Satz von Gauß - imng

Satz von Gauß
Ist ⃗ F ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf einem regulären räumlichen
Bereich V , der durch eine Fläche S mit nach außen orientiertem
vektoriellem Flächenelement d ⃗ S berandet wird, so gilt
Satz von Gauß 1-1

Satz von Gauß
Ist F ⃗ ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf einem regulären räumlichen
Bereich V , der durch eine Fläche S mit nach außen orientiertem
vektoriellem Flächenelement d ⃗ S berandet wird, so gilt
∫∫∫
∫∫
div F ⃗ dV = ⃗F · d ⃗ S .
V
S
Satz von Gauß 1-2

Satz von Gauß
Ist F ⃗ ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf einem regulären räumlichen
Bereich V , der durch eine Fläche S mit nach außen orientiertem
vektoriellem Flächenelement d ⃗ S berandet wird, so gilt
∫∫∫
∫∫
div F ⃗ dV = ⃗F · d ⃗ S .
V
Die Glattheitsvoraussetzungen an ⃗ F und S können abgeschwächt werden,
indem man die Integrale über geeignete Grenzprozesse definiert.
S
Satz von Gauß 1-3

Beweis:
Hauptsatz für mehrdimensionale Integrale =⇒
∫∫∫
∫∫
∂ ν F ν dV = F ν nν ◦ dS
mit F ν den Komponenten von ⃗ F
V
S
Satz von Gauß 2-1

Beweis:
Hauptsatz für mehrdimensionale Integrale =⇒
∫∫∫
∫∫
∂ ν F ν dV = F ν nν ◦ dS
V
mit F ν den Komponenten von ⃗ F
Summation über ν = 1, 2, 3, d ⃗ S = ⃗n ◦ dS =⇒ Identität
S
Satz von Gauß 2-2

Beispiel:
Illustration des Satzes von Gauß für das Vektorfeld
⎛ ⎞
x
⃗F (x, y, z) = ⎝ xy ⎠
z 3
und die Einheitskugel
V : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1
Satz von Gauß 3-1

(i) linke Seite des Satzes von Gauß:
Satz von Gauß 3-2

(i) linke Seite des Satzes von Gauß:
Divergenz:
div ⃗ F = 1 + x + 3z 2 = 1 + r cos ϕ sin ϑ + 3r 2 cos 2 ϑ
Satz von Gauß 3-3

(i) linke Seite des Satzes von Gauß:
Divergenz:
Volumenintegral:
div ⃗ F = 1 + x + 3z 2 = 1 + r cos ϕ sin ϑ + 3r 2 cos 2 ϑ
∫∫∫
V
div ⃗ F dV =
∫ 1 ∫ π ∫ 2π
0 0 0
(1 + r cos ϕ sin ϑ + 3r 2 cos 2 ϑ)r 2 sin ϑ dϕdϑdr
Satz von Gauß 3-4

(i) linke Seite des Satzes von Gauß:
Divergenz:
Volumenintegral:
div ⃗ F = 1 + x + 3z 2 = 1 + r cos ϕ sin ϑ + 3r 2 cos 2 ϑ
∫∫∫
V
∫ 1 ∫ π ∫ 2π
div F ⃗ dV = (1 + r cos ϕ sin ϑ + 3r 2 cos 2 ϑ)r 2 sin ϑ dϕdϑdr
0 0 0
= 4 ∫1
3 π + 0 + 2π
∫ π
0 0
r 4 (3 cos 2 ϑ sin ϑ) dϑdr
Satz von Gauß 3-5

(i) linke Seite des Satzes von Gauß:
Divergenz:
Volumenintegral:
div ⃗ F = 1 + x + 3z 2 = 1 + r cos ϕ sin ϑ + 3r 2 cos 2 ϑ
∫∫∫
V
div ⃗ F dV =
∫ 1 ∫ π ∫ 2π
0
0
= 4 ∫1
3 π + 0 + 2π
0
(1 + r cos ϕ sin ϑ + 3r 2 cos 2 ϑ)r 2 sin ϑ dϕdϑdr
0
∫ π
= 4 3 π + 2π [ 1
5 r 5 ] 1
r=0
0
r 4 (3 cos 2 ϑ sin ϑ) dϑdr
[
− cos 3 ϑ ] π
ϑ=0 = 4 3 π + 4 5 π = 32
15 π
Satz von Gauß 3-6

(ii) rechte Seite des Satzes von Gauß:
Satz von Gauß 3-7

(ii) rechte Seite des Satzes von Gauß:
Parametrisierung der Einheitssphäre S:
⎛
⎞
cos ϕ sin ϑ
⃗r(ϑ, ϕ) = ⎝ sin ϕ sin ϑ
cos ϑ
⎠ , 0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ ϑ ≤ π
Satz von Gauß 3-8

