AUFGABEN TM II - Institut für Angewandte Mechanik

AUFGABEN
TM II
INSTITUT FÜR ANGEWANDTE MECHANIK
Technische Universtät Braunschweig
1

Aufgabe 1.1
Eine homogene Scheibe konstanter Dicke und mit dem Gewicht G ist in A und B gelagert.
Gegeben: G, a, α = 45 o
Gesucht: Lagerkräfte in A und B
a
2a
3__
2
a
111111111111111
000000000000000
__ 1
2
a
000000000000000
111111111111111
000
000
000
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
111
111
111
A
000 111
000 111
α
000 111
__ 2
3
a
B
a
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
Aufgabe 1.2
y
Für das skizzierte homogene ebene
000000000000000000000
111111111111111111111
Gebilde, das aus einem Halbkreis,
000000000000000000000
111111111111111111111
einem Rechteck, einem Geradenstück
r
000000000000000000000
111111111111111111111
und Halbkreisbogen besteht, berechne
I 000000000000000000000
111111111111111111111
000000000000000000000
111111111111111111111
man die Koordinaten x S und y S des
000000000000000000000
111111111111111111111
0000000000
1111111111
y S = r sin α
α . 0000000000
1111111111
Gesamtschwerpunktes S.
0000000000
1111111111
0000000000
1111111111
0000000000
1111111111
r II 0000000000
1111111111
0000000000
1111111111
0000000000
1111111111
0000000000
1111111111
Gegeben: m 1 = 4m, m 2 = 5m
m 3 = 2m, m 4 = 3m
Hinweis: Der Schwerpunkt für einen
Kreisbogen mit einem Öffnungwinkel
α lautet
r
r
III
IV
0000000000
1111111111
0000000000
1111111111
2m
3m
4m
5m
x
r
r
2

Aufgabe 1.3
0000000000000000
1111111111111111
0000000000000000
1111111111111111
0000000000000000
1111111111111111
0000000000000000
1111111111111111
0000000000000000
1111111111111111
b
0000000000000000
11111111111111111
0000000000000000
1111111111111111
0000000000000000
1111111111111111
A
0000000000000000
1111111111111111
1111111111111111
b0000000000000000
1111111111111111
2
0000000000000000
1111111111111111
0000000000000000
1111111111111111
0000000000000000
1111111111111111
0000000000000000
1111111111111111
0000000000000000
1111111111111111
a
4r __
3π
a
Hinweis zur Lage
des Schwerpunktes
einer Halbkreisflache.
a__
2
Ein Blechstück besteht aus einem
Kreisring mit der Dicke b 1 und einem
Rechteck mit der Dicke b 2 .
Das spezifische Gewicht des Werkstoffes
ist γ.
Gegeben: a,b 1 ,γ
Wie groß muß die Blechdicke b 2
gewählt werden, damit der Massenmittelpunkt
in A liegt ?
Aufgabe 1.4
y
000000
1111110
100
11
000000
1111110
1
01 000000
1111110
1
000000
1111110
1__
3 a
000000
1111110
1
a
2
000000
1111110
1
000000
1111110
1
01 000000
1111110
1
00 11
x
01 01 01 01
a
a
Man berechne den geometrischen
Schwerpunkt des gezeichneten
Blechstückes konstanter Dicke.
Gegeben: a = 40 mm
3

Aufgabe 1.5
2a
1,5a
2a
8a
2a 4a
0000 1111
ϕ
0000 1111III
0000 1111 0000000000000
1111111111111
II
0000 1111 0000000000000
1111111111111
0000 1111 0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
α
0000000000000G
1111111111111
000 111
000 111
000 111
000 111
x
S w
1,5a
Gegeben: a = 0,5m; α = 20 o
Wagen I: G I = 5kN
Schwerpunkt:S w
Würfel II:G II = 8kN
Zylinder III: G III = 15kN
Der auf einer schiefen Ebene stehende Wagen I ist mit einem Würfel II und einem Zylinder III beladen und
wird durch ein Gewicht G über ein gewichtloses Seil und eine Rolle in Ruhe gehalten. Rollen und Räder
seien reibungsfrei.
a) Man bestimme den Schwerpunkt des beladenen Wagens in geeigneten Koordinaten.
b) Welches ist das kleinstmögliche G, das den Wagen im Gleichgewicht hält?
c) Welcher Winkel ϕ stellt sich ein bei G = 20kN?
4

