3. Seminar (18.11. - 29.11.2013)

Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler
WS 2013/2014
3. Seminar (18.11. - 29.11.2013)
( Kombinatorik, Funktionen, Beweise)
1. Ein E-Techniker hat 8 Drähte mit 8 Anschlußdrähten zu verbinden. Wie oft muss er
im ungünstigsten Fall probieren ? (Wie lange dauert dies, wenn er für jede einzelne
Verdrahtung 15 Sekunden benötigt?)
2. Wie viele neue Wörter entstehen durch Umstellen der Buchstaben aus dem Wort
,,ANANAS”?
3. In einem Eiscafe werden 5 verschiedene Eissorten angeboten, ein Kind möchte 3
Kugeln kaufen.
(a) Wie viele Möglichkeiten gibt es für die Auswahl, wenn eine Sorte nicht mehrfach
gewählt werden darf.
(b) Wie viele Möglichkeiten gibt es für die Auswahl, wenn eine Sorte mehrfach
gewählt werden darf.
(Man unterscheide die beiden Fälle, dass dem Kind die Reihenfolge der Kugeln egal
bzw. nicht egal ist.)
4. (a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, von 4 verschiedenen Schranktüren je eine mit
den Farben rot, weiß, blau oder gelb zu streichen?
(b) Wieviele Möglichkeiten der Farbgestaltung gibt es, wenn nun auch gleichfarbige
Türen erlaubt sind ?(Auch jetzt soll jede Tür nur einfarbig sein).
5. Ein Ausschuß aus 6 Frauen und 5 Männern wählt einen Vorsitzenden und einen
Stellvertreter. Wie viele Möglichkeiten gibt es
(a) insgesamt?
(b) so zu wählen, dass beide gleichen Geschlechts sind?
(c) so zu wählen, dass beide unterschiedlichen Geschlechts sind?
6. Gegeben sei die Funktion f : R → R : x ↦→ 1 2 x − 1 und die Intervalle I 1 = [2; 3)
und I 2 = (20; 30].
(a) Skizzieren Sie den Graph von f.
(b) Welche Eigenschaften (surjektiv, injektiv, bijektiv) besitzt f?
(c) Bestimmen Sie das Bild f(I 1 ) und f(I 2 )
(d) Bestimmen Sie das Urbild f −1 (I 1 ) und f −1 (I 2 )
(e) Bestimmen und skizzieren Sie f −1 .
(f) Bestimmen Sie f −1 ◦ f und f ◦ f −1 .
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7. Gegeben sei die Funktion g : R \ {0} → R \ {0} : x ↦→ 1 x
und die Intervalle
I 1 = [2; 3) und I 2 = (20; 30].
(a) Skizzieren Sie den Graph von g.
(b) Welche Eigenschaften (surjektiv, injektiv, bijektiv) besitzt g?
(c) Bestimmen Sie das Bild g(I 1 ) und g(I 2 )
(d) Bestimmen Sie das Urbild g −1 (I 1 ) und g −1 (I 2 )
(e) Bestimmen Sie g −1 .
8. Gegeben sei die Funktion h = f ◦ g und die Intervalle I 1 = [2; 3) und I 2 = (20; 30].
(a) Skizzieren Sie den Graph von h.
(b) Welche Eigenschaften (surjektiv, injektiv, bijektiv) besitzt h?
(c) Bestimmen Sie das Bild h(I 1 ) und h(I 2 )
(d) Bestimmen Sie das Urbild h −1 (I 1 ) und h −1 (I 2 )
(e) Bestimmen Sie h −1 .
9. Beweisen Sie
⎛ ⎞
n∑ ⎜ n ⎟
⎝ ⎠ = 2 n
k=0 k
(a) mit Kombinatorik.
(b) mit Binomischem Lehrsatz.
(c) (ZUSATZAUFGABE) mittels vollständiger Induktion.
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