtung dar. Kennzeichnen Sie<br />
y<br />
• Extrema,<br />
• den Verlauf<br />
(linear, quadratisch, etc),<br />
• Sprünge<br />
• und die Richtung der Schub-<br />
t<br />
2t<br />
S<br />
3t<br />
2t<br />
S<br />
S<br />
t<br />
z<br />
spannungen.<br />
22
Aufgabe 5.1 (066)<br />
Ein Torsionsstab wird durch ein konstantes Torsionsmoment pro Längeneinheit, sowie ein Einzeltorsionsmoment<br />
belastet. Gesucht ist der Torsionsmomentenverlauf. Geben Sie die maximale Schubspannung infolge<br />
Torsion am kritischen Querschnitt an.<br />
Gegeben: GI T , l, m 0 , M = m 0 l<br />
x<br />
GI<br />
l<br />
T<br />
m<br />
0<br />
M<br />
y<br />
z<br />
l/10<br />
m<br />
0<br />
Aufgabe 5.2 (067)<br />
Der dargestellte Torsionsstab wird durch ein konstantes<br />
Streckentorsionsmoment m 0 belastet. Geben Sie den Verlauf<br />
des Torsionsmomentes und des Verdrehwinkels ϑ an.<br />
Gegeben: GI T , l, m 0<br />
x<br />
m 0<br />
GI T<br />
l<br />
Aufgabe 5.3 (068)<br />
Ein Brückenelement mit dünnwandigem Kastenquerschnitt wird exzentrisch durch eine Einzelkraft P belastet.<br />
Gesucht sind die maximale Schubspannung infolge Torsionsmoment und die Verdrehung des Endquerschnittes.<br />
Das Torsionsmoment ist zu berechnen.<br />
Gegeben: P, a, t, l, G<br />
x<br />
P<br />
2a<br />
P<br />
GI T<br />
23<br />
l<br />
a<br />
t<br />
2t<br />
t<br />
t<br />
a
Aufgabe 5.4 (069)<br />
Für einen Stab, der durch das Torsionsmoment M t = 1.2 · 10 3 kNcm belastet wird, stehen drei Querschnitte<br />
zur Auswahl. Wie müssen diese dimensioniert werden, damit die zulässige Schubspannung τ zul = 9kN/cm 2<br />
nicht überschritten wird? Welcher Querschnitt ist vom Materialaufwand am günstigsten?<br />
b/10<br />
c/10<br />
a<br />
b<br />
c/2<br />
a b c<br />
Aufgabe 5.5 (070)<br />
Der dargestellte Kragbalken wird durch eine exzentrisch angreifende Last P beansprucht. Geben Sie die<br />
maximale Schubspannung infolge Torsion an!<br />
Gegeben: P, t, r, t ≪ r<br />
π r<br />
P<br />
r<br />
S<br />
t<br />
2t<br />
π r<br />
24
Aufgabe 6.1 (073)<br />
Berechnen Sie die Knicklast <strong>für</strong> den skizzierten<br />
Balken.<br />
Gegeben: l, EI<br />
EI<br />
l<br />
P krit<br />
Aufgabe 6.2 (074)<br />
Der abgebildete Stab ist am linken Balkenende fest<br />
eingespannt. Am rechten Balkenende ist er in der x-<br />
z-Ebene gelenkig, in der x-y-Ebene voll eingespannt<br />
gelagert. Geben Sie die kritische Knicklast an!<br />
y<br />
z<br />
x<br />
F<br />
Gegeben: l, EI y = 2EI, EI z = EI<br />
l<br />
Aufgabe 6.3 (075)<br />
Berechnen Sie <strong>für</strong> die dargestellten Balken die Knicklast.<br />
Gegeben: l, EI<br />
a) b)<br />
EI F F EI<br />
l<br />
l<br />
