Vektorrechnung - imng

Vektorrechnung 

Das Handout ist Bestandteil der Vortragsfolien zur Höheren Mathematik; siehe die Hinweise auf der Internetseite 

www.imng.uni-stuttgart.de/LstNumGeoMod/VHM/ für Erläuterungen zur Nutzung und zum Copyright. 

Vektorrechnung 1-1

Kartesisches Koordinatensystem in der Ebene und im 

Raum 

Ein räumliches kartesisches Koordinatensystem besteht aus 3 sich in einem 

ÖÔÐÑÒØ× Ü¿¹× 

als Ursprung bezeichneten Punkt O senkrecht schneidenden Zahlengeraden 

(Achsen), deren Orientierung gemäß der in der Abbildung 

veranschaulichten Rechten-Hand-Regel“ gewählt ist. 

” Ü½¹× Ü½Ç 

ÅØØÐ¬ÒÖ 

Ü¾ÈËÖÖÔÐÑÒØ× Ü¾¹× ÙÑÒ Ç ¬ÒÖ 

Vektorrechnung – Koordinaten Kartesisches Koordinatensystem in der Ebene und im Raum 1-1

Ein Punkt X wird durch seine als Koordinaten x i bezeichneten Werte der 

Projektionen auf die Achsen festgelegt: X = (x 1 , x 2 , x 3 ). Verwendet man 

keine Indexschreibweise, so bezeichnet man die Koordinaten üblicherweise 

mit (x, y, z) und die Zahlenachsen als x-, y- und z-Achse. 

Analog definiert man ein ebenenes kartesisches Koordinatensystem. 


Beispiel: 

Grafik-Fenster: 

Objekte in Pixel-Koordinaten, meist bezogen auf die linke obere Bildecke 

20 40 60 80 100 120 

10 

(74, 8) 

20 

30 

40 

50 

60 

70 

(85, 69) 

80 

(30, 80) 

90 


Kugelkoordinaten 

Ein Punkt P = (x, y, z) kann durch seinen Abstand r = |OP| zum 

Ursprung, den Winkel ϕ zwischen der x-Achse und der Projektion von OP 

auf die xy-Ebene und dem Winkel ϑ ∈ [0, π] zwischen OP und der z-Achse 

dargestellt werden. Der Winkel ϕ ist nur bis auf ein Vielfaches von 2π 

bestimmt. Als Standardbereich wird meist ϕ ∈ (−π, π] vereinbart. 

z-Achse 

P 

ϑ r 

O 

ϕ 

x-Achse 

y-Achse 

Vektorrechnung – Koordinaten Kugelkoordinaten 1-1

Es gilt 

bzw. 

x = r cos ϕ sin ϑ, y = r sin ϕ sin ϑ, z = r cos ϑ 

r = √ x 2 + y 2 + z 2 , ϕ = arctan(y/x), ϑ = arccos(z/ √ x 2 + y 2 + z 2 ) , 

wobei je nach Vorzeichen von x, y und z ein geeigneter Zweig des 

Arcustangens zu wählen ist. Mit dem Hauptzweig-Winkel 

ϕ H = arctan(y/x) ∈ (−π/2, π/2) gilt 

⎧ 

ϕ H , für x > 0, 

⎪⎨ 

sign(y)π/2, für x = 0, 

ϕ = 

ϕ H + π, für x < 0 ∧ y ≥ 0, 

⎪⎩ 

ϕ H − π, für x < 0 ∧ y < 0. 


Beispiel: 

regelmäßiges Tetraeder mit Kantenlänge 2 √ 2 und Schwerpunkt O 

P 1 = (1, 1, 1), P 2 = (1, −1, −1), P 3 = (−1, 1, −1), P 4 = (−1, −1, 1) 

z 

P 4 

P 1 

O 

y 

x 

P 2 

P 3 


Eckpunkte in Kugelkoordinaten (r, ϑ, ϕ) 

P 1 = (1, 1, 1) → P ′ 1 = (√ 3, ψ, π/4) 

P 2 = (1, −1, −1) → P ′ 2 = (√ 3, π − ψ, −π/4) 

P 3 = (−1, 1, −1) → P ′ 3 = (√ 3, π − ψ, 3π/4) 

P 4 = (−1, −1, 1) → P ′ 4 = (√ 3, ψ, −3π/4) 

ψ = arccos(z/r) = arccos(1/ √ 3) 


Beispiel: 

Längen- und Breitengrade auf der Erdkugel: 

Kugelkoordinaten mit anderen Winkelbereichen 

N 

Stuttgart 

r 

ϑ 

ϕ 

y 

x 

S 


N 

Stuttgart 

r 

ϑ 

ϕ 

y 

x 

S 

östliche Länge 0 ◦ – 180 ◦ ϕ = 0 . . . π 

westliche Länge 0 ◦ – 180 ◦ ϕ = 0 . . . −π 

nördliche Breite 0 ◦ – 90 ◦ ϑ = π/2 . . . 0 

südliche Breite 0 ◦ – 90 ◦ ϑ = π/2 . . . π 


N 

ϑ 

Stuttgart 

r 

ϕ 

y 

x 

S 

Äquator (Breite 0 ◦ ) und nullter Längenkreis fett 

Nordpol: 90 ◦ n. Br., Südpol: 90 ◦ s. Br. 

Längen- und Breitenkreise für Stuttgart (blau): 9 ◦ ö. L., 49 ◦ n. Br. 

ϕ = 1 

19 

20π (östliche Halbkugel) oder ϕ = − 

20π (westliche Halbkugel) 

ϑ = 90−49 

180 π = 41 

180 π 


Zylinderkoordinaten 

Ein Punkt P = (x, y, z) kann durch den Winkel ϕ zwischen der x-Achse 

und der Projektion von OP auf die xy-Ebene, die Länge ϱ der Projektion 

und die z-Koordinate dargestellt werden. Der Winkel ϕ ist nur bis auf ein 

Vielfaches von 2π bestimmt. Als Standardbereich wird meist ϕ ∈ (−π, π] 

vereinbart. 

z-Achse 

P 

O 

z 

ϕ̺ 

x-Achse 

y-Achse 

Vektorrechnung – Koordinaten Zylinderkoordinaten 1-1

Es gilt 

bzw. 

x = ϱ cos ϕ, y = ϱ sin ϕ, z = z 

ϱ = √ x 2 + y 2 , ϕ = arctan(y/x), z = z , 

wobei je nach Vorzeichen von x und y ein geeigneter Zweig des 

Arcustangens zu wählen ist. Mit dem Hauptzweig-Winkel 

ϕ H = arctan(y/x) ∈ (−π/2, π/2) gilt 

⎧ 

ϕ H , für x > 0, 

⎪⎨ 

sign(y)π/2, für x = 0, 

ϕ = 

ϕ H + π, für x < 0 ∧ y ≥ 0, 

⎪⎩ 

ϕ H − π, für x < 0 ∧ y < 0. 


Beispiel: 

Zylinder- und Kugelkoordinaten, (ϱ, ϕ, z) bzw. (r, ϑ, ϕ), 

von (x, y, z) = (−1, √ 3, 2) 

z 

2 

P 

ϑ 

−1 

x 

ϕ 

√ 

3 

y 

Q 


Abstände vom Ursprung: 

ϱ = √ x 2 + y 2 = √ 1 + 3 = 2, r = √ x 2 + y 2 + z 2 = √ 1 + 3 + 4 = 2 √ 2 

z 

2 

P 

ϑ 

−1 

x 

ϕ 

√ 

3 

y 

Q 


z 

2 

P 

ϑ 

−1 

x 

Winkel mit der x-Achse: 

ϕ 

√ 

3 

y 

Q 

ϕ = arctan(y/x) + π = arctan(− √ 3) + π = − π 3 + π = 2 3 π 

wegen x < 0 und y > 0 

Winkel mit der z-Achse: 

ϑ = arccos(z/r) = arccos(1/ √ 2) = π 4 


alternativ: 

(x, 0, 0), O, Q bilden die Hälfte eines gleichseitigen Dreiecks; 

(0, 0, z), O, P bilden ein gleichschenkliges, rechtwinkliges Dreieck 

z 

2 

P 

ϑ 

−1 

x 

ϕ 

√ 

3 

y 

Q 


Translation eines kartesischen Koordinatensystems 

Bei einer Verschiebung des Ursprungs O nach O ′ = (p 1 , p 2 , p 3 ) ändern 

sich bei gleichbleibender Richtung der Achsen die Koordinaten eines 

Punktes X = (x 1 , x 2 , x 3 ) gemäß 

X ′ = (x 1 − p 1 , x 2 − p 2 , x 3 − p 3 ) . 

x 2 

x ′ 2 

X ̂=X ′ 

p 2 

O ′ 

x ′ 1 

O p 1 

x 1 

Vektorrechnung – Koordinaten Translation 1-1

Beispiel: 

ebene gleichförmige Bewegung 

(x(t), y(t)) = (p + αt, q + βt), t ≥ 0 , 

betrachtet aus einem in x-Richtung mit Geschwindigkeit v fahrenden Zug 

Änderung der Koordinaten: 

x ′ = x − vt, 

y ′ = y 

andere beobachtete Geschwindigkeit 


Ý 

½Ø¼ 

Ø½ Ø½ Ø¼ ½ÚØ 

Ü 

Ø½Ý¼ 

½Ø¼ Ø¼ Ø½ ½ 

Ü¼ 

transformierte Koordinaten eines Objekts, das sich in einer Zeiteinheit von 

P = (1, 1) nach Q = (4, 3) bewegt (roter Pfeil) für v = 2: 

P ′ = (1, 1), Q ′ = (4 − 2, 3 − 0) = (2, 3) 

tatsächliche und beobachtete Geschwindigkeit: 

√ 

v t = (4 − 1) 2 + (3 − 1) 2 = √ 13, v b = √ 5 


Rotation eines kartesischen Koordinatensystems 

Bei einer Drehung der xy-Ebene um die z-Achse mit dem Winkel α 

transformieren sich die Koordinaten eines Punktes P = (p 1 , p 2 , p 3 ) gemäß 

p ′ 1 = cos α p 1 + sin α p 2 , p ′ 2 = − sin α p 1 + cos α p 2 , p ′ 3 = p 3 . 

y 

y ′ 1 

p 2 

P 

x ′ 

1 

p ′ 1 

p ′ 2 

α 

p 1 

x 

Vektorrechnung – Koordinaten Rotation 1-1

Analoge Formeln erhält man für Drehungen der yz- und zx-Ebene. 


