Physik des Wachstums - Institut für Geophysik und extraterrestrische ...
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Max-Planck-<strong>Institut</strong> für Kernphysik<br />
Saupfercheckweg 1<br />
69117 Heidelberg<br />
Vorlesung<br />
<strong>Physik</strong> <strong>des</strong> <strong>Wachstums</strong><br />
Sascha Kempf & Jürgen Blum<br />
13. Januar 2006<br />
TU Braunschweig<br />
Wintersemester 2005/2006
1 Einleitung<br />
1.1 Was ist Wachstum?<br />
Strukturbildung wird in allen naturwissenschaftlichen Disziplinen beobachtet: <strong>Geophysik</strong>, Biologie,<br />
Astrophysik usw.. Bemerkenswert ist auch, daß Strukturbildung auf einem riesigen<br />
Längen- <strong>und</strong> Zeitskalenbereich stattfindet: wir beobachten die Ausbildung großräumigen Strukturen<br />
in der Verteilung von Galaxienclustern auf kosmologischen Skalen als auch die Bildung<br />
mikroskopischer Aggregate aus Atomen oder Molekülen auf atomaren Skalen. <strong>Wachstums</strong>vorgänge<br />
gehören zu den wichtigsten natürlichen Phänomenen überhaupt. Die Enstehung von<br />
komplexen Strukturen aus einfachen Bausteinen ist immer mit Nichtgleichgewichtsprozessen<br />
verb<strong>und</strong>en. Häufig bilden solche Prozesse hochkomplexe fraktale Strukturen.<br />
Abbildung 1.1: Elektronemikroskopische Aufnahmen von Gold-, Glass- <strong>und</strong> Polystyrolclustern, welche<br />
jeweils durch einen schnellen (rechts) <strong>und</strong> langsamen (links) Aggregationsprozeß gebildet wurden.<br />
Die unteren Aggregate sind Ergebnisse numerischer Simulationen (diffusionsbegrenztes (links) <strong>und</strong> reaktionsbegrenztes<br />
Cluster-Cluster-Wachstum (rechts)). Aus MEAKIN (1991).<br />
Erstaunlicherweise gelang es häufig mittels sehr einfacher numerischer Simulationen komplexe<br />
experimentelle Ergebnisse zu reproduzieren (Abb. 1.1, 1.2). Dies nährte die Hoffnung,<br />
1
1 Einleitung<br />
daß diese Prozesse sich auf einfache, elementare Prinzipien reduzieren lassen <strong>und</strong> <strong>Wachstums</strong>phänomene<br />
universalen Charakter besitzen.<br />
Abbildung 1.2: Zinkmetallblatt, welches durch eine elektrochemische Reaktion in einer wässrigen<br />
Lösung aus ZnSO 4 mit einer dünnen Grenzschicht aus CH 3 COO(CH 2 ) 3 CH 3 mit einer Graphit-Kathode<br />
<strong>und</strong> einer Zink-Anode entstanden ist (linke Abb.). Die mittlere Abb. zeigt das Ergebnis einer Simulationsrechnung<br />
mittels eines zellulären Automats. In der rechten Abb. wurde die Anlagerungswahrscheinlichkeit<br />
am simulierten Aggregat farbkodiert <strong>und</strong> weiterhin als Potentialplot unterlegt.<br />
(www.fraktalwelt.de, P. JOSSEN & D. EYER).<br />
Wichtige Fragen bezüglich <strong>Wachstums</strong>phänomenen sind:<br />
• Was ist der Zusammenhang zwischen der Struktur der wachsenden Aggregate <strong>und</strong> dem<br />
<strong>Wachstums</strong>prozeß? Bestimmt der Prozeß die Aggregatstruktur oder bestimmt die Aggregatstruktur<br />
den Prozeß?<br />
• Welche Gr<strong>und</strong>typen von <strong>Wachstums</strong>prozessen existieren?<br />
• Wie ist die zeitliche Entwicklung <strong>des</strong> Aggregatensembles?<br />
• Welche Bedeutung hat die Mikrophysik <strong>des</strong> <strong>Wachstums</strong>prozeß?<br />
• Welche sind die Gr<strong>und</strong>prinzipien hinter den <strong>Wachstums</strong>prozessen? Sind diese universal<br />
für alle Prozesse?<br />
• Können die makroskopischen <strong>Wachstums</strong>gleichungen direkt aus der statistischen Mechanik<br />
abgeleitet werden?<br />
• Warum sind <strong>Wachstums</strong>phänomene häufig durch Selbstähnlichkeit <strong>und</strong> Skaleninvarianzen<br />
charakterisiert?<br />
• Warum entstehen überhaupt Fraktale?<br />
• Warum überhaupt?<br />
Die Antworten zu einigen der aufgezählten Fragen sind noch nicht bekannt. Das Ziel dieser<br />
Vorlesung ist es daher, gr<strong>und</strong>legende Konzepte zur physikalischen Modellierung von <strong>Wachstums</strong>phänomenen<br />
darzustellen <strong>und</strong> einige Gr<strong>und</strong>fragen zu diskutieren.<br />
2
1.2 <strong>Wachstums</strong>prozesse<br />
Abbildung 1.3: Fraktale Strukturen in Wolken (rechts) <strong>und</strong> Dentriten (links) (www.fraktalwelt.de).<br />
1.2 <strong>Wachstums</strong>prozesse<br />
Wachstum im Sinne dieser Vorlesung bedeutet, daß sich Teilchen eines Ensembles ohne direkte<br />
äußere Einflußnahme zu größeren Objekten verbinden. Hierzu ist es nicht notwendigerweise<br />
erforderlich, daß sich Teile einer Struktur wirklich berühren; es wird allerdings implizit angenommen,<br />
daß die enstehenden Strukturen starr sind. Unter diesen Bedingungen können größere<br />
Aggregate wachsen, vorausgesetzt daß:<br />
1. sich die Objekte <strong>des</strong> Ensembles relativ zueinander bewegen<br />
2. sich Objekte innerhalb eines bestimmten Radius zu einem neuen Objekt vereinigen<br />
können.<br />
Beide Voraussetzungen betreffen die Mikrophysik<strong>des</strong> <strong>Wachstums</strong>. Der erste Punkt bestimmt<br />
den ”Motor <strong>des</strong> <strong>Wachstums</strong>, während der zweite Punkt den Wirkungsquerschnitt für die aggregatbildenden<br />
Teilchenkollisionen definiert. Diese beiden Eigenschaften <strong>des</strong> Ensembles bestimmen<br />
die wahrscheinlichsten Partner zur Bildung eines größeren Aggregats <strong>und</strong> dadurch auch<br />
letztlich die Aggregatstruktur. Es existieren zwei einfache Grenzprozesse <strong>des</strong> <strong>Wachstums</strong>: das<br />
Teilchen-Cluster-Wachstum (Particle Cluster Aggregation – PCA) <strong>und</strong> das Cluster-Cluster-<br />
Wachstum (Cluster Cluster Aggregation – CCA). Bleibt die Struktur der Aggregate nach dem<br />
verbindenden Stoß erhalten, so erzeugen diese Prozesse fraktale Aggregate.<br />
Teilchen-Cluster-Wachstum (PCA)<br />
Erfolgen nur Kollisionen zwischen Aggregaten <strong>und</strong> Einzelteilchen, enstehen dichte, kompakte<br />
(obwohl durchaus fraktale) Strukturen. Dieser Prozeß wird als Teilchen-Cluster-Wachstum<br />
(PCA) bezeichnet. Diesen Prozeß beobachtet man, wenn die Beweglichkeit der Cluster relativ<br />
zueinander stark eingeschränkt <strong>und</strong> ein hinreichend großes Reservoir von Einzeilteilchen<br />
vorhanden ist (diese Bedingungen sind beispielsweise für ein ortstfestes Aggregat in einem<br />
Schauer von Einzelteilchen erfüllt).<br />
3
1 Einleitung<br />
Modell Methode d=2 d=3<br />
diffusionsbegrenzt 1) on-lattice 1.44 ± 0.03 1.78 ± 0.06<br />
reaktionsbegrenzt, monodispers 2) on-lattice 1.53 ± 0.01 1.94 ± 0.02<br />
reaktionsbegrenzt, polydispers 3) on-lattice 1.59 ± 0.01 2.11 ± 0.03<br />
ballistisch 4) on-lattice 1.44 ± 0.02 1.81 ± 0.03<br />
ballistisch 4) off-lattice 1.56 ± 0.02 2.00 ± 0.03<br />
1) MEAKIN (1983)<br />
2) BROWN & BALL (1985), monodispers: nur Stöße zwischen Clustern gleicher Größe<br />
werden zugelassen, Haftwahrscheinlichkeit P → 0.<br />
3) BROWN & BALL (1985), polydispers: Stöße zwischen Clustern jeder Größe werden<br />
zugelassen, Haftwahrscheinlichkeit P → 0.<br />
4) MEAKIN (1984)<br />
Tabelle 1.1: Numerisch bestimmte fraktale Dimensionen <strong>des</strong> CCA-Prozesses in 2- <strong>und</strong> 3-dimensionaler<br />
euklidischer Einbettung<br />
Cluster-Cluster-Wachstum (CCA)<br />
Erfolgt das Wachstum aufgr<strong>und</strong> der Verbindung von Clustern ähnlicher Größe, so spricht man<br />
von Cluster-Cluster-Wachstum (CCA). Dieser Prozeß ist charakteristisch für das Wachstum in<br />
einen Ensemble, <strong>des</strong>sen Mitglieder sich ausschließlich stochastisch relativ zueinander bewegen.<br />
Die resultierenden Aggregate haben spinnenwebenartige, filligrane Strukturen (fraktale<br />
Dimensionen ∼ 2, siehe Tab. 1.1). Projeziert man diese Gebilde auf eine Ebene, kann man fast<br />
alle Einzelteilchen <strong>des</strong> Aggregats erkennen. Stoßen die Aggregate nicht auf ballistischen Trajektorien<br />
oder ist die Haftwahrscheinlichkeit nicht identisch 1, so beeinflußt das die fraktale<br />
Dimension ein wenig.<br />
Bewegen sich die stoßenden Cluster diffusiv auf Längenskalen in der Größenordnung ihrer<br />
Ausdehnung <strong>und</strong> haften im Moment der ersten Berührung starr aneinander, spricht man vom<br />
diffusionsbegrenzten Wachstum (Diffusion Limited Aggregation – DLA). Ist die Haftwahrscheinlichkeit<br />
für einen Stoß nicht 1, so wird dieses Regime als reaktionsbegrenzt bezeichnet<br />
(siehe auch Tab. 1.1).<br />
4
2 Makrophysik <strong>des</strong><br />
Teilchenwachstums<br />
Für viele <strong>Wachstums</strong>prozesse ist die Struktur der wachsenden Aggregate unabhängig von Entwicklungszustand<br />
<strong>des</strong> Ensembles. In solchen Fällen kann man häufig die Mikrophysik <strong>des</strong><br />
<strong>Wachstums</strong>, d.h. die Haftungsprozesse, die Teilchendynamik usw., von der Makrophysik <strong>des</strong><br />
<strong>Wachstums</strong>, d.h. der zeitlichen Entwicklung <strong>des</strong> Ensembles, entkoppeln. Theoretische Modelle<br />
nähern sich der makroskopischen Beschreibung von zwei Seiten: Der Ausnutzung von Analogien<br />
zu kritischen Phänomenen sowie der “mean field”-Beschreibung <strong>des</strong> <strong>Wachstums</strong> mittels<br />
einer Ratengleichung.<br />
2.1 Mean Field-Modellierung <strong>des</strong> <strong>Wachstums</strong> mittels<br />
Ratengleichungen<br />
2.1.1 Smoluchowski-Gleichung<br />
Häufig kann man die zeitlichen Entwicklung der Größenverteilung von wachsenden Aggregaten<br />
durch eine Raten-Gleichung mathematisch modellieren. SMOLUCHOWSKI (1917) leitete<br />
eine Ratengleichung für die Stoßprozesse zwischen den Teilchensorten ab, wobei er folgende<br />
Annahmen bezüglich <strong>des</strong> Systems traf:<br />
• die Stoßrate zwischen Aggregaten der Massen 1 i <strong>und</strong> j hängt nicht von der Zeit ab <strong>und</strong><br />
ist durch das Matrixelement K i j gegeben<br />
• die Teilchenzahldichte ist so gering, daß nur 2-Körper-Stöße stattfinden<br />
• die Anzahldichten der Clustersorten sind durch ihr räumliches Mittel gegeben.<br />
Unter diesen Voraussetzungen ist die Bildungsrate eines Aggregats der Masse (i + j) aus Aggregaten<br />
der Massen i <strong>und</strong> j proportional zu K i j n i (t)n j (t). Die Änderung der Anzahldichte der<br />
