Diagonalisierung zyklischer Matrizen - imng
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<strong>Diagonalisierung</strong> <strong>zyklischer</strong> <strong>Matrizen</strong><br />
Eine zyklische (n × n)-Matrix A kann mit Hilfe der Fourier-Matrix<br />
W = (w jk ) j,k=0,...,n−1 , w = exp(2πi/n) ,<br />
diagonalisiert werden:<br />
⎛<br />
⎞<br />
a 0 a n−1 · · · a 1<br />
⎛<br />
1<br />
n W a 1 a 0 · · · a 2<br />
⎜<br />
⎝<br />
.<br />
.<br />
..<br />
⎟<br />
. ⎠ W = ⎜<br />
⎝<br />
a n−1 a n−2 · · · a 0<br />
⎞<br />
λ 1 · · · 0<br />
.<br />
. ..<br />
⎟ . ⎠ ,<br />
0 · · · λ n<br />
mit<br />
∑n−1<br />
λ l = a k w −kl , l = 0, . . . , n − 1 ,<br />
den Eigenwerten von A.<br />
k=0<br />
<strong>Diagonalisierung</strong> <strong>zyklischer</strong> <strong>Matrizen</strong> 1-1
Beweis:<br />
j-te Komponente von A(w 0l , · · · , w (n−1)l ) t , A = (a j−k mod n ),<br />
∑n−1<br />
j∑<br />
a j−k mod n w (k−j)l w jl = w jl a k ′ mod nw −k′ l<br />
k=0<br />
k ′ =j−n+1<br />
<strong>Diagonalisierung</strong> <strong>zyklischer</strong> <strong>Matrizen</strong> 2-1
Beweis:<br />
j-te Komponente von A(w 0l , · · · , w (n−1)l ) t , A = (a j−k mod n ),<br />
∑n−1<br />
j∑<br />
a j−k mod n w (k−j)l w jl = w jl a k ′ mod nw −k′ l<br />
k=0<br />
k ′ =j−n+1<br />
ersetze Summationsbereich der letzten Summe durch k ′ = 0, . . . , n − 1<br />
<strong>Diagonalisierung</strong> <strong>zyklischer</strong> <strong>Matrizen</strong> 2-2
Beweis:<br />
j-te Komponente von A(w 0l , · · · , w (n−1)l ) t , A = (a j−k mod n ),<br />
∑n−1<br />
j∑<br />
a j−k mod n w (k−j)l w jl = w jl a k ′ mod nw −k′ l<br />
k=0<br />
k ′ =j−n+1<br />
ersetze Summationsbereich der letzten Summe durch k ′ = 0, . . . , n − 1<br />
(Indizes modulo n) ⇒ ∑ k ′ · · · = λ l<br />
<strong>Diagonalisierung</strong> <strong>zyklischer</strong> <strong>Matrizen</strong> 2-3
Beweis:<br />
j-te Komponente von A(w 0l , · · · , w (n−1)l ) t , A = (a j−k mod n ),<br />
∑n−1<br />
j∑<br />
a j−k mod n w (k−j)l w jl = w jl a k ′ mod nw −k′ l<br />
k=0<br />
k ′ =j−n+1<br />
ersetze Summationsbereich der letzten Summe durch k ′ = 0, . . . , n − 1<br />
(Indizes modulo n) ⇒ ∑ k ′ · · · = λ l<br />
schreibe Identität für Spalten in Matrixform<br />
⎛<br />
<br />
AW = W<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎞<br />
λ 1 · · · 0<br />
.<br />
. ..<br />
⎟ . ⎠ .<br />
0 · · · λ n<br />
<strong>Diagonalisierung</strong> <strong>zyklischer</strong> <strong>Matrizen</strong> 2-4
Beweis:<br />
j-te Komponente von A(w 0l , · · · , w (n−1)l ) t , A = (a j−k mod n ),<br />
∑n−1<br />
j∑<br />
a j−k mod n w (k−j)l w jl = w jl a k ′ mod nw −k′ l<br />
k=0<br />
k ′ =j−n+1<br />
ersetze Summationsbereich der letzten Summe durch k ′ = 0, . . . , n − 1<br />
