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Hesse-Matrix - imng

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Beispiel:

f (x, y) = ln(x + 1/y)

partielle Ableitungen

1

f x =

x + 1/y , f y = − 1

xy 2 + y ,

1

f xx = −

(x + 1/y) 2 , f 1

xy =

(xy + 1) 2 , f yy = 2xy + 1

(xy 2 + y) 2

Hesse-Matrix 3-1

Multivariate Taylor-Approximation - imng

Kartesisches Koordinatensystem in der Ebene und im Raum - imng

Taylor-Entwicklung der Umkehrfunktion - imng

Restglied mit für ein θ ∈ [0, 1] Abschätzung R = ∑ |α|=3 1 α! ∂α f (u, v) (x − x 0 ) α 1 (y − y 0 ) α 2 (u, v) = (1 − θ)(x 0 , y 0 ) + θ(x, y) R = O(|(x − x 0 , y − y 0 )| 3 ) Beweis im allgemeinen Fall (n ≥ 2) analog Hesse-Matrix 2-5

Beispiel: f (x, y) = ln(x + 1/y) partielle Ableitungen 1 f x = x + 1/y , f y = − 1 xy 2 + y , 1 f xx = − (x + 1/y) 2 , f 1 xy = (xy + 1) 2 , f yy = 2xy + 1 (xy 2 + y) 2 Hesse-Matrix 3-1

Seite 1 und 2: Hesse-Matrix Die quadratische Taylo
Seite 3 und 4: Beweis: Umschreiben der quadratisch
Seite 5: Restglied mit für ein θ ∈ [0, 1
Seite 9 und 10: die quadratische Taylor-Entwicklung
Seite 11 und 12: Beispiel: quadratische Taylor-Entwi
Seite 13: Gradient und Hesse-Matrix: ⎛ grad

Hesse-Matrix - imng

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