Sorte s ergibt sich dann aus der Bilanz der Massengewinne <strong>und</strong> Verluste die SMOLUCHOW-<br />
SKI-Gleichung<br />
dn s<br />
dt<br />
= 1 2 ∑ K i j n i (t)n j (t) − n s (t)<br />
i+ j=s<br />
∞<br />
∑<br />
i=1<br />
K si n i (t). (2.1)<br />
Aufgr<strong>und</strong> der dritten Annahme ist Gl. (2.1) eine “mean field”-Beschreibung <strong>des</strong> <strong>Wachstums</strong>.<br />
Die mikrophysikalischen Eigenschaften <strong>des</strong> Prozeßes sind vollständig im Koagulationskern<br />
K i j parametrisiert.<br />
1 Wird im folgendem als Symbol für die Clustermasse nicht das Symbol m benutzt, ist darunter die Anzahl der<br />
im Cluster enthaltenen Ausgangsteilchen mit der Masse m 0 zu verstehen, d.h. die Masse i eines Clusters hat<br />
den ganzen Wert i = m i /m 0 .<br />
5
2 Makrophysik <strong>des</strong> Teilchenwachstums<br />
2.1.2 Wichtige Koagulationskerne<br />
Der Koagulationskern (oder die Stoßratenmatrix) K i j in Gl. (2.1) hat die prinzipielle Form<br />
K i j ∼ Stoßquerschnitt(i, j) · Relativgeschwindigkeit(i, j)<br />
<strong>und</strong> muß aus der Mikrophysik <strong>des</strong> Prozesses abgeleitet werden.<br />
Koagulationskern für diffusive Kollisionen<br />
Ändert sich der Geschwindkeitsvektor eines Teilchens auf Skalen, welche klein verglichen mit<br />
der Ausdehnung <strong>des</strong> größeren Stoßpartners sind (Kn ≪ 1, so stoßen die Teilchen auf diffusiven<br />
Trajektorien, weshalb die Teilchendynamik hydrodynamisch beschrieben werden darf.<br />
Zur Ableitung der Stoßrate wird das Teilchen der Masse i im Ursprung einer Kugel gedanklich<br />
festgehalten. Die Teilchen der Sorte j diff<strong>und</strong>ieren aufgr<strong>und</strong> <strong>des</strong> Konzentrationsgradienten<br />
∂ r n j (r) durch die Kugelschalen im Abstand r um das zentrale Teilchen. Der entsprechende<br />
Teilchenstrom ist<br />
J j (r) = D j ∂ r n j (r),<br />
wobei D j die Diffusionskonstante der j-ten Sorte bezeichnet. Durch direkte Integration der<br />
Flußrate s j = 4πr 2 J j (r) findet man die Anzahldichte der j-Teilchen im Abstand r zum festgehaltenen<br />
i-Teilchen<br />
n j (r) = n j (∞) −<br />
s j<br />
4πrD j<br />
Hierfür wurde benutzt, daß aufgr<strong>und</strong> der Massenerhaltung die Flußrate durch Kugelschalen<br />
nicht von deren Radius abhängt. Für r = (R(i) + R( j))/2 koaguliert das im Ursprung festgehaltene<br />
Teilchen mit einem Teilchen der j-ten Sorte zu einem Teilchen der Masse i+ j, weshalb<br />
n j ((R(i) + R( j))/2) = 0 <strong>und</strong> somit<br />
s j = 2π(R(i) + R( j))D j n j (∞)<br />
Da das gedanklich festgehaltene Teilchen auch diff<strong>und</strong>iert, ist die relative Diffusion der Sorten<br />
i <strong>und</strong> j für die Stoßwahrscheinlichkeit bestimmend. Die Stoßratenmatrix für das diffusive<br />
Wachstum ist dann<br />
K i j = 2 3 kT η−1 (i 1/3 + j 1/3 )(i −1/3 + j −1/3 ) (2.2)<br />
SMOLUCHOWSKI (1917). Die Voraussetzung für die Gültigkeit dieses Kerns ist, daß die Teilchenform<br />
während <strong>des</strong> <strong>Wachstums</strong> erhalten bleibt. D.h. zwei stoßende kugelförmige Teilchen<br />
der Volumen V 1 <strong>und</strong> V 2 bilden ein neues kugelförmiges Teilchen mit dem Volumen V 1 +V 2 ,<br />
was als koaleszentes Wachstum bezeichnet wird.<br />
Koagulationskern für ballistische Kollisionen<br />
Stoßen die Teilchen dagegen ballistisch, darf die kinetische Gastheorie zur Beschreibung <strong>des</strong><br />
Teilchensystems benutzt werden, d.h. die Geschwindigkeitsverteilung der Teilchen entspricht<br />
dann der MAXWELL-BOLTZMANN-Verteilung. Die Stoßrate eines im Ursprung festgehaltenen<br />
kugelförmigen Teilchens mit dem Radius R entspricht dem Produkt seiner Oberfläche 4πR 2 mit<br />
dem Teilchenstrom J j = 1 4 v th( j)n j , wobei<br />
v th ( j) =<br />
( ) 8kT 1/2<br />
πm 0 j<br />
6
2.1<br />
die mittlere thermische Geschwindigkeit der Sorte j ist. Verallgemeinert man das Problem auf<br />
zwei sich ballistisch bewegende Teilchen, so ergibt sich die Stoßrate<br />
s j = v th (i, j)π{R(i) + R( j)} 2 n i n j .<br />
Hieraus folgt für sphärische Teilchen mit der Dichte ρ der ballistische Koagulationskern<br />
K i j =<br />
( )<br />
(6kT )1/2 3 1/6<br />
(<br />
i −1<br />
ρ 2/3 + j −1) 1/2 ( i 1/3 + j 1/3) 2<br />
4π<br />
(2.3)<br />
FRIEDLANDER (1977). Auch dieser Kern beschreibt koaleszentes Wachstum.<br />
Koagulationskerne für ballistische Kollisionen zwischen fraktalen Aggregaten<br />
Natürliche <strong>Wachstums</strong>prozesse sind häufig mit der Ausbildung fraktaler Teilchenstrukturen<br />
verb<strong>und</strong>en. Der Stoßquerschnitt fraktaler Teilchen ist vom Stoßquerschnitt von Kugeln mit<br />
gleichem Radius verschieden, da ein fraktales Teilchen die umhüllende Kugel eines anderen<br />
Teilchens auch ohne Stoß durchdringen vermag. MEAKIN (1991) schätzte für Fraktale mit<br />
D m ≤ 2 den effektiven Stoßquerschnitt mit<br />
σ(i, j) ∼ i j 2/D m−1 mit i ≥ j (2.4)<br />
ab, indem er die Aggregate auf eine Ebene senkrecht zu ihrer Bewegungsrichtung projezierte.<br />
Ein nützlicher Ausdruck wurde von OSSENKOPF (1993) aus numerischen Stoßexperimenten<br />
bestimmt<br />
σ(i, j) = 〈σ(i)〉<br />
{<br />
1 −<br />
( ) } { {<br />
Rv ( j) 2 ( ) }}<br />
+ R v ( j) 2 Rv (i) 1.22<br />
4π − 8.3 1 −<br />
R v (i)<br />
R v ( j)<br />
(2.5)<br />
mit R v (i) > R v ( j). Der darin benutzte Verzahnungsradius R v ist als der halbe Abstand der<br />
Massenmittelpunkte von zwei sich im Mittel gerade berührenden Fraktalen gleicher Größe<br />
definiert:<br />
( σ(i)<br />
R v (i) = 0.72i 1/3 3<br />
) 0.21<br />
( ( i<br />
2<br />
) 1/3<br />
)<br />
i 2 1 − 0.216<br />
σ(i) 3 . (2.6)<br />
Für den in R v eingehenden mittleren projezierten Querschnitt σ(i) eines CCA-Aggregates der<br />
Masse i <strong>und</strong> der Dimension D m =1.95 wurde aus Monte-Carlo-Simulationen die Näherung<br />
abgeleitet.<br />
σ(i) =<br />
{<br />
15.2i 2/3 exp(−2.86i −0.096 ) : i ≤ 20<br />
0.692i 0.95 (1 + 0.301/ln(i)) : i > 20<br />
(2.7)<br />
7
2 Makrophysik <strong>des</strong> Teilchenwachstums<br />
2.2 <strong>Wachstums</strong>beschreibung in Analogie zu<br />
kritischen Phänomenen<br />
Kritische Phänomene<br />
Viele <strong>Wachstums</strong>prozesse zeigen eine formale Analogie zu kontinuierlichen Phasenübergängen 2<br />
in einem thermodynamischen System, den sogenannten kritischen Phänomenen. Am kritischen<br />
Punkt können die physikalischen Observablen durch kritische Exponenten in der Form<br />
X ∼ |T c − T | α<br />
charakterisiert werden, wobei T c die Temperatur am kritischen Punkt <strong>und</strong> α der entsprechende<br />
kritische Exponent ist. Es ist die bemerkenswerte Eigenschaft kritischer Phänomene, daß<br />
häufig unterschiedliche thermodynamische Systeme die gleichen kritischen Exponenten haben.<br />
Das bedeutet letzlich, daß die kritischen Phänomene von der Mikrophysik <strong>des</strong> jeweiligen<br />
thermodynamischen Systems unabhängig - d.h. universal - sind <strong>und</strong> nur von wenigen globalen<br />
Parametern abhängen.<br />
Es muß jedoch unbedingt bemerkt werden, daß die Analogie zwischen <strong>Wachstums</strong>prozeßen<br />
<strong>und</strong> kritischen Phänomenen rein formal ist!<br />
Charakerisierung eines <strong>Wachstums</strong>prozeß durch kritische Exponenten<br />
Die zeitliche Entwicklung <strong>des</strong> Ensembles wachsender Aggregate ist durch die Größenverteilung<br />
n s (t) der Aggregate der Masse s gekennzeichnet. Aufgr<strong>und</strong> der Erhaltung der Massendichte<br />
ρ erfüllt n s (t) die Normierungsbedingung<br />
ρ =<br />
∞<br />
∑<br />
1<br />
n s (t)s. (2.8)<br />
Numerische <strong>Wachstums</strong>studien ergaben, daß für feste Zeitpunkte das Größenspektrum bis zu<br />
einer cut-off-Masse s c (t) durch ein Potenzgesetz<br />
n s (t) ∼ s −τ<br />
gegeben ist (Abb. 2.1 a). Dies bedeutet, daß sich die Größenverteilung selbstähnlich entwickelt.<br />
Die cut-off-Masse s c wächst monoton mit der Zeit <strong>und</strong> divergiert für t → ∞. Dies entspricht<br />
formal dem Verhalten eines Gleichgewichtssystems in der Nähe seines kritischen Punktes,<br />
wobei s c mit der Korrelationslänge zu identifizieren wäre. Infolge <strong>des</strong>sen schlugen VICSEK &<br />
FAMILY (1984) sowie KOLB (1984) vor, die zeitliche Entwicklung <strong>des</strong> Spektrums analog zum<br />
Skalenverhalten kritischer Systeme zu beschreiben:<br />
n s (t) ∼ t −w s −τ f (s/s c (t)). (2.9)<br />
Die Skalenfunktion f (x) der cut-off-Masse ist für x ≪ 1 konstant, während sie für x → ∞<br />
exponentiell gegen Null geht. Der Term t w berücksichtigt den wachstumsbedingten Verlust<br />
2 Während Phasenübergängen zweiter Art wird keine latente Wärme abgegeben. Beispiele sind der ferromagnetische<br />
Übergang <strong>und</strong> die Superfluidität.<br />
8
2.2 <strong>Wachstums</strong>beschreibung in Analogie zu kritischen Phänomenen<br />
10 9<br />
(a) Statisches Skalenverhalten von n s (t)<br />
10 9<br />
Dynamisches Skalenverhalten von n s (t)<br />
n s [m −3 ]<br />
10 8<br />
10 7<br />
10 6<br />
10 5<br />
t=95.h<br />
t=187.h<br />
t=370.h<br />
t=731.h<br />
n<br />
s<br />
(t) ~ s<br />
−τ<br />
n s [m −3 ]<br />
10 8<br />
10 7<br />
10 6<br />
s= 1<br />
n s (t) ~ t<br />
-w<br />
s= 2<br />
s= 3<br />
s= 5<br />
s=10<br />
10 4<br />
s=15<br />
s=20<br />
10 3<br />
10 5<br />
10 2<br />
1 10 100 1000<br />
s [m 0 ]<br />
10 4<br />
0.1 1.0 10.0 100.0 1000.0<br />
t [h]<br />
Abbildung 2.1: Das Bild a zeigt das statische Skalenverhalten (d.h. n s (t) als Funktion der Aggregatmasse)<br />
<strong>des</strong> Massenspektrums <strong>des</strong> Brownschen <strong>Wachstums</strong>. Innerhalb eines großen Massenintervalls<br />
wird n s (t) für feste Zeiten durch den Potenzansatz s −τ beschrieben. Das Bild b zeigt das dynamische<br />
Skalenverhalten (d.h. n s (t) als Funktion der Zeit) <strong>des</strong> Brownschen Staubwachstums. Die asymptotische<br />
Abnahme der Clustersorten ist proportional zu t −w (KEMPF & MITARB. , 1999).<br />
der kleinen Aggregate. Die zeitliche Entwicklung der cut-off-Masse soll wiederum durch ein<br />
Potenzansatz<br />
s c ∼ t z<br />
gegeben sein. Unter diesen Annahmen folgt aus Gl. (2.8)<br />
ρ ∼<br />
Z ∞<br />
1<br />
Z ∞<br />
Z ∞<br />
sn s (t)ds ∼ t −w s 1−τ f (s/t z )ds = t z(2−τ)−w<br />
