Gamma-Funktion - imng

Gamma-Funktion
Die durch
Γ(x) =
∫ ∞
0
t x−1 e −t dt, x ∈ (0, ∞) ,
definierte Gamma-Funktion erfüllt die Funktionalgleichung
Γ(x + 1) = xΓ(x) .
Insbesondere ist Γ(n + 1) = n!, n ∈ N.
Gamma-Funktion - 1-1

Gamma-Funktion
Die durch
Γ(x) =
∫ ∞
0
t x−1 e −t dt, x ∈ (0, ∞) ,
definierte Gamma-Funktion erfüllt die Funktionalgleichung
Γ(x + 1) = xΓ(x) .
Insbesondere ist Γ(n + 1) = n!, n ∈ N.
10
8
6
4
2
0
−2
−4
−6
−8
−10
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
Gamma-Funktion - 1-2

Mit Hilfe der Funktionalgleichung lässt sich die Gamma-Funktion auch für
negative Argumente definieren. Wie aus dem abgebildeten
Funktionengraphen ersichtlich ist, besitzt sie einfache Pole für
x = 0, −1, . . ..
Gamma-Funktion - 1-3

Beweis:
(i) Existenz des Integrals:
Gamma-Funktion - 2-1

Beweis:
(i) Existenz des Integrals:
Konvergenz von ∫ 1
0
f nach dem Vergleichskriterium (x > 0)
f (x) = t x−1 e −t ≤ t x−1
Gamma-Funktion - 2-2

Beweis:
(i) Existenz des Integrals:
Konvergenz von ∫ 1
0
f nach dem Vergleichskriterium (x > 0)
f (x) = t x−1 e −t ≤ t x−1
Konvergenz von ∫ ∞
1
f ebenfalls nach dem Vergleichskriterium
erfüllt für t ≥ n! mit n ≥ x + 2
f (x) ≤ t −2 ⇔ t x+1 ≤ e t
Gamma-Funktion - 2-3

Beweis:
(i) Existenz des Integrals:
Konvergenz von ∫ 1
0
f nach dem Vergleichskriterium (x > 0)
f (x) = t x−1 e −t ≤ t x−1
Konvergenz von ∫ ∞
1
f ebenfalls nach dem Vergleichskriterium
f (x) ≤ t −2 ⇔ t x+1 ≤ e t
erfüllt für t ≥ n! mit n ≥ x + 2
Begründung mit Reihendarstellung der Exponentialfunktion:
t x+1 ≤ t n−1 ≤ t n /n! ≤ exp(t)
Gamma-Funktion - 2-4

(ii) Funktionalgleichung:
Gamma-Funktion - 2-5

(ii) Funktionalgleichung:
partielle Integration
Γ(x + 1) =
∫ ∞
0
= 0 + x
t x e −t dt = [ −t x e −t] ∫ ∞
∞
0 + xt x−1 e −t dt
∫ ∞
0
t x−1 e −t dt = xΓ(x)
0
Gamma-Funktion - 2-6

(ii) Funktionalgleichung:
partielle Integration
Γ(x + 1) =
∫ ∞
0
= 0 + x
t x e −t dt = [ −t x e −t] ∫ ∞
∞
0 + xt x−1 e −t dt
∫ ∞
0
t x−1 e −t dt = xΓ(x)
0
Γ(1) = 1 =⇒
Γ(n + 1) = n!,
n ∈ N
Gamma-Funktion - 2-7

(ii) Funktionalgleichung:
partielle Integration
Γ(x + 1) =
Γ(1) = 1 =⇒
∫ ∞
0
= 0 + x
t x e −t dt = [ −t x e −t] ∫ ∞
∞
0 + xt x−1 e −t dt
∫ ∞
0
t x−1 e −t dt = xΓ(x)
Γ(n + 1) = n!,
Gaußsche Definition der Gamma-Funktion
n ∈ N
n!n x
Γ(x) = lim
n→∞ x(x + 1) · · · (x + n)
0
alternative Definition auf ganz R \ Z − Gamma-Funktion - 2-8