Beweis: 

y 

∢(S, P, Q) = α =⇒ 

△(S, O, R) ∼ △(S, P, Q) 

p 2 

S 

P 

Q 

x ′ 

p ′ 1 

erstes Dreieck: 

zweites Dreieck: 

|OS| = p 1 / cos α, 

y ′ p 1 

p ′ 2 

O 

|RS| = p 1 tan α 

α 

R 

x 

p 2 ′ = cos α |PS| = cos α (p 2 − |RS|) = cos α p 2 − sin α p 1 

p 1 ′ = |OS| + |SQ| = p 1 / cos α + sin α (p 2 − |RS|) 

= 1 − sin2 α 

cos α p 1 + sin α p 2 = cos α p 1 + sin α p 2 


Beispiel: 

Bahnkurven von geradlinigen und kreisförmigen Bewegungen (links) 

G : (x, y) = (1, 2 + t/(2π)), 

K : (x, y) = (1 + cos(t), 2 − sin(t)) 

beobachtet in einem mit Winkelgeschwindigkeit ω = 1 rotierenden 

ÖÖÔÐÑÒØ× Ý Ý¼ 

Bezugssystem (rechts) 

¾ 

½Ø Ü ¾ 

½ Ü¼ 


Transformation 

x ′ = cx + sy, 

mit c = cos(ωt), s = sin(ωt) 

geradlinige Bewegung Spirale: 

x ′ = c + s(2 + t/(2π)), 

y ′ = −sx + cy 

y ′ = −s + c(2 + t/(2π)) 

kreisförmige Bewegung: 

x ′ = c(1 + ˜c) + s(2 − ˜s), 

y ′ = −s(1 + ˜c) + c(2 − ˜s) 

(˜c = cos t, ˜s = sin t) 

abrupte Richtungsänderung möglich 


Vektoren im Raum 

Ein Vektor ist eine gerichtete Strecke: 

⃗a = −→ PQ 

bezeichnet den Vektor vom Punkt P zum Punkt Q. Alternativ kann ein 

Vektor als Parallel-Verschiebung des Raumes interpretiert und mit einem 

Pfeil identifiziert werden. 

−⃗a 

P 2 

P 1 ⃗a 

⃗a 

Q 2 

Q 1 

Vektorrechnung – Vektoren Vektoren im Raum 1-1

Wie aus der Abbildung ersichtlich ist, stellen gleichlange Pfeile mit gleicher 

Richtung den gleichen Vektor dar, −−−→ P 1 Q 1 = −−−→ P 2 Q 2 . Die spezielle Darstellung 

bezogen auf den Ursprung des Koordinatensystems wird als Ortsvektor 

bezeichnet und definiert die Koordinaten des Vektors: 

⎛ ⎞ 

a 

−→ 1 

OA = ⎝ a 2 

⎠ . 

a 3 

Die Koordinaten von ⃗a lassen sich ebenfalls als Differenz der Koordinaten 

der Punkte Q und P berechnen. Schließlich wird mit 

der Nullvektor bezeichnet. 

−→ 

OO = −→ PP = ⃗0 

Vektorrechnung – Vektoren Vektoren im Raum 1-2

Addition von Vektoren 

Die Summe von zwei Vektoren entspricht der Hintereinanderschaltung 

zweier Verschiebungen, 

−→ 

PR = −→ PQ + −→ QR . 

Q 

⃗a 

⃗ b 

P 

⃗c 

R 

Vektorrechnung – Vektoren Addition von Vektoren 1-1

Für die Koordinaten gilt entsprechend 

⎛ ⎞ ⎛ 

⃗c = ⃗a + ⃗ a 1 

b = ⎝ a 2 

⎠ + ⎝ 

a 3 

⎞ ⎛ 

b 1 

b 2 

⎠ = ⎝ 

b 3 

⎞ 

a 1 + b 1 

a 2 + b 2 

⎠ . 

a 3 + b 3 

Mit 

−→ 

QP = − −→ PQ 

wird die zu ⃗a = −→ PQ entgegengesetzte Verschiebung −⃗a bezeichnet. 

Insbesondere gilt 

⃗a + (−⃗a) = ⃗0, ⃗a + ⃗0 = ⃗a . 


Beispiel: 

berechne 

−→ 

PR = −→ PQ + −→ QR, 

ÈËÖÖÔÐÑÒØ× È 

É 

−→ 

RP = −→ RQ + −→ QP = − −→ ( 

PQ + − −→ ) 

QR 

 

Ê 

 


Koordinaten: 

P = (1, 1, 1), Q = (4, 2, 7), R = (1, 4, 3) 

⃗a = −→ PQ, ⃗ b = −→ QR, ⃗c = −→ PR 

⃗c = ⃗a + ⃗ b = 

= 

− ⃗ b + (−⃗a) = 

= 

⎛ 

⎝ 

⎛ 

⎝ 

⎛ 

⎝ 

⎛ 

⎝ 

4 − 1 

2 − 1 

7 − 1 

3 

1 

6 

⎞ 

⎞ 

⎠ + ⎝ 

4 − 1 

2 − 4 

7 − 3 

0 

−3 

−2 

⎞ 

⎛ 

⎠ + ⎝ 

⎛ 

⎞ 

−3 

2 

−4 

⎛ 

⎠ + ⎝ 

⎠ = −⃗c 

1 − 4 

4 − 2 

3 − 7 

⎞ 

⎛ 

⎞ 

⎠ 

⎠ = ⎝ 

1 − 4 

1 − 2 

1 − 7 

⎞ 

0 

3 

2 

⎞ 

⎠ 

⎛ 

⎠ = ⎝ 

3 

−2 

4 

⎞ 

⎛ 

⎠ + ⎝ 

−3 

−1 

−6 

⎞ 

⎠ 


Beispiel: 

Zerlegung der Gewichtskraft ⃗ f G für eine schiefe Ebene mit Hilfe des 

Kräfteparallelogramms: 

⃗ fG = 

⃗ fN 

}{{} 

+ ⃗ fH 

}{{} 

Normalkraft Hangabtriebskraft 

⃗f H 

⃗f N 

⃗f G 


Skalarmultiplikation 

Der Vektor s⃗a entspricht einer s-fachen Verschiebung, d.h. 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

a 1 sa 1 

s ⎝ a 2 

⎠ = ⎝ sa 2 

⎠ . 

a 3 sa 3 

Speziell ist 0⃗a = ⃗0. 

sa 2 

a 2 

s⃗a 

⃗a 

a 1 sa 1 

Vektorrechnung – Vektoren Skalarmultiplikation 1-1

Beispiel: 

Schnittpunkt S (Schwerpunkt) der Seitenhalbierenden in einem Dreieck: 

C 

⃗s = 1 3 

( 

⃗a + ⃗ ) 

b + ⃗c 

M b 

S 

M a 

Darstellung der Punkte auf der Seitenhalbierenden AM a : 

( 1 

⃗p = ⃗a + t(⃗m a − ⃗a) = ⃗a + t 

2 ⃗ b + 1 ) 

2 ⃗c − ⃗a , t ∈ [0, 1] 

A 

M c 

B 

t = 2/3 =⇒ ⃗p = ⃗s =⇒ S teilt AM a im Verhältnis 2 : 1 

analoges Argument für BM b und CM c 

S gemeinsamer Punkt der 3 Seitenhalbierenden 

Vektorrechnung – Vektoren Skalarmultiplikation 2-1

Betrag eines Vektors im Raum 

Der Betrag von ⃗a = −→ PQ ist die Länge des Pfeils von P nach Q bzw. von O 

nach A, d.h., 

√ 

|⃗a| = a1 2 + a2 2 + a2 3 . 

Insbesondere ist |s⃗a| = |s||⃗a|. 

Ein Vektor mit Betrag 1 wird als Einheitsvektor bezeichnet. Man benutzt 

die Schreibweise 

⃗v 0 = ⃗v/|⃗v| 

für einen normierten Vektor. 

Vektorrechnung – Vektoren Betrag 1-1

Beispiel: 

Betrag: 

normierter Vektor: 

⃗a 0 = ⎝ 

⎛ 

⃗a = ⎝ 

4 

−1 

8 

⎞ 

⎠ 

|⃗a| = √ 16 + 1 + 64 = 9 

⎛ 

4 

−1 

8 

⎞ 

⎛ 

⎠ /9 = ⎝ 

4/9 

−1/9 

8/9 

⎞ 

⎠ 

Vektorrechnung – Vektoren Betrag 2-1

Dreiecksungleichung 

Für eine Summe zweier Vektoren gilt 

|⃗a + ⃗ b| ≤ |⃗a| + | ⃗ b| 

mit Gleichheit genau dann, wenn ⃗a und ⃗ b parallel sind, d.h. ⃗a = s ⃗ b. 

⃗a 

⃗ b 

⃗a + ⃗ b 

Vektorrechnung – Vektoren Dreiecksungleichung 1-1

Rechenregeln für Vektoren 

Für Vektoren gelten die folgenden Rechenregeln. 

Kommutativgesetz: 

⃗a + ⃗ b = ⃗ b + ⃗a 

Assoziativgesetz: 

⃗a + ( ⃗ b + ⃗c) = (⃗a + ⃗ b) + ⃗c 

Distributivgesetz: 

s(⃗a + ⃗ b) = s⃗a + s ⃗ b 

Vektorrechnung – Vektoren Rechenregeln 1-1

ÖÖÔÐÑÒØ× Beispiel: 

Ç 

Flug nach Osten mit 800km/h, 

Ü Ü·Ý 

Windgeschwindigkeit 

ÔÝ 

50km/h 

Ü·Ô 

aus WSW 

Geschwindigkeitsvektor des Flugzeugs: 

( 800 

⃗x = 

0 

) 

Wind: 

⃗y = 

( 50 cos(π/8) 

50 sin(π/8) 

) 


Position nach einer Stunde: 

( 800 + 50 cos(π/8) 

⃗x + ⃗y = 

50 sin(π/8) 

) 

≈ 

( 846.19 

19.13 

) 

⃗p: orthogonale Projektion von ⃗y auf die Gerade in Richtung von ⃗x 

Geschwindigkeitskomponente nach Osten: 

( ) ( ) 

800 + 50 cos(π/8) 846.19 

⃗x + ⃗p = 

≈ 

0 

0 

Drift nach Norden: 

⃗ d = ⃗x + ⃗y − (⃗x + ⃗p) = 

( 

Gesamtgeschwindigkeit ⃗x + ⃗p + ⃗ d 

0 

50 sin(π/8) 

) 

≈ 

( 0 

19.13 

) 


Winkel zwischen zwei Vektoren 

Für ⃗a, ⃗ b ≠ ⃗0 bezeichnet man mit 

∢(⃗a, ⃗ b) ∈ [0, π] 

den kleineren der beiden Winkel, den die mit den Vektoren assoziierten 

Pfeile in einem gemeinsamen Scheitelpunkt bilden. 

⃗a 

∢(⃗a, ⃗ b) 

Vektorrechnung – Skalarprodukt Winkel 1-1 

⃗ b

Die beiden Vektoren sind orthogonal, ⃗a ⊥ ⃗ b, wenn der Winkel gleich π/2 

ist. Dabei vereinbart man, dass der Nullvektor auf jedem Vektor senkrecht 

steht. 