1<br />
t −z x1−τ f (x)dx.<br />
Für große Zeiten ist t −z ≈ 0 <strong>und</strong> hierdurch das Integral über x eine zeitunabhängige Funktion,<br />
d.h.<br />
ρ ∼ t z(2−τ)−w<br />
Aufgr<strong>und</strong> der Zeitunabhängigkeit von ρ folgt dann die Bedingung für die kritischen Exponenten<br />
für große Zeiten<br />
w = (2 − τ)z. (2.10)<br />
Aus physikalischen Gründen sind w <strong>und</strong> z positiv, folglich ist τ < 2. Für die Anzahldichte n(t)<br />
findet man, daß<br />
n(t) ∼<br />
Z ∞<br />
<strong>und</strong> unter Nutzung von Gl. (2.10)<br />
1<br />
n s (t)ds ∼ t z(1−τ)−w Z ∞<br />
n(t) =<br />
t −z x−τ f (x)dx ∼ t z(1−τ)−w ,<br />
{<br />
t −z : τ < 1<br />
t −w : τ > 1 . (2.11) 9
2 Makrophysik <strong>des</strong> Teilchenwachstums<br />
Das erste Moment der Größenverteilung n s ist nicht die mittlere Aggregatsmasse S(t), sondern<br />
aufgr<strong>und</strong> von Gl. (2.8) R ∞1<br />
sn s (t)ds<br />
R ∞1<br />
n s (t)ds = ρ<br />
n(t) ∼ n(t)−1<br />
proportional zum Kehrwert der Anzahldichte. Die mittlere Aggregatsmasse ist durch das zweite<br />
Moment der Verteilung gegeben<br />
R ∞1<br />
s 2 Z<br />
n s (t)ds<br />
∞<br />
Z ∞<br />
S(t) ∼ R ∞1<br />
sn s (t)ds ∼ t−w s 2−τ f (s/t z )ds ∼ t −w+z(3−τ) x2−τ f (x)dx<br />
1<br />
t −z<br />
<strong>und</strong> skaliert für große Zeiten wie<br />
S(t) ∼ t z . (2.12)<br />
Die kritischen Exponenten sind stark von der Mikrophysik <strong>des</strong> jeweiligen Prozesses abhängig,<br />
weshalb die Exponenten nicht universal sind. Weiterhin ist der Gültigkeitsbereich <strong>des</strong> Skalenansatzes<br />
auf große Zeiten als auch große s beschränkt.<br />
Häufig wird anstatt Gl. (2.9) ein alternatives Skalengesetz der Form<br />
benutzt, wobei die Skalenfunktion g(x) die Eigenschaften<br />
{<br />
∼ x ∆ x ≪ 1<br />
g(x) =<br />
≪ 1 x ≫ 1<br />
n s (t) ∼ s −θ g(s/s c (t)) (2.13)<br />
besitzt <strong>und</strong> ∆ der sogenannte “cross over”-Exponent ist. Für x ≪ 1 ist dann<br />
n s (t) ∼ t −z∆ s ∆−θ<br />
<strong>und</strong> geht unter Berücksichtigung, daß f (x) = 1 für x ≪ 1 ist, für θ = 2 in die Form <strong>des</strong> Skalengesetzes<br />
(2.9) über. Folglich gilt für x ≫ 1, daß<br />
n s (t) ∼ s −2 · e −x .<br />
Skalenverhalten homogener Kerne K i j<br />
Entwickelt sich n s (t) selbstähnlich, kann aus dem Kern der SMOLUCHOWSKI-Gleichung der<br />
<strong>Wachstums</strong>exponent z näherungsweise abgeleitet werden. In diesem Fall ist die Stoßmatrix<br />
bezüglich ihrer Argumente homogen, d.h. sie erfüllt ein Skalengesetz der Form<br />
K λiλ j = λ 2ω K i j .<br />
Für das CCA-Wachstum tragen zum Anstieg der mittleren Größe S = ∑ k n k k 2 /∑ k n k k hauptsächlich<br />
die Stöße zwischen Aggregaten gleicher Größe bei. In dieser Näherung reduzieren<br />
sich die Summen in der Koagulationsgleichung (2.1) auf die Reaktion zwischen zwei Clustern<br />
der halben mittleren Clustergröße<br />
d<br />
dt n k ∼ K k<br />
2<br />
k<br />
2<br />
n 2 k<br />
2<br />
(t)<br />
10
2.3 Wie gut sind die makroskopischen <strong>Wachstums</strong>modelle?<br />
Berechnet man hiervon das zweite Moment, findet man<br />
Ṡ(t) ∼ ∑K k k k 2 n 2 k (t) ≈ K S S (Sn S (t)) 2 ≈ K S S ρ 2 ∼ K S S = ( 1<br />
2 2<br />
k<br />
2 2 2 2 2 2 2 2 2 )2ω K SS ∼ K SS = [S(t)] 2ω K 11<br />
(KANG & MITARB. 1986). Durch Vergleich mit Gl. (2.12) erhält man die Beziehung zwischen<br />
dem kritischen Exponenten z <strong>und</strong> ω<br />
z ≈ (1 − 2ω) −1 .<br />
Durch die Vorgabe konkreter Kerne erlaubt die obige Gl. die Bestimmung <strong>des</strong> kritischen Exponenten<br />
als Funktion der Diffusionskonstanten <strong>und</strong> der fraktalen Dimensionen der Teilchen.<br />
Beispielsweise ergibt sich für das vollständig diffusive, koaleszente Brownsche Wachstum<br />
z ≈ 1 (KOLB 1984), während man für den ballistischen, koaleszenten Kern z ≈ 6 5<br />
findet. Für<br />
das Wachstum fraktaler Teilchen (d.h. σ ∼ m) ergibt sich z ≈ 2.<br />
2.3 Wie gut sind die makroskopischen<br />
<strong>Wachstums</strong>modelle?<br />
Numerische <strong>Wachstums</strong>simulationen sind sehr nützlich, um die Anwendbarkeit der makroskopischen<br />
<strong>Wachstums</strong>modelle zu prüfen. In dem folgenden Abschnitt werden die Modelle<br />
mit Ergebnissen einer N-Teilchen-Simulation <strong>des</strong> Brownschen ballistischen <strong>Wachstums</strong> verglichen.<br />
Die gewählten Parameter der Simulationen entsprechen den Bedingungen während<br />
der Frühphase der Planetenentstehung (KEMPF & MITARB. 1999).<br />
2.3.1 Gültigkeit der Skalenannahme<br />
Ist die Skalenannahme (2.9) gültig, wird die zeitliche Entwicklung jeder Sorte s durch die<br />
gleiche Skalenfunktion f (s/t z ) beherrscht. Diese Eigenschaft ist das Testkriterium für das Zutreffen<br />
der Skalenvermutung: Trägt man für jede Sorte n s (t)/s −2 über s/t z in einem Diagramm<br />
auf, so müssen die resultierenden Graphen (welche mit der Skalenfunktion f (x) korrespondieren)<br />
einander entsprechen. In der Abb. 2.2 wurde dieser Test für das gemittelte Massenspektrum<br />
von 7 Simulationen für n 0 = 2 ·10 9 m −3 ausgeführt. Hierfür wurden Clustermassen bis<br />
s = 20 berücksichtigt. Die Einbeziehung größerer Aggregate (s > 20) ist nicht sinnvoll, da für<br />
sie aufgr<strong>und</strong> der endlichen, simulierten Teilchenzahl die statistische Interpretation der Clustergrößenverteilung<br />
ihre Bedeutung verliert. Erwartungsgemäß weichen die Graphen für die sehr<br />
kleinen Aggregate (s < ∼4) stark von der resultierenden Skalenfunktion ab, da der Skalenansatz<br />
nur für große Massen geeignet ist (siehe Abschn. 2.2). Darüber hinaus wird die Anzahldichte<br />
der Monomere von der monodispersen Anfangsgrößenverteilung beeinflußt. Hiervon abgesehen<br />
gehen die Skalenfunktionen nach einer relativ kurzen Zeit in eine gemeinsame Kurve über.<br />
Folglich belegt der Test, daß die Skalenannahme für das Brownsche Staubwachstum eine gute<br />
Näherung ist.<br />
2.3.2 Zeitliche Entwicklung der Stoßraten K i j<br />
Eine Gr<strong>und</strong>annahme der SMOLUCHOWSKI-Theorie ist die zeitliche Unabhängigkeit der Elemente<br />
der Stoßratenmatrix K i j . Hierbei gibt das Element K i j die Zahl der Stöße zwischen Clustern<br />
der Massen i <strong>und</strong> j innerhalb der Einheitszeit im Einheitsvolumen an. Wurden während<br />
11
2 Makrophysik <strong>des</strong> Teilchenwachstums<br />
10 10<br />
Skalenfunktion f(x)<br />
s=1<br />
10 9<br />
n s s 2<br />
10 8<br />
s=4s=3<br />
s=2<br />
10 7<br />
10 !7 10 !6 10 !5 10 !4 10 !3 10 !2 10 !1<br />
s/t z<br />
Abbildung 2.2: Skalenverhalten der dynamischen Clustergrößenverteilung n s (t) <strong>des</strong> Brownschen<br />
<strong>Wachstums</strong> für n 0 = 2.10 10 m −3 . Berechnungsgr<strong>und</strong>lage waren die gemittelten Massenspektren von 7<br />
Simulationen mit 20000 Teilchen. Abgesehen von den sehr kleinen Clustern (s < ∼4) gehen alle Graphen<br />
nach einer relativ kurzen Zeit in eine gemeinsame Kurve über, was den Skalenansatz (2.9) rechtfertigt.<br />
1000.0<br />
Zeitliche Entwicklung der effektiven Kollisionsrate K 1s<br />
s=1<br />
100.0<br />
K 1s /K 11<br />
10.0<br />
s=2<br />
s=3<br />
s=5<br />
s=10 s=20<br />
1.0<br />
0.1<br />
0.0001 0.0010 0.0100 0.1000 1.0000 10.0000 100.0000<br />
t [h]<br />
Abbildung 2.3: Zeitliche Entwicklung der Stoßraten K 1s zwischen Monomeren <strong>und</strong> Clustern bis s = 20.<br />
der Beobachtungszeit ∆t im Volumen ∆V ν i j Stöße zwischen den Clustersorten i <strong>und</strong> j beobachtet,<br />
so betrug die Stoßrate<br />
K i j (t) =<br />
ν i j (t)<br />
〈n i (t)〉 〈 n j (t) 〉 ∆t ∆V . (2.14)<br />
Hierin ist 〈 n j (t) 〉 die über die Beobachtungszeit gemittelte Anzahldichte der Cluster i. In der<br />
Abb. 2.3 ist die zeitliche Entwicklung der Stoßraten zwischen Monomeren <strong>und</strong> Clustern bis<br />
s = 20 dargestellt. Die Angaben der Stoßraten beziehen sich auf die theoretische Rate (2.3) für<br />
ballistisch stoßende Monomere K (b)<br />
11 = 4√ 12kT g R s /ρ s (ρ s – Teilchendichte, R s – Radius <strong>des</strong><br />
Monomers). Die großen Fluktuationen für kleine Zeiten haben ihre Ursache in der geringen<br />
Anzahl der Cluster zu diesem Zeitpunkt. Für große Zeiten wird die Stoßrate zumin<strong>des</strong>t für<br />
die sehr kleinen Cluster zeitunabhängig. Nach sehr großen Zeiten würde man wiederum starke<br />
Fluktuationen erwarten, da dann die Clusterzahlen sehr klein sind. Unter Gleichgewichtsbedingungen<br />
sollte die Stoßrate für Monomere dem aus kinetischen Betrachtungen abgeleiteten<br />
12
2.3 Wie gut sind die makroskopischen <strong>Wachstums</strong>modelle?<br />
K 1i /K 11<br />
14<br />
12 K 1i<br />
10<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
0<br />
0 10 20 30 40<br />
i<br />
K 2i /K 11<br />
14<br />
12 K 2i<br />
10<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
0<br />
0 10 20 30 40<br />
i<br />
K 3i /K 11<br />
14<br />
12 K 3i<br />
10<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
0<br />
0 10 20 30 40<br />
i<br />
Abbildung 2.4: Mittlere Stoßraten von Monomeren, Dimeren <strong>und</strong> Trimeren mit Clustern mit s < 40.<br />
Die durchgezogenen Linien zeigen die Stoßraten entsprechend der von OSSENKOPF (1993) angegebenen<br />
Näherung für das ballistische Wachstum von fraktalen Clustern mit D m = 1.95.<br />
Wert entsprechen (siehe Abschn. 2.1), da einerseits die Monomerdichte relativ groß ist <strong>und</strong><br />
andererseits die Monomere kugelförmig sind. Es spricht <strong>des</strong>halb sehr für die gute Qualität der<br />
Simulation, daß die gemessene Stoßrate der Monomere von K 11 /K (b)<br />
11<br />
= 0.95 nahezu diesem<br />
Wert entspricht.<br />
2.3.3 Analytische Form der Stoßraten K i j<br />
Auf der Gr<strong>und</strong>lage der gemessenen mittleren Stoßraten K i j kann die analytische Form von K i j<br />
als Funktion der Teilchenmassen eingegrenzt werden. Für diese Analyse sind von den berechneten<br />
Matrixelementen nur die Spalten K 1i , K 2i <strong>und</strong> K 3i geeignet (Abb. 2.4), da die Stoßraten<br />
für größere Massen zu stark fluktuieren. Im allgemeinen ist eine Stoßrate das Produkt aus der<br />
typischen Relativgeschwindigkeit zwischen den stoßenden Teilchen <strong>und</strong> <strong>des</strong> effektiven Stoßquerschnitts.<br />
