Multivariate Taylor-Approximation - imng

Multivariate Taylor-Approximation
Eine in einer Umgebung eines Punktes mit Koordinaten a = (a 1 , . . . , a m )
skalare (n + 1)-mal stetig differenzierbare Funktion f von m
Veränderlichen x i kann durch ein Taylor-Polynom vom totalen Grad n
approximiert werden:
f (x) = ∑
|α|≤n
mit α! = α 1 ! · · · α m ! .
1
α! ∂α f (a)(x − a) α + R , |x − a| < r ,
Taylor-Approximation 1-1

Multivariate Taylor-Approximation
Eine in einer Umgebung eines Punktes mit Koordinaten a = (a 1 , . . . , a m )
skalare (n + 1)-mal stetig differenzierbare Funktion f von m
Veränderlichen x i kann durch ein Taylor-Polynom vom totalen Grad n
approximiert werden:
f (x) = ∑
|α|≤n
mit α! = α 1 ! · · · α m ! .
Das Restglied hat die Form
R =
für ein θ ∈ [0, 1] .
∑
|α|=n+1
1
α! ∂α f (a)(x − a) α + R , |x − a| < r ,
1
α! ∂α f (u)(x − a) α , u = a + θ(x − a) ,
Taylor-Approximation 1-2

Beweis:
Zurückführung auf den univariaten Fall (o.B.d.A. a = 0):
Taylor-Approximation 2-1

Beweis:
Zurückführung auf den univariaten Fall (o.B.d.A. a = 0):
setze
f (x 1 , ..., x m ) = f (tx 1 , ..., tx m )| t=1 = g(t)| t=1
Taylor-Approximation 2-2

Beweis:
Zurückführung auf den univariaten Fall (o.B.d.A. a = 0):
setze
f (x 1 , ..., x m ) = f (tx 1 , ..., tx m )| t=1 = g(t)| t=1
Taylor-Entwicklung der univariaten Funktion g(t) im Nullpunkt
g(t) = g(0) + g ′ (0) t + · · · + 1 n! g (n) (0)t n + R
mit
R =
1
(n + 1)! g (n+1) (θt)t n+1 , θ ∈ [0, 1]
Taylor-Approximation 2-3

Kettenregel ⇒
g(0) =
∑
f (0)
g ′ (0) = (∂ j f (0))x j
g ′′ (0) = ∑ i
.
j
∑
(∂ i ∂ j f (0))x i x j
j
Taylor-Approximation 2-4

Kettenregel ⇒
g(0) =
∑
f (0)
g ′ (0) = (∂ j f (0))x j
g ′′ (0) = ∑ i
.
j
∑
(∂ i ∂ j f (0))x i x j
j
m k Terme bei k-ter Ableitung
Taylor-Approximation 2-5

Kettenregel ⇒
g(0) =
∑
f (0)
g ′ (0) = (∂ j f (0))x j
g ′′ (0) = ∑ i
.
j
∑
(∂ i ∂ j f (0))x i x j
j
m k Terme bei k-ter Ableitung
Zusammenfassen gleicher partieller Ableitungen
Koeffizienten der Entwicklung
z.B. für m = 2, k = 5, Zusammenfassung von
∂ 1 ∂ 1 ∂ 1 ∂ 2 ∂ 2 , ∂ 1 ∂ 2 ∂ 1 ∂ 2 ∂ 1 , ∂ 1 ∂ 2 ∂ 2 ∂ 1 ∂ 1 , ...
∂ α , α = (3, 2) ( )
5
3 = 5!/(3! 2!) Terme
Taylor-Approximation 2-6

allgemein
( ) ( ) ( )
k k − α1 k − α1 − . . . − α m−1
· · · ·
= k!/(α 1 ! . . . α m !)
α 1 α 2 α m
Terme, wenn nach der ν-ten Komponente jeweils α ν -mal abgeleitet wird
Einsetzen der Ableitungen der Funktion g(t) , Kürzen des Faktors k!
Entwicklung von f
Taylor-Approximation 2-7

Beispiel:
Taylor-Entwicklung einer Funktion von zwei Variablen:
f (x, y) = f + f x (x − x 0 ) + f y (y − y 0 )
+ f xx
2 (x − x 0) 2 + f xy (x − x 0 ) (y − y 0 ) + f yy
2 (y − y 0) 2
+ f xxx
6 (x − x 0) 3 + f xxy
2 (x − x 0) 2 (y − y 0 )
+ f xyy
2 (x − x 0) (y − y 0 ) 2 + f yyy
6 (y − y 0) 3 + R ,
wobei f und sämtliche partielle Ableitungen im Punkt (x 0 , y 0 ) ausgewertet
werden
Taylor-Approximation 3-1