Vektorrechnung – Skalarprodukt Winkel 1-2

Beispiel: 

Winkel zwischen Vektoren 

ÖÔÐÑÒØ× 

´µ¼ 

ÈËÖÖÔÐÑÒØ× 

´µ 

⃗a 

⃗ b 

∢(⃗a, ⃗ b) = π 2 

ÈËÖÖÔÐÑÒØ× 

´µ 

Vektorrechnung – Skalarprodukt Winkel 2-1

Kosinussatz 

In einem Dreieck gilt für den der Seite AB gegenüberliegenden Winkel γ 

c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ . 

B 

a 

c 

γ 

b 

A 

Als Spezialfall erhält man für γ = π/2 den Satz des Pythagoras: 

c 2 = a 2 + b 2 . 

Vektorrechnung – Skalarprodukt Kosinussatz 1-1

Beweis: 

a 

h 

c 

γ 

p 

q 

b 

Satz des Pythagoras =⇒ 

mit q = b − p, p = a cos γ 

Einsetzen 

c 2 = h 2 + q 2 , h 2 = a 2 − p 2 

c 2 = (a 2 − p 2 ) + (b − p) 2 

= a 2 − p 2 + b 2 − 2b(a cos γ) + p 2 

= a 2 + b 2 − 2ab cos γ 

Vektorrechnung – Skalarprodukt Kosinussatz 2-1

Sinussatz 

In einem Dreieck 

C 

γ 

b 

a 

A 

α 

c 

β 

B 

verhalten sich die Längen der Seiten wie die Sinuswerte der 

gegenüberliegenden Winkel: 

sin α 

a 

= sin β 

b 

= sin γ 

c 

oder sin α : sin β : sin γ = a : b : c . 

Vektorrechnung – Skalarprodukt Sinussatz 1-1

• 

Beweis: 

bilde durch Höhe begrenzte rechtwinklige Dreiecke 

b 

h 

a 

α 

β 

=⇒ 

sin α = h b , 

sin β = h a 

sin α : sin β = h b : h a = a : b 


Beispiel: 

Entfernung d zweier schwer zugänglicher Punkte P und Q 

A 

P 

Q 

α 

a 

b 

30 ◦ 45 ◦ 

30 ◦ 

c = 100 

B 

Sinussatz =⇒ b : 100 = sin 135 ◦ : sin 15 ◦ , d.h. 

d 

∠(A, B, P) = 90 ◦ 

a = 100/ sin 30 ◦ = 200 

Winkelsumme gleich 180 ◦ 

α = 15 ◦ 

b = 273.2 

Kosinussatz =⇒ d 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos 30 ◦ , d.h. 

d = (40000 + 74640 − 2 · 54640 · 0.8660) 1/2 = 141.4 


Skalarprodukt von Vektoren im Raum 

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist durch 

⃗a · ⃗b = |⃗a|| ⃗ b| cos ∢(⃗a, ⃗ b) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 

definiert. Insbesondere ist 

⃗a · ⃗a = |⃗a| 2 

und 

⃗a · ⃗b = 0 ⇔ ⃗a ⊥ ⃗ b . 

Aus der Koordinatendarstellung des Skalarproduktes folgt 

⃗a · ⃗b = ⃗ b · ⃗a 

sowie ( 

s⃗a + r ⃗ ) 

b · ⃗c = s⃗a · ⃗c + r ⃗ b · ⃗c , 

d.h. es gelten die für Produkte üblichen Rechenregeln. 

Vektorrechnung – Skalarprodukt Skalarprodukt 1-1

Beweis: 

ÈËÖÖÔÐÑÒØ× 

Kosinussatz: 

|⃗c| 2 = |⃗a| 2 + | ⃗ b| 2 − 2|⃗a|| ⃗ b| cos γ 

 

 

 

 

Umformung 

2|⃗a|| ⃗ b| cos γ = (a 2 1 + a 2 2 + a 2 3) + (b 2 1 + b 2 2 + b 2 3) − (c 2 1 + c 2 2 + c 2 3 ) 

substituiere c 2 i 

= (b i − a i ) 2 


Beispiel: 

Dreieck mit A = (6, 0), B = (4, 4), C = (0, 0) 

⃗a = −→ ( ) 

( ) 

4 

CB = , ⃗ 

−→ 6 b = CA = , ⃗c = −→ ( 2 

BA = 

4 

0 

−4 

) 

B 

⃗a 

⃗c 

C 

γ 

⃗ b 

A 

Winkelberechnung mit Hilfe des Skalarproduktes: 

( ) ( ) 

4 6 

· 

4 0 

cos γ = 

)∣ ∣( )∣ = ∣ 4 ∣∣∣ ∣∣∣ 6 

∣( ∣∣∣ 6 √ 32 = √ 1 

2 

4 0 

=⇒ γ = π/4 


prüfe Kosinussatz für △(A, B, C): 

|⃗c| 2 − |⃗a| 2 − | ⃗ b| 2 = 20 − 32 − 36 = −48 

⃗a = (4, 4) t , ⃗ b = (6, 0) t , ⃗c = (2, −4) t 

−2|⃗a|| ⃗ b| cos γ = −2 (4 √ 2) 6/ √ 2 

γ = π/4 


Orthogonalbasis im Raum 

Eine Orthogonalbasis im Raum besteht aus drei paarweise orthogonalen 

Vektoren ⃗u, ⃗v, ⃗w, jeweils ungleich ⃗0. 

⃗a w 

⃗w 

⃗a 

⃗a u 

⃗v 

⃗a v 

⃗u 

Vektorrechnung – Skalarprodukt Orthogonalbasis 1-1

Wie in der Abbildung illustriert ist, lässt sich jeder Vektor ⃗a als 

Linearkombination 

⃗a · ⃗u ⃗a · ⃗v ⃗a · ⃗w 

⃗a = ⃗u + ⃗v + 

2 2 

|⃗u| |⃗v| |⃗w| 2 ⃗w 

darstellen. Die Summanden sind die Projektionen ⃗a u , ⃗a v , ⃗a w , auf die durch 

die Basisvektoren erzeugten Achsen, und für die Koeffizienten gilt 

|⃗a · ⃗u| 2 

|⃗u| 2 

+ 

|⃗a · ⃗v|2 

|⃗v| 2 

+ 

|⃗a · ⃗w|2 

|⃗w| 2 = |⃗a| 2 . 

Sind die Vektoren ⃗u, ⃗v, ⃗w normiert (|⃗u| = |⃗v| = |⃗w| = 1), so spricht man 

von einer Orthonormalbasis. 


Speziell ist 

⎛ 

⎝ 

⎞ 

a 1 

a 2 

⎠ = a 1 ⃗e x + a 2 ⃗e y + a 3 ⃗e z 

a 3 

für die kanonische Orthonormalbasis 

⎛ ⎞ ⎛ 

1 

⃗e x = ⎝ 0 ⎠ , ⃗e y = ⎝ 

0 

des kartesisches Koordinatensystems. 

0 

1 

0 

⎞ 

⎛ 

⎠ , ⃗e z = ⎝ 

0 

0 

1 

⎞ 

⎠ 


Beweis: 

bilde Skalarprodukt von 

mit den Basisvektoren 

⃗u · ⃗u = |⃗u| 2 , ⃗v · ⃗u = ⃗w · ⃗u = 0 =⇒ 

=⇒ α = ⃗a · ⃗u/|⃗u| 2 

analoge Berechnung von β und γ 

⃗a = α⃗u + β⃗v + γ⃗w 

⃗a · ⃗u = (α⃗u + β⃗v + γ⃗w) · ⃗u = α|⃗u| 2 


Formel für die Quadratsumme: 

Ausmultiplizieren 

|⃗a| 2 = (α⃗u + β⃗v + γ⃗w) · (α⃗u + β⃗v + γ⃗w) 

|⃗a| 2 = α 2 |⃗u| 2 + β 2 |⃗v| 2 + γ 2 |⃗w| 2 

wegen Orthogonalität der Basisvektoren 

Differenzvektoren zu den Projektionen: 

⃗a − α⃗u, ⃗a − β⃗v, ⃗a − γ⃗w 

senkrecht auf den entsprechenden Basisvektoren, z.B. 

(⃗a − α⃗u) · ⃗u = (β⃗v + γ⃗w) · ⃗u = 0 


Beispiel: 

Bzgl. der orthogonalen Basis 

besitzt der Vektor 

die Koeffizienten 

⃗u = (1, 1, 0) t , ⃗v = (1, −1, 1) t , ⃗w = (−1, 1, 2) t 

α = 

β = 

γ = 

⃗a = (1, 2, 4) t = ⃗e x + 2⃗e y + 4⃗e z 

⎛ 

⃗a · ⃗u 

|⃗u| 2 = 1 ⎝ 

2 

⎛ 

⃗a · ⃗v 

|⃗v| 2 = 1 3 

⃗a · ⃗w 

|⃗w| 2 = 1 6 

⎝ 

⎛ 

⎝ 

1 

2 

4 

1 

2 

4 

1 

2 

4 

⎞ 

⎛ 

⎠ · ⎝ 

⎞ 

⎛ 

⎠ · ⎝ 

⎞ 

⎛ 

⎠ · ⎝ 

1 

1 

0 

⎞ 

1 

−1 

1 

−1 

1 

2 

⎠ = 3 2 

⎞ 

⎠ = 1 

⎞ 

⎠ = 3 2 


Basisdarstellung 

⎛ 

⃗a = 3 2 · ⎝ 

= 

Quadrat des Betrags: 

⎛ 

⎝ 

1 

2 

4 

1 

1 

0 

⎞ 

⎠ 

⎞ 

Quadratsumme der Koeffizienten: 

⎛ 

⎠ + ⎝ 

1 

−1 

1 

⎞ 

⎛ 

⎠ + 3 ⎝ 

2 

|⃗a| 2 = 1 + 4 + 16 = 21 

−1 

1 

2 

⎞ 

⎠ 

α 2 |⃗u| 2 + β 2 |⃗v| 2 + γ 2 |⃗w| 2 = 9 4 · 2 + 1 · 3 + 9 4 · 6 = 21 


Satz des Pythagoras 

Für orthogonale Vektoren ⃗u und ⃗v gilt 

|⃗u + ⃗v| 2 = |⃗u| 2 + |⃗v| 2 . 

Der Satz ist heute als Satz des Pythagoras (569-475 v. Chr.) bekannt, 

obwohl ihn bereits die Babylonier 1000 Jahre früher kannten. 

Möglicherweise war aber Pythagoras der erste, der ihn bewiesen hat. 

Vektorrechnung – Skalarprodukt Satz des Pythagoras 1-1

Beweis: 

Linearität des Skalarprodukts =⇒ 

|⃗u + ⃗v| 2 = 〈⃗u + ⃗v,⃗u + ⃗v〉 

= 〈⃗u,⃗u〉 + 〈⃗u,⃗v〉 + 〈⃗v,⃗u〉 +〈⃗v,⃗v〉 

} {{ } 

=0, da ⃗u⊥⃗v 

= |⃗u| 2 + |⃗v| 2 


Beispiel: 

Pythagoräisches Tripel: 

l, m, n ∈ N : l 2 + m 2 = n 2 , 

d.h. ganzzahlige Seitenlängen für rechtwinklige Dreiecke. 

