Phasenebene - imng

Phasenebene
Die Lösungen einer autonomen Differentialgleichung zweiter Ordnung,
können als Kurven
u ′′ = f (u, u ′ ) ,
t ↦→ (u(t), v(t)), v = u ′ ,
in der sogenannten Phasenebene visualisiert werden. Dabei verläuft für
eine stetig differenzierbare Funktion f durch jeden Punkt (u 0 , v 0 ) genau
eine Lösungskurve.
Phasenebene 1-1

Phasenebene
Die Lösungen einer autonomen Differentialgleichung zweiter Ordnung,
können als Kurven
u ′′ = f (u, u ′ ) ,
t ↦→ (u(t), v(t)), v = u ′ ,
in der sogenannten Phasenebene visualisiert werden. Dabei verläuft für
eine stetig differenzierbare Funktion f durch jeden Punkt (u 0 , v 0 ) genau
eine Lösungskurve.
Punkte (u 0 , 0) mit f (u 0 , 0) = 0 sind kritische Punkte der
Differentialgleichung, die konstanten Lösungen u(t) = u 0 entsprechen.
Phasenebene 1-2

u ′ u
Phasenebene 1-3

u ′
u
Fasst man v = du/dt als Funktion von u auf, so erhält man eine
Differentialgleichung erster Ordnung
dv
v = f (u, v) ,
du
die die Lösungskurven in der Phasenebene unmittelbar beschreibt.
Phasenebene 1-4

Beispiel:
Phasenebenen für die Bewegungsgleichung eines gedämpften Pendels und
die approximierende lineare Schwingungsgleichung
u ′ u ′′ = −u − u ′
u ′ u ′′ = − sin u − u ′ u
u
Phasenebene 2-1

Beispiel:
Phasenebenen für die Bewegungsgleichung eines gedämpften Pendels und
die approximierende lineare Schwingungsgleichung
u ′ u ′′ = −u − u ′
u ′ u ′′ = − sin u − u ′ u
u
kleine Auslenkungen von u gute Übereinstimmung
Phasenebene 2-2

Beispiel:
Phasenebenen für die Bewegungsgleichung eines gedämpften Pendels und
die approximierende lineare Schwingungsgleichung
u ′ u ′′ = −u − u ′
u ′ u ′′ = − sin u − u ′ u
u
kleine Auslenkungen von u gute Übereinstimmung
globales qualitatives Verhalten unterschiedlich; mehrere kritische Punkte
für die Pendelgleichung
Phasenebene 2-3

Energieerhaltung
Die Differentialgleichung
u ′′ + Φ ′ (u) = 0
beschreibt eine eindimensionale Bewegung unter einem durch ein Potential
Φ induzierten Kraftfeld.
Phasenebene 3-1

Energieerhaltung
Die Differentialgleichung
u ′′ + Φ ′ (u) = 0
beschreibt eine eindimensionale Bewegung unter einem durch ein Potential
Φ induzierten Kraftfeld.
Für die Lösung u ist die Summe E aus kinetischer und potentieller Energie
konstant:
E = 1 2 v 2 + Φ(u), v = u ′ .
Phasenebene 3-2

Energieerhaltung
Die Differentialgleichung
u ′′ + Φ ′ (u) = 0
beschreibt eine eindimensionale Bewegung unter einem durch ein Potential
Φ induzierten Kraftfeld.
Für die Lösung u ist die Summe E aus kinetischer und potentieller Energie
konstant:
E = 1 2 v 2 + Φ(u), v = u ′ .
Die Lösungskurven in der Phasenebene entsprechen also konstanten
Energieniveaus E.
Phasenebene 3-3

Beispiel:
Differentialgleichung für die Auslenkung ϑ eines idealen Pendels
ϑ ′′ = − sin ϑ
Phasenebene 4-1

Beispiel:
Differentialgleichung für die Auslenkung ϑ eines idealen Pendels
ϑ ′′ = − sin ϑ
ϑ(t)
Phasenebene 4-2

potentielle Energie Φ(ϑ) = − cos ϑ
Gesamtenergie
E = 1 2 (ϑ′ ) 2 − cos ϑ
Phasenebene 4-3

potentielle Energie Φ(ϑ) = − cos ϑ
Gesamtenergie
E = 1 2 (ϑ′ ) 2 − cos ϑ
bzw.
ϑ ′ = ± √ 2(E + cos ϑ)
Phasenebene 4-4

potentielle Energie Φ(ϑ) = − cos ϑ
Gesamtenergie
E = 1 2 (ϑ′ ) 2 − cos ϑ
bzw.
ϑ ′ = ± √ 2(E + cos ϑ)
3
ϑ ′ 2
1
0
E > 1
E = 1
E < 1
−1
−2
−3
0 π 2π 3π 4π
ϑ
Phasenebene 4-5

