Lösung A2

1
Lösung Aufgabe 2
Mechanisches Ersatzbild:
F Zr
Kritische Stelle im Bereich
der Paßfedernut
F u
F Rr
y
F A
F B
T
Z
x
a
b
c
Torsion bewirkt statische Beanspruchung
Querkräfte und Biegemoment bewirken dynamische Beanspruchungen
1) Festigkeitsnachweis
a) Reaktionskräfte
∑
∑
F
Y
M
= 0 ⇔ F
Z
[ A]
AY
= 0 ⇔ F
+ F
BY
BY
− F
⋅ b − F
− F
⋅ a − F
⋅ c = 0
FZr
⋅ a + FRr
⋅ c
⇒ FBY
=
b
1200N
⋅185mm
+ 4000N
⋅ 245mm
FBY
=
= 5464N
220mm
Von (1) : F = − 246N
AY
Zr
Zr
Rr
= 0
Rr
(1)
(2)
∑
∑
F
Z
M
Y
= 0
[ A]
= 0
⇔ F
AZ
⇔ F
U
⇒ F
und
+ F
⋅ a − F
BZ
= F
F
BZ
AZ
− F
U
BZ
⋅
U
a
b
= F
⋅b
= 0
U
= 0
185mm
= 3600N
⋅ = 3027N
220mm
− F = 3600N
− 3027N
= 573N
BZ
b) Beanspruchungen: Torsion T; Querkraft Q; Biegemoment M b

2
• Torsionsnennspannung
τ
T
F
⋅ r
3600N
⋅ 65mm
⋅16
U
= =
=
44,1 N /
t 3 3 3
Wt
π ( d − t)
/16 π ⋅ (35 − 5) mm
=
mm
2
• Querkraft im Schnitt an der kritischen Stelle:
Q Y,Links
F Rr
F AY
Q y,Rechts
F BY
Links:
Rechts:
Q Y,links = -F AY = 264 N
Q Z,links = -F AZ = -573 N
Q Y,Rechts = -F Rr +F BY = - 4000N + 5464 N = 1464 N
Q Z,Rechts = F BZ = 3027 N (größere Werte als die der linke Seite)
⇒
Q =
2
2
2
2
QY + QZ
= 1464 + 3027 N = 3362N
• Schubnennspannung infolge der Querkraft:
τ
Q
A
Q
π ⋅(
d − t)
3362N
π ⋅(35
− 5) mm
= =
=
= 4,76 N /
S 2 2 2
/ 4
/ 4
mm
2
(vernachlässigbar)
• Biegemoment an der kritischen Stelle:
M
M
M
bY
bZ
b
= F
= F
=
AZ
AY
M
⋅ a = 573N
⋅ 0,185m
= 106 Nm
⋅ a = −264N
⋅ 0,185m
= −49
Nm
2
bY
+ M
2
bZ
=
106
2
2
+ 49 Nm = 116,8Nm
• Biegespannung:
M
b
σ
b
= ; mit W
W
b
b
≈ 0,1 ⋅ d
116800Nmm
σ
b
=
= 27,24 N / mm
3 3
0,1 ⋅35
mm
3
( Skript Kap.5,
Bl.11/
25; genutete Welle mit
2
Paßfeder)
c) Statische Bauteilfestigkeit
• Kerbformzahlen:
α
σ , b
= 2,5 ( Skript, Kap.5, Bl.20/25; Paßfeder mit Fingerfräser)
α
τ , t
= 3 (Skript, Kap.5,Bl.20/25; Kerbwirkung in Umfangsrichtung)
• Plastische Kerbwirkungszahl
pl, σ , b
und
pl,
τ , t
β
β