Aufgabe 1.6
Für den skizzierten Körper gebe man die Schwerpunktkoordinaten an.
R
Gegeben:
a = 15 cm
b = 40 cm
l
D = 20 cm
R = 20 cm
b
D
l = 40 cm
z
D
a
a
2l
x
b
y
b
Aufgabe 1.7
Für den skizzierten aus drei Quadern
a
zusammengesetzten Körper sind die Schwer-
a
a
I
a
punktkoordinaten im gegebenen Koordinatensystem
zu berechnen.
2a
II
2a
y
x
III
z
2a
a
a
a
a) Alle drei Körper sind aus dem gleichen
Material.
b) Quader Quader II Quader III
(Stahl) (Kupfer) (Blei)
γ = 76,97 γ = 87,27 γ = 110,8
5

Aufgabe 1.8 (032)
y
Für das skizzierte Profil berechne man in Abhängigkeit von
a:
a) die Koordinaten des Schwerpunkts in einem selbst
zu wählenden Koordinatensystem,
b) die Flächenträgheitsmomente I y , I z und I yz bezogen
auf das y-z-Koordinatensystem im Punkte S
(Schwerpunkt),
c) die Flächenträgheitsmomente bezogen auf das y-z-
Koordinatensystem im Punkt F.
Gegeben: a
a
3a
a
a
F
a a a
z
Aufgabe 1.9 (033)
y
Geben Sie die Hauptträgheitsmomente und Hauptachsen
des dargestellten Querschnitts bezüglich des Schwerpunkts
an.
Gegeben: a
6.6a
3a
2.4a
z
4a
6a
4a
Aufgabe 1.10 (034)
Für den dargestellten Querschnitt sind die Hauptträgheitsmomente und die Hauptachsen bezüglich des
Schwerpunkts gesucht (mit Hilfe des Mohr’schen Kreises).
y
Gegeben: a
z
6a
2a
2a
2a
6

Aufgabe 1.11 (035)
Für den skizzierten Querschnitt sind gesucht:
a) die Lage des Schwerpunkts im y-z-Koordinatensystem,
b) die Flächenträgheitsmomente I y , I z und I yz im Schwerpunktskoordinatensystem,
c) die Hauptträgheitsmomente und die Hauptachsen bezüglich des Schwerpunkts.
3a
a
y
Gegeben: a
3a
z
Aufgabe 1.12 (036)
Berechnen Sie für den dargestellten Querschnitt die Flächenträgheitsmomente I y , I z und I yz bezüglich des
angegebenen Schwerpunktkoordinatensystems.
a
y
z
S
2a
a
2a
a
4a
7
a
2a

Aufgabe 1.13 (037)
Ermitteln Sie für den dargestellten Querschnitt die Hauptachsenrichtung ϕ ∗ und die Hauptträgheitsmomente
I η und I ζ !
a
y
ϕ∗
ε
a
ζ
z
a
a
Aufgabe 1.14 (038)
Ein Bach soll mit einer provisorischen Holzbrücke überquert werden, die aus zwei Baumstämmen des Radius
r und einem Brett besteht. Wie groß ist die zulässige Belastung der Brücke, wenn auch das Eigengewicht
γ berücksichtigt werden soll?
Gegeben: r = 0.1m, σ zul = 10 4 kN/m 2 , γ = 6kN/m 3 .
q
0.4r
x
y
S
2r
z
z
100r
5π r
8

Aufgabe 1.15 (039)
a) Geben Sie die Normalspannungsverteilung σ als Funktion der Koordinaten y und z im Schnitt an der
Stelle x an.
b) Wie lautet die Funktion der Spannungsnulllinie?
c) In welchem Punkt tritt die größte Normalspannung auf und wie groß ist sie?
d) Wie groß muß der Querschnittsparameter m gewählt werden, falls σ zul = 14kN/cm 2 und P = 14kN
sind?
x
m
3m
m
m
A
P
y
S
m
m
B
3P
z
Aufgabe 1.16 (040)
a) Bestimmen Sie die Lage des Schwerpunktes.
b) Geben Sie die Lage des Hauptachsensystems, sowie die Größe der Hauptträgheitsmomente an.
c) Wie lautet die Normalspannungsfunktion in Hauptachsenkoordinaten?
d) Bestimmen Sie die Lage der Spannungsnullinie.
e) In welchem Punkt tritt die größte Normalspannung auf und wie groß ist sie?
Gegeben: P, a
3a
3a
B
y
a
3P
2a
A
P
9
z
a