Im Fall <strong>des</strong> ballistischen Cluster-Cluster-<strong>Wachstums</strong> ist die typische Relativgeschwindigkeit<br />
durch die (von der Teilchenstruktur unabhängige) thermische Relativgeschwindigkeit<br />
der Aggregate gegeben. Falls die betrachteten Cluster klein sind, wird das Wachstum<br />
bei einer anfänglichen Dichte von n 0 = 2.10 9 m −3 nur schwach von räumlichen Fluktuationen<br />
beeinflußt. Daher ist es zumin<strong>des</strong>t eine sehr gute Näherung, als typische Geschwindigkeit<br />
zur Ableitung der resultierenden Stoßratenmatrix die thermische Relativgeschwindigkeit<br />
v th (i, j) = √ 8kT g /m 0 (i + j) anzunehmen, d.h. K i j ∼ {i −1 + j −1 } 1/2 σ(i, j). Aufgr<strong>und</strong> <strong>des</strong> oben<br />
abgeleiteten Homogenitätsindex ω ≈ 0 muß σ(i,i) annähernd proportional zu √ i sein. Als<br />
Stoßquerschnitt der fraktalen Teilchen wurde die von OSSENKOPF (1993) angegebene Näherung<br />
(2.5) genutzt. Diese Approximation beschreibt die funktionale Massenabhängigkeit der<br />
Spalte K 1 j sehr gut (siehe Abb. 2.4). Dagegen stimmen die Spalten K 2 j <strong>und</strong> K 3 j nur für größe-<br />
13
2 Makrophysik <strong>des</strong> Teilchenwachstums<br />
re Massen j mit der Näherung (2.5) überein. Da die Stöße zwischen Clustern kleiner Masse<br />
überwiegend zum Beginn <strong>des</strong> <strong>Wachstums</strong> stattfinden, ist diese Abweichung wahrscheinlich<br />
auf die starken Fluktuationen der Stoßraten in dieser <strong>Wachstums</strong>phase zurückzuführen. Für<br />
größere Anzahldichten n 0 ist der Stoßquerschnitt (2.5) eine gute erste Näherung. Dies wird<br />
weiterhin durch die gute Übereinstimmung der Lösung der SMOLUCHOWSKI-Gleichung für<br />
diesen Stoßquerschnitt mit den simulierten Massenspektren für n 0 = 2 ·10 9 m −3 belegt. Dagegen<br />
sind die Abweichung für kleine Anzahldichten erheblich. Für die korrekte Behandlung<br />
solcher Probleme im Rahmen der SMOLUCHOWSKI-Theorie muß die Stoßratenmatrix aus den<br />
gemessenen Stoßraten von N-Teilchen-Simulationen abgeleitet werden.<br />
14
3 Stochastische Teilchenbewegung<br />
als Quelle von<br />
Relativgeschwindigkeit<br />
Kleine, in ein Gas oder eine Flüssigkeit eingebettete Teilchen bewegen sich aufgr<strong>und</strong> der Stöße<br />
mit den Molekülen der Umgebung sprunghaft, unregelmäßig <strong>und</strong> unkorreliert. Die Natur dieses<br />
Phänomens wurde im wesentlichen von ALBERT EINSTEIN (1905) enthüllt, indem er die<br />
im statistischen Sinne gr<strong>und</strong>sätzliche Gleichheit der Moleküle <strong>des</strong> Mediums <strong>und</strong> der (verglichen<br />
mit den Molekülen großen) eingebetteten Teilchen erkannte. Diese thermische Bewegung<br />
(oder auch nach ihren Entdecker BROWNsche Bewegung) ist eine der wichtigsten Quellen von<br />
Relativbewegung zwischen wachsenden Objekten.<br />
Auf dem ersten Blick erscheint es unmöglich, die unregelmäßige thermische Bewegung<br />
durch eine hinreichend korrekte Bewegungsgleichung zu fassen, müßte man doch hierfür den<br />
vollständigen Satz derartiger Gleichungen für das Testteilchen <strong>und</strong> alle Moleküle <strong>des</strong> Mediums<br />
aufstellen. Die Gr<strong>und</strong>idee besteht in der Simulation der Teilchenstöße durch zufällige<br />
Störungen der deterministischen Bewegungsgleichung <strong>des</strong> Testteilchens. EINSTEIN beschrieb<br />
die Gasstöße durch ein weißes Rauschen, wodurch die Ableitung der (makroskopischen <strong>und</strong><br />
statistischen) Diffusionsgleichung aus der mikroskopischen Bewegungsgleichung für das Testteilchen<br />
gelang. Hier soll jedoch der intuitive Ansatz von LANGEVIN (1907) kurz dargestellt<br />
werden, der die Gr<strong>und</strong>lagen für die Theorie der stochastischen <strong>Physik</strong> legte.<br />
3.1 Thermische Bewegung eingebetteter Teilchen<br />
Die freie eindimensionale thermische Bewegung eines Teilchen ist das einfachste stochastische<br />
Bewegungsproblem. Das durch die Molekülstöße beschleunigte Teilchen wird aufgr<strong>und</strong><br />
der viskosen Reibung mit dem einbettenden Medium wieder gebremst. Da das Teilchen groß<br />
gegenüber der Molekülgröße ist, wird man das gleiche Reibungsverhalten wie für makroskopische<br />
Körper in Flüssigkeiten oder Gasen beobachten <strong>und</strong> führt folglich die Reibungskraft<br />
proportional zur relativen Geschwindigkeit als F R = −βv mit dem Reibungskoeffizienten β<br />
ein. Man kann formal die Bewegungsgleichung dieses Problems für in Teilchen der Masse m<br />
in der Form<br />
d t x = v (3.1)<br />
d t v = − β m v + a ξ(t) (3.2)<br />
m<br />
aufschreiben. Die Molekülstöße werden hier durch die stochastische Kraft F s = a·ξ(t) mit den<br />
Eigenschaften<br />
〈xi(t)〉 = 0 <strong>und</strong> 〈ξ(t)ξ(t ′ )〉 = δ(t −t ′ ) (3.3)<br />
15
3 Stochastische Teilchenbewegung<br />
approximiert 1 . Schaltet man die stochastische Kraft ab, so wird die kinetische Energie der<br />
Teilchenbewegung relativ zum Gas innerhalb der Ankoppelzeit<br />
τ f = m/β (3.4)<br />
Dies bedeutet, daß auf größeren Zeitskalen als τ f das Teilchen im thermodynamische Gleichgewicht<br />
mit dem Gas steht. Seine mittlere Geschwindigkeit 〈v〉 <strong>und</strong> Energie 〈E〉 sind dann<br />
durch die bekannten Ausdrücke der statistischen Mechanik gegeben:<br />
〈v〉 = √ 8kT /πm = v th (3.5)<br />
〈E〉 =<br />
2 1 kT, (3.6)<br />
wobei T die Gastemperatur <strong>und</strong> k die Boltzmannkonstante sind. Hatte das Testteilchen die<br />
Anfangsgeschwindigkeit v 0 , so findet man durch Integration von Gl. (3.2), daß<br />
v(t) = v 0 e −t/τ f<br />
+ a m<br />
Z t<br />
0<br />
e −(t−t′ )/τ f<br />
ξ(t ′ )dt ′ . (3.7)<br />
Für t ≫ τ f muß das Äquipartitionstheorem der statistischen Mechanik erfüllt sein, d.h.<br />
〈<br />
v<br />
2 〉 = a2 Z t Z t<br />
m 2 lim<br />
t→∞ t ′ =0 t ′′ =0<br />
e −(2t−t′ −t ′′ )/τ f<br />
〈ξ(t ′ )ξ(t ′′ )〉 dt ′ dt ′′<br />
} {{ }<br />
δ(t ′ −t ′′ )<br />
= a2 Z t<br />
m 2 lim e −2(t−t′ )/τ f<br />
dt ′ = a 2 τ f<br />
t→∞ 0<br />
2m 2 lim<br />
t→∞<br />
= a 2 1<br />
2βm<br />
!<br />
= kT m ,<br />
<strong>und</strong> findet als “Stärke” der stochastischen Kraft<br />
a = √ 2kT β.<br />
(<br />
1 − e −2t/τ f<br />
Weiterhin folgt für große Zeiten, daß die Teilchengeschwindigkeit im Mittel ihren stationären<br />
Wert erreicht hat <strong>und</strong> die Zeitableitung in (3.2) verschwindet, weshalb<br />
Die Dispersion der Teilchenposition ist dann<br />
x(t) = √ Z t<br />
2kT /β ξ(t ′ )dt ′ .<br />
0<br />
)<br />
wobei<br />
〈<br />
x 2 (t) 〉 = 2kT β −1 Z t<br />
Z t<br />
0 0<br />
〈ξ(t ′ )ξ(t ′′ )〉dt ′ dt ′′ = 2kT β −1 t = 2Dt,<br />
D = kT β<br />
(3.8)<br />
die Diffusionskonstante im Ortsraum ist (EINSTEIN 1905).<br />
1 Diese Eigenschaften entsprechen einem weißen Rauschen, d.h. Fluktuationen, welche in Raum <strong>und</strong> Zeit unkorreliert<br />
sind.<br />
16
3.2 Ein kurzer Exkurs in die Stochastik<br />
3.2 Ein kurzer Exkurs in die Stochastik<br />
Leider kann die Methode <strong>des</strong> vorigen Absatz nicht einfach auf komplexere Probleme angewendet<br />
werden. Die Integrale über die stochastischen Kräfte bedürfen einer Interpretation.<br />
3.2.1 Die LANGEVIN-Beschreibung der stochastischen Bewegung<br />
Es sei der physikalische Zustand eines Testteilchens durch den Vektor x(t) gegeben. Dann wird<br />
die zeitliche Änderung von x(t) durch die LANGEVIN–Gleichung (LG)<br />
dx(t) = A(x)dt + ˆB(x)dW(t) (3.9)<br />
beschrieben. In ihr sind A(x) der Driftvektor, welcher den deterministischen Anteil der Bewegung<br />
beschreibt, ˆB 2 (x) die Diffusionsmatrix sowie<br />
der WIENER-Prozeß mit der Eigenschaft<br />
W(t) =<br />
Z t<br />
0<br />
ξ(t ′ )dt ′ (3.10)<br />
dW(t) 2 = dt. (3.11)<br />
Natürlich ist es nicht möglich, die LANGEVIN–Gleichung analytisch geschlossen zu lösen.<br />
Allerdings ist man auch nur an statistischen Aussagen interessiert. Eine stochastische NEW-<br />
TONsche Bewegungsgleichung ist somit offensichtlich eine Bewegungsgleichung für die stochastischen<br />
Observablen <strong>des</strong> Systems, deren konkrete Werte aussagelos sind <strong>und</strong> immer einer<br />
statistischen Interpretation bedürfen. Aus der Menge der möglichen Werte der stochastischen<br />
Observablen leitet man deren Verteilungsfunktion ab <strong>und</strong> hat somit das stochastische Bewegungsproblem<br />
gelöst.<br />
In der Regel approximiert man ξ durch ein weißes Rauschen (siehe Gl. (3.3)). Neben der<br />
Diskontinuität von dW ist ein weiterer, unangenehmer Unterschied einer stochastischen zu<br />
einer gewöhnlichen Differentialgleichung das Verhalten bei einer Koordinatentransformation.<br />
Sei g[x(t)] eine beliebige Funktion der stochastischen Größe x. Entwickelt man dg[x(t)] in eine<br />
Taylorreihe bis zur zweiten Ordnung von x, ersetzt dx durch (3.9) <strong>und</strong> vernachlässigt Terme<br />
höherer Ordnung, findet man<br />
dg[x(t)] = g[x(t) + dx(t)] − g[x(t)] = g ′ [x(t)]dx(t) + 1 2 g′′ [x(t)]dx(t) 2 +O(dx 3 )<br />
= g ′ [x(t)]{A[x(t)]dt + B[x(t)]dW(t)} + 1 2 g′′ [x(t)]B[x(t)] 2 dW(t) 2 +O(dx 3 ).<br />
die als ITO-Gleichung bekannte transformierte neue LANGEVIN–Gleichung<br />
dg[x(t)] = {A[x(t)]dt + B[x(t)]dW(t)}g ′ [x(t)] + 1 2 B[x(t)]2 dt g ′′ [x(t)]. (3.12)<br />
Diese Formel zeigt, das eine LG bezüglich Koordinatentransformationen nur dann den Regeln<br />
der Differentialrechnung folgt (entsprechend derer man nur den Ausdruck in den geschweiften<br />
Klammern ableiten würde), wenn die Transformation g[x(t)] eine lineare Funktion in x(t)<br />
ist. Transformiert man beispielsweise die LG dv = BdW für die Geschwindigkeit v in eine<br />
17
3 Stochastische Teilchenbewegung<br />
Gleichung für die kinetische Energie E = mv 2 /2, so ergibt sich entsprechend (3.12) dE =<br />
mB 2 /2dt + mB √ E dW, während der Differentialkalkül nur die Beziehung dE = mB √ E dW<br />
liefern würde.<br />
Obwohl die LG in gewissem Sinne eine Verallgemeinerung der Newtonschen Bewegungsgleichungen<br />
der klassischen Mechanik ist, kann sie aufgr<strong>und</strong> der statistischen Natur der Observablen<br />
nicht mit den Methoden der klassischen mathematischen <strong>Physik</strong> gelöst werden.<br />
3.2.2 Die FOKKER-PLANCK-Beschreibung der stochastischen<br />
Bewegung<br />
