Binomialreihe - imng

Binomialreihe
Die Funktion
mit α ∈ R besitzt die Taylor-Reihe
∞∑
k=0
( α
k)
x k = 1 + αx +
f (x) = (1 + x) α
α(α − 1)
x 2 +
2!
α(α − 1)(α − 2)
x 3 + · · · .
3!
Dabei bezeichnet
( α α(α − 1)(α − 2) · · · (α − k + 1)
=
k)
k!
den verallgemeinerten Binomialkoeffizient.
Binomialreihe - 1-1

Binomialreihe
Die Funktion
mit α ∈ R besitzt die Taylor-Reihe
∞∑
k=0
( α
k)
x k = 1 + αx +
f (x) = (1 + x) α
α(α − 1)
x 2 +
2!
α(α − 1)(α − 2)
x 3 + · · · .
3!
Dabei bezeichnet
( α α(α − 1)(α − 2) · · · (α − k + 1)
=
k)
k!
den verallgemeinerten Binomialkoeffizient.
Die Reihe konvergiert für |x| < 1.
Binomialreihe - 1-2

Beweis:
Ableitungen:
f (k) (x) = α(α − 1) · (α − k + 1)(1 + x) α−k
Binomialreihe - 2-1

Beweis:
Ableitungen:
f (k) (x) = α(α − 1) · (α − k + 1)(1 + x) α−k
Taylor-Koeffizienten
c k = f (k) (0)
k!
( α
=
k)
Binomialreihe - 2-2

Beweis:
Ableitungen:
f (k) (x) = α(α − 1) · (α − k + 1)(1 + x) α−k
Taylor-Koeffizienten
c k = f (k) (0)
k!
( α
=
k)
benutze Quotientenkriterium
Binomialreihe - 2-3

Beweis:
Ableitungen:
f (k) (x) = α(α − 1) · (α − k + 1)(1 + x) α−k
Taylor-Koeffizienten
c k = f (k) (0)
k!
( α
=
k)
benutze Quotientenkriterium
q k = |c k+1x k+1 (
|
|c k x k = |x|
α / ( )∣ α ∣∣∣
| ∣
= |x|
k + 1)
k
|α − k|
k + 1
Binomialreihe - 2-4

Beweis:
Ableitungen:
f (k) (x) = α(α − 1) · (α − k + 1)(1 + x) α−k
Taylor-Koeffizienten
c k = f (k) (0)
k!
( α
=
k)
benutze Quotientenkriterium
q k = |c k+1x k+1 (
|
|c k x k = |x|
α / ( )∣ α ∣∣∣
| ∣
= |x|
k + 1)
k
lim k→∞ q k = |x| Konvergenz für |x| < 1
|α − k|
k + 1
Binomialreihe - 2-5