Aufgabe 6.4 (076)<br />
Für den dargestellten Balken ist die Knicklast<br />
F<br />
EI<br />
C<br />
in Abhängigkeit von EI und a zu ermitteln.<br />
Gegeben: EI, a, C = EI/a<br />
25<br />
a
Aufgabe 6.5 (077)<br />
Der abgebildete Balken ist am linken Balkenende<br />
fest eingespannt und am rechten Balkenende<br />
durch eine Feder elastisch gelagert.<br />
EI<br />
c<br />
F<br />
Ermitteln Sie die kritische Knicklast!<br />
Gegeben: EI, a, c = EI/a 3<br />
a<br />
26
Lösungen <strong>für</strong> die Übungsaufgaben<br />
Aufgabe 1.9 :<br />
I 1 = I y = 1922.64a 4 , I 2 = I z = 2348a 4 ,<br />
Aufgabe 1.1 :<br />
(ϕ ∗ = 0)<br />
A = 6 √ Aufgabe 1.10 :<br />
13 2G ր<br />
B x = 6<br />
13 G ←<br />
I y = 115.5a 4 , I z = 19.5a 4 , I yz = 19.2a 4 ,<br />
B y = 7<br />
13 G ↑<br />
ϕ ∗ = 10.9 ◦ , I η = 119.16a 4 , I ζ = 15.77a 4<br />
Aufgabe 1.11 :<br />
Aufgabe 1.2 :<br />
x S = −0,143r<br />
a) ŷ S = −0.263 a, ẑ S = 0.963 a<br />
y S = −0,837r<br />
b) I y = 16.9 a 4 , I z = 39.6 a 4<br />
Aufgabe 1.3 :<br />
I yz = −6.58 a 4<br />
b 2 = 7 3 · b 1<br />
c) ϕ<br />
Aufgabe 1.4 = 15.05 ◦ , I<br />
:<br />
η = 15.2 a 4<br />
[ ]<br />
I ζ = 41.4 a 4<br />
⃗r S =<br />
39,4<br />
28,5<br />
mm<br />
Aufgabe 1.12 :<br />
Aufgabe 1.5 :<br />
Lage des Schwerpunkts: auf der Symmetrieachse,<br />
1.7a unterhalb der Querschnittsoberkante.<br />
a) Der Ursprung des Koordinatensystems I y = 36.9 a 4 , I z = 126.7 a 4 , I yz = 0<br />
liegt in S W , wobei die x-Achse parallel zur<br />
geneigten [ Fläche ] verläuft.<br />
Aufgabe 1.13 :<br />
ϕ ∗ = 45 ◦ , I η = 1.25 a 4 , I ζ = 0.583 a 4<br />
⃗r S =<br />
−0,7<br />
0,41<br />
m<br />
Aufgabe 1.14 :<br />
I y = 1.966 π r 4 , σ max = 3237 q/m, q zul =<br />
b) G min = 9,58kN<br />
c) ϕ = 61,4 o<br />
2.335 kN/m<br />
Aufgabe 1.15 :<br />
Aufgabe 1.6 :<br />
⎡ ⎤<br />
a) σ = 1<br />
−23,97<br />
3 · P<br />
m 2 − 10<br />
29 · P<br />
m 3 · η+ 3<br />
11 · P<br />
m 3 · ζ<br />
⎢ ⎥<br />
⃗r S = ⎣ 0,976 ⎦ cm<br />
b) ζ = 110<br />
−8,13<br />
87 η − 11<br />
9 m<br />
Aufgabe 1.7 :<br />
c) σ max = 1.604 P m 2 in der rechten unteren<br />
⎡ ⎤<br />
Ecke.<br />
1,045<br />
⎢ ⎥<br />
a) ⃗r S = ⎣ 1,045 ⎦ a<br />
d) m er f = 1.27 cm<br />
−0,682<br />
⎡ ⎤<br />
1,073<br />
⎢ ⎥<br />
b) ⃗r S = ⎣ 1,005 ⎦ a<br />
−0,594<br />
Aufgabe 1.8 :<br />
a) 3.1a unterhalb Querschnittsoberkante auf<br />
Symmetrieachse<br />
b) I y = 50.85a 4 , I z = 13.25a 4 , I yz = 0<br />
27
Aufgabe 1.16 :<br />
a) ŷ S = 3a, ẑ S = 2a<br />
b) ϕ ∗ = 18.435 ◦ ,I η = 13.5a 4 ,I ζ = 58.5a 4<br />
c) σ = 2P<br />
18a 2 − 13.9P<br />
58.5a 3 η − 3.80P<br />
13.5a 3 ζ<br />
d) ζ = 0.395a − 0.846η<br />
Aufgabe 1.19 :<br />
(<br />
σ = −8 − 12 √ 2 ζ a + 60√ 2<br />
7<br />
σ max = − 204 P<br />
