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Hesse-Matrix - imng

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Beispiel:

f (x, y) = ln(x + 1/y)

partielle Ableitungen

1

f x =

x + 1/y , f y = − 1

xy 2 + y ,

1

f xx = −

(x + 1/y) 2 , f 1

xy =

(xy + 1) 2 , f yy = 2xy + 1

(xy 2 + y) 2

Gradient und Hesse-Matrix im Punkt (0, 1):

( )

1 −1 1

grad f (0, 1) = , H f (0, 1) =

−1

1 1

Hesse-Matrix 3-2

Multivariate Taylor-Approximation - imng

Kartesisches Koordinatensystem in der Ebene und im Raum - imng

Taylor-Entwicklung der Umkehrfunktion - imng

Beispiel: f (x, y) = ln(x + 1/y) partielle Ableitungen 1 f x = x + 1/y , f y = − 1 xy 2 + y , 1 f xx = − (x + 1/y) 2 , f 1 xy = (xy + 1) 2 , f yy = 2xy + 1 (xy 2 + y) 2 Gradient und Hesse-Matrix im Punkt (0, 1): ( ) ( ) 1 −1 1 grad f (0, 1) = , H f (0, 1) = −1 1 1 Hesse-Matrix 3-2

die quadratische Taylor-Entwicklung ( ) x f (x, y) = (1, −1) y − 1 + 1 ( ) ( −1 1 x 2 (x, y − 1) 1 1 y − 1 ) + O(|(x, y)| 3 ) = x − y + 1 + 1 2 ( −x 2 + 2x(y − 1) + (y − 1) 2) + O(|(x, y − 1)| 3 ) Hesse-Matrix 3-3

Seite 1 und 2: Hesse-Matrix Die quadratische Taylo
Seite 3 und 4: Beweis: Umschreiben der quadratisch
Seite 5 und 6: Restglied mit für ein θ ∈ [0, 1
Seite 7: Beispiel: f (x, y) = ln(x + 1/y) pa
Seite 11 und 12: Beispiel: quadratische Taylor-Entwi
Seite 13: Gradient und Hesse-Matrix: ⎛ grad

Hesse-Matrix - imng

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