Die Dynamik stochastischer Probleme ist vollständig durch die räumlich <strong>und</strong> zeitliche Entwicklung<br />
der Wahrscheinlichkeitsdichte p(x,t|x 0 ,t 0 ) <strong>des</strong> Prozesses x(t) beschrieben 2 , da sich<br />
aus ihr alle statistischen Gewichte 〈 f (x) n 〉 = R p(x,t|x 0 ,t 0 ) f (x) n dx der von der stochastischen<br />
Observablen x abhängigen Größe f bestimmen lassen. Daher muß die zeitliche Änderung <strong>des</strong><br />
Erwartungswertes 〈 f [x(t)]〉 durch die Änderung von p(x,t|x 0 ,t 0 ) bestimmt sein, d.h.<br />
Z<br />
d<br />
dt 〈 f [x(t)]〉 =<br />
f (x)∂ t p(x,t|x 0 ,t 0 )dx. (3.13)<br />
Andererseits ist das Differential der stochastischen Observablen f [x] durch die ITO-Gleichung<br />
(3.12) gegeben<br />
d<br />
dt 〈 f [x(t)]〉 = 1 dt 〈d f [x(t)]〉 = 〈 A(x)∂ x f (x) + 1 2 B(x)2 ∂ 2 x f (x) 〉 ,<br />
wobei die Eigenschaft 〈dW(t)〉 = 0 <strong>des</strong> WIENER-Prozesses ausgenutzt wurde. Durch Ersetzen<br />
<strong>des</strong> Mittlungsoperators 〈〉 durch das Integral über die Wahrscheinlichkeitsdichte für x <strong>und</strong><br />
nachfolgende partielle Integration (mit Vernachlässigung der Oberflächenterme) geht diese Beziehung<br />
in<br />
Z<br />
d<br />
dt 〈 f [x(t)]〉 =<br />
f (x){−∂ x [A(x)p(x,t|x 0 ,t 0 )] + 1 2 ∂2 x[B(x) 2 p(x,t|x 0 ,t 0 )]}dx (3.14)<br />
über. Da die Funktion f [x(t)] in den Gl. (3.13) <strong>und</strong> (3.14) beliebig ist, muß folglich die Wahrscheinlichkeitsdichte<br />
p(x,t|x 0 ,t 0 ) die FOKKER-PLANCK-Gleichung (FPG)<br />
∂ t p(x,t|x 0 ,t 0 ) = {−∂ x A(x) + 1 2 ∂2 xB 2 (x)}p(x,t|x 0 ,t 0 )<br />
erfüllen (PLANCK 1917). In analoger Weise leitet man für mehrdimensionale Probleme die<br />
Gleichung<br />
∂ t p(x,t) = {−∂ i A i (x) + 1 2 ∂ i ∂ j B2 i j(x)}p(x,t) (3.15)<br />
her. Das ist die gesuchte Bewegungsgleichung für die Wahrscheinlichkeitsdichte der stochastischen<br />
Observablen x.<br />
2 Die Schreibweise p(x,t|x 0 ,t 0 ) bedeutet, daß p die Wahrscheinlichkeitsdichte für das Auffinden <strong>des</strong> Teilchens<br />
am Ort x zum Zeitpunkt t unter der Bedingung ist, daß es sich zum Zeitpunkt t 0 am Ort x 0 bef<strong>und</strong>en hatte.<br />
18
3.2 Ein kurzer Exkurs in die Stochastik<br />
Für praktische Anwendungen ist es häufig einfacher, die FPG anstelle der korrespondierenden<br />
LG zu lösen, da sie eine gewöhnliche hyperbolische Differentialgleichung ist. Hingegen<br />
ist es zur Bestimmung der Form <strong>des</strong> Driftvektors sowie der Diffusionsmatrix eines Problems<br />
physikalisch anschaulicher, von der LG auszugehen, da aufgr<strong>und</strong> ihrer pseudo-newtonischen<br />
Struktur A unmittelbar aus der klassischen Mechanik abgeleitet werden kann. Die Diffusionsmatrix<br />
bestimmt man danach aus der Forderung, daß für große Beobachtungszeiten die Lösung<br />
durch die klassische statistische Mechanik gegeben sein muß.<br />
3.2.3 Beispiel: Relative Bewegung zweier Brownscher Teilchen<br />
Besteht das betrachtete System nur aus zwei Teilchen, so können alle interessierenden Größen<br />
wie die Stoßwahrscheinlichkeiten <strong>und</strong> die mittlere Zeit bis zu einer Kollision der Teilchen<br />
analytisch abgeleitet werden. Allerdings muß weiterhin vorausgesetzt werden, daß alle physikalischen<br />
Prozesse auf Zeitskalen größer als die Ankoppelzeit τ f stattfinden. In diesem Fall<br />
wird die Entwicklung der Wahrscheinlichkeitsdichte <strong>des</strong> einzelnen Teilchens durch eine FPG<br />
in der Form einer gewöhnlichen Diffusionsgleichung, d.h.<br />
∂ t p(x) = D x ∆ x p(x,t|x 0 ,t 0 ) (3.16)<br />
beschrieben. Zur Untersuchung eventueller Kollision im Zweitteilchensystem ist nur die relative<br />
Bewegung zwischen den beiden Teilchen von Interesse. Deshalb ist es vorteilhaft, diese<br />
relative Bewegung auf die Bewegung eines effektiven Teilchens zurückzuführen. Dies ist für<br />
sich unabhängig bewegende Teilchen möglich, da im Rahmen der statistischen Mechanik gezeigt<br />
wird: die relativen Bewegungen der Gasteilchen zueinander werden durch die gleiche<br />
Statistik wie die Bewegungen der einzelnen Teilchen beschrieben.<br />
Die zeitliche Entwicklung der Wahrscheinlichkeitsdichte für die Positionen (x 1 ,x 2 ) für ein<br />
System von zwei sich voneinander unabhängig diffusiv bewegenden Teilchen wird durch die<br />
Fokker-Planck-Gleichung (FPG)<br />
∂ t p(x 1 ,x 2 ,t) = [D 1 ∆ x1 + D 2 ∆ x2 ] p(x 1 ,x 2 ,t) (3.17)<br />
beschrieben, wobei D 1 <strong>und</strong> D 2 die jeweiligen Diffusionskoeffizienten der Teilchen sind. Analog<br />
zur klassischen Mechanik zerlegt man nun die Bewegung <strong>des</strong> Systems in die Bewegung<br />
eines Pseudoteilchens <strong>des</strong> diffusiven Schwerpunktes 3 R sowie eines der relativen Bewegung x<br />
der Teilchen zueinander:<br />
bzw.<br />
R = (D 2 /D r )x 1 + (D 1 /D r )x 2 ), x = x 1 − x 2<br />
x 1 = R + (D 1 /D r )x,<br />
x 2 = R − (D 2 /D r )x.<br />
Die transformierte FPG für ein solches System lautet dann<br />
∂ t p(x,R,t) = [D r ∆ x + D R ∆ R ] p(x,R,t), (3.18)<br />
3 Für den mechanischen Schwerpunkt <strong>des</strong> Zweiteilchensystem gilt für die diffusive Bewegung kein Erhaltungssatz.<br />
Dies folgt unmittelbar aus dem Umstand, daß die FPG keine Newtonsche Bewegungsgleichung ist.<br />
Dagegen kann man zeigen, daß für den diffusiven Schwerpunkt ein derartiger Erhaltungssatz existiert <strong>und</strong><br />
somit in den diffusiven Relativkoordinaten die Diffusionskonstanten mit den Massen korrespondieren.<br />
19
3 Stochastische Teilchenbewegung<br />
worin D r = D 1 +D 2 die Diffusionskonstante der relativen Bewegung sowie D R = D 1 D 2 /D r die<br />
Diffusionskonstante der Schwerpunktsbewegung sind. Auf diese Weise wird das Problem der<br />
stochastischen Bewegung zweier unabhängiger Teilchen auf die Diffusion der Schwerpunktsposition<br />
sowie der Diffusion <strong>des</strong> Teilchenabstan<strong>des</strong> zurückgeführt.<br />
Für die Untersuchung von diffusiven Stößen ist eigentlich nur der Betrag <strong>des</strong> Teilchenabstands<br />
r von Interesse. Hierzu wird die FPG für die relative Teilchenbewegung in Polarkoordinaten<br />
transformiert, deren radiale Komponente durch<br />
mit dem Ortsoperator<br />
∂ t p(r,t) = L p(r,t) (3.19)<br />
L = {−∂ r [2D r /r] + 1 2 ∂2 r[2D r ]} (3.20)<br />
gegeben ist. Diese Gleichung enthält im Gegensatz zu (3.18) einen Driftterm A(x) = 2D r /r.<br />
Dieser bewirkt, daß die stochastische Bewegung im relativen Abstandsraum einer Vorzugsrichtung<br />
folgt, d.h. man kann das Auftreten <strong>des</strong> Driftterms als ein Vorhandensein einer deterministischen<br />
Kraft, welche die Teilchen auseinandertreibt, interpretieren. Hieraus folgt unmittelbar<br />
das Nichtverschwinden <strong>des</strong> mittleren Teilchenabstan<strong>des</strong>:<br />
〈r(t)〉 = √ 16D r t/π, mit t ≫ τ f .<br />
Ein Stoß der beiden Teilchen erfolgt dann, wenn ihr relativer Abstand r der Summe der beiden<br />
Teilchenradien R = R 1 +R 2 entspricht. Nun soll die Wahrscheinlichkeitsdichte π(t|0,r 0 )dt<br />
für einen Stoß innerhalb <strong>des</strong> Zeitintervalls (t,t +dt) gef<strong>und</strong>en werden. Diese kann nicht direkt<br />
aus der Ortswahrscheinlichkeitsdichte p(r,t|r 0 ,0)dr abgeleitet werden, weil in ihr die Zeit die<br />
Rolle eines Parameters spielt. Statt<strong>des</strong>sen führt man diese Fragestellung auf das Problem <strong>des</strong><br />
Verlassens eines Intervalls R ≤ r 0 ≤ s zurück, <strong>des</strong>sen “Wände” absorbierend sind, d.h. es gelten<br />
die Randbedingungen<br />
p(R,t) = 0 <strong>und</strong> p(s,t) = 0, (3.21)<br />
wobei s die maximale Teilchenseperation ist. Diese RB bewirken, daß zum Zeitpunkt t die<br />
Wahrscheinlichkeit für den Aufenthalt <strong>des</strong> Teilchens innerhalb <strong>des</strong> Intervalls gleich dem Integral<br />
über p(r,t|r 0 ,0) ist. Die totale Wahrscheinlichkeit g R (r 0 ,t), daß die Teilchen nach der Zeit<br />
t miteinander stoßen (d.h. daß das effektive Teilchen im relativen Abstandsraum das Intervall<br />
durch die untere Grenze R verläßt), ist durch den Wahrscheinlichkeitsstrom J durch R gegeben<br />
g R (r 0 ,t) =<br />
Z ∞<br />
t<br />
−J(R,t ′ |r 0 ,0)dt ′ . (3.22)<br />
Die Wahrscheinlichkeit π R (r 0 ) für das Zusammenstoßen der beiden Teilchen, d.h. daß das<br />
Relativteilchen das Intervall überhaupt durch R verlaßt, entspricht dem Gesamtstrom durch R,<br />
d.h. π R (r 0 ) = g R (r 0 ,0). Falls die Teilchen kollidieren, so ist prob(T < t) = g R (r 0 ,t)/π R (r 0 )<br />
die WK, daß sie dies später als zum Zeitpunkt T tun. Die zeitliche Ableitung von prob(T > t)<br />
liefert die Wahrscheinlichkeitsdichte π R (t|0,r 0 )dt für einen Stoß innerhalb <strong>des</strong> Zeitintervalls<br />
(t + dt,t) (vorausgesetzt sie stoßen überhaupt)<br />
π R (t|0,r 0 )dt = ∂ t prob(t ′ < t) = −J(R,t|r 0 ,0)/π R (r 0 )dt. (3.23)<br />
Auf analoge Weise berechnet man, daß die WKD π s (t|0,r 0 )dt für das Erreichen der maximalen<br />
Teilchenseparation s innerhalb (t,t + dt)<br />
π s (t|0,r 0 )dt = −J(s,t|r 0 ,0)/(1 − π R (r 0 ))dt (3.24)<br />
20
3.2 Ein kurzer Exkurs in die Stochastik<br />
entspricht. Das Ortsproblem (3.19) mit den Randbedingungen (3.21) wird gelöst, indem man<br />
p nach den Eigenfunktionen <strong>des</strong> Ortsoperators L Gl. (3.20) entwickelt<br />
p(r,t|r 0 ,0)dt = 2 ∞<br />
r<br />
s − R r 0<br />
∑ sin(λ n [r − R])sin(λ n [r 0 − R])e −D rλ 2 nt dt, (3.25)<br />
n=1<br />
wobei λ n = nπ/(s − R) die Eigenwerte <strong>des</strong> Problem sind. Hieraus ergibt sich entsprechend Gl.<br />
(3.23) die Stoßwahrscheinlichkeit<br />
π R (r 0 ) =<br />
R s − r 0<br />
. (3.26)<br />
s − R r 0<br />
Es ist sehr bemerkenswert, daß auch für ein unendlich großes Intervall die Stoßwahrscheinlichkeit<br />
nicht identisch 1 wird (außer für die triviale Lösung r 0 = R). Weiterhin findet man die<br />
Ausdrücke für die Wahrscheinlichkeitsdichten mit<br />
π R (t|0,r 0 )dt = 2D ∞<br />
r<br />
s − r 0<br />
∑ λ n sin(λ n [r 0 − R])e −λ2 nD r t dt. (3.27)<br />
i=1<br />
π s (t|0,r 0 )dt = 2D r<br />
r 0 − R<br />
∞<br />
∑<br />
i=1<br />
λ n sin(λ n [s − r 0 ])e −λ2 nD r t dt. (3.28)<br />
Diese WKD haben einige sehr wichtige Eigenschaften, welche sie gr<strong>und</strong>sätzlich von denen der<br />
Diffusion im Ortsraum unterscheiden:<br />
• Die Verteilungen sind sehr breit <strong>und</strong> asymmetrisch. Dies hat zur Folge, daß der zeitliche<br />
