Berechnung und Optimierung von Bolzen-Lasche-Verbindungen

22 IMW - Institutsmitteilung Nr. 19 (1994)
Anhang: Formelsammlung zur Berechnung von Bolzen-Lasche-Verbindungen
bei elastischen Beanspruchungen
A1
Schnittgrößen für die unterschiedlichen Belastungstypen
Lastfall
Schnittgrößen
Q(ϕ)
M(ϕ)
Punktlast
ρ cos ϕ
ϕ
α
ρ sin ϕ
N(ϕ)
F s
ϕ M s
ϕ
ρ
F n
NPL( ϕ)= Fn sin ϕ + Fq
cos ϕ
QPL( ϕ)= Fq sin ϕ − Fn
cos ϕ
M ( ϕ)= F ρ( 1 −sin
ϕ)− F ( l+
ρ cos ϕ)−
M
PL n q b
Q(ϕ)
M(ϕ)
Streckenlast
ϕ
N(ϕ)
2
N ( ϕ)= F sin ϕ + F cos ϕ
SL n q
( )
Q ( ϕ)= F − F cos ϕ sin ϕ
SL q n
α
r i sin ϕ
r i
F S
ϕ
q
F s
ϕ M s
ϕ
F n
M
SL
⎛ ri
⎞
2
( ϕ)= ⎜1 − ⎟ F ρ cos ϕ − F ( l+
ρ cos ϕ)−
M
⎝ 2 ρ⎠
n q b
Drucklast
Q(ϕ)
M(ϕ)
N(ϕ)
⎛ 2 α − ϕ
2sin
⎞
NDL( ϕ)=
F
⎜ 2
n
− sin ϕ
⎟
+ Fq
cos ϕ
⎜ sin α
⎟
⎝
⎠
ϕ
α
F D
(α−ϕ)/2
(α+ϕ)/2
F s
p
ϕ M s
ϕ
F n
⎛ α −ϕ α −ϕ
2sin
cos
⎞
QDL( ϕ)=
F
⎜ 2 2
n
− cos ϕ
⎟
+ Fq
sin ϕ
⎜ sin α
⎟
⎝
⎠
⎛
2 α − ϕ
2sin
⎞
MDL( ϕ)= Fn ρ
⎜
1 − 2 − sin ϕ
⎟
− Fq
l+
ρ ϕ
⎜ α
( cos )− M b
sin
⎟
⎝
⎠

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23
A2 Verformungsgleichungen für die unterschiedlichen Lastfälle nach Bild 4.1
Lastfall
Punktlast
F s
β PL
δ PL
β
PL
Verformungen
Fz ρ ϕ κ ϕ Fs ρ ϕ Ms
ϕ κ
(
[ 1− ( 1+
)− cos ]+ sin + ( 1+
)
ϕ)=
A Eκ
r
( )= ( ) +
L
δPL
ϕ βPL
ϕ ρ cosϕ
2
Fz ρ( 1−2sinα −cos α)+ Fs ρ( α + sinαcosα)+
2Mssinα
+
2A Eκ
L
M s
F z
F s
Streckenlast
q
β SL
F z
Drucklast
F
p s
β DL
F z
δ SL
M s
δ DL
M s
β
SL
( ) +
i
ϕ ϕ ϕ κ ρ ϕ κ ϕ ϕ
ϕ F r + cos sin ( 1 )− 2 ( 1+
2 )+ cos sin
( )=
n
4AE
L
κρ
ρsinϕ
ϕ( 1 + κ)
+ Fs
+ Ms
AE κρ AE κρ
δ ϕ β ϕ ρ cosϕ
L
( )= ( ) +
SL SL n
( ) +
2
sinϕ ri
− 2ρ 2 cos ϕ
F
6AEκ
ρϕ+
cosϕsinϕ
sinϕ
+ Fs
Ms
2A Eκ
AE κ
L
L
L
[ ] +
( )( + ) +
2
Fnρϕ ( − sinϕϕ( 1 + κ)−
cosϕsinϕ)+ Fsρsin ϕ+
Msϕsinϕ
βDL( ϕ)=
AE
L
κρsinϕ
41 ( − cosϕ) ( 1−
sinϕ)−
sinϕsin2ϕ
δDL( ϕ)= βSL( ϕ) ρ cosϕ + Fn
ρ
+
4AEκsinϕ
( ) +
sinϕ
1−
cos2ϕ
+ Fs
ρ
4AEκsinϕ
L
M
s
L
sinϕ
1−
cos2ϕ
AEκsinϕ
L
L
( )
A3 Lagerreaktionen für unterschiedliche Fesselung nach Bild 4.2
A 3.1 Punktlast nach Bild 4.1 und unterschiedliche Lagerung nach Bild 4.2
Skizze
Fesselungsbezeichnung und Schnittgrößen
Typ 1: Enden frei beweglich
F
PL1
M
PL1
= 0
= 0
F z
F z
F PL2
Typ 2: Enden verdrehbar, nicht verschieblich
F
PL2
M
PL2
2
ρ{ 2cos α[ α( 1+
κ)−
1]+ 3cos α + 2sin
α −1}+
+ 2l[ α( 1+
κ)+ cos α −1]
= 3Fz
J ρ
2
⎡ρ ( α + 3cos
α sin α)+
⎤
3J⎢
⎥ +
2
⎣⎢
+ 2ρ l[ α( 1+
κ) cos α + 2sin
α]+ 2l
α( 1+
κ)
⎦⎥
= 0
+ 2A
L
κρl
3

