Übungsblatt 4

Numerische Analysis II
SS 2013
Prof. Dr. Wolfgang Dahmen – Dr. Markus Bachmayr
Übungsblatt 4 für Mittwoch, 15. Mai 2013
Abgabe bis 15.5., 15:30, über den Einwurfkasten vor Raum 149.
Aufgabe 11. Sei A ∈ R n×n symmetrisch mit Eigenwerten λ i , für die |λ 1 | > |λ 2 | ≥ |λ 3 | ≥ . . . ≥ |λ n | gilt.
Weiterhin sei ein Startwert y 0 ∈ R n so gegeben, dass y0 T v 1 ≠ 0 ist, wobei v 1 Eigenvektor zum Eigenwert λ 1 ist.
Zeigen Sie, dass dann die Vektoriteration mit
( ∣∣∣∣ ∣ )
|λ (k) λ 2 ∣∣∣
2k
− λ 1 | = O
für k → ∞
λ 1
gegen den Eigenwert λ 1 konvergiert.
8 Punkte
Aufgabe 12. Sei A ∈ R n×n gegeben. Zu x ∈ R n ist der Rayleigh-Quotient ρ(x) durch ρ(x) := x T Ax/(x T x)
definiert.
1. Zeigen Sie, dass der Rayleigh-Quotient ρ die Eigenwert-Gleichung im folgenden Sinne am besten annähert:
‖Ax − ρ(x)x‖ 2 = min
µ∈R ‖Ax − µx‖ 2 .
2. Sei λ ∈ R ein Eigenwert von A zum Eigenvektor v mit ‖v‖ 2 = 1. Zeigen Sie, dass mit C = 2‖A‖ 2 gilt
|λ − ρ(x)| ≤ C‖v − x‖ 2 ∀x ∈ R n mit ‖x‖ 2 = 1.
3. Sei A symmetrisch und λ ein Eigenwert von A zum Eigenvektor v mit ‖v‖ 2 = 1. Zeigen Sie, dass
mit C = max{|λ − ˜λ| : ˜λ ∈ σ(A)}.
|λ − ρ(x)| ≤ C‖v − x‖ 2 2 ∀x ∈ R n mit ‖x‖ 2 = 1.
2+3+4 = 9 Punkte
Hinweise zur Programmieraufgabe:
• Verwenden Sie für dieses Übungsblatt (ausschließlich) die beiden Headerdateien na2-base.h und
na2-p13.h.
• Senden Sie Ihre Lösungen bis 15.5., 15:30, an na2hiwi@igpm.rwth-aachen.de, und geben Sie zusätzlich
auch einen Ausdruck des Codes und der dazugehörigen Ausgaben über den Einwurfkasten ab. Heften
Sie dabei die Blätter zu Programmieraufgaben separat von den restlichen Abgaben ab.
Aufgabe 13 (Programmieraufgabe). Verwenden Sie die Funktion testmatA in der Headerdatei na2-p13.h,
um die Matrix A und den Vektor Lambdax der exakten Eigenwerte von A zu erzeugen.
(a) Implementieren Sie eine Funktion void veciter(const mat& A, int K, vec& lambda, vec& y), die für
eine gegebene Matrix K Schritte der Vektoriteration aus Algorithmus 7.20 in Dahmen-Reusken durchführt.
Dabei sollen alle berechneten Rayleighquotienten λ (k) , k = 1, . . . , K im Vektor lambda gespeichert werden.
Der Vektor y enthält beim Aufruf den Startvektor, und soll mit der Näherung y K für den Eigenvektor
überschrieben werden.
Testen Sie die Funktion mit K = 30 an der Matrix A, jeweils einmal mit Startvektor (1, 0, 0, 0) T und einmal
mit Startvektor (0, 0, 1, 0) T . Geben Sie für k = 2, . . . , K die Werte λ (k) , e k := min µ∈σ(A) |λ (k) − µ| und
e k /e k−1 aus, und vergleichen Sie letztere mit den aufgrund der Konvergenztheorie zu erwartenden Werten.
(b) Implementieren Sie analog dazu eine Funktion void inviter(const mat& A, int K, vec& lambda, vec&
y, double mu), die die inverse Vektoriteration mit Spektralverschiebung aus Algorithmus 7.24 durchführt.
Dabei seien die Parameter wie in (a), und zusätzlich sei µ := mu die Spektralverschiebung. Verwenden Sie als
Löser die LR-Faktorisierung mittels lr factors modified aus na2-p13.h und lr solve aus na2-base.h.
Versuchen Sie nach Möglichkeit, berechnete Zwischenergebnisse weiterzuverwenden.
Testen Sie mit K = 10 und Startvektor (1, 0, 0, 0) T für die Werte mu = 0, 4, 3.05 und 2.5. Geben Sie wieder
λ (k) , e k und e k /e k−1 aus, und vergleichen Sie mit den theoretischen Werten.
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(c) Implementieren Sie eine Funktion void rqiter(const mat& A, int K, vec& lambda, vec& y, double
mu), die Algorithmus 7.24 mit folgender Modifikation durchführt (Rayleigh-Quotienten-Iteration): In jedem
Schritt wird eine neue Spektralverschiebung µ k := λ (k−1) gewählt, mit dem Startwert µ 0 := mu.
Führen Sie dieselben Tests wie bei (b) durch, und geben Sie λ (k) , e k und e k /e k−1 aus.
Geben Sie zu jedem Test auch den Ergebnisvektor y aus.
(Zusatzfrage: Geben Sie die nicht normalisierten Zwischenergebnisse ỹ k+1 von Algorithmus 7.24 in Teil (b)
im Fall mu = 4 aus. Probieren Sie aus, was passiert wenn Sie lr factors modified durch lr factors aus
na2-base.h ersetzen, und vergleichen Sie den Code der beiden Routinen. Wie ist zu erklären, dass diese Modifikation
funktioniert?)
4+4+3 = 11 Punkte
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