Aufgabe 1.17 (041)
Für den gegebenen Balken ermittle man die Spannungsfunktion und gebe die Lage und Größe der maximalen
Normalspannung an.
Gegeben: P, h, d, l
l
y
P
h
z
d
Aufgabe 1.18 (042)
Eine Regenrinne mit dem Gewicht G ist beidseitig gelenkig gelagert und wird nur durch ihr Eigengewicht
belastet. Gesucht sind:
a) Die Lage des Schwerpunktes im y-z-Koordinatensystem.
b) Die Hauptträgheitsmomente sowie die Hauptachsen bezüglich des Schwerpunktes.
c) Die Normalspannungsverteilung im Querschnitt der maximalen Beanspruchung in Abhängigkeit von
G, l, und a.
Gegeben: G, l, a
y
l
z
10
a

Aufgabe 1.19 (043)
Geben Sie für den dargestellten Balken die Spannungsfunktion im kritischen Querschnitt an. Wie groß ist
hier die maximale Normalspannung?
Gegeben: P, a
3P
24P
y
z
x
a
10a
a
a
a
Aufgabe 1.20 (044)
Der dargestellte Balken wird durch eine Einzellast beansprucht. Geben Sie die Spannungsnulllinie sowie
Lage und Größe der maximalen Normalspannung am gefährdeten Querschnitt an!
Gegeben: P, a
y
x
P
z
S
3a
100a
6a
11

Aufgabe 1.21 (045)
Der gegebene Querschnitt wird durch ein Biegemoment M y
beansprucht. Bestimmen Sie
a) Die Lage der Hauptträgheitsachsen, sowie die Größe
der Hauptträgheitsmomente,
a
5a
y
M y
b) die Lage der Spannungsnulllinie,
c) die Normalspannung im Punkt i.
Gegeben: P, a, M y = 10 5 Pa
a
4a
i
z
a
4a
Aufgabe 1.22 (046)
P
Der dargestellte Balken wird durch eine Einzellast
P und eine Streckenlast q belastet. Man be-
q
stimme die Biegelinie und den Momentenverlauf
mit Hilfe der Superpositionsmethode.
EI
Gegeben: EI, l, P, q = 2P/l
x
l
Aufgabe 1.23 (047)
Parabel 2. O.
Gegeben ist ein elastischer Balken, der durch
eine Streckenlast mit parabelförmigem Verlauf
horiz. Tangente
q
beansprucht wird. Geben Sie den Verlauf der
Momenten- und Biegelinie an.
Gegeben: EI, l, q
x
EI
l
Aufgabe 1.24 (048)
Das rechte Auflager eines beidseitig eingespannten
Balkens hat sich nach dem Einbau um ∆l abgesenkt.
Geben Sie den Verlauf der Biegelinie an.
x
EI
l
Gegeben: EI, l, ∆l
12
l

Aufgabe 1.25 (049)
Das rechte Auflager eines elastischen Balkens ist
mit einem Winkelfehler ∆ϕ eingebaut worden.
Man ermittle die Biegelinie mit Hilfe der Superpositionsmethode.
Gegeben: EI, l, ∆ϕ
x
ϕ
EI
l
Aufgabe 1.26 (050)
q
Gegeben ist ein elastischer Balken, der durch eine
Streckenlast q beansprucht wird. Geben Sie
den Verlauf der Biege- und Momentenlinie an.
Gegeben: EI, l, q
EI
l
Aufgabe 1.27 (053)
Pl
Für das dargestellte System ist die Biegelinie
w(x) zu bestimmen.
Gegeben: EI, l, P
A
EI
B
l
Aufgabe 1.28 (055)
q
Für den dargestellten Balken sind die Funktionen
der Biegelinie w(x) und der Momentenlinie M(x)
gesucht.
Gegeben: EI, l, q, M = ql 2 /4, cl 3 = 3EI
EI
c
M
13
l

Aufgabe 1.29 (056)
Der skizzierte Balken wird in B durch eine Ein-
P
zellast P belastet. Vorher sind die Federn entspannt.
In Abhängigkeit von l, EI, P und mit
c = 6EI/l 3 und C = 2EI/l sind Querkraftverlauf,
Momentenverlauf, Neigungslinie und Biegelinie
A
EI
c
B
C
zu bestimmen und darzustellen.
l
Aufgabe 1.30 (057)
Für den dargestellten elastischen Balken ist die
Biegelinie w(x) infolge der konstanten Streckenlast
q zu ermitteln. Stellen Sie die Funktion mit
Angabe des Maximums qualitativ dar.
Gegeben: EI, l, q, C = 6EI/l
q
EI
l
C
Aufgabe 1.31 (051)
Ermitteln Sie für folgenden elastischen Zwei-
q
feldbalken die Momentenlinie infolge der
Streckenlast q!
EI
EI
Gegeben: EI, l, q
l
l
Aufgabe 1.32 (052)
Ein statisch bestimmt gelagerter Zweifeldbalken
ist durch eine Streckenlast beansprucht.
q
a) Geben Sie den Verlauf der Momentenfunktion
an (TM I)!
EI
EI
b) Wie lautet die Funktion der Biegelinie?
Gegeben: EI, l, q
14
l
l

