Diagonalisierung zyklischer Matrizen - imng

Diagonalisierung zyklischer Matrizen
Eine zyklische (n × n)-Matrix A kann mit Hilfe der Fourier-Matrix
W = (w jk ) j,k=0,...,n−1 , w = exp(2πi/n) ,
diagonalisiert werden:
⎛
⎞
a 0 a n−1 · · · a 1
⎛
1
n W a 1 a 0 · · · a 2
⎜
⎝
.
.
..
⎟
. ⎠ W = ⎜
⎝
a n−1 a n−2 · · · a 0
⎞
λ 1 · · · 0
.
. ..
⎟ . ⎠ ,
0 · · · λ n
mit
∑n−1
λ l = a k w −kl , l = 0, . . . , n − 1 ,
den Eigenwerten von A.
k=0
Diagonalisierung zyklischer Matrizen 1-1

Beweis:
j-te Komponente von A(w 0l , · · · , w (n−1)l ) t , A = (a j−k mod n ),
∑n−1
j∑
a j−k mod n w (k−j)l w jl = w jl a k ′ mod nw −k′ l
k=0
k ′ =j−n+1
Diagonalisierung zyklischer Matrizen 2-1

Beweis:
j-te Komponente von A(w 0l , · · · , w (n−1)l ) t , A = (a j−k mod n ),
∑n−1
j∑
a j−k mod n w (k−j)l w jl = w jl a k ′ mod nw −k′ l
k=0
k ′ =j−n+1
ersetze Summationsbereich der letzten Summe durch k ′ = 0, . . . , n − 1
Diagonalisierung zyklischer Matrizen 2-2

Beweis:
j-te Komponente von A(w 0l , · · · , w (n−1)l ) t , A = (a j−k mod n ),
∑n−1
j∑
a j−k mod n w (k−j)l w jl = w jl a k ′ mod nw −k′ l
k=0
k ′ =j−n+1
ersetze Summationsbereich der letzten Summe durch k ′ = 0, . . . , n − 1
(Indizes modulo n) ⇒ ∑ k ′ · · · = λ l
Diagonalisierung zyklischer Matrizen 2-3

Beweis:
j-te Komponente von A(w 0l , · · · , w (n−1)l ) t , A = (a j−k mod n ),
∑n−1
j∑
a j−k mod n w (k−j)l w jl = w jl a k ′ mod nw −k′ l
k=0
k ′ =j−n+1
ersetze Summationsbereich der letzten Summe durch k ′ = 0, . . . , n − 1
(Indizes modulo n) ⇒ ∑ k ′ · · · = λ l
schreibe Identität für Spalten in Matrixform
⎛
AW = W
⎜
⎝
⎞
λ 1 · · · 0
.
. ..
⎟ . ⎠ .
0 · · · λ n
Diagonalisierung zyklischer Matrizen 2-4

Beweis:
j-te Komponente von A(w 0l , · · · , w (n−1)l ) t , A = (a j−k mod n ),
∑n−1
j∑
a j−k mod n w (k−j)l w jl = w jl a k ′ mod nw −k′ l
k=0
k ′ =j−n+1
ersetze Summationsbereich der letzten Summe durch k ′ = 0, . . . , n − 1
(Indizes modulo n) ⇒ ∑ k ′ · · · = λ l
schreibe Identität für Spalten in Matrixform
⎛
AW = W
1 √ n
W unitär und W = W t =⇒
⎜
⎝
⎞
λ 1 · · · 0
.
. ..
⎟ . ⎠ .
0 · · · λ n
behauptete Transformation auf Diagonalform
(
1 √n W
) −1
=
1 √n W ∗ bzw. W −1 = 1 n W
Diagonalisierung zyklischer Matrizen 2-5

Beispiel:
A =
⎛
⎜
⎝
2 1 0 1
1 2 1 0
0 1 2 1
1 0 1 2
⎞
⎟
⎠
Transformation auf Diagonalform mit der Fourier-Matrix:
⎛
⎞
⎛
1 1 1 1
W = ⎜ 1 i −1 −i
⎟
⎝ 1 −1 1 −1 ⎠ 1 4 W AW = ⎜
⎝
1 −i −1 i
0 0 0 0
0 2 0 0
0 0 4 0
0 0 0 2
⎞
⎟
⎠
Diagonalisierung zyklischer Matrizen 3-1

Beispiel:
A =
⎛
⎜
⎝
2 1 0 1
1 2 1 0
0 1 2 1
1 0 1 2
⎞
⎟
⎠
Transformation auf Diagonalform mit der Fourier-Matrix:
⎛
⎞
⎛
1 1 1 1
W = ⎜ 1 i −1 −i
⎟
⎝ 1 −1 1 −1 ⎠ 1 4 W AW = ⎜
⎝
1 −i −1 i
0 0 0 0
0 2 0 0
0 0 4 0
0 0 0 2
⎞
⎟
⎠
Eigenwerte: 0, 2, 2 und 4
Diagonalisierung zyklischer Matrizen 3-2

A reell, Linearkombinationen der komplexen Eigenvektoren
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1
1
⎜ i
⎟
⎝ −1 ⎠ ,
⎜ −i
⎟
⎝ −1 ⎠
−i i
(zweite und vierte Spalte von W )
Diagonalisierung zyklischer Matrizen 3-3

A reell, Linearkombinationen der komplexen Eigenvektoren
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1
1
⎜ i
⎟
⎝ −1 ⎠ ,
⎜ −i
⎟
⎝ −1 ⎠
−i i
(zweite und vierte Spalte von W )
reelle Basis für den Eigenraum zum Eigenwert 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛
1 1 2
1
⎜ i
⎟
⎝ −1 ⎠ + ⎜ −i
⎟
⎝ −1 ⎠ = ⎜ 0
⎟
⎝ −2 ⎠ , i ⎜ i
⎟
⎝ −1 ⎠ − i ⎜
⎝
−i i 0
−i
1
−i
−1
i
⎞
⎛
⎟
⎠ = ⎜
⎝
0
−2
0
2
⎞
⎟
⎠
Diagonalisierung zyklischer Matrizen 3-4