3
6,29
/
265
0,05
/
210.000
2
2
=
⋅
=
⋅
=
mm
N
mm
N
R
E
n
P
r
ert
pl
ε
pl
t
t
grenz
t
pl
pl
b
b
grenz
b
pl
n
g
n
n
g
n
<
=
⋅
=
⋅
=
⋅
=
<
=
⋅
=
⋅
=
3,99
1,33
3
1,7
2,5
4,25
1,7
2,5
,
,
,
,
,
,
,
,
τ
τ
σ
σ
α
α
0,75
1,33
1
1
0,588
1,7
1
1
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
=
=
=
=
=
=
=
=
t
grenz
t
pl
t
t
pl
b
grenz
b
pl
b
b
pl
g
n
g
n
τ
τ
τ
σ
σ
σ
α
β
α
β
d) Statische Bauteilfestigkeit
• Bauteil-Fließgrenze
2
2
,
,
,
2
2
,
,
,
/
205
0,75
/
265
0,58
:
/
450,68
0,588
/
265
:
mm
N
mm
N
R
r
Torsion
mm
N
mm
N
R
Biegung
t
pl
P
t
FK
b
pl
P
b
FK
=
⋅
=
⋅
=
=
=
=
τ
τ
σ
β
τ
β
σ
• Bauteil-Festigkeit
2
2
,
,
,
2
2
,
,
,
/
317
0,75
/
410
0,58
:
/
697
0,588
/
410
:
mm
N
mm
N
R
r
Torsion
mm
N
mm
N
R
Biegung
t
pl
m
t
BK
b
pl
m
b
BK
=
⋅
=
⋅
=
=
=
=
τ
τ
σ
β
τ
β
σ
e) Statische Bauteilsicherheit
• Für die Einzelbeanspruchung
- gegen Fließen
4,65
/
44,1
/
205
:
9,72
/
27,24
/
265
:
2
2
,max
,
,
2
2
,max
,
,
=
=
=
=
=
=
mm
N
mm
N
S
Torsion
mm
N
mm
N
S
Biegung
t
t
FK
t
F
b
b
FK
b
F
τ
τ
σ
σ
- gegen Bruch
7,19
/
44,1
/
317
:
25,58
/
27,24
/
697
:
2
2
,max
,
,
2
2
,max
,
,
=
=
=
=
=
=
mm
N
mm
N
S
Torsion
mm
N
mm
N
S
Biegung
t
t
BK
t
B
b
b
BK
b
B
τ
τ
σ
σ
• Für die Zusammengesetzte Beanspruchung

4
- gegen Fließen
S
1
Fv,
GEH
⇒ S
Fv,
GEH
σ
=
R
v,
GEH
P
= 4,18
=
⎛
⎜
1
⎝ SF
,
b
⎞
⎟
⎠
2
+ 3r
2
τ
⎛
⎜
1
⋅
⎝ SF
, t
⎞
⎟
⎠
2
=
⎛
⎜
⎝
1
9,72
⎞
⎟
⎠
2
+ 3⋅0,58
2
⎛
⋅⎜
⎝
1
4,65
⎞
⎟
⎠
2
= 0,239
- gegen Bruch
S
1
Bv,
GEH
⇒ S
Fv,
GEH
σ
=
R
v,
GEH
m
= 5,76
=
⎛
⎜
1
⎝ SB,
b
⎞
⎟
⎠
2
+ 3r
2
τ
⎛
⎜
1
⋅
⎝ SB
, t
⎞
⎟
⎠
2
=
⎛
⎜
⎝
1
25,58
⎞
⎟
⎠
2
+ 3⋅
0,58
2
⎛
⋅⎜
⎝
1
7,19
⎞
⎟
⎠
2
= 0,1735
f) Ausnutzung gegen Fließen ( Sollsicherheit von 1,2)
A
*
Fv,
GEH
=
ν
F
S
Fv,
GEH
=
1,2
5,76
= 20,8%
f) Sicherheit gegen Dauerbruch (nach der vereinfachten Methode, Kap.3.6.3, Bl.5/6 und 6/6)
• Mittlere Vergleichsspannung ohne Berücksichtigung der Formzahlen
σ
2
vm , GEH
= ⋅τ
t
= 3 ⋅ 44,1N
/ mm = 76,38N
/
• Ausschlagvergleichspannung
3 mm
2
2
2
2
2
2
va , GEH
= σ
b,
a
+ ⋅τ
S , a
= 27,4 + 3⋅
4,76 N / mm = 28,61N
7
2
σ
3 mm
Biegung ist überwiegend ⇒ Ausschlagfestigkeit für Biegung ist maßgebend.
• Kerbwirkungszahlen βσ , b
mit R m = 410 N/mm 2
Für die Paßfedernut der Form B, erhält man aus Diagramm (Kap.5, BL.18/25) β 5
• Bauteil-Biegeausschlagspannung
K
V
2
2
σ
AK , b
= σ
A,
b
⋅
= 190N
/ mm ⋅
= 184,82N
/ mm ,
1
1
β σ , b
+ −1
1,5 + −1
K
F , σ
0,96
2
wobei σ
A , b
= 190N
/ mm aus Smith-Diagramm von Werkstoff S275 (St 44) bei
2
σ
vm , GEH
= 76,38N
/ mm
1,5
Mit R m = 410 N/mm 2 und R Z = 6,3.10 -3 mm, K 96
Randschichtfaktor K V = 1,5 (d = 35 mm)
F
, σ
= 0,
σ
, b
=1,