Aufgabe 1.33 (054)
Der dargestellte Balken ist durch ein Einzelmoment in B und durch eine Einzelkraft in C belastet. Berechnen
Sie ausgehend von der Differentialgleichung 4. Ordnung (EIw ′′′′ = q) die Durchsenkung im Punkte C.
Gegeben: EI, l, P
2Pl
P
EI
2EI
A
l
B
l
C
x 1
x 2
Aufgabe 1.34 (058)
Der skizzierte Balken ist durch eine Streckenlast
q belastet. Ermitteln Sie ausgehend von der Differentialgleichung
EIw ′′ = −M die Verschiebung
im Punkt B.
Gegeben: EI, l, q
q
A
EI
l
B
l
2 2
C
Aufgabe 1.35 (059)
Geben Sie für den Zweifeldträger den Verlauf der Momente und die Biegelinie in beiden Bereichen an.
Gegeben: EI, l, q
q
EI
x 1 x 2
l
15
l

Aufgabe 1.36
(adgl2o)
Berechnen Sie die Durchbiegung des dargestellten Balkens im Punkt C infolge der angegebenen Belastung.
EI
A B C
q
l
x 1 x 2
l
Gegeben: q, EI, l, M 1 (x 1 ) = qlx 1 − 3 2 ql2 , M 2 (x 2 ) = − 1 2 qx 2 2 + qlx 2 − 1 2 ql2
16

Aufgabe 2.1 (026)
In einem ebenen Bauteil seien die Spannungen σ x ,
σ y und τ xy bekannt.
τ
xy
σ
y
a) Geben Sie die Hauptnormalspannungen und
die Hauptrichtungen an!
σ
x
σ
x
b) Wie groß sind die Hauptschubspannungen?
c) Kontrollieren Sie mit dem Mohrschen Spannungskreis
die Ergebnisse der Punkte a) und
τ
xy
b).
σ
y
Gegeben: σ x = 800N/mm 2 , σ y = −400N/mm 2 , τ xy = −400N/mm 2 .
Aufgabe 2.2 (027)
In einem ebenen Bauteil seien die Spannungen σ x ,
σ y und τ xy bekannt.
a) Wie groß sind die Spannungen in den
Schnitten, die um 45 ◦ gegenüber dem x-y-
3σ
2σ
σ
3σ
Koordinatensystem geneigt sind?
b) Geben Sie die Hauptnormal- und -
schubspannungen sowie die Hauptrichtungen
an!
σ
2σ
Aufgabe 2.3 (028)
Man ermittle für gegebene Hauptnormalspannungs-
σ
y
zustände die Spannungen unter einem Schnittwinkel
von 30 ◦ und kontrolliere die Ergebnisse mit dem
Mohrschen Spannungskreis!
a) σ x = 400N/mm 2 , σ y = 800N/mm 2 ;
σ
x
o
30
σ
x
b) σ x = 300N/mm 2 , σ y = −600N/mm 2 ;
17
σ
y

Aufgabe 2.4
(029a)
In einem Blech seien die Spannungen σ x , σ y und τ xy bekannt. Gesucht sind:
a) Größe und Richtung der Hauptnormalspannungen,
b) Größe und Richtung der maximalen Schubspannung,
sowie die dazugehörigen Normalspannungen.
σ
x
σ
y
τ
xy
σ
x
σ x = 220N/mm 2 ,
σ y = −60N/mm 2 ,
τ xy = 80N/mm 2 .
τ xy
σ
y
Aufgabe 2.5
(029b)
In einem Bauteil sind die Normalspannungen unter
0 ◦ , 45 ◦ und 90 ◦ gemessen worden. Wie groß sind die
Hauptnormalspannungen?
σ(0 ◦ ) = 8σ,
σ(45 ◦ ) = 9σ,
σ(90 ◦ ) = 2σ.
y
ϕ
x
Aufgabe 2.6 (030)
In einen starren Sockel wird eine passende elastische Scheibe (Elastizitätsmodul E, Querdehnzahl ν) der
Höhe h und Breite b eingesetzt. Um welchen Betrag v verschiebt sich der Rand unter der Druckspannung p,
wenn angenommen wird, daß die Scheibe an den vertikalen Berandungen reibungsfrei gleiten kann?
Gegeben: E, ν, p, b, h.
p
v
h
E,
ν
y
x
b
18

