MafI I: Logik & Diskrete Mathematik

3. DNF,KNF II
Finden Sie zu den folgenden Formeln semantisch äquivalente Terme in DNF bzw. KNF.
(a) (p ⇒ (q ∨ r)) ∧ ¬q ∧ ¬r
(b) ¬(p ⇔ q) ⇔ r
(c) ¬r ⇒ (((p ∨ q) ⇒ r) ⇒ ¬q)
Lösung: Wir formen den Term semantisch äquivalent um:
¬r ⇒ (((p ∨ q) ⇒ r) ⇒ ¬q) ≡ r ∨ ¬(¬(p ∨ q) ∨ r) ∨ ¬q
≡ r ∨ ((p ∨ q) ∧ ¬r) ∨ ¬q ≡ (r ∨ p ∨ q) ∧ (r ∨ ¬r) ∨ ¬q ≡ r ∨ p ∨ q ∨ ¬q
Die erhaltene Formel ist sowohl in DNF wie auch in KNF.
4. Vollständige Signaturen
(a) Schreiben Sie a ⇒ (b ∧ c) unter ausschließlicher Verwendung des NOR-Operators.
(Sie können ↓ als NOR–Operatorzeichen benutzen.)
(b) Zeigen Sie, dass weder {∧}, {∨} noch {⇒} funktional vollständig sind.
(c) Zeigen Sie, dass die Implikation ⇒ zusammen mit dem Term false funktional
vollständig ist.
Lösung: Wir wissen, dass die Signatur {¬, ∨} funktional vollständig ist. Weiterhin
gelten die folgenden semantischen Äquivalenzen:
¬x ≡ (false ⇒ x), x ∨ y ≡ (¬x ⇒ y) ≡ ((false ⇒ x) ⇒ y)
Auf dieser Grundlage kann man jeden Term über der Signatur {¬, ∨} durch die
neue Signatur semantisch äquivalent darstellen.
(d) (Schwerer! ) Zeigen Sie, dass {⊕} keine vollständige Signatur ist.
Tipp: Zeigen Sie zunächst, dass ⊕ assoziativ ist. Dann zeigen Sie, dass man zum
Beispiel die konstante Funtion 1 nicht ausdrücken kann.
Lösung: Es ist leicht mittels einer Wertetabelle gezeigt, dass ⊕ assoziativ ist, d.h.
es gilt
x ⊕ (y ⊕ z) ≡ (x ⊕ y) ⊕ z:
x y z x ⊕ y y ⊕ z x ⊕ (y ⊕ z) (x ⊕ y) ⊕ z
0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 1 1 1
0 1 0 1 1 1 1
1 0 0 1 0 1 1
0 1 1 1 0 0 0
1 0 1 1 1 0 0
1 1 0 0 1 0 0
1 1 1 0 0 1 1
Wir können also auch von links klammern, egal wieviele Variablen durch ⊕ verknüpft
sind.
Angenommen wir haben eine Term über einer Variablenmenge, der die konstante
Funktion 1 repräsentiert. Sei m die Anzahl der Vorkommen von Variablen im