(Indizes modulo n) ⇒ ∑ k ′ · · · = λ l<br />
schreibe Identität für Spalten in Matrixform<br />
⎛<br />
<br />
AW = W<br />
1 √ n<br />
W unitär und W = W t =⇒<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎞<br />
λ 1 · · · 0<br />
.<br />
. ..<br />
⎟ . ⎠ .<br />
0 · · · λ n<br />
behauptete Transformation auf Diagonalform<br />
(<br />
1 √n W<br />
) −1<br />
=<br />
1 √n W ∗ bzw. W −1 = 1 n W<br />
<strong>Diagonalisierung</strong> <strong>zyklischer</strong> <strong>Matrizen</strong> 2-5
Beispiel:<br />
A =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
2 1 0 1<br />
1 2 1 0<br />
0 1 2 1<br />
1 0 1 2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
Transformation auf Diagonalform mit der Fourier-Matrix:<br />
⎛<br />
⎞<br />
⎛<br />
1 1 1 1<br />
W = ⎜ 1 i −1 −i<br />
⎟<br />
⎝ 1 −1 1 −1 ⎠ 1 4 W AW = ⎜<br />
⎝<br />
1 −i −1 i<br />
0 0 0 0<br />
0 2 0 0<br />
0 0 4 0<br />
0 0 0 2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
<strong>Diagonalisierung</strong> <strong>zyklischer</strong> <strong>Matrizen</strong> 3-1
Beispiel:<br />
A =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
2 1 0 1<br />
1 2 1 0<br />
0 1 2 1<br />
1 0 1 2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
Transformation auf Diagonalform mit der Fourier-Matrix:<br />
⎛<br />
⎞<br />
⎛<br />
1 1 1 1<br />
W = ⎜ 1 i −1 −i<br />
⎟<br />
⎝ 1 −1 1 −1 ⎠ 1 4 W AW = ⎜<br />
⎝<br />
1 −i −1 i<br />
0 0 0 0<br />
0 2 0 0<br />
0 0 4 0<br />
0 0 0 2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
Eigenwerte: 0, 2, 2 und 4<br />
<strong>Diagonalisierung</strong> <strong>zyklischer</strong> <strong>Matrizen</strong> 3-2
A reell, Linearkombinationen der komplexen Eigenvektoren<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
1<br />
1<br />
⎜ i<br />
⎟<br />
⎝ −1 ⎠ ,<br />
⎜ −i<br />
⎟<br />
⎝ −1 ⎠<br />
−i i<br />
(zweite und vierte Spalte von W )<br />
<strong>Diagonalisierung</strong> <strong>zyklischer</strong> <strong>Matrizen</strong> 3-3
A reell, Linearkombinationen der komplexen Eigenvektoren<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
1<br />
1<br />
⎜ i<br />
⎟<br />
⎝ −1 ⎠ ,<br />
⎜ −i<br />
⎟<br />
⎝ −1 ⎠<br />
−i i<br />
(zweite und vierte Spalte von W )<br />
reelle Basis für den Eigenraum zum Eigenwert 2<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛<br />
1 1 2<br />
1<br />
⎜ i<br />
⎟<br />
⎝ −1 ⎠ + ⎜ −i<br />
⎟<br />
⎝ −1 ⎠ = ⎜ 0<br />
⎟<br />
⎝ −2 ⎠ , i ⎜ i<br />
⎟<br />
⎝ −1 ⎠ − i ⎜<br />
⎝<br />
−i i 0<br />
−i<br />
1<br />
−i<br />
−1<br />
i<br />
⎞<br />
⎛<br />
⎟<br />
⎠ = ⎜<br />
⎝<br />
0<br />
−2<br />
0<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
<strong>Diagonalisierung</strong> <strong>zyklischer</strong> <strong>Matrizen</strong> 3-4