Gamma-Funktion - imng
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<strong>Gamma</strong>-<strong>Funktion</strong><br />
Die durch<br />
Γ(x) =<br />
∫ ∞<br />
0<br />
t x−1 e −t dt, x ∈ (0, ∞) ,<br />
definierte <strong>Gamma</strong>-<strong>Funktion</strong> erfüllt die <strong>Funktion</strong>algleichung<br />
Γ(x + 1) = xΓ(x) .<br />
Insbesondere ist Γ(n + 1) = n!, n ∈ N.<br />
<strong>Gamma</strong>-<strong>Funktion</strong> - 1-1
<strong>Gamma</strong>-<strong>Funktion</strong><br />
Die durch<br />
Γ(x) =<br />
∫ ∞<br />
0<br />
t x−1 e −t dt, x ∈ (0, ∞) ,<br />
definierte <strong>Gamma</strong>-<strong>Funktion</strong> erfüllt die <strong>Funktion</strong>algleichung<br />
Γ(x + 1) = xΓ(x) .<br />
Insbesondere ist Γ(n + 1) = n!, n ∈ N.<br />
10<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
0<br />
−2<br />
−4<br />
−6<br />
−8<br />
−10<br />
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5<br />
<strong>Gamma</strong>-<strong>Funktion</strong> - 1-2
Mit Hilfe der <strong>Funktion</strong>algleichung lässt sich die <strong>Gamma</strong>-<strong>Funktion</strong> auch für<br />
negative Argumente definieren. Wie aus dem abgebildeten<br />
<strong>Funktion</strong>engraphen ersichtlich ist, besitzt sie einfache Pole für<br />
x = 0, −1, . . ..<br />
<strong>Gamma</strong>-<strong>Funktion</strong> - 1-3
Beweis:<br />
(i) Existenz des Integrals:<br />
<strong>Gamma</strong>-<strong>Funktion</strong> - 2-1
Beweis:<br />
(i) Existenz des Integrals:<br />
Konvergenz von ∫ 1<br />
0<br />
f nach dem Vergleichskriterium (x > 0)<br />
f (x) = t x−1 e −t ≤ t x−1<br />
<strong>Gamma</strong>-<strong>Funktion</strong> - 2-2
Beweis:<br />
(i) Existenz des Integrals:<br />
Konvergenz von ∫ 1<br />
0<br />
f nach dem Vergleichskriterium (x > 0)<br />
f (x) = t x−1 e −t ≤ t x−1<br />
Konvergenz von ∫ ∞<br />
1<br />
f ebenfalls nach dem Vergleichskriterium<br />
erfüllt für t ≥ n! mit n ≥ x + 2<br />
f (x) ≤ t −2 ⇔ t x+1 ≤ e t<br />
<strong>Gamma</strong>-<strong>Funktion</strong> - 2-3
Beweis:<br />
(i) Existenz des Integrals:<br />
Konvergenz von ∫ 1<br />
0<br />
f nach dem Vergleichskriterium (x > 0)<br />
f (x) = t x−1 e −t ≤ t x−1<br />
Konvergenz von ∫ ∞<br />
1<br />
f ebenfalls nach dem Vergleichskriterium<br />
f (x) ≤ t −2 ⇔ t x+1 ≤ e t<br />
erfüllt für t ≥ n! mit n ≥ x + 2<br />
Begründung mit Reihendarstellung der Exponentialfunktion:<br />
t x+1 ≤ t n−1 ≤ t n /n! ≤ exp(t)<br />
<strong>Gamma</strong>-<strong>Funktion</strong> - 2-4
(ii) <strong>Funktion</strong>algleichung:<br />
<strong>Gamma</strong>-<strong>Funktion</strong> - 2-5
(ii) <strong>Funktion</strong>algleichung:<br />
partielle Integration <br />
Γ(x + 1) =<br />
∫ ∞<br />
0<br />
= 0 + x<br />
t x e −t dt = [ −t x e −t] ∫ ∞<br />
∞<br />
0 + xt x−1 e −t dt<br />
∫ ∞<br />
0<br />
t x−1 e −t dt = xΓ(x)<br />
0<br />
<strong>Gamma</strong>-<strong>Funktion</strong> - 2-6
(ii) <strong>Funktion</strong>algleichung:<br />
partielle Integration <br />
Γ(x + 1) =<br />
∫ ∞<br />
0<br />
= 0 + x<br />
t x e −t dt = [ −t x e −t] ∫ ∞<br />
∞<br />
0 + xt x−1 e −t dt<br />
∫ ∞<br />
0<br />
t x−1 e −t dt = xΓ(x)<br />
0<br />
Γ(1) = 1 =⇒<br />
Γ(n + 1) = n!,<br />
n ∈ N<br />
<strong>Gamma</strong>-<strong>Funktion</strong> - 2-7
(ii) <strong>Funktion</strong>algleichung:<br />
partielle Integration <br />
Γ(x + 1) =<br />
Γ(1) = 1 =⇒<br />
∫ ∞<br />
0<br />
= 0 + x<br />
t x e −t dt = [ −t x e −t] ∫ ∞<br />
∞<br />
0 + xt x−1 e −t dt<br />
∫ ∞<br />
0<br />
t x−1 e −t dt = xΓ(x)<br />
Γ(n + 1) = n!,<br />
Gaußsche Definition der <strong>Gamma</strong>-<strong>Funktion</strong><br />
n ∈ N<br />
n!n x<br />
Γ(x) = lim<br />
n→∞ x(x + 1) · · · (x + n)<br />
0<br />
alternative Definition auf ganz R \ Z − <strong>Gamma</strong>-<strong>Funktion</strong> - 2-8