Aufgabe 2.7 (031)
In die Aussparung eines starren Fundaments soll eine Scheibe eingesetzt werden. Die Abmessungen der
Aussparung betragen h und b ∗ , die der Scheibe h und b. Zwischen Scheibe und Aussparung treten keine
Reibungskräfte auf.
Geben Sie die Spannungen im x-y-Koordinatensystem, sowie die Hauptschubspannungen an!
Gegeben: b, b ∗ = 0.99 b, h, ν = 0.2, E = 2.5 · 10 7 kN/m 2 .
h
h
E, ν
b
b*
19

Aufgabe 4.1 (060)
Qz
Der dargestellte Querschnitt wird durch eine Querkraft
Q z beansprucht; ermitteln Sie die Schubspannungsverteilung!
Gegeben: t, a, Q z , t ≪ a
t
2t
y
z
2t
2t
t
4a
3a
6a
3a
Aufgabe 4.2 (061)
Qz
Der dargestellte Querschnitt (Blechdicke t), wird durch eine
Querkraft Q z beansprucht. Geben Sie die dazugehörige
Schubspannungsverteilung an!
2a
y
Gegeben: t, a, Q z , t ≪ a
z
a
Aufgabe 4.3 (062)
Ein einseitig eingespannter Balken wird durch eine Streckenlast beansprucht.
a) Geben Sie die Schubspannungsverteilung im Querschnitt der maximalen Schubspannung an.
b) Wie muß die Blechdicke gewählt werden, damit an keiner Stelle die maximal zulässige Schubspannung
τ zul überschritten wird?
Gegeben: q = 50kN/m, a, t, τ zul = 9kN/cm 2 , t ≪ a
t
a
q
3t
y
2a
x
80a
20
z
t
a

Aufgabe 4.4 (063)
Der beidseitig gelenkig gelagerte Einfeldbalken wird durch eine Streckenlast beansprucht. Gesucht ist die
Schubspannungsverteilung im Querschnitt i.
Gegeben: q = P/l, l, t, a, t ≪ a
q
i 2t 2t
t
a
2l
4a
Aufgabe 4.5 (064)
Ein Zweifeldbalken wird durch eine Einzellast belastet. Geben Sie die Schubspannungsverteilung infolge
der maximal auftretenden Querkraft an.
Gegeben: P, a, t, l, t ≪ a
P
2t
t
a
2t
2l
l
a
Aufgabe 4.6 (065)
Das dargestellte System wird durch sein Eigengewicht belastet. Geben Sie die dazugehörige Schubspannungsverteilung
am Querschnitt der maximalen Querkraft an!
Gegeben: γ, a, t, t ≪ a
γ
t
a
20a
t
a
21

Aufgabe 4.7
(aschub)
Stellen Sie qualitativ für folgende symmetrische dünnwandige Querschnitte den Schubspannungsverlauf
jeweils für eine Querkraft in y- und z-Richtung dar. Kennzeichnen Sie
y
• Extrema,
• den Verlauf
(linear, quadratisch, etc),
• Sprünge
• und die Richtung der Schub-
t
2t
S
3t
2t
S
S
t
z
spannungen.
22

Aufgabe 5.1 (066)
Ein Torsionsstab wird durch ein konstantes Torsionsmoment pro Längeneinheit, sowie ein Einzeltorsionsmoment
belastet. Gesucht ist der Torsionsmomentenverlauf. Geben Sie die maximale Schubspannung infolge
Torsion am kritischen Querschnitt an.
Gegeben: GI T , l, m 0 , M = m 0 l
x
GI
l
T
m
0
M
y
z
l/10
m
0
Aufgabe 5.2 (067)
Der dargestellte Torsionsstab wird durch ein konstantes
Streckentorsionsmoment m 0 belastet. Geben Sie den Verlauf
des Torsionsmomentes und des Verdrehwinkels ϑ an.
Gegeben: GI T , l, m 0
x
m 0
GI T
l
Aufgabe 5.3 (068)
Ein Brückenelement mit dünnwandigem Kastenquerschnitt wird exzentrisch durch eine Einzelkraft P belastet.
Gesucht sind die maximale Schubspannung infolge Torsionsmoment und die Verdrehung des Endquerschnittes.
Das Torsionsmoment ist zu berechnen.
Gegeben: P, a, t, l, G
x
P
2a
P
GI T
23
l
a
t
2t
t
t
a