7<br />
)<br />
η<br />
a<br />
P<br />
a 2<br />
a 2 η<br />
e) σ max = 1.205P/a 2 SNL<br />
σ max<br />
ζ<br />
Aufgabe 1.17 :<br />
y<br />
η<br />
a) σ = − P dh + 6 P<br />
d 2 h · y+ 6 P<br />
h 2 d · z<br />
z<br />
ζ<br />
Aufgabe 1.20 :<br />
σ max<br />
−100 Pa (<br />
σ = (−4.5 a 4<br />
60.75 a 8 )y+(18 a 4 )z )<br />
Spannungsnullinie: y = 4z<br />
σ max = ±44.4 P a 2<br />
max σ Zug<br />
y<br />
b) σ max = −7 P dh<br />
σ m ax<br />
SNL<br />
z<br />
y<br />
d/6<br />
h/6<br />
max σ Druck<br />
Aufgabe 1.21 :<br />
Aufgabe 1.18 :<br />
z<br />
SNL<br />
a) ϕ ∗ = 35.78 ◦ , I η = 144.5 a 4 , I ζ = 18.00 a 4<br />
b) y = 1.021 z<br />
a) ŷ S = 3.5 a, ẑ S = 2 a<br />
c) σ i = 9393 P a 2 y<br />
b) ϕ ∗ = 25.1 ◦ , I η = 15.8 a 4 , I ζ = 39.2 a 4<br />
( 0.053<br />
c) σ =<br />
39.22 · η − 0.113 ) G l<br />
15.8 · ζ a 4<br />
η<br />
y<br />
z<br />
ζ<br />
η<br />
Aufgabe 1.22 :<br />
( ) 5<br />
M(x) = Pl<br />
6 − ξ − ξ2 mit ξ = x/l<br />
w(x) = P l3<br />
EI<br />
z<br />
( 1<br />
12 ξ4 + 1 6 ξ3 − 5<br />
12 ξ2 + 1 )<br />
6<br />
ζ<br />
28
Aufgabe 1.23 :<br />
Aufgabe 1.29 :<br />
M(x) = q l2 (<br />
1 − ξ<br />
4 ) x<br />
mit ξ = x/l<br />
+<br />
12<br />
w(x) = q l4 (<br />
ξ 6 − 15ξ 2 + 14 )<br />
P<br />
6<br />
360 EI<br />
Q Q(x) = P 6<br />
Aufgabe 1.24 :<br />
x<br />
w(x) = ∆l ( 3ξ 2 − 2ξ 3) +<br />
mit ξ = x/l<br />
Pa<br />
Px<br />
M<br />
6 M(x) =<br />
Aufgabe 1.25 :<br />
6<br />
w(x) = ∆ϕ l<br />
(ξ − 3 2 ξ2 + 1 )<br />
2 ξ3 mit ξ = x/l<br />
x<br />
Pa 2 + Pa 2<br />
6EI<br />
12EI<br />
Aufgabe 1.26 :<br />
w’<br />
M(x) = q 0 l 2 (<br />
−1+5ξ − 4ξ<br />
2 ) w ′ (x) = P(6a2 − x 2 )<br />
12EI<br />
mit ξ = x/l<br />
8<br />
x<br />
w(x) = q 0 l 4 (<br />
2ξ 4 − 5ξ 3 + 3ξ 2)<br />
+<br />
5Pa 3<br />
48 EI<br />
36EI<br />
w Par. 3. O. w(x) = P(6a2 x − x 3 )<br />
Aufgabe 1.27 :<br />
36EI<br />
w(x) = P l3 (<br />
−ξ+2ξ 2 − ξ 3) mit ξ = x/l<br />
4 EI<br />
Aufgabe 1.30 :<br />
Aufgabe 1.28 :<br />
w(x) = q a4 (<br />
ξ 4 − 6ξ+5 ) mit ξ = x/a<br />
a) M(x) = q a2 (<br />
−1+4 ξ − 2ξ<br />
2 ) 24 EI<br />
mit ξ = x/a<br />
4<br />
5qa 4 +<br />
x<br />
24EI<br />
b) w(x) = q a4 (<br />
ξ 4 − 4ξ 3 + 3ξ 2) 24 EI<br />
Aufgabe 1.31 :<br />
w<br />
Linker Bereich: M(x 1 ) = q l2<br />
(3 ξ − 3) mit<br />
16<br />
ξ = x 1 /l<br />
Rechter Bereich: M(x 2 ) = q l2 (<br />
−8ξ 2 + 3 ξ ] mit<br />
16<br />
ξ = x 2 /l<br />
29
Aufgabe 1.32 :<br />
Linker Bereich:<br />
a) M(x 1 ) = q l2<br />
2 (ξ − 1) mit ξ = x 1/l<br />
b) w(x 1 ) = q l4 (<br />
−ξ 3 + 3ξ 2)<br />
12 EI<br />
Rechter Bereich:<br />
a) M(x 2 ) = q l2<br />
2<br />
(<br />
−ξ 2 + ξ ) mit ξ = x 2 /l<br />
b) w(x 2 ) = q l4 (<br />
ξ 4 − 2ξ 3 − 3ξ+4 )<br />
24 EI<br />
