Anhang

Anhang C. Berechnung der laserstrahlinduzierten Temperaturverteilung 109
C.0.2.
Die verkürtzte Gaußelimination
Die verkürzte Gaußelimination wird auch als „Faktorisierungsmethode “, „schnelle Gaußelimination “, „double
sweep method“, „passage method“, „Thomas-Algorithmus“u. a. bezeichnet. Durch eine entsprechende Diskretisierung
von Differentialgleichungen zweiter Ordnung erhält man Differenzengleichungen zweiter Ordnung :
Ý ½ Ý · Ý ·½ ½ ¾ ¼ ¼ (C.7)
Zur Lösung einer solchen Differenzengleichung sind noch zwei Zusatzbedingungen zu stellen. Sind der
Wert der Funktion Ý und ihrer ersten Differenz ¡Ý an einem Punkt vorgegeben, liegt eine Anfangswertaufgabe
bzw. ein Cauchy-Problem vor. In diesem Fall können die Ý nacheinander berechnet werden, die Aufgabe ist
eindeutig lösbar. Sind die Zusatzbedingungen an zwei nicht benachbarten Punkten gegeben, liegt ein wesentlich
öfter auftretendes Randwertproblem vor. Dabei werden entweder die Werte von Ý (Randbedingung 1. Art), die
Gradienten (Randbedingung 2. Art) oder eine Kombination von beiden (Randbedingung 3. Art) vorgegeben.
Mit den Randbedingungen an den Punkten i = 0 bzw. i = N lautet die zu lösende Aufgabe:
Ý ½ Ý · Ý ·½ ½ ¾ Æ ½ ¼ ¼
Ý ¼ ½ Ý ½ · ½ Ý Æ ¾ Ý Æ ½ · ¾
(C.8)
Die Koeffizientenmatrix dieses Gleichungssystems ist tridiagonal. Für solche Gleichungssysteme ist die
verkürzte Gaußelimination ein effektives Lösungsverfahren. Die Herleitung dieses Lösungsverfahrens beruht
auf der Idee, die Differenzengleichung zweiter Ordnung in drei Differenzengleichungen erster Ordnung, die
zum Teil nichtlinear sind, zu überführen. Man nimmt an, daß die Rekursionsbeziehung
Ý « ·½ Ý ·½ · ¬ ·½ (C.9)
mit den unbestimmten Koeffizienten « und ¬ gilt. Durch folgende Schritte gelangt man dann zu Formeln
für « und ¬ :
1. Einsetzen von Ý ½ « Ý · ¬ in die Differenzengleichung:
´ « µ Ý · ¬ · Ý ·½ (C.10)
2. Einsetzen von Ý « ·½ Ý ·½ · ¬ ·½ :
´ « µ « ·½ · ℄ Ý ·½ · ¬ · ´ « µ ¬ ·½ (C.11)
Diese Gleichung ist mit
´ « µ « ·½ · ¼ ¬ · ´ « µ ¬ ·½ · ¼ (C.12)
für beliebige Ý ·½ erfüllt. Daraus folgen für « ·½ und ¬ ·½ Rekursionsformeln: