Logarithmische Ableitung - imng
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<strong>Logarithmische</strong> <strong>Ableitung</strong><br />
Die Formel<br />
f ′ (x) = f (x) d dx<br />
ln |f (x)|<br />
kann zur Differentiation von Funktionen der Form y = g(x) h(x) mit<br />
g(x) > 0 benutzt werden. Man erhält<br />
dy<br />
dx = d ( ) g(x)h(x) h(x) ln g(x) .<br />
dx<br />
<strong>Logarithmische</strong> <strong>Ableitung</strong> - 1-1
Beispiel:<br />
f (x) = x x , x > 0<br />
<strong>Logarithmische</strong> <strong>Ableitung</strong> - 2-1
Beispiel:<br />
f (x) = x x , x > 0<br />
logarithmisches Ableiten, (ln f ) ′ = f ′ /|f |, <br />
f ′ (x) = x x d dx ln(x x ) = x x d dx (x ln x) = x x (ln x + 1)<br />
6<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
−1<br />
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2<br />
f ′<br />
f<br />
<strong>Logarithmische</strong> <strong>Ableitung</strong> - 2-2
x → 0:<br />
f rechtsseitig stetig bei x = 0<br />
ln f (x) = x ln x → 0, x x → e 0 = 1<br />
<strong>Logarithmische</strong> <strong>Ableitung</strong> - 2-3
x → 0:<br />
f rechtsseitig stetig bei x = 0<br />
<strong>Ableitung</strong> bei x = 0 singulär, da<br />
ln f (x) = x ln x → 0, x x → e 0 = 1<br />
x x → 1, ln x + 1 → −∞ (x → 0)<br />
<strong>Logarithmische</strong> <strong>Ableitung</strong> - 2-4