Aufgabe 5.4 (069)
Für einen Stab, der durch das Torsionsmoment M t = 1.2 · 10 3 kNcm belastet wird, stehen drei Querschnitte
zur Auswahl. Wie müssen diese dimensioniert werden, damit die zulässige Schubspannung τ zul = 9kN/cm 2
nicht überschritten wird? Welcher Querschnitt ist vom Materialaufwand am günstigsten?
b/10
c/10
a
b
c/2
a b c
Aufgabe 5.5 (070)
Der dargestellte Kragbalken wird durch eine exzentrisch angreifende Last P beansprucht. Geben Sie die
maximale Schubspannung infolge Torsion an!
Gegeben: P, t, r, t ≪ r
π r
P
r
S
t
2t
π r
24

Aufgabe 6.1 (073)
Berechnen Sie die Knicklast für den skizzierten
Balken.
Gegeben: l, EI
EI
l
P krit
Aufgabe 6.2 (074)
Der abgebildete Stab ist am linken Balkenende fest
eingespannt. Am rechten Balkenende ist er in der x-
z-Ebene gelenkig, in der x-y-Ebene voll eingespannt
gelagert. Geben Sie die kritische Knicklast an!
y
z
x
F
Gegeben: l, EI y = 2EI, EI z = EI
l
Aufgabe 6.3 (075)
Berechnen Sie für die dargestellten Balken die Knicklast.
Gegeben: l, EI
a) b)
EI F F EI
l
l
Aufgabe 6.4 (076)
Für den dargestellten Balken ist die Knicklast
F
EI
C
in Abhängigkeit von EI und a zu ermitteln.
Gegeben: EI, a, C = EI/a
25
a

Aufgabe 6.5 (077)
Der abgebildete Balken ist am linken Balkenende
fest eingespannt und am rechten Balkenende
durch eine Feder elastisch gelagert.
EI
c
F
Ermitteln Sie die kritische Knicklast!
Gegeben: EI, a, c = EI/a 3
a
26

Lösungen für die Übungsaufgaben
Aufgabe 1.9 :
I 1 = I y = 1922.64a 4 , I 2 = I z = 2348a 4 ,
Aufgabe 1.1 :
(ϕ ∗ = 0)
A = 6 √ Aufgabe 1.10 :
13 2G ր
B x = 6
13 G ←
I y = 115.5a 4 , I z = 19.5a 4 , I yz = 19.2a 4 ,
B y = 7
13 G ↑
ϕ ∗ = 10.9 ◦ , I η = 119.16a 4 , I ζ = 15.77a 4
Aufgabe 1.11 :
Aufgabe 1.2 :
x S = −0,143r
a) ŷ S = −0.263 a, ẑ S = 0.963 a
y S = −0,837r
b) I y = 16.9 a 4 , I z = 39.6 a 4
Aufgabe 1.3 :
I yz = −6.58 a 4
b 2 = 7 3 · b 1
c) ϕ
Aufgabe 1.4 = 15.05 ◦ , I
:
η = 15.2 a 4
[ ]
I ζ = 41.4 a 4
⃗r S =
39,4
28,5
mm
Aufgabe 1.12 :
Aufgabe 1.5 :
Lage des Schwerpunkts: auf der Symmetrieachse,
1.7a unterhalb der Querschnittsoberkante.
a) Der Ursprung des Koordinatensystems I y = 36.9 a 4 , I z = 126.7 a 4 , I yz = 0
liegt in S W , wobei die x-Achse parallel zur
geneigten [ Fläche ] verläuft.
Aufgabe 1.13 :
ϕ ∗ = 45 ◦ , I η = 1.25 a 4 , I ζ = 0.583 a 4
⃗r S =
−0,7
0,41
m
Aufgabe 1.14 :
I y = 1.966 π r 4 , σ max = 3237 q/m, q zul =
b) G min = 9,58kN
c) ϕ = 61,4 o
2.335 kN/m
Aufgabe 1.15 :
Aufgabe 1.6 :
⎡ ⎤
a) σ = 1
−23,97
3 · P
m 2 − 10
29 · P
m 3 · η+ 3
11 · P
m 3 · ζ
⎢ ⎥
⃗r S = ⎣ 0,976 ⎦ cm
b) ζ = 110
−8,13
87 η − 11
9 m
Aufgabe 1.7 :
c) σ max = 1.604 P m 2 in der rechten unteren
⎡ ⎤
Ecke.
1,045
⎢ ⎥
a) ⃗r S = ⎣ 1,045 ⎦ a
d) m er f = 1.27 cm
−0,682
⎡ ⎤
1,073
⎢ ⎥
b) ⃗r S = ⎣ 1,005 ⎦ a
−0,594
Aufgabe 1.8 :
a) 3.1a unterhalb Querschnittsoberkante auf
Symmetrieachse
b) I y = 50.85a 4 , I z = 13.25a 4 , I yz = 0
27

