Flussintegral - imng
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<strong>Flussintegral</strong><br />
Der Fluss eines stetigen Vektorfeldes F ⃗ (x, y, z) durch eine Fläche S mit<br />
regulärer Parametrisierung<br />
⎛ ⎞<br />
x(u, v)<br />
D ∋ (u, v) ↦→ ⃗r(u, v) = ⎝ y(u, v) ⎠ ∈ S<br />
z(u, v)<br />
in Richtung der Normalen<br />
ist<br />
⃗n = ∂ u ⃗r × ∂ v ⃗r<br />
<strong>Flussintegral</strong> 1-1
<strong>Flussintegral</strong><br />
Der Fluss eines stetigen Vektorfeldes F ⃗ (x, y, z) durch eine Fläche S mit<br />
regulärer Parametrisierung<br />
⎛ ⎞<br />
x(u, v)<br />
D ∋ (u, v) ↦→ ⃗r(u, v) = ⎝ y(u, v) ⎠ ∈ S<br />
z(u, v)<br />
in Richtung der Normalen<br />
⃗n = ∂ u ⃗r × ∂ v ⃗r<br />
ist<br />
∫∫<br />
∫∫<br />
⃗F · d ⃗ S =<br />
∫∫<br />
⃗F · ⃗n ◦ dS =<br />
⃗F (⃗r(u, v)) · ⃗n(u, v) dudv .<br />
S<br />
S<br />
D<br />
<strong>Flussintegral</strong> 1-2
Man bezeichnet dabei<br />
als vektorielles Flächenelement.<br />
d ⃗ S = ⃗n ◦ dS , dS = |⃗n(u, v)| dudv ,<br />
<strong>Flussintegral</strong> 1-3
Man bezeichnet dabei<br />
als vektorielles Flächenelement.<br />
d ⃗ S = ⃗n ◦ dS , dS = |⃗n(u, v)| dudv ,<br />
Bei gleicher Orientierung des Normalenvektors ist das <strong>Flussintegral</strong><br />
unabhängig von der gewählten Parametrisierung.<br />
<strong>Flussintegral</strong> 1-4
Man bezeichnet dabei<br />
als vektorielles Flächenelement.<br />
d ⃗ S = ⃗n ◦ dS , dS = |⃗n(u, v)| dudv ,<br />
Bei gleicher Orientierung des Normalenvektors ist das <strong>Flussintegral</strong><br />
unabhängig von der gewählten Parametrisierung.<br />
Die Umkehrung der Normalenrichtung bewirkt eine Änderung des<br />
Vorzeichens.<br />
<strong>Flussintegral</strong> 1-5
Man bezeichnet dabei<br />
als vektorielles Flächenelement.<br />
d ⃗ S = ⃗n ◦ dS , dS = |⃗n(u, v)| dudv ,<br />
Bei gleicher Orientierung des Normalenvektors ist das <strong>Flussintegral</strong><br />
unabhängig von der gewählten Parametrisierung.<br />
Die Umkehrung der Normalenrichtung bewirkt eine Änderung des<br />
Vorzeichens.<br />
⃗n<br />
⃗F<br />
D<br />
⃗r<br />
S<br />
<strong>Flussintegral</strong> 1-6
Die Glattheitsvoraussetzungen an ⃗ F und ⃗r(u, v) können abgeschwächt<br />
werden, indem man das Integral über einen geeigneten Grenzprozess<br />
definiert.<br />
<strong>Flussintegral</strong> 1-7
Beispiel:<br />
Fluss des Vektorfeldes<br />
⎛<br />
⃗F (x, y, z) = ⎝<br />
x<br />
1<br />
yz<br />
⎞<br />
⎠<br />
<strong>Flussintegral</strong> 2-1
Beispiel:<br />
Fluss des Vektorfeldes<br />
⎛<br />
⃗F (x, y, z) = ⎝<br />
x<br />
1<br />
yz<br />
⎞<br />
⎠<br />
durch die Fläche<br />
⎛<br />
S : ⃗r(u, v) = ⎝<br />
u 2<br />
u + v<br />
v 2<br />
⎞<br />
⎠ , 0 ≤ u, v ≤ 1<br />
