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70200 Abitur BW – Analytische Geometrie Wahlaufgaben 1 103
c) Differenzialgleichung des beschränkten Wachstums
1. Möglichkeit: WISSEN, dass das beschränkte Wachstum stets durch eine
Differenzialgleichung der Form g' t k S gt
beschrieben wird.
(Sie bedeutet nichts anderes, als dass das Sättigungsmanko S - g(t)
proportional zur Wachstumsrate g‘(t) abnimmt.)
Die gegebene Funktion gt 80 1 e 0,0t
0,05 t 0,05 t
in die DGl einsetzen: 4e k S801
e
Für S = 80 folgt:
g' t 4
e
mit der Ableitung
0,05 t
4e k80
e
0,05 t 0,05 t
4 1
Also muss gelten: 4 k80 k 0,05
80 20
Differenzialgleichung also: g' t 0,05 80 gt
2. Möglichkeit: Man erzeugt durch Eliminieren von
0,005 t
e zwischen g(t) und g' t
die Differenzialgleichung und vergleicht das Ergebnis mit der typischen
Form beim beschränkten Wachstum.
0,05 t
und ersetzt in gt 801
e
0,05 t
Aus g' t 4 e
0,05 t 1
bildet man e g'
4
t
1
So entsteht: gt 80 1 g't bzw. gt 8020g't
Umstellen nach
4
g' t : 20 g' t 80 gt
| : 20
Im Vergleich mit g' t k S gt
4
g' t 0,05
g
t
0,05
g' t 4 0,05 g t
erkennt man, dass man 0,05 ausklammern muss:
bzw. g' t 0,05 80 gt
Man erkennt die DGl eines beschränkten Wachstums mit S = 80 und k = 0,05.
Der Aufgabentext besagt jetzt: Die Abbaurate ist dabei stets proportional zur Wirkstoffmenge im Blut.
Wie groß ist die konstante Zufuhr der Wirkstoffmenge pro Minute?
Unter Abbaurate versteht man den pro Minute im Körper abgebauten Wirkstoffanteil.
Man ändert die Differenzialgleichung g' t 0,05 80 gt
so ab: g' t 4 0,05 gt
Dann erkennt man, dass 4 (mg) gerade der pro Minute zugeführte Wirkstoffanteil ist, und
0,05 g
t
g' t .
der vom Körper absorbierte Anteil. Die Differenz ist die Wachstumsrate
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Welche Wirkstoffmenge müsste man pro Minute zuführen, damit sich langfristig 90 mg im Blut
befinden?
In der Differenzialgleichung g' t k S gt
gibt S den Grenzwert des Wachstums an.
Dieser war bisher S = 80 mg. Er soll nun auf S = 90 mg erhöht werden.
Andererseits war g' t 0,05 80 gt
bzw. g' t 4 0,05
gt
Schreibt man nun für die neue Infusions-Funktion g' t 0,05 90 gt
Dann folgt: g' t 4,5 0,05 gt
Das heißt, dass nunmehr pro Minute 4,5 mg zugeführt werden müssen.
Friedrich Buckel
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