Modellierung – WS 2013/2014 Hausaufgaben - Institut für Informatik

Universität Paderborn
Institut für Informatik
H. Kleine Büning,
J. Blömer
Paderborn, 13. Dezember 2013
Modellierung – WS 2013/2014
Hausaufgaben
Übungsblatt 9
Abgabe: 6. Januar 2014, 13:15h
Organisatorisches: Die Lösungen der Hausaufgaben sind in die Kästen im D3-Flur einzuwerfen. Bilden Sie
bitte innerhalb ihrer Übungsgruppe Gruppen von 1 bis 3 Personen zur Lösung der Aufgaben. Die Lösung
muss die Namen, Matrikelnummern und IMT-Login derjenigen enthalten, die die Aufgaben gelöst haben
sowie die Übungsgruppennummer. Neu: bitte die Abgabezettel zusammen tackern. Alle Antworten
sind jeweils geeignet zu begründen.
Aufgabe 1 (8 Punkte): Modellierung, Zusammenhang, Wegprobleme
In der folgenden Abbildung sind die Kanarischen Inseln und die Fährverbindungen zwischen den Inseln
eingezeichnet. Über eine Fährverbindung werden Passagiere in beiden Richtungen zwischen zwei Inseln
befördert.
L anzarote
L a Palma
T eneriffa
Fuerteventura
E l Hierro
Gomera
Gran Canaria
(a) Zeichnen Sie den Graphen, der die Fährverbindungen zwischen den Inseln modelliert.
(b) Geben Sie die Schnittknoten (siehe Heimübung 8) des Graphen an. Welche Bedeutung hat ein Schnittknoten
für den Fährbetrieb?
(c) Ein Reisebüro möchte eine Fährrundreise über alle Inseln anbieten. Beschreiben Sie das Problem mit
Begriffen der Graphentheorie. Zeichnen Sie eine solche Reiseroute ein oder begründen Sie, warum es
eine solche Route nicht gibt.
(d) Geben Sie zu jeder der folgenden Aussagen die zugehörige Grapheigenschaft an.
(d1) Es gibt eine Rundreise, bei der jede Fährverbindung genau einmal genutzt wird.
(d2) Jede Insel kann von jeder anderen Insel aus erreicht werden.
(d3) Jede Insel kann von jeder anderen Insel aus direkt erreicht werden.
(d4) Von jeder Insel aus kann man zu maximal 5 anderen Inseln direkt übersetzen.
1 2013

(d5) Es gibt einen Hafen der notwendig ist, damit die Inseln der anderen Häfen untereinander erreichbar
sind.
Beispiel: Es gibt mehrere Fährverbindungen verschiedener Gesellschaften zwischen zwei Inseln.
Es gibt mehr als eine Fährverbindungen zwischen zwei Inseln, genau dann wenn der Graph ein Multigraph
ist.
Aufgabe 2 (5 Punkte): Modellierung
Man möchte mehrere Kommunikationsknoten miteinander verbinden, wobei die Kosten für das Kommunikationsnetzwerk
minimal sein sollen.
(a) Welchem graphentheoretischen Problem entspricht das Lösen dieser Aufgabe?
(b) Zeichnen Sie die Kommunikationsknoten und die möglichen Kommunikationsstrecken und finden Sie
mit den Daten der folgenden Tabelle das kostengünstigste Kommunikationsnetzwerk.
Knoten Knoten Kosten
a b 2
a g 1
b c 1
b g 3
c d 4
d e 3
d f 1
d g 5
f g 4
Aufgabe 3 (7 Punkte): Graphen,Beweisen
Sei G = (V, E) ein Graph mit |V | > 1.
(a) Beweisen Sie: Wenn G ein Baum ist dann hat jeder Knoten Grad mindestens 1 und für die Summe
aller Knotengrade gilt
∑
deg(v) = 2(|V | − 1).
v∈V
Beweisen Sie die zweite Eigenschaft durch einen Induktionsbeweis über die Anzahl der Knoten Tipp:
Überlegen Sie was passiert, wenn Sie einen geeigneten Knoten aus einem Baum entfernen.
(b) Für welche der zu zeigenden Eigenschaften ist die Bedingungen |V | > 1 wichtig?
(c) Gilt auch ein „genau dann wenn“? Beweisen Sie ihre Antwort.
Aufgabe 4 (5 Punkte): Graphen,Matching
Gegeben seien die Graphen
• G 1 = (V 1 , E 1 ) mit V 1 = {a, b, c, d, e, f, g, h} und
E 1 = {{a, d}, {f, b}, {c, b}, {d, c}, {a, g}, {f, g},
{e, a}, {f, e}, {c, e}, {f, d}, {c, g}, {h, d}, {h, e}}
2 2013

• G 2 = (V 1 , E 2 ) mit E 2 = {{d, g}, {b, e}, {g, a}, {c, f}, {a, c}, {d, e}, {e, a}, {b, f}, {f, d}}
(a) Zeichnen sie die Graphen.
(b) Bei welcher der folgenden Mengen handelt es sich jeweils um ein Matching?
(b1) M 1 ∩ E 1 und M 1 ∩ E 2 mit M 1 = {{a, d}, {c, b}, {f, g}, {f, e}, {f, b}}
(b2) M 2 ∩ E 1 und M 2 ∩ E 2 mit M 2 = {{g, a}, {b, e}, {a, d}}
(c) Geben sie jeweils ein perfektes Matching der Graphen an, falls ein solches existiert.
(d) Welcher der Graphen ist bipartit? Zerlegen Sie gegebenenfalls die Knotenmenge in entsprechende
disunkte Teilmengen.
(e) Geben Sie jeweils die chromatische Zahl und eine entsprechende Färbung der Graphen an.
Aufgabe 5 (5 Punkte): Modellierung
Für sieben Vorlesungen stehen am Semesterende Abschlussklausuren an. Bei der Terminplanung ist darauf
zu achten, dass kein Student mehr als eine Klausur pro Tag schreibt. Ein „+“-Eintrag im Feld (i, j) untenstehender
Tabelle bedeutet, dass die Vorlesungen i und j mindestens einen Studenten gemeinsam haben -
die Klausuren für diese Vorlesungen dürfen also nicht am selben Tag stattfinden.
1 2 3 4 5 6 7
1 + + +
2 + + +
3 + + +
4 + + +
5 + +
6 + +
7 + +
(a) Modellieren Sie das Problem graphentechnisch und zeichnen Sie den Graphen.
(b) Wie viele Tage sind zur Durchführung aller Klausuren mindestens notwendig?
(c) Geben Sie einen möglichen Terminplan an.
Aufgabe 6 (4 Punkte): Graphen, Modellierung
In einem kleinen Dorf nehmen an einem Tanzkurs die drei Frauen Anita, Berta und Christina und die vier
Männer Detlef, Ernst, Franz und Gerhardt teil. Anita ist die Exfrau von Franz. Christina war schon mit Ernst
und Gerhardt verheiratet. Es wird in Runden getanzt. Dabei ist während einer Runde kein Partnerwechsel
möglich und es sollen nur gemischt-geschlechtliche Paare tanzen. Geschiedene Paare tanzen grundsätzlich
nicht zusammen.
(a) Modellieren Sie das Problem als Graphenproblem und zeichnen Sie dazu den Graphen. Welche spezielle
Eigenschaft hat der Graph? Durch welchen Begriff kann in diesem Graphen eine Tanzrunde
modelliert werden?
(b) Besteht die Möglichkeit, dass in einer Runde alle Frauen tanzen? Welchen Satz kann man im Allgemeinen
zur Beantwortung dieser Frage anwenden.
3 2013