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A3.1 Punktlast nach Bild 4.1 und unterschiedliche Lagerung nach Bild 4.2 (Fortsetzung)
Skizze
Fesselungsbezeichnung und Schnittgrößen
Typ 3: Enden verschieblich, nicht verdrehbar
F z
M PL3
F
PL3
M
PL3
= 0
1 1
= Fz
J ρ α ( + κ )+ cos α −
Jα( 1 + κ)+
A κ ρ l
L
F PL4
F z
M PL4
Typ 4: Enden eingespannt
F
PL4
M
PL3
2
J{ α( 1+
κ) ( cos α − 1)+ 2sin( 1−cosα)
}+
⎧⎪
2cosαα
[ ( 1+
κ)−
1]+
⎫⎪
+ Al
L
κ l[ α( 1+
κ)+ cosα −1]+
ρ⎨
⎬
2
⎩⎪ + 3cos
α + 2sinα
−1⎭⎪
= 6FJr
n 2 2
6J
ραα [ ( + cosαsin) ( 1+
κ)−
2sin
α]+
2
⎧⎪
2αl
( 1+
κ)+ 3lρ[ αcosα( 1+
κ)+
2sinα]+
⎫⎪
+ 2AJ L
κl⎨
⎬
2
⎩⎪ + 3ρ ( α + 3cosαsinα)
⎭⎪ +
2 2 4
+ ALκ
l ρ
2
l[ α( cos α − 1) ( 1+
κ )+ 2sinα( 1 − cosα)
]+
6J
⎧⎪
1 1
ρ α [ − ( +
+
κ )( α + cosαsinα)−
cosα]−⎫⎪
+
⎨
⎬
⎩⎪ −sinα( 1−cosα −2sinα)
⎭⎪
2κl[ α( 1+
κ)+ cosα
−1]+
2
+ Al
L ⎧⎪
2cosαα
[ ( 1+
κ)−
1]+
⎫⎪
+ 3κρ⎨
⎬
2
⎩⎪ + 3cos
α + 2sinα
−1⎭⎪
= Fz
Jρ
2
2
6J
ραα [ ( + cosαsinα) ( 1+
κ) − 2sin
α]+
2
⎧⎪
2αl
( 1+
κ)+ 3ρl[ αcosα( 1+
κ)+
2sinα]+
⎫⎪
+ 2JA
κ ⎨
⎬
⎩⎪ + 3 ( + 3 )
⎭⎪ +
L
l
2
ρ α cosαsinα
2 2 4
+ A κ l ρ
L

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A 3.2: Streckenlast nach Bild 4.1 und unterschiedliche Lagerung nach Bild 4.2
Skizze
Fesselungsbezeichnung und Schnittgrößen
Typ 1: Enden frei
q
F
SL1
M
SL1
= 0
= 0
F z
Typ 2: Enden verdrehbar, nicht verschieblich
q
F z
F SL2
F
= FI
SL2
n y
M
SL2
= 0
6ρl[ α( 1+
2κ)+
cosαsinα]−
− 3lri
( α + cosαsinα) ( 1+
κ)+
2 2
+ 2ρ [ 3αcosα( 1+
2κ)+ sinα( 4+
5cos
α)
]−
{ [ ]}
2
− ρri
3αcosα( 1+
κ)+ sinα 4+ cos α( 5+
3κ)
2
⎧⎪
2αl
( 1+
κ)+
2ρl[ cosα( 1+
κ)+
2sinα]+
⎫⎪
6Iy
⎨
⎬
2
⎩⎪ + ρ ( α + 3cosαsinα)
⎭⎪ +
3
+ 4Aκl
ρ
L
Typ 3: Enden verschieblich, nicht verdrehbar
q
F z
M SL3
F
SL3
M
= 0
= FI
SL3
n y
2ρα [ ( 1+
2κ)+
cosαsinα]− ri
( α+
cosαsinα) ( 1+
κ)
4 I α( 1+
κ)+
Aκlρ
[ y
L ]
Typ 34: Enden eingespannt
q
F SL4
F z
M SL4
keine geschlossene Lösung

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A 3.3: Drucklast nach Bild 4.1 und unterschiedliche Lagerung nach Bild 4.2
Skizze
Fesselungsbezeichnung und Schnittgrößen
Typ 1: Enden frei
p
F
DL1
M
DL1
= 0
= 0
F z
Typ 2: Enden verdrehbar, nicht verschieblich
p
F z
F DL2
F
4l[ sin αα( 1+
κ)+ cos αsin
α−α]+
⎡4cos
α sin α α( 1+
κ)−
⎤
+ ρ⎢
⎥
3FJ
− 2 + 2 + 4−3
z
ρ
( )
=
⎣ α cos α sin α cos α ⎦
sin α ⎡12l
α( 1 + κ)+ 12ρ l[ α( 1 + κ) cos α + 2sin
α]+
⎤
J⎢
⎥ +
2
⎣⎢
+ ρ ( 6α + 12cos α sin α + 3sin
2α)
⎦⎥
DL2 2
M
DL2
= 0
+ 4A
L
κρl
3
Typ 3: Enden verschieblich, nicht verdrehbar
p
F z
M DL3
F
DL3
M
DL3
= 0
FJ
z
ρ sin αα [ ( 1 + κ)+
cos α]−
α
=
sin α Jα( 1 + κ)+
Aκ ρ s
Typ 34: Enden eingespannt
p
keine geschlossene Lösung
F DL4
F z
M DL4