MafI I: Logik & Diskrete Mathematik

Teilösung zum 2. Aufgabenblatt vom Donnerstag, den 22. Oktober 2009 zur Vorlesung
MafI I: Logik & Diskrete Mathematik
(Autor: F. Hoffmann)
1. Assoziativität Wir definieren einen Booleschen Operator ⊙ durch
1 ⊙ 1 = 1, 1 ⊙ 0 = 0, 0 ⊙ 1 = 0, 0 ⊙ 0 = 1
Ist dies ein assoziativer Operator? Begründung!
2. DNF,KNF I Betrachten Sie den Booleschen Ausdruck:
(x ∧ ¬y ∨ ¬z) ⇒ (x ∧ y)
Geben Sie zunächst die vollständige Klammerung für diesen Ausdruck an. Bilden Sie
dazu die kanonische DNF und die kanonische KNF.
Lösung: Wegen der in der Reihenfolge ¬, ∧, ∨, ⇒ abnehmenden Bindungsstärke ergibt
sich als vollständige Klammerung
(((x ∧ (¬y)) ∨ (¬z)) ⇒ (x ∧ y))
Wir belegen die Variablen x, y, z mit Booleschen Werten und interpretieren den Term.
Es ergibt sich folgende Wertetabelle einer 3-stelligen Booleschen Funktion f, wobei
zwecks Übersichtlichkeit einige Zwischenschritte aufgeführt sind:
x y z α = x ∧ ¬y β = α ∨ ¬z x ∧ y β ⇒ x ∧ y
0 0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0 1
0 1 0 0 1 0 0
0 1 1 0 0 0 1
1 0 0 1 1 0 0
1 0 1 1 1 0 0
1 1 0 0 1 1 1
1 1 1 0 0 1 1
Für die kanonische DNF ergibt sich:
dnf(f) = (¬x ∧ ¬y ∧ z) ∨ (¬x ∧ y ∧ z) ∨ (x ∧ y ∧ ¬z) ∨ (x ∧ y ∧ z)
Für die kanonische KNF erhalten wir:
knf(f) = (x ∨ y ∨ z) ∧ (x ∨ ¬y ∨ z) ∧ (¬x ∨ y ∨ z) ∧ (¬x ∨ y ∨ ¬z)

3. DNF,KNF II
Finden Sie zu den folgenden Formeln semantisch äquivalente Terme in DNF bzw. KNF.
(a) (p ⇒ (q ∨ r)) ∧ ¬q ∧ ¬r
(b) ¬(p ⇔ q) ⇔ r
(c) ¬r ⇒ (((p ∨ q) ⇒ r) ⇒ ¬q)
Lösung: Wir formen den Term semantisch äquivalent um:
¬r ⇒ (((p ∨ q) ⇒ r) ⇒ ¬q) ≡ r ∨ ¬(¬(p ∨ q) ∨ r) ∨ ¬q
≡ r ∨ ((p ∨ q) ∧ ¬r) ∨ ¬q ≡ (r ∨ p ∨ q) ∧ (r ∨ ¬r) ∨ ¬q ≡ r ∨ p ∨ q ∨ ¬q
Die erhaltene Formel ist sowohl in DNF wie auch in KNF.
4. Vollständige Signaturen
(a) Schreiben Sie a ⇒ (b ∧ c) unter ausschließlicher Verwendung des NOR-Operators.
(Sie können ↓ als NOR–Operatorzeichen benutzen.)
(b) Zeigen Sie, dass weder {∧}, {∨} noch {⇒} funktional vollständig sind.
(c) Zeigen Sie, dass die Implikation ⇒ zusammen mit dem Term false funktional
vollständig ist.
Lösung: Wir wissen, dass die Signatur {¬, ∨} funktional vollständig ist. Weiterhin
gelten die folgenden semantischen Äquivalenzen:
¬x ≡ (false ⇒ x), x ∨ y ≡ (¬x ⇒ y) ≡ ((false ⇒ x) ⇒ y)
Auf dieser Grundlage kann man jeden Term über der Signatur {¬, ∨} durch die
neue Signatur semantisch äquivalent darstellen.
(d) (Schwerer! ) Zeigen Sie, dass {⊕} keine vollständige Signatur ist.
Tipp: Zeigen Sie zunächst, dass ⊕ assoziativ ist. Dann zeigen Sie, dass man zum
Beispiel die konstante Funtion 1 nicht ausdrücken kann.
Lösung: Es ist leicht mittels einer Wertetabelle gezeigt, dass ⊕ assoziativ ist, d.h.
es gilt
x ⊕ (y ⊕ z) ≡ (x ⊕ y) ⊕ z:
x y z x ⊕ y y ⊕ z x ⊕ (y ⊕ z) (x ⊕ y) ⊕ z
0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 1 1 1
0 1 0 1 1 1 1
1 0 0 1 0 1 1
0 1 1 1 0 0 0
1 0 1 1 1 0 0
1 1 0 0 1 0 0
1 1 1 0 0 1 1
Wir können also auch von links klammern, egal wieviele Variablen durch ⊕ verknüpft
sind.
Angenommen wir haben eine Term über einer Variablenmenge, der die konstante
Funktion 1 repräsentiert. Sei m die Anzahl der Vorkommen von Variablen im

Term. m kann gerade oder ungerade sein. Wenn wir jede vorkommende Variable
mit dem Booleschen Wert b interpretieren, so ergibt sich:
(. . . (b ⊕ b) ⊕ b) . . .) ⊕ b = 0 (1)
} {{ }
2k−mal
(b ⊕ . . . ⊕ b)
} {{ }
2k−mal
⊕ b = b (2)
Wir sehen, dass -egal wie der Term aussieht- bei der Belegung aller Variablen mit
0, der Term zu 0 ausgewertet wird. Widerspruch. Also ist die Signatur {⊕} nicht
funktional vollständig.
Hinweis: Man könnte jetzt vermuten, dass {⊕, true} funktional vollständig ist, da
man die konstante Funktion 1 nun realisieren kann. Dem ist jedoch nicht so! Wer
will, kann sich am Beweis versuchen. Die Kommutativität des ⊕–Operators ist
dabei sehr hilfreich.