Anwendung durch Ägypter: Konstruktion rechter Winkel via Ergänzung 

ungerader Zahlen l durch m = (l 2 − 1)/2 und n = (l 2 + 1)/2 zu einem 

Pythagoräischen Tripel: 

l 2 + l4 − 2l 2 + 1 

4 

= l4 + 2l 2 + 1 

4 

( l 2 + 1 

= 

2 

) 2 

Multiplikation der Tripel mit 2 Tripel für jede gerade Zahl l ≥ 6. 


allgemeineres Konstruktionsprinzip mit Hilfe der dritten Binomischen 

Formel 

c 2 − b 2 = (c − b)(c + b) = a 2 

ganzzahlige Lösung, wenn a 2 in zwei unterschiedliche Faktoren 

zerlegbar ist, die eine gerade Differenz (= 2b) aufweisen 

Für a = l ungerade ist dies für die Aufteilung a 2 = a 2 · 1 mit 

(obiger Spezialfall) 

b = a2 − 1 

2 

, c = a2 + 1 

2 


Vektorprodukt 

Der Vektor 

⃗c = ⃗a × ⃗ b 

ist zu ⃗a und ⃗ b orthogonal, gemäß der ” 

Rechten-Hand-Regel“ orientiert und 

hat die Länge ∣ ∣ ⃗c ∣ ∣ = ∣ ∣⃗a ∣ ∣ ∣ ∣⃗ b 

∣ ∣ sin(∢(⃗a, ⃗ b)) , 

die dem Flächeninhalt des von den Vektoren ⃗a und ⃗ b aufgespannten 

Parallelogramms entspricht. 

Mittelfinger 

⃗c 

⃗a 

∢(⃗a, ⃗ b) 

⃗ b 

Zeigefinger 

Daumen 

Vektorrechnung – Vektorprodukt Vektorprodukt 1-1

Insbesondere gilt 

⃗a × ⃗ b = ⃗0 für ⃗a‖ ⃗ b; 

∣ 

∣⃗a × ⃗ b ∣ ∣ = ∣ ∣⃗a ∣ ∣ ∣ ∣⃗ b 

∣ ∣ für ⃗a⊥ ⃗ b. 

Alternativ lässt sich das Vektorprodukt durch 

⎛ 

⎞ 

⃗a × ⃗ a 2 b 3 − a 3 b 2 

b = ⎝ a 3 b 1 − a 1 b 3 

⎠ 

a 1 b 2 − a 2 b 1 

definieren. 


Beweis: 

(i) Linearität der geometrischen Definition: 

Multiplikation mit Skalaren ̌ 

Invarianz unter Drehungen ⃗a = ⃗e z 

additiv, da 

⃗c = ⃗e z × (b 1 , b 2 , b 3 ) t = (−b 2 , b 1 , 0) t 

Begründung: 

⃗c ⊥ ⃗e z , ⃗ b 

b 3 irrelevant für Flächeninhalt (Scherung) O.E. b 3 = 0 

∡(⃗e z , ⃗ b) = π/2, |⃗e z | = 1 |⃗c|̌ 

richtige Orientierung (prüfe alle Vorzeichenkombinationen mit 

” rechter Hand Regel ” ) 


(ii) Übereinstimmung mit analytischer Definition: 

bereits gezeigt für ⃗a = ⃗e z , ⃗e x , ⃗e y analog 

Antisymmetrie und Linearität allgemeiner Fall 

(iii) Flächeninhalt A des Parallelogramms: 

A = | ⃗ b| h mit 

h = |⃗a| sin ∢(⃗a, ⃗ b) 


Beispiel: 

Vektorprodukt ⃗c der Vektoren 

⃗c ⊥ ⃗a, ⃗ b 

⃗a = (2, 1, 2) t , 

Rechte-Hand-Regel =⇒ λ > 0 

Winkel: 

cos ∢(⃗a, ⃗ b) = 

⃗ b = (3, 3, 0) 

t 

⃗c = λ(−1, 1, 1/2) t 

=⇒ ∢(⃗a, ⃗ b) = π/4 

Fläche des aufgespannten Parallelogramms: 

⃗a · ⃗b 

|⃗a| | ⃗ b| = 9 

3 · 3 √ 2 = 1 √ 

2 

|⃗c| = |⃗a| | ⃗ b| sin ∢(⃗a, ⃗ b) = 3 · 3 √ 2 · 

1 

√ 

2 

= 9 

 

⃗c = λ(−1, 1, 1/2) t = (−6, 6, 3) t 


analytische Definition 

⎛ ⎞ ⎛ 

2 

⃗c = ⎝ 1 ⎠ × ⎝ 

2 

3 

3 

0 

⎞ 

⎛ 

⎠ = ⎝ 

1 · 0 − 2 · 3 

2 · 3 − 2 · 0 

2 · 3 − 1 · 3 

⎞ 

⎛ 

⎠ = ⎝ 

−6 

6 

3 

⎞ 

⎠ 


Beispiel: 

Vektorprodukte der kanonischen Basisvektoren: 

⃗e x × ⃗e y = ⃗e z , ⃗e y × ⃗e z = ⃗e x , ⃗e z × ⃗e x = ⃗e y 

⃗e x × ⃗e x = ⃗0, ⃗e y × ⃗e y = ⃗0, ⃗e z × ⃗e z = ⃗0 

entsprechende Formeln für eine beliebige, gemäß der Rechten-Hand-Regel 

orientierte Orthonormalbasis 


Beispiel: 

Lorentzkraft für Elektron mit Ladung −e und Geschwindigkeit ⃗v in einem 

Magnetfeld ⃗ b: 

⃗ f = e ⃗ b × ⃗v 

Auslenkung des stromdurchflossenen Leiters in Richtung ⃗ f 

− 

+ 

⃗v 

⃗ f 

⃗ b 


Regeln für Vektorprodukte 

Für Vektorprodukte gelten die folgenden Rechenregeln: 

Antisymmetrie 

⃗a × ⃗ b = − ( ⃗ b × ⃗a 

) 

Linearität 

( 

α1 ⃗a 1 + α 2 ⃗a 2 

) 

× 

( 

β1 ⃗ b1 + β 2 

⃗ b2 

) 

= 

α 1 β 1 

( ⃗a1 × ⃗ b 1 

) 

+ α1 β 2 

( ⃗a1 × ⃗ b 2 

) 

+ α2 β 1 

( ⃗a2 × ⃗ b 1 

) 

+ α2 β 2 

( ⃗a2 × ⃗ b 2 

) 

Grassmann-Identität 

Lagrange-Identität 

(⃗a × ⃗ b) × ⃗c = (⃗a · ⃗c) ⃗ b − ( ⃗ b · ⃗c)⃗a 

(⃗a × ⃗ b) · (⃗c × ⃗ d) = (⃗a · ⃗c)( ⃗ b · ⃗d) − (⃗a · ⃗d)( ⃗ b · ⃗c) 


Beweis: 

Antisymmetrie und Linearität ̌ 

Grassmann- und Lagrange-Identität: 

Linearität o.B.d.A. ⃗a, ⃗ b kanonische Basisvektoren 

⃗a = ⃗e x = ⃗ b: beide Seiten der Identitäten Null 

⃗a = ⃗e x , ⃗ b = ⃗e y : 

linke Seite der Grassmann-Identität 

⎛ 

(⃗e x × ⃗e y ) × ⃗c = ⎝ 

0 

0 

1 

⎞ 

⎛ 

⎠ × ⎝ 

⎞ ⎛ 

c 1 

c 2 

⎠ = ⎝ 

c 3 

−c 2 

c 1 

0 

Übereinstimmung mit rechter Seite c 1 ⃗e y − c 2 ⃗e x 

Lagrange-Identität im betrachteten Spezialfall 

⎛ ⎞ ⎛ 

⎞ 

0 

· · · 

⎝ 0 ⎠ · ⎝ · · · ⎠ = c 1 d 2 − d 1 c 2 

1 c 1 d 2 − c 2 d 1 

analoge Argumentation für andere Vektorkombinationen 

Vektorrechnung – Vektorprodukt Vektorprodukt 7-1 

⎞ 

⎠

Beispiel: 

Linearität vorteilhaft bei parallelen Vektoren: 

⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎞ 

⎛⎛ 

0 1 

0 

⎝3 ⎝ 0 ⎠ + ⎝ 2 ⎠⎠ × ⎝⎝ 

0 

1 0 

1 

⎛ 

= 6 ⎝ 

⎛ 

= 5 ⎝ 

0 

0 

1 

⎞ 

⎛ 

⎠ × ⎝ 

0 − 2 

1 − 0 

0 − 0 

⎞ 

1 

2 

0 

⎞ 

⎛ 

⎠ + ⎝ 

⎛ 

⎠ = ⎝ 

−10 

5 

0 

1 

2 

0 

⎞ 

⎠ 

⎞ 

⎛ 

⎠ + 2 ⎝ 

⎞ 

⎛ 

⎠ × ⎝ 

1 

2 

0 

0 

0 

1 

⎞⎞ 

⎠⎠ 

⎞ 

⎠ 


Vektorprodukte einfacher berechenbare Skalarprodukte 

Grassmann-Identität: (⃗a × ⃗ b) × ⃗c = (⃗a · ⃗c) ⃗ b − ( ⃗ b · ⃗c)⃗a 

⎛⎛ 

⎝⎝ 

1 

2 

3 

⎞ 

⎛ 

⎠ × ⎝ 

0 

1 

2 

⎞⎞ 

⎛ 

⎠⎠ × ⎝ 

−2 

1 

0 

⎞ 

⎛ 

⎠ = 0 ⎝ 

0 

1 

2 

⎞ 

⎛ 

⎠ − 1 ⎝ 

1 

2 

3 

⎞ 

⎛ 

⎠ = ⎝ 

−1 

−2 

−3 

Lagrange-Identität: (⃗a × ⃗ b) · (⃗c × ⃗ d) = (⃗a · ⃗c)( ⃗ b · ⃗d) − (⃗a · ⃗d)( ⃗ b · ⃗c) 

⎛⎛ 

⎝⎝ 

1 

2 

3 

⎞ 

⎛ 

⎠ × ⎝ 

0 

1 

2 

⎞⎞ 

⎛⎛ 

⎠⎠ · ⎝⎝ 

−2 

1 

0 

⎞ 

⎛ 

⎠ × ⎝ 

3 

0 

3 

⎞⎞ 

⎞ 

⎠ 

⎠⎠ = 0 · 6 − 12 · 1 = −12 


Epsilon-Tensor 

Der ε-Tensor 

ε i,j,k ∈ {−1, 0, 1}, i, j, k ∈ {1, 2, 3} , 

ist Null bei zwei gleichen Indizes und hat für paarweise verschiedene 

Indizes die Werte 

ε 1,2,3 = ε 2,3,1 = ε 3,1,2 = 1 , 

ε 1,3,2 = ε 2,1,3 = ε 3,2,1 = −1 . 

