4. Übungsblatt - Fachbereich Informatik und Informationswissenschaft

Universität Konstanz
Mathematische Grundlagen der Informatik
Fachbereich Informatik & Informationswissenschaft WS 2013/2014
PD Dr. Sven Kosub / Julian Müller, Steffen Sievering, Michael Strecke
4. Übungsblatt
Ausgabe: 15.11.2013
Abgabe: 22.11.2013, bis spätestens 23:59 per Mail an den Tutor
Vertiefung:
10 Punkte
(a) Ist die Beweisregel „Sind (A → C) und (B → C) allgemeingültig, so ist ((A ∨ B) → C)
allgemeingültig“ korrekt?
(b) Drücken Sie für beliebige Mengen A und B die Aussage A ⊂ B durch ein quantifizierte
Aussage über den Elementen der Mengen aus.
(c) Drücken Sie für beliebige Mengen A und B die Aussage A ⊄ B durch ein quantifizierte
Aussage über den Elementen der Mengen aus.
(d) Wie viele Elemente enthält die Menge {1, {2}, 2, {1, 2}, {{1}, {2}}, {2, {{1}}}}?
(e) Bestimmen Sie für A = def {1, 2, 4} und B = def {3, 5, 7} die Menge A△B.
(f) Bestimmen Sie für A = def {1, 2, 4} und B = def {3, 5, 7} die Menge (A ∪ B) ∩ B, wobei
als Universum die natürlichen Zahlen vorausgesetzt sind.
(g) Zeigen Sie, dass für alle A und B die Gleichheit (A ∪ B) ∩ A = A gilt.
(h) Zeigen Sie, dass für alle A und B die Gleichheit A ∪ B = A ∩ B gilt.
(i) Vereinfachen Sie (A△B) ∩ B.
(j) Bestimmen Sie P({1, {1, 2}}).
Kreativität:
10 Punkte
Es seien beliebige Mengen A 0 , A 1 , . . . , A n gegeben, wobei wir stets A 0 = ∅ voraussetzen. Wie
können Sie die Vereinigung
n⋃
(A i △A i−1 )
i=1
einfacher berechnen? Beweisen Sie Ihre Vermutung mittels vollständiger Induktion über die
Anzahl n der Mengen.
Transfer:
10 Punkte
Nehmen Sie sich erst etwas Zeit für die in der nachfolgenden Aufgabenstellung enthaltenen
Definitionen und insbesondere für die Analyse des Beispiels, bevor Sie an die Bearbeitung der
Aufgaben gehen. Die Aufgaben sind nicht so schwer, wie sie auf den ersten Blick scheinen.
Statistische Lernverfahren versuchen aus Beobachtungen (Daten) Wissen zu generieren, z.B.
um Handschriften zu erkennen. Dabei werden auf einer Trainings- oder Lernmenge positive

und negative Beispiele für eine bestimmte Aussage markiert. Anschließend wird eine Klassifikationsalgorithmus
bestimmt, der diese Beispiele entsprechend der Aussage trennen kann
und in der Lage ist, diese Trennung auf noch nicht markierten Beispielen fortzusetzen. Ein
Parameter, der für die Beurteilung der (Trennungs-)Kapazität von Klassifikationsalgorithmen
herangezogen wird, ist die Vapnik-Červonenkis-Dimension von Mengenfamilien:
Es sei F ⊆ P(U) eine Familie von Teilmengen eines Universums U. Eine Menge A ⊆ U
wird von F zerstückelt, falls es für alle Teilmengen B von A (d.h. B ⊆ A) ein X ∈ F mit
B = A ∩ X gibt. Die Vapnik-Červonenkis-Dimension VC-Dim(F) von F ist die größte
Kardinalität einer Menge, die von F zerstückelt wird.
Beispiel: Für die Mengenfamilie (über dem Universum {1, 2, 3, 4})
F = def {{4}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 4}, {3, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {2, 3, 4}} ⊆ P({1, 2, 3, 4})
und die Menge A = {1, 2, 3} gilt:
∅ = {1, 2, 3} ∩ {4}
{1} = {1, 2, 3} ∩ {1, 4}
{2} = {1, 2, 3} ∩ {2, 4}
{3} = {1, 2, 3} ∩ {3, 4}
{1, 2} = {1, 2, 3} ∩ {1, 2, 4}
{1, 3} = {1, 2, 3} ∩ {1, 3}
{2, 3} = {1, 2, 3} ∩ {2, 3, 4}
{1, 2, 3} = {1, 2, 3} ∩ {1, 2, 3}
Die Menge A wird also von F zerstückelt, d.h. VC-Dim(F) ≥ 3. Auf der anderen Seite wird das
Universum {1, 2, 3, 4} nicht von F zerstückelt, da kein X ∈ F mit {1, 3, 4} = {1, 2, 3, 4} ∩ X existiert.
Damit gilt also VC-Dim(F) = 3.
(a) Wie groß ist VC-Dim(F) für die Mengenfamilie (über dem Universum {A, C, G, T})
F = def {{A}, {T}, {C, G, T}, {A, C, G}, {A, C, T}} ⊆ P({A, C, G, T}) ?
(b) Betrachten Sie die Mengenfamilie I aller Intervalle von reellen Zahlen, d.h.
I = def
{
[a, b]
∣ ∣ a ≤ b } ⊆ P(R),
wobei [a, b] = def { x | a ≤ x ≤ b } das abgeschlossene Intervall (d.h. die Intervallgrenzen
gehören mit zum Intervall) der reellen Zahlen zwischen a und b bezeichnet.
Wie groß ist VC-Dim(I) ?
Hinweis: VC-Dim(I) ist endlich.