ds2 = c2dt2 − e2ct/a (dx2 + dy2 + dz2)

Prof.Dr.K.Kassner
Dr.V.Becker
TheoretischePhysikVI:Kosmologie
Blatt7
SS2013
18.06.2013
14. DeSitter-Kosmos 10 Pkt.
Eine Formdes Linienelementsdes DeSitter-Kosmosistgegebendurch:
ds 2 = c 2 dt 2 −e 2ct/a( dx 2 +dy 2 +dz 2) . (1)
(a)
(b)
(c)
(d)
Bestimmen Sie den Krümmungsindex k, die Hubble-Funktion H(t), den Dezelerationsparameter
q 0 (t) sowie die Zustandsgleichung p = p(µ). Was folgern Sie daraus
für die möglichen Werte von µ und p, solange keine dunkle Energie mit exotischen
Eigenschaftenangenommen wird?
GebenSiedenWertderkosmologischenKonstante an.
Man kann behaupten, dass (1) ein statisches Universum beschreibt (neben dem Einsteinschen).ÜberprüfenSiediePlausibilitätdieserBehauptung,indemSieeinezeitlicheTranslation
t → t ′ = t+t 0 desLinienelementsdurchführen.Lässtsichdurcheine
geeigneteräumliche TransformationInvarianz desLinienelementserreichen?
FührenSie durch
(3Pkt.)
(1Pkt.)
(2Pkt.)
(4Pkt.)
e c˜t/a
˜x α = x α e ct/a , α = 1,...3
√
) (˜r 2
1− = e ct/a , ˜r 2 3
=
a
∑ (˜x α ) 2
α=1
neue Koordinaten ein und zeigen Sie explizit, dass diese ein statisches Linienelement
produzieren.Was passiertbei ˜r = a?
Hinweis:Eslohntsich,gegenEndederUmformungenKugelkoordinateneinzuführen,
d.h.die ˜x α durch ˜r, ˜ϑ und ˜ϕ zu ersetzen.
Anmerkung: Die DeSitter-Raumzeit entspricht einem vierdimensionalen Raum konstanter
Krümmung, der ein Hyperboloid H 4 in einem fünfdimensionalen Raum mit
Lorentzsignatur darstellt. Sie kann als Verallgemeinerung des Minkowski-Raums für
eineRaumzeitmitnichtverschwindenderkosmologischerKonstanteangesehenwerden.
15. Horizonteim De-Sitter-Kosmos 9Pkt.
In einemDe-Sitter-Kosmos(k = 0) seiderExpansionsskalar gegebendurch
S(t) = S 0 e ct/a
(a = const.)
undderKosmosbeginneseineExistenzbeit = 0(mitder ”
Größe“ S 0 ).UnsereMilchstraße
befinde sichbei ρ = 0.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
BestimmenSie denEreignishorizontunsererGalaxis als FunktionderZeit.
Mit welcher Geschwindigkeit (Änderung der Maßstabsentfernung pro Zeit) bewegt
sicheine GalaxieamEreignishorizont?
Berechnen Sie den Teilchenhorizont. Wie groß wird er maximal (in mitbewegten Koordinaten)?
Wie großistdieGeschwindigkeiteinerGalaxieam Teilchenhorizont?
Welche Rezessionsgeschwindigkeit darf eine Galaxie nicht überschreiten, damit ihr
Lichtuns noch erreicht?
(1Pkt.)
(2Pkt.)
(2Pkt.)
(1Pkt.)
(3Pkt.)
Vorrechnen: 02.07.2013 1

TheoretischePhysik VI:Kosmologie
SS2013
16. Satellitenuhren(GPS) 9Pkt.
Die durch die Erdgravitation erzeugte Metrik wird (außerhalb der Erdkugel) in guter
Näherung durchdas Linienelement
ds 2 = (1+2Φ)c 2 dt 2 −(1−2Φ)dr 2 −r 2( dϑ 2 +sin 2 ϑdϕ 2)
beschrieben, wobei Φ = −GM/rc 2 (|Φ| ≪ 1) 1 das mit dem Faktor 1/c 2 entdimensionalisiertenewtonsche
Gravitationspotentialist.
(a)
(b)
(c)
BerechnenSiedieZeit τ,dieaufeinerUhr(mitfestenWinkelkoordinaten)imAbstand
R vom Erdmittelpunkt verstreicht, als Funktion der Koordinatenzeit t [τ(0) = 0].
LaufenUhren schnelleroderlangsamer,wenn R zunimmt?
BestimmenSiedieWinkelgeschwindigkeitdϕ/dt füreinenSatellitenaufeinerKreisbahn
(mitRadius R) überdemÄquator(ϑ = π/2).
Hinweis: Die Lagrangefunktion L = 1 /2(ds/dτ) 2 liefert zwei zyklische Koordinaten,
die Kreisbahnbedingung dr/dτ = 0 führt darüber hinaus zu ∂L/∂r = 0. Mit
L = 1 /2c 2 kann man die Integrationskonstanten als Funktion des Kreisbahnradius
bestimmen.Zwischenergebnis zur Kontrolle:dϕ/dτ = ±c √ (
|Φ|/R+O |Φ| 3/2) .
WielangebrauchteinSatellitaufeinerKreisbahnmit20183kmHöhe(ErdradiusR E =
6370km)füreinenUmlauf(Eigenzeit)?GebenSiedieDifferenzzurEigenzeiteineram
Polauf derErdoberflächepositioniertenUhr inMikrosekundenan.
Hinweis:DieErdabplattung darfvernachlässigtwerden.
Zahlenwerte: G = 6.67×10 −11 m 3 /kg s 2 , c = 3.00×10 8 m/s, Erdmasse M = 5.97×
10 24 kg.
(2Pkt.)
(5Pkt.)
(2Pkt.)
Es sind insgesamt 28 Punkte zu erreichen. Die Aufgaben sind zum unten genannten Termin
vorzurechnen.
1 Gleichungen können alsoin Φ linearisiert/entwickeltwerden,woimmerdas sinnvollist.
Vorrechnen: 02.07.2013 2