Taylor-Entwicklung der Umkehrfunktion - imng

Taylor-Entwicklung der Umkehrfunktion
Die Taylor-Koeffizienten der Umkehrfunktion g(x) einer Funktion f mit
f ′ (a) ≠ 0 im Punkt b = f (a) lassen sich durch Differentiation von
bestimmen:
g(b) = a
g ′ (b) f ′ (a) = 1 −→ g ′ (b)
g(f (x)) = x
g ′′ (b) f ′ (a) 2 + g ′ (b) f ′′ (a) = 0 −→ g ′′ (b)
g ′′′ (b) f ′ (a) 3 + 3g ′′ (b) f ′′ (a) f ′ (a) + g ′ (b)f ′′′ (a) = 0 −→ g ′′′ (b)
.
Die entstehenden Gleichungen können sukzessive nach den Ableitungen
g ′ (b), g ′′ (b), g ′′′ (b), . . . aufgelöst werden.
Taylor-Entwicklung der Umkehrfunktion 1-1

Beispiel:
Umkehrfunktion des Sinus
f (x) = sin x,
g(y) = arcsin y
Entwicklungpunkte x = a = 0, y = b = 0
Taylor-Entwicklung der Umkehrfunktion 2-1

Beispiel:
Umkehrfunktion des Sinus
f (x) = sin x,
g(y) = arcsin y
Entwicklungpunkte x = a = 0, y = b = 0
Differenzieren von g(sin x) = x
g(0) = 0
g ′ (0) cos 0 = 1 → g ′ (0) = 1
g ′′ (0) cos 2 0 − g ′ (0) sin 0 = 0 → g ′′ (0) = 0
g ′′′ (0) cos 3 0 − 3g ′′ (0) cos 0 sin 0 − g ′ (0) cos 0 = 0 → g ′′′ (0) = 1
. . .
Taylor-Entwicklung der Umkehrfunktion 2-2

Beispiel:
Umkehrfunktion des Sinus
f (x) = sin x,
g(y) = arcsin y
Entwicklungpunkte x = a = 0, y = b = 0
Differenzieren von g(sin x) = x
g(0) = 0
g ′ (0) cos 0 = 1 → g ′ (0) = 1
g ′′ (0) cos 2 0 − g ′ (0) sin 0 = 0 → g ′′ (0) = 0
g ′′′ (0) cos 3 0 − 3g ′′ (0) cos 0 sin 0 − g ′ (0) cos 0 = 0 → g ′′′ (0) = 1
. . .
=⇒
arcsin x = x + 1 6 x 3 + O(x 5 )
(ungerade Funktion)
Taylor-Entwicklung der Umkehrfunktion 2-3

Beispiel:
Umkehrfunktion q(y) des kubischen Polynoms
p(x) = x 3 − 2x
in Umgebung von (x, y) ≈ (a, b) = (2, 4) erfüllt
p(q(y)) = y,d.h. q(y) 3 − 2q(y) = y
Taylor-Entwicklung der Umkehrfunktion 3-1

Beispiel:
Umkehrfunktion q(y) des kubischen Polynoms
p(x) = x 3 − 2x
in Umgebung von (x, y) ≈ (a, b) = (2, 4) erfüllt
p(q(y)) = y,d.h. q(y) 3 − 2q(y) = y
Differenzieren
3q 2 q ′ − 2q ′ = 1
6q(q ′ ) 2 + 3q 2 q ′′ − 2q ′′ = 0
6(q ′ ) 3 + 12qq ′ q ′′ + 6qq ′ q ′′ + 3q 2 q ′′′ − 2q ′′′ = 0
Taylor-Entwicklung der Umkehrfunktion 3-2

Beispiel:
Umkehrfunktion q(y) des kubischen Polynoms
p(x) = x 3 − 2x
in Umgebung von (x, y) ≈ (a, b) = (2, 4) erfüllt
p(q(y)) = y,d.h. q(y) 3 − 2q(y) = y
Differenzieren
3q 2 q ′ − 2q ′ = 1
6q(q ′ ) 2 + 3q 2 q ′′ − 2q ′′ = 0
6(q ′ ) 3 + 12qq ′ q ′′ + 6qq ′ q ′′ + 3q 2 q ′′′ − 2q ′′′ = 0
Einsetzen von p(2) = 4 ⇔ q(4) = 2:
3 · 4 q ′ − 2q ′ = 1 → q ′ = 1/10
12/100 + 12q ′′ − 2q ′′ = 0 → q ′′ = −12/1000 = −3/250
(60 − 18 · 2 · 12)/10000 + 10q ′′′ = 0 → q ′′′ = 93/25000
Taylor-Entwicklung der Umkehrfunktion 3-3

erste Terme der Taylor-Entwicklung
q(y) = 2 + 1 3
(y − 4) −
10 500 (y − 4)2 + 31
50000 (y − 4)3 + · · ·
Taylor-Entwicklung der Umkehrfunktion 3-4

erste Terme der Taylor-Entwicklung
q(y) = 2 + 1 3
(y − 4) −
10 500 (y − 4)2 + 31
50000 (y − 4)3 + · · ·
Test der Genauigkeit für y ≈ 4, z.B. y = 4.1:
x = q(4.1) ≈ 2 + 1 3
(y − 4) −
10 500 (y − 4)2 + 31 (y − 4)3
50000
= 2 + 1
100 − 6
100000 + 62
100000000
= 2.00940062
y ≈ p(2.00940062) ≈ 4.0945
Taylor-Entwicklung der Umkehrfunktion 3-5