(ii) rechte Seite des Satzes von Gauß:
Parametrisierung der Einheitssphäre S:
⎛
⎞
cos ϕ sin ϑ
⃗r(ϑ, ϕ) = ⎝ sin ϕ sin ϑ
cos ϑ
⎠ , 0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ ϑ ≤ π
Normale und Flächenelement:
⃗n ◦ (ϑ, ϕ) = ⃗r(ϑ, ϕ),
d ⃗ S = ⃗n ◦ sin ϑ dϕdϑ
Satz von Gauß 3-9

(ii) rechte Seite des Satzes von Gauß:
Parametrisierung der Einheitssphäre S:
⎛
⎞
cos ϕ sin ϑ
⃗r(ϑ, ϕ) = ⎝ sin ϕ sin ϑ
cos ϑ
⎠ , 0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ ϑ ≤ π
Normale und Flächenelement:
⃗n ◦ (ϑ, ϕ) = ⃗r(ϑ, ϕ),
d ⃗ S = ⃗n ◦ sin ϑ dϕdϑ
Vektorfeld in Polarkoordinaten
⎛
⃗F (r, ϑ, ϕ) = ⎝
cos ϕ sin ϑ
cos ϕ sin ϕ sin 2 ϑ
cos 3 ϑ
⎞
⎠
Satz von Gauß 3-10

Flussintegral:
∫∫
S
⃗F · d ⃗ S =
∫ π ∫ 2π
0 0
(cos 2 ϕ sin 2 ϑ + sin 2 ϕ cos ϕ sin 3 ϑ + cos 4 ϑ) sin ϑ dϕdϑ
Satz von Gauß 3-11

Flussintegral:
∫∫
S
⃗F · d ⃗ S =
= π
∫ π ∫ 2π
0 0
∫ π
0
(cos 2 ϕ sin 2 ϑ + sin 2 ϕ cos ϕ sin 3 ϑ + cos 4 ϑ) sin ϑ dϕdϑ
∫ π
sin ϑ(1 − cos 2 ϑ) dϑ + 0 + 2π
0
cos 4 ϑ sin ϑ dϑ
Satz von Gauß 3-12

Flussintegral:
∫∫
S
⃗F · d ⃗ S =
= π
= π
∫ π ∫ 2π
0 0
∫ π
0
(cos 2 ϕ sin 2 ϑ + sin 2 ϕ cos ϕ sin 3 ϑ + cos 4 ϑ) sin ϑ dϕdϑ
∫ π
sin ϑ(1 − cos 2 ϑ) dϑ + 0 + 2π
(
[ ] 1 π )
[− cos ϑ] π 0 +
3 cos3 ϑ
0
0
+ 2π
cos 4 ϑ sin ϑ dϑ
[
− 1 ] π
5 cos5 ϑ
0
Satz von Gauß 3-13

Flussintegral:
∫∫
S
⃗F · d ⃗ S =
= π
= π
∫ π ∫ 2π
0 0
∫ π
0
(cos 2 ϕ sin 2 ϑ + sin 2 ϕ cos ϕ sin 3 ϑ + cos 4 ϑ) sin ϑ dϕdϑ
∫ π
sin ϑ(1 − cos 2 ϑ) dϑ + 0 + 2π
(
[ ] 1 π )
[− cos ϑ] π 0 +
3 cos3 ϑ
0
0
+ 2π
cos 4 ϑ sin ϑ dϑ
[
− 1 ] π
5 cos5 ϑ
0
= 2π − 2 3 π + 4 5 π Satz von Gauß 3-14

Flussintegral:
∫∫
S
⃗F · d ⃗ S =
= π
= π
∫ π ∫ 2π
0 0
∫ π
0
(cos 2 ϕ sin 2 ϑ + sin 2 ϕ cos ϕ sin 3 ϑ + cos 4 ϑ) sin ϑ dϕdϑ
∫ π
sin ϑ(1 − cos 2 ϑ) dϑ + 0 + 2π
(
[ ] 1 π )
[− cos ϑ] π 0 +
3 cos3 ϑ
0
0
+ 2π
cos 4 ϑ sin ϑ dϑ
[
− 1 ] π
5 cos5 ϑ
0
= 2π − 2 3 π + 4 5 π
= 32
15 π
( ∫ 2π
0
ϕ = 0 für Funktionen ϕ mit 2π-periodischer Stammfunktion)
Satz von Gauß 3-15

