Euklidische Normalformen der zweidimensionalen Quadriken - imng

Euklidische Normalformen der zweidimensionalen
Quadriken
Es existieren 9 verschiedene Typen ebener Quadriken mit den folgenden
Normalformen:
Euklidische Normalform der zweidimensionalen Quadriken 1-1

Euklidische Normalformen der zweidimensionalen
Quadriken
Es existieren 9 verschiedene Typen ebener Quadriken mit den folgenden
Normalformen:
Kegelige Quadriken
Normalform
Bezeichnung
x1
2 + x2 a1
2 2
a2
2
x1
2 − x2 a1
2 2
a2
2
x1
2
a1
2
= 0 Punkt
= 0 schneidendes Geradenpaar
= 0 Doppelgerade
Euklidische Normalform der zweidimensionalen Quadriken 1-2

Mittelpunktsquadriken
x1
2 a1
2
Normalform
Bezeichnung
+ x2 2
+ 1 = 0 (leere Menge)
a2
2
x1
2 − x2 a1
2 2
+ 1 = 0 Hyperbel
a2
2
− x2 2
+ 1 = 0 Ellipse
− x2 1
a 2 1
a 2 2
x1
2 + 1 = 0 (leere Menge)
a1
2
− x2 1
+ 1 = 0 paralleles Geradenpaar
a1
2
Euklidische Normalform der zweidimensionalen Quadriken 1-3

Mittelpunktsquadriken
x1
2 a1
2
Normalform
Bezeichnung
+ x2 2
+ 1 = 0 (leere Menge)
a2
2
x1
2 − x2 a1
2 2
+ 1 = 0 Hyperbel
a2
2
− x2 2
+ 1 = 0 Ellipse
− x2 1
a 2 1
a 2 2
x1
2 + 1 = 0 (leere Menge)
a1
2
− x2 1
+ 1 = 0 paralleles Geradenpaar
a1
2
Parabolische Quadriken
Normalform
Bezeichnung
x1
2 + 2x
a1
2 2 = 0 Parabel
Euklidische Normalform der zweidimensionalen Quadriken 1-4

Die Normalformen sind eindeutig bis auf Permutation der Indizes und bei
kegeligen Quadriken bis auf Multiplikation mit einer Konstanten c ≠ 0.
Die Größen a i werden positiv angesetzt und heißen Hauptachsenlängen der
Quadrik.
Euklidische Normalform der zweidimensionalen Quadriken 1-5

Die Normalformen sind eindeutig bis auf Permutation der Indizes und bei
kegeligen Quadriken bis auf Multiplikation mit einer Konstanten c ≠ 0.
Die Größen a i werden positiv angesetzt und heißen Hauptachsenlängen der
Quadrik.
schneidendes Geradenpaar
Doppelgerade
x 2
x 2
a 1
a 2
x 1
x 1
Euklidische Normalform der zweidimensionalen Quadriken 1-6

Hyperbel
Ellipse
x 2
a 1
x 2
a 2
x 1
a 2
x 1 a1
Euklidische Normalform der zweidimensionalen Quadriken 1-7

paralleles Geradenpaar
Parabel
x 2
x 2
a 1
x 1
x 1
Euklidische Normalform der zweidimensionalen Quadriken 1-8

Beispiel:
Normalform und der Typ der Quadrik
Q : 3x 2 1 + 3x 2 2 + 10x 1 x 2 − 14 √ 2x 1 − 2 √ 2x 2 − 18 = 0
Euklidische Normalform der zweidimensionalen Quadriken 2-1

Beispiel:
Normalform und der Typ der Quadrik
Matrixform
Q : 3x 2 1 + 3x 2 2 + 10x 1 x 2 − 14 √ 2x 1 − 2 √ 2x 2 − 18 = 0
x t Ax + 2b t x + c = x t ( 3 5
5 3
)
x + 2 √ 2 (−7, −1) x − 18
Euklidische Normalform der zweidimensionalen Quadriken 2-2

Beispiel:
Normalform und der Typ der Quadrik
Matrixform
Q : 3x 2 1 + 3x 2 2 + 10x 1 x 2 − 14 √ 2x 1 − 2 √ 2x 2 − 18 = 0
x t Ax + 2b t x + c = x t ( 3 5
5 3
charakteristisches Polynom
(3 − λ) 2 − 25 = 9 − 6λ + λ 2 − 25
)
x + 2 √ 2 (−7, −1) x − 18
Euklidische Normalform der zweidimensionalen Quadriken 2-3

Beispiel:
Normalform und der Typ der Quadrik
Matrixform
Q : 3x 2 1 + 3x 2 2 + 10x 1 x 2 − 14 √ 2x 1 − 2 √ 2x 2 − 18 = 0
x t Ax + 2b t x + c = x t ( 3 5
5 3
charakteristisches Polynom
)
x + 2 √ 2 (−7, −1) x − 18
(3 − λ) 2 − 25 = 9 − 6λ + λ 2 − 25 = λ 2 − 6λ − 16
Euklidische Normalform der zweidimensionalen Quadriken 2-4

Beispiel:
Normalform und der Typ der Quadrik
Matrixform
Q : 3x 2 1 + 3x 2 2 + 10x 1 x 2 − 14 √ 2x 1 − 2 √ 2x 2 − 18 = 0
x t Ax + 2b t x + c = x t ( 3 5
5 3
charakteristisches Polynom
)
x + 2 √ 2 (−7, −1) x − 18
(3 − λ) 2 − 25 = 9 − 6λ + λ 2 − 25 = λ 2 − 6λ − 16
Nullstellen
λ 1,2 = 6 ± √ 36 + 64
2
Euklidische Normalform der zweidimensionalen Quadriken 2-5