Er ist also invariant unter zyklischer Permutation und ändert bei 

Vertauschung von Indizes das Vorzeichen. 

Vektorrechnung – Vektorprodukt Epsilon-Tensor 1-1

Beispiel: 

Vektorprodukt 

⎛ 

⃗c = ⃗a × ⃗ b = ⎝ 

Darstellung mit Hilfe des ε-Tensors 

z.B. 

c i = 

⎞ 

a 2 b 3 − a 3 b 2 

a 3 b 1 − a 1 b 3 

⎠ 

a 1 b 2 − a 2 b 1 

3∑ 

ε i,j,k a j b k 

j,k=1 

c 1 = ε 1,2,3 a 2 b 3 + ε 1,3,2 a 3 b 2 

} {{ } } {{ } 

1 

−1 

c 2 , c 3 durch zyklische Indexverschiebung 

Vektorrechnung – Vektorprodukt Epsilon-Tensor 2-1

Spatprodukt 

Das Spatprodukt 

[ ⃗a, ⃗ b,⃗c 

] 

= ⃗a · ( ⃗ b × ⃗c) = 

a 1 (b 2 c 3 − b 3 c 2 ) + a 2 (b 3 c 1 − b 1 c 3 ) + a 3 (b 1 c 2 − b 2 c 1 ) 

stimmt bis auf Vorzeichen mit dem Volumen des von den drei Vektoren ⃗a, 

⃗ b, ⃗c aufgespannten Spats überein. Es ist positiv, wenn die Vektoren ⃗a, ⃗ b, ⃗c 

gemäß der Rechten-Hand-Regel orientiert sind. 

⃗ b × ⃗c 

⃗a 

⃗c 

⃗ b 

Vektorrechnung – Spatprodukt Spatprodukt 1-1

Mit Hilfe des ε-Tensors lässt sich das Spatprodukt auch in der Form 

[ ] 

3∑ 

⃗a, ⃗ b,⃗c = ε i,j,k a i b j c k 

schreiben. 

i,j,k=1 


Beweis: 

Normale des von ⃗ b, ⃗c aufgespannten Parallelogramms: 

⃗ d = 

⃗ b × ⃗c 

| ⃗ b × ⃗c| 

Höhe des Spats (Länge der Projektion von ⃗a auf ⃗ d): 

∣ 

h = |⃗a| ∣cos ∢(⃗a, ⃗ d) ∣ = |⃗a · ⃗d| , 

da | ⃗ d| = 1 

Volumen (Produkt aus Höhe und Flächeninhalt des Parallelogramms): 

( )∣ ⃗b × ⃗c ∣∣∣∣ ∣ ⃗a · | ⃗ | ⃗ b × ⃗c| = |[⃗a, ⃗ b,⃗c]| 

b × ⃗c| 


Beispiel: 

Oberfläche und Volumen des von den Vektoren 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

0 

⃗a = ⎝ 1 ⎠ , ⃗ 2 

b = ⎝ 0 ⎠ , ⃗c = 

0 

3 

aufgespannten Spats: 

(i) Oberfläche 

⃗a ⊥ ⃗ b Rechteck F ab = 1 · √2 2 + 3 2 = √ 13 

Permutation und Scherung F ca = F ab 

⎛ 

F bc = 

⎝ 

∣ 

2 

0 

3 

⎞ 

⎛ 

⎠ × ⎝ 

3 

1 

2 

⎞ 

∣⎛ 

∣∣∣∣∣ ⎠ 

∣ = ⎝ 

−3 

5 

2 

⎛ 

⎝ 

3 

1 

2 

⎞ 

⎠ 

⎞ 

⎠ 

∣ = √ 9 + 25 + 4 = √ 38 

Oberfläche = 2F ab + 2F ca + 2F bc = 4 √ 13 + 2 √ ⎛ 38 ⎞ ≈⎛ 

26.75 ⎞ 

0 −3 

(ii) Volumen = |[⃗a, ⃗ b,⃗c]| = |⃗a · ( ⃗ b × ⃗c)| = | ⎝ 1 ⎠ · ⎝ 

0 

5 

2 

⎠ | = 5 


Eigenschaften des Spatprodukts 

Das Spatprodukt ist linear in jedem Argument und besitzt darüber hinaus 

die folgenden weiteren Eigenschaften. 

zyklische Vertauschung: 

lineare Abhängigkeit: 

[⃗a, ⃗ b,⃗c] = [ ⃗ b,⃗c,⃗a] = [⃗c,⃗a, ⃗ b] 

[⃗a, ⃗ b,⃗c] = 0 ⇔ ⃗0 = α⃗a + β ⃗ b + γ⃗c 

mit mindestens einem Skalar α, β, γ ungleich 0. 

Orientierung: 

für jedes Rechtssystem. 

[⃗a, ⃗ b,⃗c] > 0 


Volumen eines Tetraeders 

Das Volumen V eines Tetraeders, 

 

der von den Vektoren ⃗a, ⃗ b und ⃗c 

aufgespannt wird, lässt sich mit Hilfe des Spatproduktes berechnen: 

V = 1 6 |[⃗a,⃗ b,⃗c]| . 

ÖÖÔÐÑÒØ× 

 

Vektorrechnung – Spatprodukt Volumen eines Tetraeders 1-1

Beweis: 

Volumen eines Tetraeders: 

V = 1 3 Gh 

mit h der Höhe und G dem Inhalt der Grundfläche: G = G Spat /2 

=⇒ 

V = 1 6 G Spath = 1 6 V Spat = 1 6 |[⃗a,⃗ b,⃗c]| 

mit dem Spatvolumen V Spat 


Beispiel: 

Tetraeder, aufgespannt von 

⎛ ⎞ 

0 

⃗a = ⎝ 1 ⎠ , 

1 

Volumen: 

⃗ b = 

⎛ 

⎝ 

1 

1 

0 

⎞ 

⎛ 

⎠ , ⃗c = ⎝ 

V = 1 6 |[⃗a,⃗ b,⃗c]| 

⎛ ⎞ ⎛⎛ 

⎞ ⎛ 

= 1 0 1 

⎝ 

6 

1 ⎠ · ⎝⎝ 

1 ⎠ × ⎝ 

∣ 1 0 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

= 1 0 0 

⎝ 

6 

1 ⎠ · ⎝ 0 ⎠ 

∣ 1 2 ∣ 

= 2 6 = 1 3 

0 

2 

0 

0 

2 

0 

⎞ 

⎠ 

⎞⎞ 

⎠⎠ 

∣ 


Berechnung von Koordinaten mit Hilfe des Spatproduktes 

Spannen die Vektoren ⃗u, ⃗v und ⃗w ein echtes Spat auf, so lässt sich ein 

beliebiger Vektor ⃗x als Linearkombination 

darstellen mit den Koeffizienten 

⃗x = α⃗u + β⃗v + γ⃗w 

α = 

[⃗x,⃗v, ⃗w] 

[⃗u,⃗v, ⃗w] , 

[⃗x, ⃗w,⃗u] 

β = 

[⃗v, ⃗w,⃗u] , 

γ = [⃗x,⃗u,⃗v] 

[⃗w,⃗u,⃗v] . 

Vektorrechnung – Spatprodukt Berechnung von Koordinaten 1-1

Beweis: 

Skalarprodukt mit ⃗v × ⃗w 

⃗x = α⃗u + β⃗v + γ⃗w 

⃗x · (⃗v × ⃗w) = α⃗u · (⃗v × ⃗w) 

wegen ⃗v · (⃗v × ⃗w) = 0 = ⃗w · (⃗v × ⃗w) 

[⃗u,⃗v, ⃗w] ≠ 0 =⇒ 

[⃗x,⃗v, ⃗w] 

α = 

[⃗u,⃗v, ⃗w] 

analoge Berechnung von β und γ 


Beispiel: 

Darstellung des Vektors 

⎛ 

⃗x = ⎝ 

−2 

8 

2 

als Linearkombination der Basisvektoren 

⎛ ⎞ ⎛ 

2 

1 

⃗u = ⎝ 0 ⎠ , ⃗v = ⎝ 1 

2 

1 

Spatprodukte: 

⎛ 

[⃗u,⃗v, ⃗w] = [⃗v, ⃗w,⃗u] = [⃗w,⃗u,⃗v] = ⎝ 

⎛ 

= ⎝ 

⎞ 

⎞ 

⎠ 

⎛ 

⎠ , ⃗w = ⎝ 

2 

0 

2 

2 

0 

2 

⎞ 

⎛⎛ 

⎠ · ⎝⎝ 

⎞ 

⎛ 

⎠ · ⎝ 

1 

1 

1 

0 

−1 

1 

0 

1 

1 

⎞ 

⎞ 

⎠ 

⎛ 

⎠ × ⎝ 

⎞ 

⎠ = 2 

0 

1 

1 

⎞⎞ 

⎠⎠ 


⎛ 

[⃗x,⃗v, ⃗w] = ⎝ 

⎛ 

= ⎝ 

−2 

8 

2 

−2 

8 

2 

⎞ 

⎛⎛ 

⎠ · ⎝⎝ 

⎞ 

⎛ 

⎠ · ⎝ 

1 

1 

1 

0 

−1 

1 

⎞ 

⎛ 

⎠ × ⎝ 

⎞ 

⎠ = −6 

0 

1 

1 

⎞⎞ 

⎠⎠ 

analog 

Quotienten Koeffizienten 

[⃗x, ⃗w,⃗u] = 8, [⃗x,⃗u,⃗v] = 8 

⃗x = −6 

2 ⃗u + 8 2 ⃗v + 8 ⃗w = −3⃗u + 4⃗v + 4⃗w 

2 


Punkt-Richtungs-Form 

Die Punkte X auf einer Geraden durch P mit Richtung ⃗u lassen sich in 

parametrischer Form durch 

darstellen. 

−→ 

PX = t⃗u, 

t ∈ R 

P 

⃗u 

X 

Entsprechend gilt 

x i = p i + tu i , i = 1, 2, 3 , 

für die Koordinaten des Ortsvektors ⃗x. 

Vektorrechnung – Geraden Punkt-Richtungs-Form 1-1

Beispiel: 

Punkt-Richtungs-Form einer Geraden 

( ) ( 1 2 

g : ⃗x = + t 

3 −1 

) 

, t ∈ R 

4 

3 

P 

( ) 

3 

⃗u = 3 

2 −1.5 

X : Parameterwert t = 3/2 

2 

X 

( ) 

1 

1 

⃗p = 

3 

( ) ( ) ( ) 

1 3 4 

⃗x = + = 

3 −1.5 1.5 

0 

−1 0 1 2 3 4 5 6 

Vektorrechnung – Geraden Punkt-Richtungs-Form 2-1

Zwei-Punkte-Form 

Die Punkte X auf einer Geraden durch zwei Punkte P ≠ Q lassen sich in 

der Form 

−→ 

PX = t −→ PQ, t ∈ R , 

darstellen. Die Parameterwerte t ∈ [0, 1] entsprechen der Strecke PQ. 

