Das Postsche Korrespondenzproblem

Das Postsche Korrespondenzproblem
Vortragender: Arik Rückemann
(1) Das Postsche Korrespondenzproblem
i. Motivation
Für Sprachen, Turingmaschinen und Automaten ist der Begri der Entscheidbarkeit bekannt. Das Halteproblem
und die Universelle Sprache etwa sind die Standardbeispiele für nichtentscheidbare Probleme. Mit Hilfe des
Postschen Korrespondenzproblems (PCP) soll nun ein Zugang zu anderen Problemen geschaen werden. Wir wollen
zeigen, dass es nicht entscheidbar ist, um die Möglichkeit zu haben das PCP auf sie zu reduzieren und damit zu
zeigen, dass auch sie nicht entscheidbar sind.
ii. Denition von PCP
Eine Instanz des Postschen Korrespondenzproblems besteht aus zwei indizierten, endlichen Listen gleicher Länge.
Die Listen beinhalten Worte über einem gemeinsamen Alphabet Σ.
Eine endliche, nichtleere Folge von Indizes heiÿt Lösung zu einer Instanz des PCP, wenn die Konkatenationen der
korrespondierenden Worte für beide Listen indentisch sind.
Eine Instanz des PCP ist Lösbar, wenn mindestens eine solche Folge existiert.
A B
w 1 v 1
w 2 v 2
.
.
w k
v k
i 1 , i 2 , . . . , i n heiÿt Lösung, wenn w i1 w i2 ...w in = v i1 v i2 ...v in
(2) Unentscheidbarkeit von PCP
Um zu zeigen, dass PCP unentscheidbar ist, wollen wir die Universelle Sprache (L u ) auf PCP reduzieren. Hierzu
konstruieren wir eine modizierte Variante MPCP, die wir auf PCP reduzieren, um dann später L u auf MPCP zu
reduzieren.
i. MPCP
Eine Instanz des MPCP ist analog zur Instanzdenition von PCP deniert.
Eine endliche Folge von Indizes heiÿt Lösung zu einer Instanz von MPCP, wenn das erste Wort aus einer Liste
Konkarteniert mit den mit den Indizes korrespondierenden Worten für beide Listen identisch ist. (Anders als bei
PCP darf die Folge bei MPCP auch leer sein.)
i 1 , i 2 , ..., i n heiÿt Lösung, wenn w 1 w i1 w i2 ...w in = v 1 v i1 v i2 ...v in
ii. Reduktion: MPCP auf PCP
ii.i Konstruktion zur Reduktion
Zu einer gegebenen Instanz von MPCP mit den Listen A = a 1 ...a k und B = b 1 ...b k konstruieren wir eine Instanz
von PCP mit den Listen C = c 1 ...c k und D = d 1 ...d k wie folgt:
1. ∀i ∈ [1, k] sei c i gleich a i mit einem * nach jedem Symbol und sei d i gleich b i mit einem * vor jedem Symbol.
2. c 0 = ∗c 1 und d 0 = d 1 .
3. c k+1 = $ und d k+1 = ∗$.

ii.ii Beweis
(⇒)Wenn i 1 , ..., i m eine Lösung für unsere MPCP Instanz ist, wissen wir, dass a 1 , a i1 , ..., a im = b 1 , b i1 , ..., b im .
Ersetzen wir nun alle a x mit c x und alle b x durch d x , erhalten wir zwei nahezu indentische Worte, lediglich zwei
Sterne fehlen. Also:
∗c 1 , c i1 ...c im = d 1 , d i1 ...d im ∗
Aufgrund von (2) und (3) können wir dies reparieren:
c 0 , c i1 ...c im , c ik+1 = d 0 , d i1 ...d im , d ik+1
(⇐) Andersherum lässt sich eine Lösung von unserer PCP Instanz aufgrund der Konstruktion wie folgt schreiben:
0, i 1 , ..., i m , k + 1
Da das Wort c 0 , c i1 , ..., c im , c ik+1 bzw. d 0 , d i1 , ..., d im , d ik+1 wenn wir alle * und $ weglassen zu a 1 , a i1 , ..., a im bzw.b 1 , b i1 , ..., b im
wird, folgt:
c 0 , c i1 , ..., c im , c ik+1 = d 0 , d i1 , ..., d im , d ik+1 ⇒ a 1 , a i1 , ..., a im = b 1 , b i1 , ..., b im
Also ist i 1 ...i m eine Lösung.
iii. Reduktion: L u auf MPCP
Im folgenden wollen wir die Universelle Sprache L u auf das MPCP reduzieren. Die Universelle Sprache, ist jene
Sprache, die eine TM M und ein Wort w als Eingabe bekommt und genau dann akzeptiert wenn M w akzeptiert.
Hierzu werden wir die Berechnungen der TM mit Hilfe des MPCP simulieren.
iii.i Simulation der TM durch 5 Regeln
1. Startpaar:
Liste A Liste B
# #q 0 w#
2. Füllpaare
Liste A Liste B
# #
X X ∀X ∈ Γ
3. Zustandsüberführungspaare
Liste A Liste B
qX Y p falls δ(q, X) = (p, Y, R)
ZqX pZY falls δ(q, X) = (p, Y, L) ; Z ist beliebig
q# Y p# falls δ(q, B) = (p, Y, R)
Zq# pZY # falls δ(q, B) = (p, Y, L) ; Z ist beliebig
4. Löschungspaare
Liste A
Xq a Y
Xq a
q a Y
Liste B
q a
q a
q a