5
σ
184,82N
/ mm
2
28,61N
/ mm
2
D, GEH
=
σ
va,
GEH
AK , b
• Sicherheit S = =
6, 45
• Ausnutzung bei Sollsicherheit ν D =1,3
A
*
D,
GEH
σ
=
σ
va,
GEH
AK , bzul
σ
=
σ
va,
GEH
AK , b
⋅ν
D
=
ν
D
S
D,
GEH
=
1,3
6,45
= 20,15%
2) Resultierende Wellendurchbiegung
F Zr
• Erste Berechnung
f 1
2
2
4
F ⋅l1
⋅l2
π ⋅ d
f1
= ; mit J =
3⋅
E ⋅ J ⋅l
64
2 2
2 2
1200N
⋅185
mm ⋅ (220 −185)
mm
f1
=
= 9,13⋅10
4 4
π ⋅30
mm
3⋅
210000 N / mm2
⋅ ⋅ 220
64
−3
mm
f 2
F Rr
• Zweite Berechnung
f
2
2
3
F l ⋅l
⎛
1
x x
= ⋅ ⋅
⎜ −
3
E ⋅ J 6 ⎝ l l
⎞
⎟
⎠
Mit x=a; l 1 =(c-b) und l = b; F = F Rr ,
2
3
4000 ⋅ 220 ⋅ (245 − 220) ⎡185
⎛ 185 ⎞ ⎤
−
f
2
= −
⋅
mm = −2,38
⋅10
4
⎢ − ⎜ ⎟ ⎥
π ⋅ 30 220 220
210000 6
⎢⎣
⎝ ⎠
⋅ ⋅
⎥⎦
64
Die resultierende Durchbiegung in Y-Richtung
−3
−2
−2
f Y
= f1 + f
2
= 9,13⋅10
mm − 2,38⋅10
mm = −1,466
⋅10
mm
2
mm
• Dritte Berechnung:
F U
Durchbiegung in Z-Richtung f Z = f 3
f 3

6
mm
mm
f
f
f
mm
N
f
Z
Y
gesamt
2
2
2
2
2
2
4
5
2
2
3
10
3,106
(0,0274)
(0,01466)
10
2,74
220
30
10
2,1
3
64
185)
(220
185
3600
−
−
⋅
=
+
=
+
=
⋅
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
=
π
3) Niedrigste biegekritische Eigenfrequenz
- Welle mit Scheibe (Blatt 15/18)
2
2
*)
(
*)
(
3
b
a
l
J
E
f
G
C
S
S
S
⋅
⋅
⋅
⋅
=
=
Mit
l=b; a* = a; b* =(a-b)
J = 64
/
4
d
⋅
π
m
N
mm
N
mm
mm
mm
mm
N
C S /
10
1,314
/
10
1,314
35
185
220
30
64
/
210000
3
8
5
4
2
2
4
4
2
⋅
=
⋅
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
π
- Welle unter Eigengewicht
m
N
mm
N
mm
mm
mm
N
l
J
E
C W /
10
6,022
/
10
6,022
64
220
30
/
210000
76,8
76,8
7
4
3
3
4
4
2
3 ⋅
=
⋅
=
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
π
- Eigenfrequenz
s
s
kg
m
N
m
C
s
kg
m
N
m
C
eges
W
W
e
S
S
e
e
e
eges
1/
10
4,196
1/
10
7,026
1,22
/
10
6,022
/
1/
10
5,232
4,8
/
10
1,314
/
1
1
1
3
3
7
2
3
8
1
2
2
2
1
2
⋅
=
⋅
=
⋅
=
=
⋅
=
⋅
=
=
+
=
ω
ω
ω
ω
ω
ω
a* b*
l