−→ 

P Q 

Q 

X 

P 

−−→ 

P X 


x i = p i + t(q i − p i ), i = 1, 2, 3 , 


Vektorrechnung – Geraden Zwei-Punkte-Form 1-1

Beispiel: 

Zwei-Punkte-Form einer Geraden 

( 1 

g : ⃗x = 

3 

) 

+ t 

( 5 − 1 

1 − 3 

) 

, t ∈ R 

3 

P 

2 

( ) 1 

⃗p = 

3 

X 

1 

Q = (5, 1) 

( ) ( ) ( ) 

1 5 − 1 3 

⃗x = + 

3 

1 = 

2 1 − 3 2 

0 

0 1 2 3 4 5 6 

X teilt PQ im Verhältnis t : (1 − t) 

t = 1/2 Mittelpunkt zwischen den Punkten P und Q 

Vektorrechnung – Geraden Zwei-Punkte-Form 2-1

Momentenform 

Die Punkte X auf einer Geraden durch P mit Richtung ⃗u lassen sich durch 

beschreiben. 

−→ 

PX × ⃗u = ⃗0 

P 

−→ 

OP = ⃗p 

O 

⃗u 

|⃗p × ⃗u| = |⃗c| 

−−→ 

P X 

X 

⃗x = −−→ OX 

⃗u 

|⃗x × ⃗u| = |⃗c| 

Entsprechend gilt für den Ortsvektor ⃗x × ⃗u = ⃗c, ⃗c = ⃗p × ⃗u. 

Vektorrechnung – Geraden Momentenform 1-1

Beispiel: 

Momentenform einer Geraden: X ∈ g ⇔ −→ PX × ⃗u = ⃗0 

4 

3 

| −−→ P X2 × ⃗u| 

P = (1, 3) 

( ) 

2 

⃗u = 

−1 

2 

1 

−−→ 

P X2 

X2 = (3.5, 1) 

−−→ 

P X1 

X1 = (5, 1) 

0 

−1 0 1 2 3 4 5 6 7 

−−→ 

PX 1 × ⃗u = 

= 

⎛⎛ 

⎝⎝ 

⎛ 

⎝ 

5 

1 

0 

4 

−2 

0 

⎞ 

⎛ 

⎠ − ⎝ 

⎞ 

⎛ 

⎠ × ⎝ 

1 

3 

0 

2 

−1 

0 

⎞⎞ 

⎛ 

⎠⎠ × ⎝ 

⎞ 

⎛ 

⎠ = ⎝ 

2 

−1 

0 

⎞ 

⎠ 

0 

0 

4 · (−1) − (−2) · 2 

⎞ 

⎠ = ⃗0 


−−→ 

PX 2 × ⃗u = 

= 

⎛ 

⎝ 

⎛ 

⎝ 

2.5 

−2 

0 

⎞ 

⎛ 

⎠ × ⎝ 

2 

−1 

0 

⎞ 

⎠ 

0 

0 

2.5 · (−1) − (−2) · 2 

⎞ 

⎛ 

⎠ = ⎝ 

0 

0 

1.5 

⎞ 

⎠ ≠ ⃗0 


Abstand Punkt-Gerade 

Die Projektion X eines Punktes Q auf eine Gerade durch P mit Richtung 

⃗u erfüllt 

−→ 

(⃗q − ⃗p) · ⃗u 

PX = t⃗u, t = 

|⃗u| 2 . 

⃗u 

t⃗u = −−→ X 

P X 

|(⃗q − ⃗p) × ⃗u| 

P 

⃗u 

−→ 

P Q = ⃗q − ⃗p 

Q 

−→ 

OP = ⃗p 

−→ 

OQ = ⃗q 

O 

Vektorrechnung – Geraden Abstand Punkt-Gerade 1-1

Der Abstand d = | −→ XQ| lässt sich alternativ mit dem Vektorprodukt 

berechnen: 

|(⃗q − ⃗p) × ⃗u| 

d = . 

|⃗u| 


Beweis: 

prüfe Orthogonalität von −→ XQ zu ⃗u (⃗x = ⃗p + t⃗u): 

( ( 

)) 

−→ 

(⃗q − ⃗p) · ⃗u 

XQ ·⃗u = ⃗q − ⃗p + 

|⃗u| 2 ⃗u ·⃗u = (⃗q − ⃗p) ·⃗u − 

Definition des Vektorproduktes: 

|⃗a × ⃗ b| = |⃗a| | ⃗ b| sin ∢(⃗a, ⃗ b) 

(⃗q − ⃗p)⃗u 

|⃗u| 2 |⃗u| 2 = 0 

Formel für den Abstand d: 

d = ∣ −→ 

XQ∣ = ∣ −→ 

PQ∣ sin ∢( −→ PQ,⃗u) = 

|(⃗q − ⃗p) × ⃗u| 

= 

|⃗u| 

∣ −→ 

PQ∣ |⃗u| sin ∢( −→ PQ,⃗u) 

|⃗u| 


Beispiel: 

Projektion von Q = (3, 3, 3) auf die Gerade 

⎛ ⎞ ⎛ 

2 

g : ⎝ 1 ⎠ + t ⎝ 

3 

Punkt X mit dem Ortsvektor 

⃗p + 

(⃗q − ⃗p) · ⃗u 

|⃗u| 2 ⃗u = 

= 

⎛ 

⎝ 

⎛ 

⎝ 

2 

1 

3 

2 

1 

3 

⎞ 

⎠ + 

⎞ 

⎛⎛ 

⎝⎝ 

3 

3 

3 

⎞ 

1 

1 

1 

⎞ 

⎠ 

⎛ 

⎠ + 1 · 1 + 2 · 1 + 0 · 1 

3 

⎞⎞ 

⎛ 

⎞ 

2 1 

⎠ − ⎝ 1 ⎠⎠ · ⎝ 1 ⎠ ⎛ 

3 1 

⎝ 

1 2 + 1 2 + 1 2 

⎛ 

⎝ 

1 

1 

1 

⎞ 

⎛ 

⎠ = ⎝ 

3 

2 

4 

1 

1 

1 

⎞ 

⎠ 

⎞ 

⎠ 


Abstand: 

d = ∣ −→ 

XQ∣ = 

√ 

(3 − 3) 2 + (3 − 2) 2 + (3 − 4) 2 = √ 2 

alternativ (Anwendung der Formel d = |(⃗q−⃗p)×⃗u| 

|⃗u| 

): 

∣⎛ 

⎞ ⎛ ⎞∣ 

⎝ 

∣ 

d = 

1 

2 

0 

1 

⎠ × ⎝ 1 ⎠ 

√ 

1 ∣ (2 − 0) 

√ = 

2 + (0 − 1) 2 + (1 − 2) 2 

3 3 

= √ 2 


Abstand zweier Geraden 

Der Abstand zweier durch die Punkte P, Q und Richtungen ⃗u, ⃗v 

gegebener Geraden ist 

d = |[−→ PQ,⃗u,⃗v]| 

, 

|⃗u × ⃗v| 

falls ⃗u ̸‖ ⃗v. 

[ −→ ]∣ ∣∣ 

∣ P Q, ⃗u, ⃗v 

⃗v 

Q 

−→ 

P Q 

⃗u 

P 

Vektorrechnung – Geraden Abstand zweier Geraden 1-1

Für parallele Geraden gilt 

d = |−→ PQ × ⃗u| 

. 

|⃗u| 

Man bezeichnet zwei Geraden als windschief, wenn sie nicht parallel sind 

und einen positiven Abstand haben. 

Die Punkte X , Y kürzesten Abstandes erhält man aus den 

Orthogonalitätsbedingungen 

⃗x − ⃗y ⊥ ⃗u,⃗v, 

⃗x = ⃗p + s⃗u, ⃗y = ⃗q + t⃗v 

durch Lösen des resultierenden linearen Gleichungssystems für die 

Parameter s, t. 


Beweis: 

Ortsvektoren der Punkte kürzesten Abstandes: 

⃗x = ⃗p + s⃗u, 

⃗y = ⃗q + t⃗v 

Differenzvektor: 

−→ 

XY = −→ PQ + t⃗v − s⃗u 

orthogonal zu beiden Richtungsvektoren, also parallel zu 

⃗c = ⃗u × ⃗v 

berechne | −→ XY | als Betrag des Skalarproduktes mit einem parallelen 

Einheitsvektor: 

d = | −→ XY | = 

∣ (−→ PQ + t⃗v − s⃗u) · ⃗c 

∣ ∣∣∣ |⃗c| ∣ = −→ ⃗c 

PQ · |⃗c| ∣ 

parallele Geraden: Formel für den Abstand eines Punktes 


Beispiel: 

Geraden: 

g : ⃗x = (1, 1, 3) t + s(1, 2, 1) t , 

Abstand: 

⎛⎛ 

[ −→ 

]∣ ⎝⎝ 

∣∣ 

∣ PQ,⃗u,⃗v ∣ 

d = 

= 

|⃗u × ⃗v| 

= 

4 

1 

4 

⎞ 

⎠ − ⎝ 

h : ⃗y = (4, 1, 4) t + t(1, −2, 1) t 

⎛ 

1 

1 

3 

⎛ 

⎝ 

∣ 

⎞⎞ 

⎛⎛ 

⎠⎠ · ⎝⎝ 

1 

2 

1 

⎞ 

⎛ 

⎠ × ⎝ 

1 

2 

1 

1 

−2 

1 

⎞ 

⎛ 

⎠ × ⎝ 

⎞ 

⎠ 

∣ 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

3 4 

⎝ 

0 ⎠ · ⎝ 0 ⎠ 

∣ 1 −4 ∣ 

√ 

(2 − (−2)) 2 + (1 − 1) 2 + ((−2) − 2) = 8 

2 4 √ 2 = √ 2 

1 

−2 

1 

⎞⎞ 

⎠⎠ 

∣ 


Punkte kürzesten Abstandes: 

⃗x − ⃗y ⊥ (1, 2, 1) t , (1, −2, 1) t ⇔ lineares Gleichungssystem 

0 = ( (−3, 0, −1) t + s(1, 2, 1) t − t(1, −2, 1) t) · (1, 2, 1) t 

= −4 + 6s + 2t 

0 = ( (−3, 0, −1) t + s(1, 2, 1) t − t(1, −2, 1) t) · (1, −2, 1) t 

= −4 − 2s − 6t 

Lösung s = 1, t = −1 

⃗x = (2, 3, 4) t , 

⃗y = (3, 3, 3) t 

zur Kontrolle: 

d = |⃗x − ⃗y| = |(−1, 0, 1) t | = √ 2 


Beispiel: 

Flugkorridore: 