<strong>Flussintegral</strong> 2-2
partielle Ableitungen:<br />
⎛<br />
∂ u ⃗r(u, v) = ⎝<br />
2u<br />
1<br />
0<br />
⎞<br />
⎛<br />
⎠ , ∂ v ⃗r(u, v) = ⎝<br />
0<br />
1<br />
2v<br />
⎞<br />
⎠<br />
<strong>Flussintegral</strong> 2-3
partielle Ableitungen:<br />
⎛<br />
∂ u ⃗r(u, v) = ⎝<br />
2u<br />
1<br />
0<br />
⎞<br />
⎛<br />
⎠ , ∂ v ⃗r(u, v) = ⎝<br />
0<br />
1<br />
2v<br />
⎞<br />
⎠<br />
Normale<br />
⎛<br />
⃗n(u, v) = ∂ u ⃗r(u, v) × ∂ v ⃗r(u, v) = ⎝<br />
2v<br />
−4uv<br />
2u<br />
⎞<br />
⎠<br />
<strong>Flussintegral</strong> 2-4
Fluss von ⃗ F durch S:<br />
∫∫<br />
S<br />
⃗F · d ⃗ S =<br />
∫ 1 ∫ 1<br />
0<br />
0<br />
⎛<br />
⎝<br />
u 2 ⎞<br />
1 ⎠ ·<br />
uv 2 + v 3<br />
⎛<br />
⎝<br />
2v<br />
−4uv<br />
2u<br />
⎞<br />
⎠ du dv<br />
<strong>Flussintegral</strong> 2-5
Fluss von ⃗ F durch S:<br />
∫∫<br />
S<br />
⃗F · d ⃗ S =<br />
=<br />
∫ 1 ∫ 1<br />
0 0<br />
∫ 1 ∫ 1<br />
0<br />
0<br />
⎛<br />
⎝<br />
u 2 ⎞<br />
1 ⎠ ·<br />
uv 2 + v 3<br />
⎛<br />
⎝<br />
2v<br />
−4uv<br />
2u<br />
⎞<br />
⎠ du dv<br />
2u 2 v − 4uv + 2u 2 v 2 + 2uv 3 du dv<br />
<strong>Flussintegral</strong> 2-6
Fluss von ⃗ F durch S:<br />
∫∫<br />
S<br />
⃗F · d ⃗ S =<br />
=<br />
=<br />
∫ 1 ∫ 1<br />
0 0<br />
∫ 1 ∫ 1<br />
0 0<br />
∫ 1<br />
0<br />
⎛<br />
⎝<br />
u 2 ⎞<br />
1 ⎠ ·<br />
uv 2 + v 3<br />
⎛<br />
⎝<br />
2v<br />
−4uv<br />
2u<br />
⎞<br />
⎠ du dv<br />
2u 2 v − 4uv + 2u 2 v 2 + 2uv 3 du dv<br />
[ 2<br />
3 u3 v − 2u 2 v + 2 ] 1<br />
3 u3 v 2 + u 2 v 3 dv<br />
0<br />
<strong>Flussintegral</strong> 2-7
Fluss von ⃗ F durch S:<br />
∫∫<br />
S<br />
⃗F · d ⃗ S =<br />
=<br />
=<br />
=<br />
∫ 1 ∫ 1<br />
0 0<br />
∫ 1 ∫ 1<br />
0 0<br />
∫ 1<br />
0<br />
∫ 1<br />
0<br />
⎛<br />
⎝<br />
u 2 ⎞<br />
1 ⎠ ·<br />
uv 2 + v 3<br />
⎛<br />
⎝<br />
2v<br />
−4uv<br />
2u<br />
⎞<br />
⎠ du dv<br />
2u 2 v − 4uv + 2u 2 v 2 + 2uv 3 du dv<br />
[ 2<br />
3 u3 v − 2u 2 v + 2 ] 1<br />
3 u3 v 2 + u 2 v 3 dv<br />
0<br />
− 4 3 v + 2 3 v 2 + v 3 dv =<br />
[<br />
− 2 3 v 2 + 2 9 v 3 + 1 4 v 4 ] 1<br />
0<br />
<strong>Flussintegral</strong> 2-8
Fluss von ⃗ F durch S:<br />
∫∫<br />
S<br />
⃗F · d ⃗ S =<br />
=<br />
=<br />
=<br />
∫ 1 ∫ 1<br />
0 0<br />
∫ 1 ∫ 1<br />
0 0<br />
∫ 1<br />
0<br />
∫ 1<br />
0<br />
= − 7 36<br />
⎛<br />
⎝<br />
u 2 ⎞<br />
1 ⎠ ·<br />
uv 2 + v 3<br />
⎛<br />
⎝<br />
2v<br />
−4uv<br />
2u<br />
⎞<br />
⎠ du dv<br />
2u 2 v − 4uv + 2u 2 v 2 + 2uv 3 du dv<br />
[ 2<br />
3 u3 v − 2u 2 v + 2 ] 1<br />
3 u3 v 2 + u 2 v 3 dv<br />
0<br />
− 4 3 v + 2 3 v 2 + v 3 dv =<br />
[<br />
− 2 3 v 2 + 2 9 v 3 + 1 4 v 4 ] 1<br />
0<br />
<strong>Flussintegral</strong> 2-9
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