Volumen eines Tetraeders - imng
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<strong>Volumen</strong> <strong>eines</strong> <strong>Tetraeders</strong><br />
Das <strong>Volumen</strong> V <strong>eines</strong> <strong>Tetraeders</strong>,<br />
<br />
der von den Vektoren ⃗a, ⃗ b und ⃗c<br />
aufgespannt wird, lässt sich mit Hilfe des Spatproduktes berechnen:<br />
V = 1 6 |[⃗a,⃗ b,⃗c]| .<br />
ÖÖÔÐÑÒØ× <br />
<br />
<strong>Volumen</strong> <strong>eines</strong> <strong>Tetraeders</strong> 1-1
Beweis:<br />
<strong>Volumen</strong> <strong>eines</strong> <strong>Tetraeders</strong>:<br />
V = 1 3 Gh<br />
mit h der Höhe und G dem Inhalt der Grundfläche: G = G Spat /2<br />
<strong>Volumen</strong> <strong>eines</strong> <strong>Tetraeders</strong> 2-1
Beweis:<br />
<strong>Volumen</strong> <strong>eines</strong> <strong>Tetraeders</strong>:<br />
V = 1 3 Gh<br />
mit h der Höhe und G dem Inhalt der Grundfläche: G = G Spat /2<br />
=⇒<br />
V = 1 6 G Spath = 1 6 V Spat = 1 6 |[⃗a,⃗ b,⃗c]|<br />
mit dem Spatvolumen V Spat<br />
<strong>Volumen</strong> <strong>eines</strong> <strong>Tetraeders</strong> 2-2
Beispiel:<br />
Tetraeder, aufgespannt von<br />
⎛ ⎞<br />
0<br />
⃗a = ⎝ 1 ⎠ ,<br />
1<br />
⃗ b =<br />
⎛<br />
⎝<br />
1<br />
1<br />
0<br />
⎞<br />
⎛<br />
⎠ , ⃗c = ⎝<br />
0<br />
2<br />
0<br />
⎞<br />
⎠<br />
<strong>Volumen</strong> <strong>eines</strong> <strong>Tetraeders</strong> 3-1
Beispiel:<br />
Tetraeder, aufgespannt von<br />
⎛ ⎞<br />
0<br />
⃗a = ⎝ 1 ⎠ ,<br />
1<br />
<strong>Volumen</strong>:<br />
⃗ b =<br />
⎛<br />
⎝<br />
1<br />
1<br />
0<br />
⎞<br />
⎛<br />
⎠ , ⃗c = ⎝<br />
V = 1 6 |[⃗a,⃗ b,⃗c]|<br />
⎛ ⎞ ⎛⎛<br />
⎞ ⎛<br />
= 1 0 1<br />
⎝<br />
6<br />
1 ⎠ · ⎝⎝<br />
1 ⎠ × ⎝<br />
∣ 1 0<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
= 1 0 0<br />
⎝<br />
6<br />
1 ⎠ · ⎝ 0 ⎠<br />
∣ 1 2 ∣<br />
= 2 6 = 1 3<br />
0<br />
2<br />
0<br />
0<br />
2<br />
0<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎞⎞<br />
⎠⎠<br />
∣<br />
<strong>Volumen</strong> <strong>eines</strong> <strong>Tetraeders</strong> 3-2