Beispiel:
radiales Feld
⃗F = r s ⃗e r
Satz von Gauß 4-1

Beispiel:
radiales Feld
⃗F = r s ⃗e r
Divergenz:
div ⃗ F = 1
r 2 ∂ r (r 2 r s ) = (s + 2)r s−1
Satz von Gauß 4-2

Beispiel:
radiales Feld
⃗F = r s ⃗e r
Divergenz:
div ⃗ F = 1
r 2 ∂ r (r 2 r s ) = (s + 2)r s−1
Volumenintegral über eine Kugel V mit Radius a:
für s > −2
∫∫∫
V
div ⃗ F = 4π
∫ a
0
(s + 2)r s+1 dr = 4πa s+2
Satz von Gauß 4-3

⃗F ‖ ⃗n ◦ =⇒
⃗F · d ⃗ S = ⃗ F · ⃗n ◦ dS = | ⃗ F | dS
Satz von Gauß 4-4

⃗F ‖ ⃗n ◦ =⇒
⃗F · d ⃗ S = ⃗ F · ⃗n ◦ dS = | ⃗ F | dS
konstanter Integrand | ⃗ F | = r s
|r=a , d.h.
∫∫
S
⃗F · d ⃗ S = area(S) a s = (4πa 2 )a s
Satz von Gauß 4-5

Beispiel
regulärer räumlicher Bereich V , durch Fläche S berandet, Normale nach
außen
div⃗r = 3
Satz von Gauß 5-1

Beispiel
regulärer räumlicher Bereich V , durch Fläche S berandet, Normale nach
außen
div⃗r = 3
∫∫
3 vol(V ) = ⃗r · d ⃗ S
S
Satz von Gauß 5-2

Beispiel
regulärer räumlicher Bereich V , durch Fläche S berandet, Normale nach
außen
div⃗r = 3
∫∫
3 vol(V ) = ⃗r · d ⃗ S
Fluss eines linearen Feldes ⃗ F = A⃗r durch S: (spur A) vol(V ).
S
Satz von Gauß 5-3

Polyeder V mit Inkugel (berührt jede Fläche), Radius r i
Flächen tangential an Innkugel, Hesse-Normalform
⃗r · d ⃗ S = ⃗r } {{ · ⃗n }
◦ dS = r i dS
=const
Beziehung:
∫∫
3 vol(V ) =
∫∫
⃗r · d ⃗ S =
r i dS = r i area(S)
S
S
Satz von Gauß 5-4

Polyeder V mit Inkugel (berührt jede Fläche), Radius r i
Flächen tangential an Innkugel, Hesse-Normalform
⃗r · d ⃗ S = ⃗r } {{ · ⃗n }
◦ dS = r i dS
=const
Beziehung:
∫∫
3 vol(V ) =
∫∫
⃗r · d ⃗ S =
r i dS = r i area(S)
S
S
Hexaeder, Kantenläge a:
Oberfläche 6a 2 , Inkugelradius a/2, Volumen: a 3 = (6a 2 · a/2)/3
Satz von Gauß 5-5

Polyeder V mit Inkugel (berührt jede Fläche), Radius r i
Flächen tangential an Innkugel, Hesse-Normalform
⃗r · d ⃗ S = ⃗r } {{ · ⃗n }
◦ dS = r i dS
=const
Beziehung:
∫∫
3 vol(V ) =
∫∫
⃗r · d ⃗ S =
r i dS = r i area(S)
S
S
Hexaeder, Kantenläge a:
Oberfläche 6a 2 , Inkugelradius a/2, Volumen: a 3 = (6a 2 · a/2)/3
Tetraeder, Kantenläge a:
Oberfläche 4 1 √
3a 2
2 2
= a 2√ 3, Volumen: √ 2a 3 /12 Inkugelradius √ 6a/12
Satz von Gauß 5-6

Polyeder V mit Inkugel (berührt jede Fläche), Radius r i
Flächen tangential an Innkugel, Hesse-Normalform
⃗r · d ⃗ S = ⃗r } {{ · ⃗n }
◦ dS = r i dS
=const
Beziehung:
∫∫
3 vol(V ) =
∫∫
⃗r · d ⃗ S =
r i dS = r i area(S)
S
S
Hexaeder, Kantenläge a:
Oberfläche 6a 2 , Inkugelradius a/2, Volumen: a 3 = (6a 2 · a/2)/3
Tetraeder, Kantenläge a:
√
3a 2
2
= a 2√ 3, Volumen: √ 2a 3 /12 Inkugelradius √ 6a/12
Oberfläche 4 1 2
Gilt auch für Kugel: Oberfläche 4πr 2 , Volumen 4πr 3
3
Satz von Gauß 5-7