3
5. Finalpaar
Liste A Liste B
q a ## #
∀X, Y, Z ∈ Γ, q ∈ (Q − F ), p ∈ Q, q a ∈ F
Die Idee ist es, die Zustände des Bandes der TM durch # getrennt, Schritt für Schritt als Lösungswort zu generieren.
Begonnen wird hierbei mit dem Startzustand (1) und dem Eingabewort. Zu beachten ist, dass das von der ersten
Liste generierte Wort immer einen Schritt hinterherhinkt, bis ein akzeptierender Zustand erreicht wurde.
Nun wird die Berechnung der TM simuliert (2) (3) bis ein akzeptierender Zustand erreicht wird. Als nächstes werden
alle anderen Symbole auf dem Band gelöscht (4). Erst dann kann die erste Liste mit der zweiten gleichziehen (5).
iii.ii Ein Beispiel
Sei unsere Turingmaschine gegeben durch:
M = ({q 1 , q 2 , q 3 }, {0, 1}, {0, 1, B}, δ, q 1 , B, {q 3 })
mitδ:
q i δ(q i , 0) δ(q i , 1) δ(q i , B)
q 1 (q 2 , 1, R) (q 2 , 0, L) (q 2 , 1, L)
q 2 (q 3 , 0, L) (q 3 , 0, R) (q 2 , 0, R)
q 3 − − −
und w=01 unser Input.
Mit Hilfe der Regeln aus iii.i ergeben sich nun folgende Listen:
Regel/Index Liste A Liste B Quelle
(1) # #q 0 01
(2.0) 0 0
(2.1) 1 1
(2.2) # #
(3.0) q 1 0 1q 2 vonδ(q 1 , 0) = (q 2 , 1, R)
(3.1) 0q 1 1 q 2 00 vonδ(q 1 , 1) = (q 2 , 0, L)
(3.2) 1q 1 1 q 2 10 vonδ(q 1 , 1) = (q 2 , 0, L)
(3.3) 0q 1 # q 2 11# vonδ(q 1 , B) = (q 2 , 1, L)
(3.4) 1q 1 # q 2 11# vonδ(q 1 , B) = (q 2 , 1, L)
(3.5) 0q 2 0 q 3 00 vonδ(q 2 , 0) = (q 3 , 0, L)
(3.6) 1q 2 0 q 3 10 vonδ(q 2 , 0) = (q 3 , 0, L)
(3.7) q 2 1 0q 1 vonδ(q 2 , 1) = (q 1 , 0, R)
(3.8) q 2 # 0q 2 # vonδ(q 2 , B) = (q 2 , 0, R)
(4.0) 0q 3 0 q 3
(4.1) 0q 3 1 q 3
(4.2) 1q 3 0 q 3
(4.3) 1q 3 1 q 3
(4.4) 0q 3 q 3
(4.5) 1q 3 q 3
(4.6) q 3 0 q 3
(4.7) q 3 1 q 3
(5.0) q 3 ## #
Im folgenden betrachten wir die Lösung des aus der Tabelle resultierenden MPCP. Wir betrachten hierbei die vorläugen
Worte und geben immer nur den neusten Teil der Indexfolge an.

4
(1.0)
A : #
B : #q 1 01#
(3.0)(2.1)(2.2)(2.1)(3.7)(2.2)(2.1)(3.3)(3.6)
A : #q 1 01#1q 2 1#10q 1 #1q 2 0
B : #q 1 01#1q 2 1#10q 1 #1q 2 01#q 3 10
(2.1)(2.2)(4.7)(2.0)(2.1)(2.2)(4.6)(2.1(2.2)(4.7)(2.2)
A : #q 1 01#1q 2 1#10q 1 #1q 2 0 1#q 3 101#q 3 01#q 3 1#
B : #q 1 01#1q 2 1#10q 1 #1q 2 01#q 3 101#q 3 01#q 3 1#q 3 #
(5.0)
A : #q 1 01#1q 2 1#10q 1 #1q 2 0 1#q 3 101#q 3 01#q 3 1#q 3 ##
B : #q 1 01#1q 2 1#10q 1 #1q 2 0 1#q 3 101#q 3 01#q 3 1#q 3 ##
iii.iii Beweis
Es bleibt zu beweisen, dass M genau dann akzeptiert, wenn die in iii.i konstruierte MPCP Instanz eine Lösung hat.
(⇒) Angenommen w ∈ L(M), dann können wir (wie im Beispiel iii.ii illustriert) mit dem Startpaar (1) beginnen.
Wir simulieren im Folgenden die Berechnungen von M, die sich aus δ ergeben, sowie das Band mit Hilfe von (2)
und (3) bis wir einen akzeptierenden Zustand erreichen (was wir dank der Annahme zwangsläug können). Dann
löschen wir alle Zeichen bis auf den Lesekopf mit (4) und können dann den Schlussstein (5) einsetzen und das MPCP
lösen.
(⇐) Angenommen das MPCP hat eine Lösung. Es beginnt zwangsläug mit (1) und beschreibt damit den Ausgangszustand
von M. Es endet zwangsläug mit (5), da nur mit diesem Index das Symbol '#', dass Liste B von
vornherein voraus hat, aufgeholt werden kann. Das Lösungswort zeigt also den genauen Verlauf mit dem M w
akzeptiert.
Folglich ist L u auf MPCP und dieses wiederum auf PCP reduzierbar. Wir haben bewiesen, dass das Postsche Korrespondenzproblem
nicht entscheidbar ist.