Aufgabe 1.33 :<br />
w c = − 5 P l 3<br />
6 EI<br />
Aufgabe 1.34 :<br />
w B = 5 q l 4<br />
768 EI<br />
Aufgabe 1.35 :<br />
Linker Bereich:<br />
a) M(x 1 ) = q l2<br />
16<br />
(<br />
−8ξ 2 + 7ξ ) mit ξ = x 1 /l<br />
b) w(x 1 ) = q l4 (<br />
4ξ 4 − 7ξ 3 + 3ξ )<br />
96 EI<br />
Aufgabe 2.1 :<br />
a) σ 1 = 920 N/mm 2 , σ 2 = −520 N/mm 2 ,<br />
ϕ ∗ = −16,84 ◦<br />
b) τ max = 720 N/mm 2<br />
Aufgabe 2.2 :<br />
a) σ x = −4σ, σ y = 0, τ xy = +σ<br />
b) ϕ ∗ = 31.7 ◦ , ϕ ∗∗ = 76.7 ◦ ,<br />
σ 1 = 0.23 σ, σ 2 = −4.23 σ,<br />
Aufgabe 2.3 :<br />
a) σ ξ = 500 N/mm 2 , σ η = 700 N/mm 2 ,<br />
τ = 174 N/mm 2<br />
b) σ ξ = 75 N/mm 2 , σ η = −375 N/mm 2 ,<br />
τ = −390 N/mm 2<br />
Aufgabe 2.4 :<br />
σ 1 = 241.2 N/mm 2 , σ 2 = −81.24 N/mm 2 ,<br />
ϕ ∗ = 14.87 ◦<br />
Aufgabe 2.5 :<br />
σ 1 = 10 σ, σ 2 = 0<br />
Aufgabe 2.6 :<br />
v r = ρ E ·(ν2 − 1) · h<br />
Aufgabe 2.7 :<br />
σ x = −260000 kN/mm 2<br />
σ y = −52000 kN/mm 2<br />
τ max = ±104000 kN/mm 2<br />
Aufgabe 4.1 :<br />
Rechter Bereich:<br />
7.9<br />
a) M(x 2 ) = q l2<br />
16 (ξ − 1) mit ξ = x 2/l<br />
b) w(x 2 ) = q l4 (<br />
−ξ 3 + 3ξ 2 − 2ξ )<br />
96 EI<br />
7.1<br />
5.5<br />
4.0<br />
2.35a<br />
S<br />
I y = 89.09a 3 t<br />
[ ]<br />
Qz<br />
τ<br />
100at<br />
Aufgabe 1.36 :<br />
w(C) = 41ql4<br />
24EI<br />
30
Aufgabe 4.2 :<br />
6/16<br />
Aufgabe 4.6 :<br />
9/16<br />
τ<br />
[ ]<br />
Qz<br />
at<br />
I y = 1 3 a3 t<br />
τ<br />
30 √ 2γa<br />
6/16<br />
Aufgabe 4.3 :<br />
a<br />
3<br />
6<br />
Aufgabe 4.4 :<br />
9<br />
[ ]<br />
Qz<br />
τ<br />
40at<br />
b) t ≥ 1cm<br />
max Q z = 80qa<br />
Aufgabe 5.1 :<br />
2m 0 l<br />
M t<br />
+<br />
τ max = 32000m 0<br />
πl 2<br />
Aufgabe 5.2 :<br />
m 0 l<br />
M T (x) = m 0 l<br />
2 (l − 2ξ) mit ξ = x 2/l<br />
ϑ = m 0 l 2<br />
2 GI T<br />
(ξ − ξ 2 )<br />
0.3<br />
0.6<br />
0.34<br />
a/4<br />
S<br />
[ ] P<br />
τ<br />
at<br />
Aufgabe 5.3 :<br />
τ max = P<br />
a l<br />
, ϑ(i) = −P ,I T = 9<br />
3 a t GI T 2+ √ 5 a3 t<br />
Aufgabe 4.5 :<br />
6<br />
24<br />
27<br />
I y = 13<br />
12 a3 t<br />
[ ] P<br />
τ<br />
13at<br />
Aufgabe 5.4 :<br />
a) a = 8.62 cm → F = 74.34 cm 2<br />
b) b = 9.37 cm → F = 31.62 cm 2<br />
am günstigsten!<br />
c) c = 12.28 cm → F = 39.21 cm 2<br />
Aufgabe 5.5 :<br />
τ max = P<br />
6 r t<br />
Aufgabe 6.1 :<br />
F krit = π2 EI<br />
4 l 2<br />
31
Aufgabe 6.2 :<br />
x-y-Ebene: F 1 = 4 π2 EI<br />
l 2<br />
x-z-Ebene: F 2 = 4.08 π2 EI<br />
l 2<br />
F krit = F 1 da F 1 < F 2 ist.<br />
Aufgabe 6.3 :<br />
a) F krit = π2 EI<br />
l 2<br />
b) F krit = 4 π2 EI<br />
l 2<br />
Aufgabe 6.4 :<br />
F krit =<br />
0.86 EI<br />
l 2<br />
Aufgabe 6.5 :<br />
F krit = 1.80932 EI<br />
l 2 32