Stoßprozeß nur durch seine WKD <strong>und</strong> nicht durch seine statistischen Momente<br />
vollständig beschrieben werden. Dies wird deutlicher, wenn man die mittlere Stoßzeit<br />
〈t(r 0 )〉 = −<br />
Z ∞<br />
0<br />
tπ R (t|0,r 0 )dt = 1<br />
6D r<br />
(r 0 − R)(2s − R − r 0 ). (3.29)<br />
mit ihrer Varianz<br />
〈<br />
t 2 (r 0 ) 〉 = 1<br />
180D 2 (r 0 −R)(−7R 3 +28R 2 s−32Rs 2 +8s 3 −7R 2 r 0 +8s 2 r 0 +3Rr0 2 −12sr0 2 +3r0 3 ),<br />
r<br />
(3.30)<br />
vergleicht, welche von der gleichen Größenordnung ist. 4 Diese Eigenschaft ist charakteristisch<br />
für die WKD von zeitlichen Diffusionsphänomenen [?].<br />
• Die WKD für einen Teilchenstoß hängt ist stark von der willkürlich gewählten <strong>und</strong> nicht<br />
durch das Stoßproblem spezifizierbaren maximalen Teilchenseparation s ab. Dies zeigt<br />
zeigt sich inbesondere bei der Untersuchung der mittleren Stoßzeit, welche für ein unendlich<br />
großes Intervall unendlich wird.<br />
Um die Bestimmung der Stoßwahrscheinlichkeiten zwischen den Teilchen eines N-Teilchen-<br />
Systems auf 2-Teilchen-Probleme reduzieren zu können, muß man angeben, innerhalb welches<br />
Umkreises s man 2 benachbarte Teilchen als isoliertes 2-Teilchen-System auffaßt. Aufgr<strong>und</strong><br />
der oben diskutierten Abhängigkeit der Stoßwahrscheinlichkeit von s ist dies nicht selbstkonsistent<br />
möglich. Hieraus folgt, daß zum Auffinden der Stöße in einem N-Teilchen-System die<br />
diffusive Bewegung aller Teilchen betrachtet werden muß.<br />
4 Dies ist der wichtigste Unterschied zur Diffusion im Ortsraum, welche durch die Angabe <strong>des</strong> Mittelwertes<br />
sowie <strong>des</strong> Schwankungsquadrates der Position vollständig charakterisiert ist<br />
21
3 Stochastische Teilchenbewegung<br />
3.3 Thermische Bewegung auf beliebige Zeitenskalen<br />
Möchte man die thermische Bewegung auf Zeitskalen untersuchen, welche kleiner oder von<br />
der gleichen Größenordnung wie die Ankoppelzeit τ f sind, ist die Reduzierung <strong>des</strong> Problems<br />
auf die Diffusion im Ortsraum nicht mehr möglich. Das allgemeine Bewegungsproblem für ein<br />
Testteilchen der Masse m, eingebettet in einem Gas der Temperatur T , auf welches eine räumlich<br />
<strong>und</strong> zeitlich konstante Kraft F 0 = mg einwirkt, ist durch das Differentialgleichungssystem<br />
dx = vdt (3.31)<br />
dv = (g − τ −1<br />
f<br />
v)dt + τ −1 √<br />
f 2DdW (3.32)<br />
gegeben. Dies ist das ORNSTEIN-UHLENBECK-Problem. Der physikalische Zustand <strong>des</strong> Teilchens<br />
ist durch die Teilchenposition x <strong>und</strong> die Geschwindigkeit v vollständig bestimmt. Im<br />
Sinne der stochastischen Theorie korrespondiert jede unabhängige Observable mit einem stochastischen<br />
Integral. Dann ist die “Lösung” <strong>des</strong> Problems durch eine bivariante Normalverteilung<br />
[<br />
1<br />
p 2 (x) =<br />
2π √ |Σ| exp − 1 ]<br />
2 (x − ¯x)T Σ −1 (x − ¯x)<br />
(3.33)<br />
gegeben, wobei Σ die 2-dimensionale positiv definite Kovarianzmatrix<br />
[ ]<br />
Σ = 〈(x − ¯x) T σ<br />
2<br />
(x − ¯x)〉 = 1 σ 12<br />
σ 21 σ 2 2<br />
(3.34)<br />
ist.<br />
Die Komponenten der Kovarianzmatrix der bivarianten Verteilung p 2 (V,X,t|V 0 ,X 0 ,t 0 ) für<br />
das d-dimensionale UHLENBECK-ORNSTEIN-Problem lauten<br />
σ 2 X = {〈x 2 〉 − 〈x〉 2 }/d = 〈v 2 〉τ 2 [<br />
f 2τ − 3 + 4e −τ − e −2τ]<br />
σV 2 = {〈v 2 〉 − 〈v〉 2 }/d = 〈v 2 〉 [ 1 − e −2τ]<br />
σ XV = {〈vx〉 − 〈v〉〈x〉}/d = 〈v 2 〉τ f<br />
[<br />
1 − e<br />
−τ ] 2 . (3.35)<br />
Das Nichtverschwinden der Korrelation 〈XV〉 bedeutet, daß nach t ≫ τ f die Positions- <strong>und</strong><br />
Geschwindigkeitsfluktuationen korreliert sind. Weiterhin lauten die Mittelwerte für die Teilchenposition<br />
<strong>und</strong> Geschwindigkeit:<br />
[<br />
〈x(t)〉 = x 0 + v 0 τ f 1 − e<br />
−τ ] + gτ 2 [<br />
f τ − 1 + e<br />
−τ ] (3.36)<br />
〈v(t)〉 = v 0 e −τ [<br />
+ gτ f 1 − e<br />
−τ ] . (3.37)<br />
Für lange Beobachtungszeiten (t ≫ τ f ) entspricht die mittlere Teilchenposition der Trajektorie<br />
x 0 + v 0 τ f + gτ f t der Sedimentation im konstanten Feld g. Die hierin enthaltene konstante Verschiebung<br />
v 0 τ f ist durch die Kenntnis der Anfangsgeschwindigkeit v 0 bedingt. Weiterhin geht<br />
die mittlere Geschwindigkeit unabhängig von der Anfangsgeschwindigkeit v 0 in die konstante<br />
Sedimentationsgeschwindigkeit v sed = gτ f über.<br />
22
3.3 Thermische Bewegung auf beliebige Zeitenskalen<br />
4<br />
! x 2 /"v 2 #$ f<br />
2<br />
1.0<br />
! v 2 /"v 2 #<br />
1.0<br />
! xv /"v 2 #$ f<br />
3<br />
0.8<br />
0.8<br />
2<br />
0.6<br />
0.4<br />
0.6<br />
0.4<br />
1<br />
0.2<br />
0.2<br />
0<br />
0 1 2 3<br />
$/$ f<br />
0.0<br />
0 1 2 3<br />
$/$ f<br />
0.0<br />
0 1 2 3<br />
$/$ f<br />
Abbildung 3.1: Zeitliche Entwicklung der Dispersion im Ortsraum (linkes Bild), im Geschwindigkeitsraum<br />
(mittleres Bild) sowie der Korrelation zwischen Teilchenposition <strong>und</strong> Geschwindigkeit (rechtes<br />
Bild) eines freien Brownschen Teilchens<br />
Ornstein-Fürth-Beziehung<br />
Die abgeleitete Verteilung gibt die Wahrscheinlichkeit für ein Testteilchen an, es nach einer<br />
gewissen Zeit t an einer konkreten Position x mit der konkreten Geschwindigkeit v zu finden.<br />
Vom experimentellen Gesichtspunkt her ist es jedoch schwierig, gleichzeitig Positions- <strong>und</strong><br />
Geschwindigkeitsmessungen an Brownschen Teilchen durchzuführen. Aus der allgemeinen<br />
Verteilungsfunktion für die Brownsche Bewegung läßt sich jedoch sofort die Verteilung für<br />
den Fall ableiten, daß die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t nicht gemessen wird. Hierzu mittelt<br />
man die Verteilung über alle möglichen Werte für v(t) <strong>und</strong> erhält die sogenannte ORNSTEIN-<br />
FÜRTH-Verteilung, welche nur von der Teilchenposition (sowie x 0 <strong>und</strong> v 0 ) abhängt:<br />
p(x,t|x 0 ,v 0 ,t 0 ) =<br />
1<br />
exp<br />
[− √(2πσ |∆x − v 0τ f [1 − e −τ ]| 2 ]<br />
2<br />
R )3 2σ R<br />
(3.38)<br />
Hiermit berechnet sich das mittlere Schwankungsquadrat der Teilchenposition wie folgt<br />
〈∆x 2 〉 v = σ 2 X + { [<br />
v 0 τ f 1 − e<br />
−τ ] + gτ 2 [<br />
f τ − 1 + e<br />
−τ ]} 2<br />
. (3.39)<br />
Mittelt man diesen Ausdruck nun auch noch über alle möglichen Werte für die Anfangsgeschwindigkeit<br />
v 0 <strong>und</strong> berücksichtigt das Äquipartitionstheorem 〈v 2 〉 = kT /m, so geht das<br />
Schwankungsquadrat für die Teilchenposition in<br />
〈∆x 2 (t)〉 v,v0 = { 2Dτ f + g 2 τ 4 f<br />
}[<br />
τ − 1 + e<br />
−τ ] (3.40)<br />
über. In dieser Beziehung wurde durch die Mittlungen über v <strong>und</strong> v 0 die Geschwindigkeitsbhängigkeit<br />
<strong>des</strong> Diffusionsprozesses eliminiert. Deshalb geht Gl. (3.40) für ein verschwinden<strong>des</strong> Kraftfeld<br />
<strong>und</strong> Beobachtungszeiten t ≫ τ f in 2Dt über.<br />
23
3 Stochastische Teilchenbewegung<br />
24
4 Mikrophysik <strong>des</strong><br />
Teilchenwachstums<br />
4.1 Wechselwirkung <strong>des</strong> Teilchens mit dem Medium<br />
Die Voraussetzung für das Wachstum durch “haftende Stöße” sind Relativbewegungen zwischen<br />
den Teilchen. Die Quellen relativer Teilchenbewegungen sind:<br />
• Geschwindigkeitsfluktuationen <strong>des</strong> Mediums<br />
• Turbulenz im Medium<br />
• differentielle Sedimentation.<br />
Ein Medium kann auf verschiedenen Längenskalen fluktuieren. Daher ist das Kriterium für<br />
die Kopplungsstärke <strong>des</strong> Teilchens an die turbulente Gasbewegung das Verhältnis zwischen<br />
der typischen Gasankoppelzeit τ f <strong>und</strong> der Fluktuationszeitskale <strong>des</strong> Mediums.<br />
4.2 Ankopplung an die thermischen Fluktuationen im<br />
Medium: typische Ankoppelzeit τ f<br />
Die Gasankoppelzeit τ f ist die typische Zeitskale, auf welcher die kinetische Energie der (translativen)<br />
Bewegung <strong>des</strong> Teilchen relativ zum Gas dissipiert wird. Dies ist physikalisch gleichbedeutend<br />
mit der typischen Zeit, welche das Teilchen benötigt, um das thermodynamische<br />
Gleichgewicht mit seiner Umgebung einzustellen.<br />
Ist die Geschwindigkeit <strong>des</strong> Teilchens relativ zum Medium wesentlich kleiner als die Schallgeschwindigkeit<br />
c s im Medium, so darf die Wechselwirkung zwischen dem Teilchen <strong>und</strong> dem<br />
Medium durch eine Reibungskraft<br />
m ˙v = −βv<br />
approximiert werden. Der Reibungskoeffizient β ist dann eine Funktion der Teilchengeometrie<br />
sowie der Eigenschaften <strong>des</strong> Mediums. Aus v(t) = v(0)exp(−t/τ f ) folgt die Definition der<br />
Ankoppelzeit<br />
τ f = m/β für v ≪ c s . (4.1)<br />
Die Ursache der Dissipation der kinetischen Energie der Teilchenbewegung relativ zum Medium<br />
sind die thermischen Fluktuationen <strong>des</strong> Mediums. Somit ist τ f auch die typische Zeitskale<br />
der Brownschen Bewegung.<br />
25
4 Mikrophysik <strong>des</strong> Teilchenwachstums<br />
4.3 Bestimmung der Reibungskonstante β<br />
Bewegt sich ein Teilchen relativ zum Medium, so wird es aufgr<strong>und</strong> von Stößen mit den Molekülen<br />
<strong>des</strong> Mediums gebremst. Die Art <strong>und</strong> Weise <strong>des</strong> Impulsübertrags vom Teilchen auf das<br />
Medium hängt vom Verhältnis der freien Weglänge der Moleküle λ g zur typischen Ausdehnung<br />
<strong>des</strong> Teilchens R, der Knudsenzahl Kn ab:<br />
Wichtig sind die beiden Grenzfälle:<br />
Kn = λ g /R. (4.2)<br />
• Kn ≪ 1: hydrodynamisches Regime<br />
Wirkung <strong>des</strong> Mediums auf das Probeteilchen kann durch hydrodynamische Methoden<br />
behandelt werden. Die Strömung <strong>des</strong> Mediums ist vollständig laminar <strong>und</strong> die Mikrostruktur<br />
<strong>des</strong> Teilchens darf vernachlässigt werden. Für ein Gas mit der molekularen Viskosität<br />
η ist β ist durch das Stokes-Gesetz<br />
gegeben.<br />
β Stokes = 6πRη (4.3)<br />
• Kn ≫ 1: Regime <strong>des</strong> freien Molekülflusses<br />
Teilchen-Medium-Wechselwirkung wird durch Einzelstöße der Moleküle beherrscht. Das<br />
Verhalten konvexer Körper unter diesen Bedingungen wird durch die EPSTEIN-Theorie<br />
beschrieben.<br />