Phasendiagramms drei qualitativ verschiedene Fälle
(i) E < 1: Lösungen periodisch, da cos ϑ ≠ −1
Phasenebene 4-6

Phasendiagramms drei qualitativ verschiedene Fälle
(i) E < 1: Lösungen periodisch, da cos ϑ ≠ −1
Berechnung der Periode T aus der maximalen Auslenkung ϑ max
T = 4
ϑ∫
max
0
dt
dϑ dϑ ,
dt
dϑ = (ϑ′ ) −1 =
1
√
2(cos ϑ − cos ϑmax )
(E = − cos ϑ max )
Phasenebene 4-7

Phasendiagramms drei qualitativ verschiedene Fälle
(i) E < 1: Lösungen periodisch, da cos ϑ ≠ −1
Berechnung der Periode T aus der maximalen Auslenkung ϑ max
T = 4
ϑ∫
max
0
dt
dϑ dϑ ,
dt
dϑ = (ϑ′ ) −1 =
1
√
2(cos ϑ − cos ϑmax )
(E = − cos ϑ max )
(ii) E > 1: Geschwindigkeit ϑ ′ nie null; Pendel schwingt über
Phasenebene 4-8

Phasendiagramms drei qualitativ verschiedene Fälle
(i) E < 1: Lösungen periodisch, da cos ϑ ≠ −1
Berechnung der Periode T aus der maximalen Auslenkung ϑ max
T = 4
ϑ∫
max
0
dt
dϑ dϑ ,
dt
dϑ = (ϑ′ ) −1 =
1
√
2(cos ϑ − cos ϑmax )
(E = − cos ϑ max )
(ii) E > 1: Geschwindigkeit ϑ ′ nie null; Pendel schwingt über
(iii) E = 1: Pendel nähert sich dem instabilen höchsten Punkt, ohne ihn in
endlicher Zeit zu erreichen
Phasenebene 4-9

Beispiel:
Kraft auf Rakete im Gravitationsfeld der Erde
F = − γmM
r 2
m und M: Massen von Rakete und Erde
γ > 0: Gravitationskonstante
r: Abstand zum Erdmittelpunkt
Phasenebene 5-1

Beispiel:
Kraft auf Rakete im Gravitationsfeld der Erde
F = − γmM
r 2
m und M: Massen von Rakete und Erde
γ > 0: Gravitationskonstante
r: Abstand zum Erdmittelpunkt
Bewegungsgleichung nach “Burnout” bei vertikaler Flugrichtung
r ′′ = − γM
r 2 Phasenebene 5-2

Beispiel:
Kraft auf Rakete im Gravitationsfeld der Erde
F = − γmM
r 2
m und M: Massen von Rakete und Erde
γ > 0: Gravitationskonstante
r: Abstand zum Erdmittelpunkt
Bewegungsgleichung nach “Burnout” bei vertikaler Flugrichtung
Anfangsbedingungen
r(0) = R ,
r ′′ = − γM
r 2
r ′ (0) = v
R und v: Flughöhe und Geschwindigkeit bei “Burnout”
Phasenebene 5-3

E > 0
r ′
E < 0
Lösungskurven für verschiedene Geschwindigkeiten v und R = 6.371 km
(Erdradius)
r
Phasenebene 5-4

E > 0
r ′
E < 0
Lösungskurven für verschiedene Geschwindigkeiten v und R = 6.371 km
(Erdradius)
konstante Energieniveaus
r
E = 1 2 (r ′ ) 2 − γM r
Phasenebene 5-5

E < 0: maximale Flughöhe
r max = − γM E
Phasenebene 5-6

E < 0: maximale Flughöhe
r max = − γM E
E ≥ 0: Flughöhe unbeschränkt
Phasenebene 5-7

E < 0: maximale Flughöhe
r max = − γM E
E ≥ 0: Flughöhe unbeschränkt
kritische Startgeschwindigkeit v ∗ (fett gezeichnete Lösungskurve)
d.h. v ∗ =
1
2 v ∗ 2 − γM R = E = 0 ,
√
2γ M R (r ′ (t) → 0 für t → ∞)
Phasenebene 5-8