300 

200 

Frankfurt 

100 

0 

Stuttgart 

Kopenhagen 

Stuttgart: S = (0, 0, 0) 

Frankfurt: F = (−50, 150, −1/4) 

Frankfurt nach Kairo ‖ (34, −31, 4) t 

Stuttgart nach Kopenhagen ‖ (8, 16, 1) t 

−100 

Kairo 

−100 0 100 200 300 


Steigflug Stuttgart nach Kopenhagen (Flughöhe 8 km): 

s(8, 16, 1) t , s ∈ [0, 8] 

Steigflug Frankfurt nach Kairo (Flughöhe 12 km): 

Abstand der Flugbahnen 

⎛⎛ 

⎞ ⎛ 

−50 

⎝⎝ 

150 ⎠ − ⎝ 

∣ −1/4 

d = 

⎛ 

⎝ 

∣ 

= 

⎛ 

⎝ 

∣ 

t(34, −31, 4) t , t ∈ [0, 3] 

0 

0 

0 

8 

16 

1 

⎞⎞ 

⎛⎛ 

⎠⎠ · ⎝⎝ 

⎞ 

⎛ 

⎠ × ⎝ 

8 

16 

1 

34 

−31 

4 

⎞ 

⎛ 

⎠ × ⎝ 

⎞ 

⎠ 

∣ 

⎞ ⎛ ⎞ 

−50 95 

150 ⎠ · ⎝ 2 ⎠ 

−1/4 −792 ∣ 

√ = √ 4252 ≈ 5.33 

95 2 + 2 2 + 792 2 636293 

34 

−31 

4 

⎞⎞ 

⎠⎠ 

∣ 


Parametrische Darstellung einer Ebene 

Punkte X auf einer Ebene durch P, die von zwei nicht parallelen 

Richtungen ⃗u und ⃗v aufgespannt wird, erfüllen 

−→ 

PX = s⃗u + t⃗v, s, t ∈ R . 

s⃗v 

X 

P 

r⃗u 

O 

Vektorrechnung – Ebenen Parameterdarstellung einer Ebene 1-1


x i = p i + su i + tv i , i = 1, 2, 3 . 



Beispiel: 

Ebene durch P = (1, 2, 3), aufgespannt von ⃗u = (2, 0, 0) t , ⃗v = (1, 1, 1) t 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

1 2 1 

E : ⃗x = ⎝ 2 ⎠ + s ⎝ 0 ⎠ + t ⎝ 1 ⎠ , s, t ∈ R 

3 0 1 

X = (1, 1, 2) ∈ E: 

⎛ ⎞ 

0 

−→ 

PX = ⎝−1⎠ = 1 ⃗u + (−1)⃗v 

2 

−1 

X = (0, 0, 0) /∈ E: 

für alle s, t 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

−1 2 1 

−→ 

PX = ⎝−2⎠ ≠ s ⎝0⎠ + t ⎝1⎠ 

−3 0 1 


Drei-Punkte-Form einer Ebene 

Für Punkte X auf einer Ebene durch drei Punkte P, Q, R, die ein echtes 

Dreieck bilden, verschwindet 

Ê 

das Spatprodukt: 

[ −→ PX , −→ PQ, −→ PR] = 0 . 

ÑÒØ× È É 

Vektorrechnung – Ebenen Drei-Punkte-Form einer Ebene 1-1

Mit Hilfe von Determinanten lässt sich die Ebenengleichung auch in der 

Form 

p 1 q 1 r 1 x 1 

p 2 q 2 r 2 x 2 = 0 

p 3 q 3 r 3 x 3 

1 1 1 1 

schreiben. 


Beispiel: 

Ebene E durch P = (1, 2, 3), Q = (3, 2, 3), R = (2, 3, 4) 

X = (1, 1, 2) ∈ E: 

⎡⎛ 

⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤ 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

[ −→ PX , −→ PQ, −→ 0 2 1 0 0 

PR] = ⎣⎝−1⎠ , ⎝0⎠ , ⎝1⎠⎦ = ⎝−1⎠ · ⎝−2⎠ = 0 

−1 0 1 −1 2 

X = (0, 0, 0) /∈ E: 

⎡⎛ 

⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤ 

[ −→ PX , −→ PQ, −→ −1 2 1 

PR] = ⎣⎝−2⎠ , ⎝0⎠ , ⎝1⎠⎦ = 4 − 6 = −2 ≠ 0 

−3 0 1 


Ebenengleichung: 

0 = 

1 3 2 x 1 

2 2 3 x 2 

3 3 4 x 3 

1 1 1 1 

= 

1 3 2 

2 2 3 

3 3 4 

− x 3 

1 3 2 

2 2 3 

1 1 1 

+ x 2 

1 3 2 

3 3 4 

1 1 1 

− x 1 

2 2 3 

3 3 4 

1 1 1 

= 2 − 2x 3 + 2x 2 − 0x 1 

d.h. x 3 − x 2 = 1 


Hesse-Normalform einer Ebene 

Der Ortsvektor ⃗x eines Punktes X auf einer Ebene durch P orthogonal zu 

einem Normalenvektor ⃗n erfüllt 

⃗x · ⃗n = d, 

ÒÒ½ Ò 

d = ⃗p · ⃗n . 

È 

ÈËÖÖÔÐÑÒØ× 

Ç 

Vektorrechnung – Ebenen Hesse-Normalform einer Ebene 1-1

Bei der Normalform wird dabei |⃗n| = 1 und d ≥ 0 angenommen. In diesem 

Fall ist d der Abstand der Ebene zum Ursprung. Der Normalenvektor zeigt 

vom Ursprung in Richtung der Ebene. 


Beispiel: 

Ebene E durch P = (1, 2, 3) mit normierten Normalenvektor 

⃗n = (2, 2, 1) t /3 

Abstand zum Ursprung: 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

1 

d = ⎝2⎠ · 1 2 

⎝2⎠ = 3 

3 

3 1 

Normalform 

X = (4, 0, 1) ∈ E: 

X = (0, 0, 0) /∈ E: 

E : 

2 

3 x 1 + 2 3 x 2 + 1 3 x 3 = 3 

⃗x · ⃗n = 1 (8 + 0 + 1) = d 

3 

⃗x · ⃗n = 0 ≠ d 


Beispiel: 

Umrechnen von Ebenendarstellungen 

(i) Ebene durch den Punkt P, aufgespannt durch zwei nicht parallele 

Vektoren ⃗u,⃗v 

Parameterdarstellung 

E : ⃗x = ⃗p + s⃗u + t⃗v, 

s, t ∈ R 

weitere Punkte Q, R ∈ E: 

⃗q = ⃗p + ⃗u, 

⃗r = ⃗p + ⃗v 

normierter Normalenvektor: 

⃗u × ⃗v 

⃗n = σ 

|⃗u × ⃗v| 

σ ∈ {−1, 1} d = ⃗p · ⃗n ≥ 0 Hesse-Normalform ⃗x · ⃗n = d 


(ii) Ebene durch drei Punkte P, Q und R, die ein echtes Dreieck bilden 

Drei-Punkte-Form 

E : [ ⃗x − ⃗p,⃗q − ⃗p,⃗r − ⃗p ] = 0 

Vektoren, die E aufspannen: 

⃗u = −→ PQ, 

⃗v = −→ PR 

Konstruktion der Hesse-Normalform wie in (i) 


(iii) Ebene durch einen Punkt P und einen Normalvektor ⃗n 

Hesse-Normalform 

E : ⃗x · ⃗n 0 = d, d = ⃗p · ⃗n 0 

mit ⃗n 0 = σ · ⃗n/|⃗n|, σ ∈ {−1, 1} d ≥ 0 

Vektoren, die E aufspannen: 

⃗u = ⃗n × ⃗x, 

⃗v = ⃗n × ⃗u 

mit ⃗x ≠ λ⃗n 

Konstruktion der Drei-Punkte-Form wie in (i) 


Beispiel: 

Ebene durch die Punkte 

P = (7, 2, 0), Q = (1, −6, 2), R = (−1, −8, 3) 

Drei-Punkte-Form: 

⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤ 

7 1 7 −1 7 

E : ⎣⃗x − ⎝2⎠ , ⎝−6⎠ − ⎝2⎠ , ⎝−8⎠ − ⎝2⎠⎦ = 0 

0 2 0 3 0 

Differenzen der Ortsvektoren Richtungen, die die Ebene aufspannen: 

⎛ ⎞ 

⎛ ⎞ 

⃗u = −→ −6 

PQ = ⎝−8⎠ , ⃗v = −→ −8 

PR = ⎝−10⎠ 

2 

3 

Parameterdarstellung der Ebene 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

7 −6 −8 

E : ⃗x = ⎝2⎠ + s ⎝−8⎠ + t ⎝−10⎠ , 

0 2 3 

s, t ∈ R 


Normalenvektor: 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

−24 + 20 −4 

⃗n = ⃗u × ⃗v = ⎝−16 + 18⎠ = ⎝ 2 ⎠ 

60 − 64 −4 

Normierung: 

σ = −1 

Hesse-Normalform: 

⃗n 0 = σ 6 

⎛ ⎞ 

−4 

⎝ 2 ⎠ , σ ∈ {−1, 1} 

−4 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

7 −2/3 

d = ⃗p · ⃗n 0 = ⎝2⎠ · σ ⎝ 1/3 ⎠ = 4 > 0 

0 −2/3 

E : 2 3 x 1 − 1 3 x 2 + 2 3 x 3 = 4 


Abstand Punkt-Ebene 

Der Lotvektor eines Punktes Q auf eine Ebene E durch P mit 

Normalenvektor ⃗n ist 

−→ 

−→ PQ · ⃗n 

XQ = 

|⃗n| 2 ⃗n . 

Q 

−→ 

P Q 

−−→ 

XQ 

⃗n 

P 

X 

O 

Vektorrechnung – Ebenen Abstand Punkt-Ebene 1-1

Die Länge des Lotvektors, 

d = |−→ PQ · ⃗n| 

, 

|⃗n| 

ist der Abstand der Ebene zu Q. Der Punkt X mit Ortsvektor 

⃗x = ⃗q − 

(⃗q − ⃗p) · ⃗n 

|⃗n| 2 ⃗n 

wird als Projektion von Q auf E bezeichnet. 