Für <strong>Wachstums</strong>phänomene ist das Regime großer Knudsenzahlen besonders wichtig. Das β<br />
kompliziert aufgebauter Körper wird häufig durch eine heuristische Verallgemeinerung der<br />
Ergebnisse der EPSTEIN-Theorie approximiert, welche daher kurz dargestellt wird.<br />
4.3.1 Reibungskoeffizient für kugelförmige Körper:<br />
EPSTEIN-Theorie<br />
Die Ableitung der Reibungskoeffizienten β kugelförmiger mikroskopischer Körper in dünnen<br />
Gasen durch PAUL EPSTEIN (1923) geht von folgenden Annahmen aus:<br />
1. Die am Teilchen reflektierten Moleküle beeinflussen die Geschwindigkeitsverteilung <strong>des</strong><br />
umgebenden Gases nicht, d.h., das der Geschwindigkeitserwartungswert <strong>des</strong> auftreffenden<br />
Moleküls durch die MAXWELL-BOLTZMANN-Verteilung gegeben ist. Bewegt sich<br />
das Teilchen mit v relativ zum Gas, so ist die Anzahl der Moleküle, welche mit Geschwindigkeiten<br />
zwischen w <strong>und</strong> w + dw auf das Teilchen auftreffen<br />
( mg<br />
) 3<br />
N(w)dw = n 2 g π2kT<br />
e − m g<br />
2kT (v+w)2 dw, (4.4)<br />
wobei n g die Teilchenzahldichte der Moleküle, T die Gastemperatur sowie m g die Molekülmasse<br />
sind.<br />
26
4.3 Reibungskonstante β<br />
2. Die Teilchengeschwindigkeit v darf gegenüber der mittleren thermischen Geschwindigkeit<br />
v th <strong>des</strong> Gases vernachlässigt werden, d.h. man braucht nur die erste Ordnung der<br />
Entwicklung von Gl. (4.4) zu berücksichtigen:<br />
( mg<br />
) 3<br />
N(w)dw ≈ n 2<br />
{ m<br />
g π2kT 1 − g<br />
kT (v · w)} e − m g<br />
2kT |w|2 dw. (4.5)<br />
Diese Annahme ist äquivalent mit der Annahme eines geschwindigkeitsunabhängigen<br />
Reibungskoeffizienten.<br />
Die Anzahl der je Zeiteinheit auf das Oberflächenelement dS auftreffenden Moleküle<br />
ist −N(w)dw(w · dS), wodurch auf dS in Richtung der Geschwindigkeit v der Impuls<br />
p (i) dS = − 1 4 ρ gv th v(cos 2 θ + 1 2 sin2 θ)dS übertragen wird. Hier sind θ der Winkel zwischen<br />
der Flächennormalen <strong>und</strong> v, ρ g = n g m g die Gasdichte sowie R der Teilchenradius.<br />
Die auf die Oberfläche aufgr<strong>und</strong> der auftreffenden Moleküle einwirkenende Kraft ist<br />
dann<br />
I<br />
F (i) = p (i) dS = −<br />
3 4πR2 ρ g v th |v|. (4.6)<br />
3. Je<strong>des</strong> auf dem Teilchen auftreffende Molekül verläßt dieses chemisch unverändert, d.h.<br />
es findet sowohl kein Ausfrieren von Gas als auch im Mittel keine chemische Reaktion<br />
auf der Teilchenoberfläche statt, welche in der Impulsbilanz berücksichtigt werden muß.<br />
Die das Teilchen beschleunigende Kraft F (e) aufgr<strong>und</strong> der entweichenden Moleküle ist<br />
von der Beschaffenheit der Oberfläche abhängig <strong>und</strong> wird als Vielfaches von F (i) parametrisiert:<br />
⎧<br />
⎪⎨ 0 geometrische Reflektion auf Oberfläche,<br />
F (e) = − 3π2<br />
16 ⎪⎩<br />
ρ gv th R 2 v diffusive Refl., therm. Nichtleiter<br />
− π2<br />
6 ρ gv th R 2 v diffusive Refl., therm. Leiter<br />
Die resultierende, das Teilchen bremsende Kraft ist dann F = F (i) + F (e) = δPF (i) , <strong>und</strong> somit<br />
β = 4 3 σ s δPρ g v th , (4.7)<br />
wobei σ s = πR 2 die projizierte Teilchenoberfläche sowie<br />
⎧<br />
⎪⎨ 1 geometrische Reflexion<br />
δP = 1 +<br />
64 9 π ≈ 1.442 diffuse Refl., thermischer Nichtleiter (4.8)<br />
⎪⎩<br />
1 +<br />
8 1π ≈ 1.393 diffuse Refl., thermischer Leiter<br />
die Art <strong>des</strong> Impulsübertrags bezeichnen. Hieraus ergibt sich für die Ankoppelzeit kugelförmiger<br />
Teilchen:<br />
τ f = m 1<br />
σ 4 s 3 ρ . (4.9)<br />
gv th<br />
Von besonderer Bedeutung für die <strong>Wachstums</strong>prozesse ist die Tatsache, daß für kugelförmige<br />
Körper die Ankoppelzeit proportional zum Verhältnis von Teilchenmasse <strong>und</strong> Teilchenoberfläche<br />
<strong>und</strong> somit eine lineare Funktion der Teilchengröße ist.<br />
27
4 Mikrophysik <strong>des</strong> Teilchenwachstums<br />
Weiterhin kann gezeigt werden, daß das EPSTEIN-Gesetz in der Form der Gl. (4.9) für alle<br />
Körper mit konvexen Oberflächen gültig ist. Dieser Zusammenhang wurde auch für zylinderförmige<br />
Körper <strong>und</strong> Scheiben bestätigt (Daneke 1973). Die Gültigkeit der EPSTEIN-<br />
Beziehung wurde durch Hochpräzisionsexperimente an Kugeln in einer PAUL-Falle von HUT-<br />
CHINS & Mitarb. (1995) sowie für freie Teilchen von BLUM & Mitarb. (1996) experimentell<br />
bestätigt.<br />
4.3.2 Reibungskoeffizient für beliebig geformte Körper<br />
Erfolgen die Stöße zwischen Aggregaten langsam, so bleibt die Struktur der kollidierenden Aggregate<br />
erhalten. Dies hat zur Folge, daß die wachsenden Teilchen eine sehr unregelmäßige <strong>und</strong><br />
nichtkonvexe Struktur aufzeigen, für welche die theoretischen Konzepte der EPSTEIN-Theorie<br />
nicht mehr angewand werden können. Es ist allerdings möglich, einen formalen Ausdruck für<br />
den Reibungskoeffizienten beliebiger Körper zu formulieren:<br />
β = 3 4 ρ g〈<br />
σs · δP · v g<br />
〉<br />
. (4.10)<br />
Der Operator 〈〉 bezeichnet hierin die statistische Mittelung über die Reibungskoeffizienten<br />
aller möglichen Teilchenstrukturen, deren projizierte Oberfläche durch σ s gegeben ist. Die<br />
Mittelung erfolgt in einem Gasvolumen mit der mittleren Gasgeschwindigkeit 〈 v g<br />
〉<br />
= vth <strong>und</strong><br />
der mittleren Moleküldichte ρ g . Sind die Größen innerhalb <strong>des</strong> 〈〉-Operators nicht oder nur<br />
sehr schwach mit der Oberfläche σ s korreliert, so darf 〈 σ s · δP · v g<br />
〉<br />
durch das Produkt der<br />
Mittelwerte ersetzt werden<br />
β ve = 3 4 ρ g〈σ s 〉 〈 δP · v g<br />
〉<br />
. (4.11)<br />
Mit diesem Ausdruck ergibt sich analog zur Ankoppelzeit für kugelförmige Teilchen<br />
〈<br />
τf<br />
〉<br />
=<br />
m<br />
〈σ s 〉<br />
4<br />
3<br />
1<br />
〈 〉, (4.12)<br />
δP · vg<br />
wobei 〈 τ f<br />
〉<br />
wiederum linear vom Verhältnis von der Teilchenmasse zur mittleren projizierten<br />
Teilchenoberfläche abhängt. Da dieser Ausdruck ausschließlich von der Struktur abhängt, verknüpft<br />
τ f die dynamischen <strong>und</strong> die strukturellen Eigenschaften <strong>des</strong> Teilchens.<br />
Es ist verlockend, auch 〈 δP · v g<br />
〉<br />
durch 〈δP〉<br />
〈<br />
vg<br />
〉<br />
zu ersetzen (was auch zahlreiche Autoren<br />
getan haben!). Es lohnt sich jedoch, die Folgen dieses Schrittes näher zu beleuchten. Die<br />
obige Annahme bedeutet nämlich, daß die an der Teilchenoberfläche reflektierten Moleküle<br />
nicht die lokale Geschwindigkeitsverteilung <strong>des</strong> Gases verändern <strong>und</strong> somit nur Molekül-<br />
Teilchenoberflächen-Stöße, nicht jedoch die Stöße der Moleküle untereinander berücksichtigt<br />
werden müssen. In filligranen Strukturen mit zahlreichen Hohlräumen kollidiert ein Molekül<br />
viele Male mit der Teilchenoberfläche, bevor es wieder mit einem anderen Gasmolekül zusammenstößt<br />
<strong>und</strong> hierdurch an die Temperatur <strong>des</strong> Gases “erinnert” wird. Solche Effekte führen<br />
zu einer lokalen Abweichung der Geschwindigkeitsverteilung <strong>des</strong> Gases <strong>und</strong> hierdurch zu einer<br />
Korrelation zwischen der Teilchenoberfläche <strong>und</strong> v th . Diese offene Frage erfordert wohl<br />
neuartige Methoden zu ihrer Beantwortung.<br />
28
4.4 Selbstähnliche Teilchenstrukturen <strong>und</strong> fraktale Dimension<br />
4.4 Selbstähnliche Teilchenstrukturen <strong>und</strong> fraktale<br />
Dimension<br />
Vernachlässigt man die Schwierigkeiten mit dem Ausdruck 〈 δP · v g<br />
〉<br />
, so verbleibt die Aufgabe,<br />
eine geeignete Beschreibung für m/〈σ s 〉 <strong>und</strong> somit für die Teilchenstruktur zu finden. <strong>Wachstums</strong>phänomene<br />
haben nun meistens zwei sehr interessante Eigenschaften:<br />
• häufig generieren sehr unterschiedliche <strong>Wachstums</strong>phänomene sehr ähnliche Teilchenstrukturen<br />
• häufig bleibt die Struktur der Aggregate während <strong>des</strong> <strong>Wachstums</strong> erhalten.<br />
Während die erste Eigenschaft andeutet, daß die Teilchenstruktur ein universaler Parameter<br />
von <strong>Wachstums</strong>prozessen ist, weist die zweite Eigenschaft auf die Eigenschaft der Selbstähnlichkeit<br />
hin.<br />
1.47<br />
1.59 1.69 1.74 1.84<br />
1.92<br />
2.00 2.12 2.22 2.39<br />
Abbildung 4.1: Beispiele für Cluster mit fraktalen Dimensionen von 1.47 bis 2.39. Fraktale Dimensionen<br />
von ∼ 1 bedeuten, daß die Clusterstruktur auf eine Linie abgebildet werden kann, bei D m ∼ 2<br />
kann je<strong>des</strong> Clusterteilchen in einer zweidimensionalen Projektion gesehen werden. Die Aggregate sind<br />
das Ergebnis einer N-Teilchen-Simulation Brownschen Staubwachstums mit dem Modell BROWN2 <strong>und</strong><br />
bestehen aus ∼ 100 − 200 Einzelteilchen.<br />
Die Eigenschaft der Selbstähnlichkeit der Teilchenstruktur wird bei zahlreichen chemischen,<br />
physikalischen sowie kristallographischen <strong>Wachstums</strong>phänomenen beobachtet <strong>und</strong> mathematisch<br />
sehr effektiv mittels <strong>des</strong> Konzepts einer fraktalen Dimension beschrieben. In Abb. 4.1<br />
sind Beispiele simulierter fraktaler Teilchen abgebildet.<br />
29
Fractal dimension D f<br />
4 Mikrophysik <strong>des</strong> Teilchenwachstums<br />
4.4.1 Das mathematische Konzept der Fraktalität<br />
L - length of the structure<br />
R - linear extension of the structure<br />
! - scale size<br />
Objekten, welche eine hohen Grad von Selbstähnlichkeit aufweisen, können in der Regel keine<br />
ganzzahlige Dimension zugewiesen werden. Man kann jedoch einer beliebigen Punktmenge<br />
eine (in der Regel gebrochenzahlige) fraktale Dimension D f zuordnen, welche zwischen der<br />
topologischen Dimension der Menge <strong>und</strong> der einbettenden Raumdimension liegt.<br />
example: von Koch curve<br />
Abbildung 4.2: Die ersten 5 Konstruktionschritte einer VON KOCH-Kurve.<br />
/labor/Sascha/Texte/Folie/Potsdam/fractal2.fig<br />
Selbstähnliche Objekte zeigen eine Skaleninvarianz bezüglich einer Größe x,<br />
f (λx) = λ D f (x). (4.13)<br />
Für nichtfraktale Objekte entspricht D der topologischen (ganzzahlige) Dimension <strong>des</strong> Objekts,<br />
während für fraktale Objekte die fraktale Dimension D f relle positive Werte annimmt.<br />
