Rationale Funktion - imng

Rationale Funktion
Eine rationale Funktion r mit Zählergrad m und Nennergrad n ist der
Quotient zweier Polynome:
r(x) = p(x)
q(x) = a 0 + a 1 x + · · · + a m x m
b 0 + b 1 x + · · · + b n x n .
Diese Darstellung bezeichnet man als irreduzibel, wenn p und q keinen
gemeinsamen Linearfaktor besitzen. Die Nullstellen des Nenners sind dann
Definitionslücken der rationalen Funktion r und werden als Polstellen
bezeichnet. Ihre Ordnung entspricht der Vielfachheit der Nullstelle.
Rationale Funktion - 1-1

Rationale Funktion
Eine rationale Funktion r mit Zählergrad m und Nennergrad n ist der
Quotient zweier Polynome:
r(x) = p(x)
q(x) = a 0 + a 1 x + · · · + a m x m
b 0 + b 1 x + · · · + b n x n .
Diese Darstellung bezeichnet man als irreduzibel, wenn p und q keinen
gemeinsamen Linearfaktor besitzen. Die Nullstellen des Nenners sind dann
Definitionslücken der rationalen Funktion r und werden als Polstellen
bezeichnet. Ihre Ordnung entspricht der Vielfachheit der Nullstelle.
Die Variable x und die Koeffizienten a k , b k können reell oder komplex
sein. Entsprechend spricht man von einer reellen oder komplexen
rationalen Funktion.
Rationale Funktion - 1-2

Beispiel:
PSfrag
f (x) =
x 4
(x + 1)(x − 1) 2
6
4
2
0
−2
−4
−6
−6 −4 −2 0 2 4 6
Rationale Funktion - 2-1

Beispiel:
PSfrag
f (x) =
x 4
(x + 1)(x − 1) 2
6
4
2
0
−2
−4
−6
−6 −4 −2 0 2 4 6
einfacher Pol bei x = −1 Vorzeichenwechsel
Rationale Funktion - 2-2

Beispiel:
PSfrag
f (x) =
x 4
(x + 1)(x − 1) 2
6
4
2
0
−2
−4
−6
−6 −4 −2 0 2 4 6
einfacher Pol bei x = −1 Vorzeichenwechsel
doppelter Pol bei x = 1 kein Vorzeichenwechsel
Rationale Funktion - 2-3

Beispiel:
Visualisierung des Real- und Imaginärteils von
r(z) =
z2
z 3 − 1
Rationale Funktion - 3-1

Beispiel:
Visualisierung des Real- und Imaginärteils von
r(z) =
z2
z 3 − 1
Polstellen auf dem Einheitskreis:
z 1 = 1, z 2 = e 2πi/3 = − 1 2 + √
3
2 i, z 3 = e −2πi/3 = − 1 2 − √
3
2 i
Rationale Funktion - 3-2