Beweis: 

Projektion: 

X ∈ E =⇒ 

⃗x = ⃗q − λ⃗n 

⃗x · ⃗n = ⃗q · ⃗n − λ|⃗n| 2 = ⃗p · ⃗n 

Auflösen nach λ Formel für den Abstand 

λ = 

(⃗q − ⃗p) · ⃗n 

|⃗n| 2 , d = |λ⃗n| 

Lotvektor: 

⃗q − ⃗x = λ⃗n 


Beispiel: 

Ebene E durch den Punkt P = (1, 2, 3) mit Normalenvektor ⃗n = (2, 1, 2) 

berechne Abstand d von Q = (3, 2, 3) sowie die Projektion X auf E 

⎛ ⎞ 

−→ 

PQ = 

2 

⎝0⎠ , 

0 

Lotvektor und Abstand: 

⎛ ⎞ 

−→ 

−→ PQ · ⃗n 

XQ = 

|⃗n| 2 ⃗n = 4 2 

⎝1⎠ , 

9 

2 

−→ 

PQ · ⃗n = 4, |⃗n| = 3 

d = | −→ XQ| = 4 3 

Projektion: 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

⃗x = ⃗q − −→ 3 8/9 

XQ = ⎝2⎠ − ⎝4/9⎠ = 1 19 

⎝14⎠ 

9 

3 8/9 19 


Schnitt zweier Ebenen 

Der kleinere der beiden Winkel ϕ ∈ [0, π/2] zwischen zwei Ebenen mit 

Normalenvektoren ⃗n i ist durch 

cos ϕ = |⃗n 1 · ⃗n 2 | 

|⃗n 1 ||⃗n 2 | 

eindeutig bestimmt und ⃗u = ⃗n 1 ×⃗n 2 ist die Richtung der Schnittgeraden g. 

Ò½ Ò¾ 

Vektorrechnung – Ebenen Schnitt zweier Ebenen 1-1

Einen Punkt P auf g kann man durch simultanes Einsetzen in beide 

Ebenengleichungen bestimmen und erhält dann 

g : ⃗x = ⃗p + t⃗u, 

t ∈ R 

als Parameterdarstellung von g. 


Beispiel: 

Schnitt von Ebenen durch die Punkte P 1 = (1, 2, 0), P 2 = (0, 1, 3) mit 

Normalenvektoren ⃗n 1 = (1, −1, 0) t , ⃗n 2 = (0, −1, 1) t 

Winkel: 

cos ϕ = |⃗n 1 · ⃗n 2 | 

|⃗n 1 ||⃗n 2 | = 1 2 

ϕ = π/3 

Richtung der Schnittgeraden g: 

⎛ ⎞ 

−1 

⃗u = ⃗n 1 × ⃗n 2 = ⎝−1⎠ 

−1 


Punkt X auf g durch Lösung der Ebenengleichungen ⃗x · ⃗n k = ⃗p k · ⃗n k : 

E 1 : x 1 − x 2 = −1, E 2 : −x 2 + x 3 = 2 

x 2 = 0 x 1 = −1 und x 3 = 2 

Parameterdarstellung der Schnittgeraden: 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

−1 −1 

g : ⃗x = ⎝ 0 ⎠ + t ⎝−1⎠ , 

2 −1 

t ∈ R 


Beispiel: 

Winkel zwischen Flächen eines regelmäßigen Tetraeders 

wähle 

P 1 = (1, 0, 0), P 2 = (−1, 0, 0), P 3 = (0, 1, √ 2), P 4 = (0, −1, √ 2) 

und betrachte Ebenen durch P 1 , P 2 , P 3 und P 1 , P 2 , P 4 

Normalenvektoren: 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

⃗n 1 = P −−→ 

1 P 2 × P −−→ −2 −1 0 

1 P 3 = ⎝ 0 ⎠ × ⎝ 

√ 

1 ⎠ = ⎝2 √ 2⎠ 

0 2 −2 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

⃗n 2 = P −−→ 

1 P 2 × P −−→ −2 −1 0 

1 P 4 = ⎝ 0 ⎠ × ⎝ 

√ 

−1⎠ = ⎝2 √ 2⎠ 

0 2 2 

Winkel: 

ϕ ≈ 70.53 ◦ 

cos(ϕ) = |⃗n 1 · ⃗n 2 | 

|⃗n 1 ||⃗n 2 | = 4 

√ 

12 

√ 

12 

= 1 3 


Ellipse 

Für die Punkte P = (x, y) auf einer Ellipse ist die Summe der Abstände zu 

zwei Brennpunkten F ± konstant: 

mit 2a > | −−−→ F − F + |. 

| −−→ PF − | + | −−→ PF + | = 2a 

y 

P 

b 

r 

ϕ 

a 

F− F+ 

x 

Vektorrechnung – Quadratische Kurven Ellipse 1-1

Ist F ± = (±f , 0), so gilt für die Koordinaten 

und 

x 2 

a 2 + y 2 

b 2 = 1, b2 = a 2 − f 2 , 

r 2 = 

für die Polarkoordinaten der Punkte P. 

Eine Parametrisierung der Ellipse ist 

b 2 

1 − (f /a) 2 cos 2 ϕ 

x = a cos t, 

y = b sin t 

mit t ∈ [0, 2π). 


Beweis: 

(i) Äquivalenz der Darstellungen: 

| −−→ PF − | + | −−→ PF + | = 2a ⇐⇒ x 2 

a 2 + y 2 

b 2 = 1, b2 = a 2 − f 2 

Quadrieren von 

√ 

2a − (x + f ) 2 + y 2 = 

} {{ } 

>0 

äquivalente Form der linken Gleichung 

√ 

} 

4a 2 {{ 

+ 4xf 

} 

= 4a (x + f ) 2 + y 2 

>0 

erneutes Quadrieren und Division durch (4a) 2 

√ 

(x − f ) 2 + y 2 = | −−→ PF + | 

a 2 + 2xf + f 2 

a 2 x 2 = x 2 + 2xf + f 2 + y 2 

Substitution von f 2 = a 2 − b 2 , Division durch b 2 Koordinatenform 


(ii) Polarform: 

r 2 = 

b 2 

1 − (f /a) 2 cos 2 ϕ 

Multiplikation mit dem Nenner und Substitution von 

 

r 2 = x 2 + y 2 , f 2 = a 2 − b 2 , r 2 cos 2 (ϕ) = x 2 

x 2 + y 2 − a2 − b 2 

Koordinatenform nach Division durch b 2 

a 2 x 2 = b 2 


Beispiel: 

Reflektion von Brennpunktstrahlen (F + P → PF − ) 

Q 

P 

α 

α 

R 

F− F+ 

Hilfspunkt Q ≠ P auf Tangente g außerhalb der Ellipse =⇒ 

2a = | −−→ PF − | + | −−→ PF + | < | −−→ QF − | + | −−→ QF + | 

Ersetzen von PF + durch Spiegelbild PR an g 

| −−→ PF − | + | −→ PR| < | −−→ QF − | + | −→ QR| ∀Q ∈ g 

=⇒ F − , P, R kollinear, bzw. ∢(F − PQ) = α 


Anwendung: Zertrümmerung von Nierensteinen 

Bündelung von Strahlen aus einer radialen Quelle im Brennpunkt F − durch 

einen elliptischen Reflektor im Brennpunkt F + 


Parabel 

Die Punkte P = (x, y) auf einer Parabel haben von einem Brennpunkt F 

und einer Leitgerade g den gleichen Abstand. 

y 

P 

F 

r 

ϕ 

x 

g 

Vektorrechnung – Quadratische Kurven Parabel 1-1

Ist F = (0, f ) und g : y = −f , so gilt für die Koordinaten 

und 

4fy = x 2 

r = 

für die Polarkoordinaten der Punkte P. 

4f sin ϕ 

cos 2 ϕ 


Beweis: 


Gleichsetzen der quadrierten Abstände 

| −→ PF | 2 = x 2 + (y − f ) 2 = (y + f ) 2 = (dist(P, g)) 2 

Vereinfachung 


substituiere 

 

x 2 = 4fy 

x = r cos ϕ, y = r sin ϕ 

r cos 2 ϕ = 4f sin ϕ 


Beispiel: 

Bündelung senkrecht zur Leitgerade einfallender Strahlen im Brennpunkt 

y 

α 

α 

P 

F 

x 

g 

R 

Q 

−→ 

FP + −→ (( x 

QP = 

y 

) ( 0 

− 

f 

)) (( x 

+ 

y 

) ( x 

− 

−f 

)) 

= 

( x 

2y 

) 

parallel zur Richtung (1, x/(2f )) t der Tangente im Punkt P, 

| −→ FP| = | −→ QP| (Definition der Parabel) =⇒ ∢(F , P, R) = α = ∢(R, P, Q) 


Hyperbel 

Für die Punkte P = (x, y) auf einer Hyperbel ist die Differenz der 

Abstände zu zwei Brennpunkten F ± konstant: 

mit 2a < | −−−→ F − F + |. 

| −−→ PF − | − | −−→ PF + | = ±2a 

y 

F− 

b 

r 

ϕ 

a 

P 

F+ 

x 

Vektorrechnung – Quadratische Kurven Hyperbel 1-1

Ist F ± = (±f , 0), so gilt für die Koordinaten 

und 

x 2 

a 2 − y 2 

b 2 = 1, b2 = f 2 − a 2 , 

b 2 

r 2 = − 

1 − (f /a) 2 cos 2 ϕ 

für die Polarkoordinaten der Punkte P. Die Asymptoten haben die 

Steigung ±b/a. 

Parametrisierungen der Hyperbeläste sind 

x = ±a cosh t, 

y = b sinh t 

mit t ∈ R. 


Beweis: 


| −−→ PF − | − | −−→ PF + | = ±2a ⇐⇒ x 2 

a 2 − y 2 

b 2 = 1, b2 = f 2 − a 2 

Quadrieren von 

√ 

√ 

(x + f ) 2 + y 2 ∓ 2a = (x − f ) 2 + y 2 = | −−→ PF + | 

} {{ } 

>0 

äquivalente Identität zur linken Gleichung: 

√ 

4a 2 + 4xf = ±4a (x + f ) 2 + y 2 

erneutes Quadrieren und Division durch (4a) 2 

a 2 + 2xf + f 2 

a 2 x 2 = x 2 + 2xf + f 2 + y 2 

Substitution von f 2 = a 2 + b 2 und Division durch b 2 Koordinatenform 



b 2 

r 2 = − 

1 − (f /a) 2 cos 2 ϕ 

Multiplikation mit dem Nenner unter Berücksichtigung von 

r 2 = x 2 + y 2 , f 2 = a 2 + b 2 , x = r cos ϕ 

 

x 2 + y 2 − a2 + b 2 

a 2 x 2 = −b 2 

Division durch −b 2 Koordinatenform 


Beispiel: 

Positionsbestimmung durch Zeitdifferenzen 2a j,k synchroner Radiosignale 

von Sendestationen F i 

F 1 F 2 

F 4 

S 1 

S 3 

S 4 

S 2 

F 3 

Position P: Schnittpunkt von Hyperbeln 


konkrete Daten 

F 1 = (−2, 0), F 2 = (2, 0), F 3 = (0, −3), F 4 = (0, 3) 

a 1,2 = a 3,4 = 1 

Hyperbelgleichungen: 

x 2 − y 2 

3 = 1, y 2 − x 2 

(f 2 = a 2 + b 2 mit a = 1 und f = 2 bzw. f = 3) 

Koordinaten der möglichen 4 Schnittpunkte S i 

x 2 = 32 

23 , y 2 = 27 

23 

8 = 1

Vektorrechnung - imng

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