30
4.4 Selbstähnliche Teilchenstrukturen <strong>und</strong> fraktale Dimension<br />
Die fraktale Dimension ist dann<br />
D f =<br />
log( f (λx)/ f (x))<br />
. (4.14)<br />
logλ<br />
Als Beispiel für ein Fraktal betrachten wir die VON KOCH-Kurve, welche die Eigenschaft<br />
hat, nirgens differenzierbar, aber überall stetig zu sein. Man erhält sie, indem man iterativ aus<br />
jedem Streckensegment der Länge L i das innere Drittel entfernt <strong>und</strong> durch zwei neue Strecken<br />
der Länge L i+1 =<br />
3 1L i im Winkel von 60 ◦ ersetzt, wobei man mit einem Segment der Länge<br />
L 0 beginnt. Da offensichtlich nach jedem Iterationschritt die Länge der Kurve um den Faktor<br />
4<br />
3 zunimmt, ist die Länge l ∞ der VON KOCH-Kurve unbegrenzt, jedoch die von ihr umgrenzte<br />
Fläche endlich (A ∞ = 9 5<br />
). Abb. 4.2 zeigt die ersten 5 Konstruktionsschritte der fraktalen Kurve.<br />
Die fraktale Dimension der VON KOCH-Kurve ist dann:<br />
D f = log L( 1 3 L 0)<br />
L(L 0 )<br />
log 1 3<br />
= log 1 4 L(L 0)<br />
L(L 0 )<br />
log<br />
3<br />
1<br />
= log4 ≈ 1.26. (4.15)<br />
log3<br />
4.4.2 Fraktale Aggregate<br />
Möchte man das Konzept der Skaleninvarianz auf reale Aggregate anwenden, ergeben sich<br />
zwangsläufig Einschränkungen. Strenggenommen erfordert die mathematische Theorie fraktaler<br />
Strukturen die Erfüllung der Selbstähnlichkeit auf allen Größenskalen, welche selbstverständlich<br />
für reale Staubaggregate nicht erfüllt. Trotzdem bleibt die Eindeutigkeit der Charakterisierung<br />
<strong>des</strong> <strong>Wachstums</strong>prozesses durch eine fraktale Dimension erhalten, falls die Selbstähnlichkeit<br />
über ein hinreichen<strong>des</strong> Teilchengrößenintervall gewahrt ist.<br />
Die Teilchenstruktur beeinflußt sowohl die Oberfläche als auch die Masse eines Aggregats;<br />
somit wird der <strong>Wachstums</strong>prozeß durch die fraktale Massendimension D m <strong>und</strong> Oberflächendimension<br />
D σ charakterisiert:<br />
m(R) ∼ R D m<br />
σ(R) ∼ R D σ<br />
. (4.16)<br />
Der Radius R ist hier die typische Ausdehnung <strong>des</strong> Aggregats. Aufgr<strong>und</strong> der unregelmäßigen,<br />
fraktalen Struktur der Aggregate ist seine Wahl in gewissen Grenzen willkürlich. Im allgemeinen<br />
wird hierfür der Gyrationsradius<br />
ˆR gyr =<br />
{<br />
N<br />
N<br />
∑<br />
i=1<br />
m 2 i r 2 i<br />
} 1/2<br />
/<br />
N<br />
∑<br />
i=1<br />
m i . (4.17)<br />
gewählt. Er entspricht dem Radius <strong>des</strong> kugelförmigen Teilchens, welches das gleiche Trägheitsmoment<br />
wie das Aggregat bestehend aus N Teilchen der Masse m i im Abstand r i zum Massenmittelpunkt<br />
besitzt. Ist das Aggregat aus identischen Teilchen aufgebaut, so ist die Masse zur<br />
Teilchenzahl äquivalent, während R gyr = {1/N ∑ N i=1 r2 i }1/2 ist.<br />
Die Ankoppelzeit fraktaler Aggregate ist aufgr<strong>und</strong> Gl. 4.12 proportional zu m/〈σ s 〉, weshalb<br />
τ f mit der Teilchenausdehnung wie<br />
τ f ∼ R D m−D σ<br />
(4.18)<br />
31
4 Mikrophysik <strong>des</strong> Teilchenwachstums<br />
10000<br />
<strong>Wachstums</strong>pfade zum Cluster # 32084<br />
längster Pfad: 58 Stöße D m =2.00<br />
kürzester Pfad: 3 Stöße D m =2.46<br />
200<br />
Fraktale Massendimension der <strong>Wachstums</strong>pfade<br />
=2.00±0.16<br />
1000<br />
150<br />
100<br />
p(D f )dD f<br />
100<br />
10<br />
50<br />
1<br />
1 10 100<br />
R gyr<br />
0<br />
1.5 2.0 2.5 3.0 3.5<br />
D m<br />
Abbildung 4.3: Darstellung der Pfade aller Aggregate, welche am Aufbau <strong>des</strong> Aggregates in Abb. 4.4<br />
bestehend aus 1115 Teilchen beteiligt waren. Das rechte Bild zeigt die Verteilung der für die verschiedenen<br />
Pfade gemessenen fraktalen Dimensionen.<br />
skaliert. Die Teilchenoberfläche hängt nur schwach von der Teilchenstruktur ab, weshalb häufig<br />
D σ mit 2 abgeschätzt wird. Dieser Ansatz führt jedoch zu Widersprüchen, da einerseits aus<br />
physikalischen Gründen τ f mit wachsender Clustergröße zunehmen muß, andererseits viele<br />
<strong>Wachstums</strong>szenarien durch fraktale Massendimensionen kleiner als 2 gekennzeichnet sind.<br />
Hieraus folgt, daß in dreidimensionalen Systemen die Dimensionen fraktaler Teilchen die Ungleichung<br />
1 ≤ D σ ≤ D m ≤ 3 (4.19)<br />
erfüllen müssen. Fraktale Dimensionen von D m ∼ 2 bedeuten, daß die Teilchen <strong>des</strong> Clusters<br />
im wesentlichen in der Oberfläche <strong>des</strong> Gebil<strong>des</strong> liegen, während eine Dimension von D m ∼ 3<br />
volumenkonzentrierte Gebilde kennzeichnet. Numerische Simulationen ergaben fraktale Dimensionen<br />
von D σ ∼ 1.5 sowie D m ∼ 1.85 (KEMPF & Mitarb. 1999).<br />
4.4.3 Bestimmung der Dimension fraktaler Aggregate<br />
Die Bestimmung der fraktalen Dimension von Aggregaten für einen spezifischen <strong>Wachstums</strong>prozeß<br />
kann mittels zweier Methoden erfolgen. Beide nutzen die Eigenschaft der Universalität der<br />
fraktalen Dimension für einen Prozeß:<br />
• man untersucht die Massenzunahme eines wachsenden Aggregates<br />
• man untersucht die Struktur eines einzelnen großen Aggregats.<br />
Ableitung von D f aus <strong>Wachstums</strong>sequenz<br />
Verfolgt man die Zunahme der Aggregatmasse (bzw. Oberfläche) mit wachsendem Gyrationsradius,<br />
so kann man mittels<br />
m(R) ∼ R D f (4.20)<br />
direkt die Dimension <strong>des</strong> Aggregats abschätzen. Diese Methode setzt jedoch voraus, daß die<br />
“Geschichte” <strong>des</strong> wachsenden Aggregates bekannt ist.<br />
32
4.4 Selbstähnliche Teilchenstrukturen <strong>und</strong> fraktale Dimension<br />
10 0<br />
2−Punkt−Korrelation <strong>des</strong> Clusters<br />
D m =2.02+−0.02<br />
10 −2<br />
c(R)d 3 R<br />
10 −4<br />
10 −6<br />
10 −8<br />
cluster #32084: 1115 Teilchen<br />
1 10 100<br />
R/R 0<br />
Abbildung 4.4: Ansicht der räumlichen Struktur <strong>des</strong> Farktals aus Abb. 4.3 sowie <strong>des</strong>sen 2-Punkt-<br />
Dichtekorrelation. Die hieraus bestimmte fraktale Dimension von D m = 2.02±0.02 steht in guter Übereinstimmung<br />
mit der aus der “Aggregatsgeschichte” abgeleiteten Dimension von D m = 2.00 ± 0.39.<br />
Der <strong>Wachstums</strong>baum führt zu einer intrinsische Uneindeutigkeit, da es keinen ausgezeichneten<br />
<strong>Wachstums</strong>pfad gibt. Dies kann man sich folgendermaßen verdeutlichen: Durch einen<br />
haftenden Stoß wird aus zwei Aggregaten ein neues aufgebaut. Demnach hat je<strong>des</strong> Aggregat<br />
zwei Vorgänger, welche wiederum ihre individuelle, im allgemeinen voneinander verschiedene<br />
“Vorgeschichte” haben. Offensichtlich existieren eine Vielzahl von <strong>Wachstums</strong>pfaden zu<br />
einem Aggregat; deren Auswahl beeinflußt den gemessenen Wert der fraktale Dimension <strong>des</strong><br />
jeweiligen Clusters (siehe Abb. 4.3).<br />
Derartige Probleme sind charakteristisch für “natürlich” gewachsene Strukturen. Dagegen<br />
ist der Grenzfall <strong>des</strong> monodispersen Cluster-Cluster-<strong>Wachstums</strong> (d.h. es stoßen jeweils Cluster<br />
identischer Größe) mit einem eindeutigen Pfad verb<strong>und</strong>en, da beide Stoßpartner die gleiche<br />
Vergangenheit haben. Weiterhin ist auch der Pfad eines wachsenden PCA-Teilchens eindeutig,<br />
da es ausschließlich mit “geschichtslosen” Einzelteilchen stößt.<br />
Ableitung von D f aus Aggregatsstruktur<br />
Da die innere Struktur <strong>des</strong> Aggregats skaleninvariant ist, kann <strong>des</strong>sen Dimension aus der Analyse<br />
der Massenverteilung im Aggregat abgeleitet werden (MEAKIN 1991). Hierzu betrachtet<br />
man die 2-Punkt-Dichte-Korrelationsdichte<br />
c(r)dr = 〈ρ(r ′ )ρ(r ′ + r)〉 r ′dr, (4.21)<br />
welche die Wahrscheinlichkeit angibt, innerhalb eines Aggregats zwei Teilchen im Abstand<br />
r zu finden. ρ(r) ist die lokale Dichte im Aggregat. Aufgr<strong>und</strong> der Selbstähnlichkeit der Teilchenstruktur<br />
ist die Korrelationsdichte invariant unter einer Skalentransformation <strong>des</strong> Abstands<br />
c(λr) ∼ λ α c(r). Dieser Zusammenhang kann nur durch Funktionen der Form<br />
c(r) ∼ r α (4.22)<br />
erfüllt werden, wobei die Kodimension α = D f − d der Differenz der fraktalen Dimension D f<br />
<strong>und</strong> der Dimension <strong>des</strong> einbettenden Raumes d entspricht. Abb. 4.4 zeigt die Korrelationsdich-<br />
33
4 Mikrophysik <strong>des</strong> Teilchenwachstums<br />
te für ein simuliertes Aggregat.<br />
Aufgr<strong>und</strong> der endlichen Größe realer Aggregate muß jedoch die obige Methode modifiziert<br />
werden. Das Gültigkeitsintervall <strong>des</strong> Potenzansatzes 4.22 skaliert wiederum mit der typischen<br />
Größe R, weshalb die Korrelationsfunktion in der Form c(r,R) geschrieben werden<br />
kann. Andererseits gilt ein Skalengesetz für die Aggregatgröße, <strong>des</strong>sen Exponent wiederum<br />
D f ist. Daher ist es naheliegend, dieses Verhalten auch für die Korrelationsdichten von Clustern<br />
verschiedener Größen zu fordern, d.h.<br />
c(λr,λR) = λ D f −d c(r,R).<br />
Nutzt man weiterhin, daß für identische Aggregatteilchen R durch die Teilchenanzahl R ∼<br />
N 1/D f<br />
ersetzt werden kann, erhält man<br />
c(r) = N 1−d/D f<br />
f (r/N 1/D f<br />
). (4.23)<br />
Werden die Korrelationsfunktionen für verschiedene Clustergrößen in einem doppeltlogarithmischen<br />
Diagramm über r/N 1/D f<br />
abgetragen, so müssen sie für den korrekten Wert von D f in<br />
einer gemeinsamen Skalenfunktion f zusammenfallen. Diese Verfahrensweise verbessert die<br />
Bestimmung der fraktalen Dimension erheblich.<br />
34
Literatur<br />
Lehrbücher<br />
• T. Vicsek (1992). Fractal Growth Phenomena (WordScientific, Singapore)<br />
• C. Gardiner (1994). Stochastic Methods for Physics, Chemistry and the Natural Sciences<br />
(Springer, Berlin)<br />
• S. Chandrasekhar (1943). Stochastic Methods in Physics and Astronomy (Reviews of<br />
Modern Physics, 15, 1)<br />
• L.D. Landau <strong>und</strong> E.M. Lifschitz (1997). Lehrbuch der theoretischen <strong>Physik</strong>, Bd. 7, Elastizitätstheorie<br />
(Harry Deutsch Verlag)<br />
• K. Johnson (1987) Contact Mechanics (Camebridge University Press, Camebridge)<br />
Artikel<br />
•<br />
•<br />
•<br />
35