ds2 = c2dt2 − e2ct/a (dx2 + dy2 + dz2)

TheoretischePhysik VI:Kosmologie
SS2013
16. Satellitenuhren(GPS) 9Pkt.
Die durch die Erdgravitation erzeugte Metrik wird (außerhalb der Erdkugel) in guter
Näherung durchdas Linienelement
ds 2 = (1+2Φ)c 2 dt 2 −(1−2Φ)dr 2 −r 2( dϑ 2 +sin 2 ϑdϕ 2)
beschrieben, wobei Φ = −GM/rc 2 (|Φ| ≪ 1) 1 das mit dem Faktor 1/c 2 entdimensionalisiertenewtonsche
Gravitationspotentialist.
(a)
(b)
(c)
BerechnenSiedieZeit τ,dieaufeinerUhr(mitfestenWinkelkoordinaten)imAbstand
R vom Erdmittelpunkt verstreicht, als Funktion der Koordinatenzeit t [τ(0) = 0].
LaufenUhren schnelleroderlangsamer,wenn R zunimmt?
BestimmenSiedieWinkelgeschwindigkeitdϕ/dt füreinenSatellitenaufeinerKreisbahn
(mitRadius R) überdemÄquator(ϑ = π/2).
Hinweis: Die Lagrangefunktion L = 1 /2(ds/dτ) 2 liefert zwei zyklische Koordinaten,
die Kreisbahnbedingung dr/dτ = 0 führt darüber hinaus zu ∂L/∂r = 0. Mit
L = 1 /2c 2 kann man die Integrationskonstanten als Funktion des Kreisbahnradius
bestimmen.Zwischenergebnis zur Kontrolle:dϕ/dτ = ±c √ (
|Φ|/R+O |Φ| 3/2) .
WielangebrauchteinSatellitaufeinerKreisbahnmit20183kmHöhe(ErdradiusR E =
6370km)füreinenUmlauf(Eigenzeit)?GebenSiedieDifferenzzurEigenzeiteineram
Polauf derErdoberflächepositioniertenUhr inMikrosekundenan.
Hinweis:DieErdabplattung darfvernachlässigtwerden.
Zahlenwerte: G = 6.67×10 −11 m 3 /kg s 2 , c = 3.00×10 8 m/s, Erdmasse M = 5.97×
10 24 kg.
(2Pkt.)
(5Pkt.)
(2Pkt.)
Es sind insgesamt 28 Punkte zu erreichen. Die Aufgaben sind zum unten genannten Termin
vorzurechnen.
1 Gleichungen können alsoin Φ linearisiert/entwickeltwerden,woimmerdas sinnvollist.
Vorrechnen: 02.07.2013 2