Aufgabe 1.16 :
a) ŷ S = 3a, ẑ S = 2a
b) ϕ ∗ = 18.435 ◦ ,I η = 13.5a 4 ,I ζ = 58.5a 4
c) σ = 2P
18a 2 − 13.9P
58.5a 3 η − 3.80P
13.5a 3 ζ
d) ζ = 0.395a − 0.846η
Aufgabe 1.19 :
(
σ = −8 − 12 √ 2 ζ a + 60√ 2
7
σ max = − 204 P
7
)
η
a
P
a 2
a 2 η
e) σ max = 1.205P/a 2 SNL
σ max
ζ
Aufgabe 1.17 :
y
η
a) σ = − P dh + 6 P
d 2 h · y+ 6 P
h 2 d · z
z
ζ
Aufgabe 1.20 :
σ max
−100 Pa (
σ = (−4.5 a 4
60.75 a 8 )y+(18 a 4 )z )
Spannungsnullinie: y = 4z
σ max = ±44.4 P a 2
max σ Zug
y
b) σ max = −7 P dh
σ m ax
SNL
z
y
d/6
h/6
max σ Druck
Aufgabe 1.21 :
Aufgabe 1.18 :
z
SNL
a) ϕ ∗ = 35.78 ◦ , I η = 144.5 a 4 , I ζ = 18.00 a 4
b) y = 1.021 z
a) ŷ S = 3.5 a, ẑ S = 2 a
c) σ i = 9393 P a 2 y
b) ϕ ∗ = 25.1 ◦ , I η = 15.8 a 4 , I ζ = 39.2 a 4
( 0.053
c) σ =
39.22 · η − 0.113 ) G l
15.8 · ζ a 4
η
y
z
ζ
η
Aufgabe 1.22 :
( ) 5
M(x) = Pl
6 − ξ − ξ2 mit ξ = x/l
w(x) = P l3
EI
z
( 1
12 ξ4 + 1 6 ξ3 − 5
12 ξ2 + 1 )
6
ζ
28

Aufgabe 1.23 :
Aufgabe 1.29 :
M(x) = q l2 (
1 − ξ
4 ) x
mit ξ = x/l
+
12
w(x) = q l4 (
ξ 6 − 15ξ 2 + 14 )
P
6
360 EI
Q Q(x) = P 6
Aufgabe 1.24 :
x
w(x) = ∆l ( 3ξ 2 − 2ξ 3) +
mit ξ = x/l
Pa
Px
M
6 M(x) =
Aufgabe 1.25 :
6
w(x) = ∆ϕ l
(ξ − 3 2 ξ2 + 1 )
2 ξ3 mit ξ = x/l
x
Pa 2 + Pa 2
6EI
12EI
Aufgabe 1.26 :
w’
M(x) = q 0 l 2 (
−1+5ξ − 4ξ
2 ) w ′ (x) = P(6a2 − x 2 )
12EI
mit ξ = x/l
8
x
w(x) = q 0 l 4 (
2ξ 4 − 5ξ 3 + 3ξ 2)
+
5Pa 3
48 EI
36EI
w Par. 3. O. w(x) = P(6a2 x − x 3 )
Aufgabe 1.27 :
36EI
w(x) = P l3 (
−ξ+2ξ 2 − ξ 3) mit ξ = x/l
4 EI
Aufgabe 1.30 :
Aufgabe 1.28 :
w(x) = q a4 (
ξ 4 − 6ξ+5 ) mit ξ = x/a
a) M(x) = q a2 (
−1+4 ξ − 2ξ
2 ) 24 EI
mit ξ = x/a
4
5qa 4 +
x
24EI
b) w(x) = q a4 (
ξ 4 − 4ξ 3 + 3ξ 2) 24 EI
Aufgabe 1.31 :
w
Linker Bereich: M(x 1 ) = q l2
(3 ξ − 3) mit
16
ξ = x 1 /l
Rechter Bereich: M(x 2 ) = q l2 (
−8ξ 2 + 3 ξ ] mit
16
ξ = x 2 /l
29