Beispiel:
Taylor-Entwicklung einer Funktion von zwei Variablen:
f (x, y) = f + f x (x − x 0 ) + f y (y − y 0 )
+ f xx
2 (x − x 0) 2 + f xy (x − x 0 ) (y − y 0 ) + f yy
2 (y − y 0) 2
+ f xxx
6 (x − x 0) 3 + f xxy
2 (x − x 0) 2 (y − y 0 )
+ f xyy
2 (x − x 0) (y − y 0 ) 2 + f yyy
6 (y − y 0) 3 + R ,
wobei f und sämtliche partielle Ableitungen im Punkt (x 0 , y 0 ) ausgewertet
werden
Entwickeln von
im Punkt (x 0 , y 0 ) = (0, 0)
f (x, y) = sin(x − ωy)
Taylor-Approximation 3-2

wegen
∂ α x ∂ β y f (0, 0) = sin (α+β) (0) (−ω) β
Approximation
sin(x − ωy) = x − ωy − 1 6 (x 3 − 3ωx 2 y + 3ω 2 xy 2 − ω 3 y 3 ) +R
} {{ }
(x−ωy) 3
Taylor-Approximation 3-3

wegen
∂ α x ∂ β y f (0, 0) = sin (α+β) (0) (−ω) β
Approximation
mit
sin(x − ωy) = x − ωy − 1 6 (x 3 − 3ωx 2 y + 3ω 2 xy 2 − ω 3 y 3 ) +R
} {{ }
(x−ωy) 3
für ein θ ∈ [0, 1]
R = 1 4! (f x 4 + 4f x 3 y + 6f x 2 y 2 + 4f xy 3 + f y 4)(θ(x, y))
= 1 4! (x − ωy)4 sin(θ(x − ωy))
Taylor-Approximation 3-4

Alternative Berechnung des Taylor-Polynoms: durch Einsetzen von
t = x − ωy in die eindimensionale Reihendarstellung der Sinusfunktion:
t = x − ωy
sin(t) = t − t3
3! + t5
5! − ... .
Taylor-Approximation 3-5

Alternative Berechnung des Taylor-Polynoms: durch Einsetzen von
t = x − ωy in die eindimensionale Reihendarstellung der Sinusfunktion:
t = x − ωy
sin(t) = t − t3
3! + t5
5! − ... .
f (x, y) = (x − ωy) − 1 3! (x − ωy)3 + 1 cos(θ)(x − ωy)5
5!
(univariates Restglied)
Taylor-Approximation 3-6

Beispiel:
Entwicklung des Polynoms
f (x, y, z) = z 2 − xy
an der Stelle (0, −2, 1)
Taylor-Approximation 4-1

Beispiel:
Entwicklung des Polynoms
f (x, y, z) = z 2 − xy
an der Stelle (0, −2, 1)
von Null verschiedene Ableitungen
f x = −y , f y = −x , f z = 2z , f xy = −1 , f zz = 2
Auswerten am Entwicklungspunkt Taylor-Darstellung
1 + 2x + (−0)(y + 2) + 2(z − 1) + (−1)x(y + 2) + 1 2 2(z − 1)2 = z 2 − xy
Taylor-Approximation 4-2

Beispiel:
Entwicklung des Polynoms
f (x, y, z) = z 2 − xy
an der Stelle (0, −2, 1)
von Null verschiedene Ableitungen
f x = −y , f y = −x , f z = 2z , f xy = −1 , f zz = 2
Auswerten am Entwicklungspunkt Taylor-Darstellung
1 + 2x + (−0)(y + 2) + 2(z − 1) + (−1)x(y + 2) + 1 2 2(z − 1)2 = z 2 − xy
alternativ: Entwicklung durch Umformung
Taylor-Approximation 4-3

Beispiel:
Entwicklung des Polynoms
f (x, y, z) = z 2 − xy
an der Stelle (0, −2, 1)
von Null verschiedene Ableitungen
f x = −y , f y = −x , f z = 2z , f xy = −1 , f zz = 2
Auswerten am Entwicklungspunkt Taylor-Darstellung
1 + 2x + (−0)(y + 2) + 2(z − 1) + (−1)x(y + 2) + 1 2 2(z − 1)2 = z 2 − xy
alternativ: Entwicklung durch Umformung
substituiere
y + 2 = η , z − 1 = ζ
f (x, y, z) = (ζ + 1) 2 − x(η − 2) = ζ 2 + 2ζ + 1 − xη + 2x
Taylor-Approximation 4-4