Logarithmische Ableitung - imng

Logarithmische Ableitung
Die Formel
f ′ (x) = f (x) d dx
ln |f (x)|
kann zur Differentiation von Funktionen der Form y = g(x) h(x) mit
g(x) > 0 benutzt werden. Man erhält
dy
dx = d ( ) g(x)h(x) h(x) ln g(x) .
dx
Logarithmische Ableitung - 1-1

Beispiel:
f (x) = x x , x > 0
Logarithmische Ableitung - 2-1

Beispiel:
f (x) = x x , x > 0
logarithmisches Ableiten, (ln f ) ′ = f ′ /|f |,
f ′ (x) = x x d dx ln(x x ) = x x d dx (x ln x) = x x (ln x + 1)
6
5
4
3
2
1
0
−1
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
f ′
f
Logarithmische Ableitung - 2-2

x → 0:
f rechtsseitig stetig bei x = 0
ln f (x) = x ln x → 0, x x → e 0 = 1
Logarithmische Ableitung - 2-3

x → 0:
f rechtsseitig stetig bei x = 0
Ableitung bei x = 0 singulär, da
ln f (x) = x ln x → 0, x x → e 0 = 1
x x → 1, ln x + 1 → −∞ (x → 0)
Logarithmische Ableitung - 2-4