Beispiel:
Normalform und der Typ der Quadrik
Matrixform
Q : 3x 2 1 + 3x 2 2 + 10x 1 x 2 − 14 √ 2x 1 − 2 √ 2x 2 − 18 = 0
x t Ax + 2b t x + c = x t ( 3 5
5 3
charakteristisches Polynom
)
x + 2 √ 2 (−7, −1) x − 18
(3 − λ) 2 − 25 = 9 − 6λ + λ 2 − 25 = λ 2 − 6λ − 16
Nullstellen
λ 1,2 = 6 ± √ 36 + 64
2
= 3 ± 5
Euklidische Normalform der zweidimensionalen Quadriken 2-6

lineares Gleichungssystem
( 5 5
5 5
)
v 1 = 0
normierter Eigenvektor zu λ 1 = −2
v 1 = 1 √
2
(1, −1) t
Euklidische Normalform der zweidimensionalen Quadriken 2-7

lineares Gleichungssystem
( 5 5
5 5
)
v 1 = 0
normierter Eigenvektor zu λ 1 = −2
Eigenvektor zu λ 2 = 8 ⊥ zu v 1 =⇒
v 1 = 1 √
2
(1, −1) t
v 2 = 1 √
2
(1, 1) t
normiert und Vorzeichen so, dass die Determinante der
Transformationsmatrix
U = √ 1 ( ) 1 1
2 −1 1
positiv ist
Euklidische Normalform der zweidimensionalen Quadriken 2-8

Substitution x = Uy
Euklidische Normalform der zweidimensionalen Quadriken 2-9

Substitution x = Uy
0 = y t Ãy + 2˜b t y + c
Euklidische Normalform der zweidimensionalen Quadriken 2-10

Substitution x = Uy
0 = y t Ãy + 2˜b t y + c
= y t U t AUy + 2 ( b t U ) y + c
Euklidische Normalform der zweidimensionalen Quadriken 2-11

Substitution x = Uy
0 = y t Ãy + 2˜b t y + c
= y t U t AUy + 2 ( b t U ) y + c
= −2y1 2 + 8y2 2 − 12y 1 − 16y 2 − 18
Euklidische Normalform der zweidimensionalen Quadriken 2-12

Substitution x = Uy
0 = y t Ãy + 2˜b t y + c
= y t U t AUy + 2 ( b t U ) y + c
= −2y1 2 + 8y2 2 − 12y 1 − 16y 2 − 18
quadratisches Ergänzen
0 = −2y 2 1 + 8y 2 2 − 12y 1 − 16y 2 − 18
Euklidische Normalform der zweidimensionalen Quadriken 2-13

Substitution x = Uy
0 = y t Ãy + 2˜b t y + c
= y t U t AUy + 2 ( b t U ) y + c
= −2y1 2 + 8y2 2 − 12y 1 − 16y 2 − 18
quadratisches Ergänzen
0 = −2y 2 1 + 8y 2 2 − 12y 1 − 16y 2 − 18
= −2(y 1 + 3) 2 + 18 + 8(y 2 − 1) 2 − 8 − 18
Euklidische Normalform der zweidimensionalen Quadriken 2-14

Substitution x = Uy
0 = y t Ãy + 2˜b t y + c
= y t U t AUy + 2 ( b t U ) y + c
= −2y1 2 + 8y2 2 − 12y 1 − 16y 2 − 18
quadratisches Ergänzen
0 = −2y1 2 + 8y2 2 − 12y 1 − 16y 2 − 18
= −2(y 1 + 3) 2 + 18 + 8(y 2 − 1) 2 − 8 − 18
= −2z1 2 + 8z2 2 − 8
Euklidische Normalform der zweidimensionalen Quadriken 2-15

Substitution x = Uy
0 = y t Ãy + 2˜b t y + c
= y t U t AUy + 2 ( b t U ) y + c
= −2y1 2 + 8y2 2 − 12y 1 − 16y 2 − 18
quadratisches Ergänzen
bzw.
0 = −2y 2 1 + 8y 2 2 − 12y 1 − 16y 2 − 18
= −2(y 1 + 3) 2 + 18 + 8(y 2 − 1) 2 − 8 − 18
= −2z 2 1 + 8z 2 2 − 8
z 2 1
2 2 − z2 2
1 2 + 1 = 0
Euklidische Normalform der zweidimensionalen Quadriken 2-16

Substitution x = Uy
0 = y t Ãy + 2˜b t y + c
= y t U t AUy + 2 ( b t U ) y + c
= −2y1 2 + 8y2 2 − 12y 1 − 16y 2 − 18
quadratisches Ergänzen
bzw.
Mittelpunkt
( 0
z M =
0)
0 = −2y 2 1 + 8y 2 2 − 12y 1 − 16y 2 − 18
= −2(y 1 + 3) 2 + 18 + 8(y 2 − 1) 2 − 8 − 18
= −2z 2 1 + 8z 2 2 − 8
⇒ y M =
z 2 1
2 2 − z2 2
1 2 + 1 = 0
( ) −3
1
⇒ x M = Uy M = √ 1 ( ) −2
2 4
Euklidische Normalform der zweidimensionalen Quadriken 2-17

Q : Hyperbel
5
4
3
M
a 2 v 2
Q
a 1 v 1
2
1
0
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2
Euklidische Normalform der zweidimensionalen Quadriken 2-18