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70200 Abitur BW – Analytische Geometrie Wahlaufgaben 1 98
d) ln welchem Punkt der Umgehungsstraße fährt ein Fahrzeug parallel zur Ortsdurchfahrt AB?
Welchen Abstand hat ein Fahrzeug auf der Umgehungsstraße höchstens von der
Ortsdurchfahrt?
Tangente an K parallel zu g = (AB):
Bedingung: f' x mg
0,5
y-Koordinate:
2
0,3x 0,6x 0,4 0,5
2
0,3x 0,6x 0,9 0 |
10
2
3x 6x 9 0
6 36439 612
1
xQ
x1,2
6 6 3 x
y f 1 3,2.
Q
Ergebnis: In Q1|3,2 fährt das Auto einen Moment lang parallel zu (AB).
Ein Auto hat den maximalen Abstand von g, wenn sich es sich im Punkt Q befindet, dann
anschließend bringt es die Linkskurve wieder näher an die Ortsdurchfahrt heran.
Maximaler Abstand:
1. Methode: Lot von Q auf g.
Steigung des Lots:
1 1
mL
2
m 0,5
Lotgerade L: y3,2 2x 1
y 2x
1,2
Schnitt von L und g: 2x 1,2 0,5x 0,5
0,7
2,5x 0,7 x
S
0,28
2,5
y 2 0,28 1,2 0,64
g
S
Schnittpunkt: S
0,28|0,64
Maximaler Abstand:
2 2
2 2
dmax
x y 10,28 3,2 0,64 2,86 km
2. Methode: Extremwertaufgabe mit Distanzfunktion (CAS) zu Q1|3,2:
1 1
Es sei Fu|gu
ein beliebiger Punkt auf der Geraden g: y x
2 2
Distanzfunktion:
Definitionsbereich: 3 u 3
Bed.:
A
2
2
2 1 1
2
2 2
du QF (u1) gu 3,2 (u1) u 3,2
d' u 0 ergibt u = - 0,28
Kontrolle: d'' 0,28
0 Max.
Minimale Distanz: d( 0,28) 2,86
Randwerte: d3 d3
0< 2,96
Also liegt ein absolutes Maximum vor.
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Lotfußpunkt auf g: g0,28 0,64 F
0,28 | 0,64
Ergebnis:
Ein Fahrzeug auf der Umgehungsstraße hat
höchstens etwa 2,86 km Abstand von der Ortsdurchfahrt (AB).
Friedrich Buckel
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