Aufgabe 1.32 :
Linker Bereich:
a) M(x 1 ) = q l2
2 (ξ − 1) mit ξ = x 1/l
b) w(x 1 ) = q l4 (
−ξ 3 + 3ξ 2)
12 EI
Rechter Bereich:
a) M(x 2 ) = q l2
2
(
−ξ 2 + ξ ) mit ξ = x 2 /l
b) w(x 2 ) = q l4 (
ξ 4 − 2ξ 3 − 3ξ+4 )
24 EI
Aufgabe 1.33 :
w c = − 5 P l 3
6 EI
Aufgabe 1.34 :
w B = 5 q l 4
768 EI
Aufgabe 1.35 :
Linker Bereich:
a) M(x 1 ) = q l2
16
(
−8ξ 2 + 7ξ ) mit ξ = x 1 /l
b) w(x 1 ) = q l4 (
4ξ 4 − 7ξ 3 + 3ξ )
96 EI
Aufgabe 2.1 :
a) σ 1 = 920 N/mm 2 , σ 2 = −520 N/mm 2 ,
ϕ ∗ = −16,84 ◦
b) τ max = 720 N/mm 2
Aufgabe 2.2 :
a) σ x = −4σ, σ y = 0, τ xy = +σ
b) ϕ ∗ = 31.7 ◦ , ϕ ∗∗ = 76.7 ◦ ,
σ 1 = 0.23 σ, σ 2 = −4.23 σ,
Aufgabe 2.3 :
a) σ ξ = 500 N/mm 2 , σ η = 700 N/mm 2 ,
τ = 174 N/mm 2
b) σ ξ = 75 N/mm 2 , σ η = −375 N/mm 2 ,
τ = −390 N/mm 2
Aufgabe 2.4 :
σ 1 = 241.2 N/mm 2 , σ 2 = −81.24 N/mm 2 ,
ϕ ∗ = 14.87 ◦
Aufgabe 2.5 :
σ 1 = 10 σ, σ 2 = 0
Aufgabe 2.6 :
v r = ρ E ·(ν2 − 1) · h
Aufgabe 2.7 :
σ x = −260000 kN/mm 2
σ y = −52000 kN/mm 2
τ max = ±104000 kN/mm 2
Aufgabe 4.1 :
Rechter Bereich:
7.9
a) M(x 2 ) = q l2
16 (ξ − 1) mit ξ = x 2/l
b) w(x 2 ) = q l4 (
−ξ 3 + 3ξ 2 − 2ξ )
96 EI
7.1
5.5
4.0
2.35a
S
I y = 89.09a 3 t
[ ]
Qz
τ
100at
Aufgabe 1.36 :
w(C) = 41ql4
24EI
30

Aufgabe 4.2 :
6/16
Aufgabe 4.6 :
9/16
τ
[ ]
Qz
at
I y = 1 3 a3 t
τ
30 √ 2γa
6/16
Aufgabe 4.3 :
a
3
6
Aufgabe 4.4 :
9
[ ]
Qz
τ
40at
b) t ≥ 1cm
max Q z = 80qa
Aufgabe 5.1 :
2m 0 l
M t
+
τ max = 32000m 0
πl 2
Aufgabe 5.2 :
m 0 l
M T (x) = m 0 l
2 (l − 2ξ) mit ξ = x 2/l
ϑ = m 0 l 2
2 GI T
(ξ − ξ 2 )
0.3
0.6
0.34
a/4
S
[ ] P
τ
at
Aufgabe 5.3 :
τ max = P
a l
, ϑ(i) = −P ,I T = 9
3 a t GI T 2+ √ 5 a3 t
Aufgabe 4.5 :
6
24
27
I y = 13
12 a3 t
[ ] P
τ
13at
Aufgabe 5.4 :
a) a = 8.62 cm → F = 74.34 cm 2
b) b = 9.37 cm → F = 31.62 cm 2
am günstigsten!
c) c = 12.28 cm → F = 39.21 cm 2
Aufgabe 5.5 :
τ max = P
6 r t
Aufgabe 6.1 :
F krit = π2 EI
4 l 2
31

Aufgabe 6.2 :
x-y-Ebene: F 1 = 4 π2 EI
l 2
x-z-Ebene: F 2 = 4.08 π2 EI
l 2
F krit = F 1 da F 1 < F 2 ist.
Aufgabe 6.3 :
a) F krit = π2 EI
l 2
b) F krit = 4 π2 EI
l 2
Aufgabe 6.4 :
F krit =
0.86 EI
l 2
Aufgabe 6.5 :
F krit = 1.80932 EI
l 2 32