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70200 Abitur BW – Analytische Geometrie Wahlaufgaben 1 98 d) ln welchem Punkt der Umgehungsstraße fährt ein Fahrzeug parallel zur Ortsdurchfahrt AB? Welchen Abstand hat ein Fahrzeug auf der Umgehungsstraße höchstens von der Ortsdurchfahrt? Tangente an K parallel zu g = (AB): Bedingung: f' x mg 0,5 y-Koordinate: 2 0,3x 0,6x 0,4 0,5 2 0,3x 0,6x 0,9 0 | 10 2 3x 6x 9 0 6 36439 612 1 xQ x1,2 6 6 3 x y f 1 3,2. Q Ergebnis: In Q1|3,2 fährt das Auto einen Moment lang parallel zu (AB). Ein Auto hat den maximalen Abstand von g, wenn sich es sich im Punkt Q befindet, dann anschließend bringt es die Linkskurve wieder näher an die Ortsdurchfahrt heran. Maximaler Abstand: 1. Methode: Lot von Q auf g. Steigung des Lots: 1 1 mL 2 m 0,5 Lotgerade L: y3,2 2x 1 y 2x 1,2 Schnitt von L und g: 2x 1,2 0,5x 0,5 0,7 2,5x 0,7 x S 0,28 2,5 y 2 0,28 1,2 0,64 g S Schnittpunkt: S 0,28|0,64 Maximaler Abstand: 2 2 2 2 dmax x y 10,28 3,2 0,64 2,86 km 2. Methode: Extremwertaufgabe mit Distanzfunktion (CAS) zu Q1|3,2: 1 1 Es sei Fu|gu ein beliebiger Punkt auf der Geraden g: y x 2 2 Distanzfunktion: Definitionsbereich: 3 u 3 Bed.: A 2 2 2 1 1 2 2 2 du QF (u1) gu 3,2 (u1) u 3,2 d' u 0 ergibt u = - 0,28 Kontrolle: d'' 0,28 0 Max. Minimale Distanz: d( 0,28) 2,86 Randwerte: d3 d3 0< 2,96 Also liegt ein absolutes Maximum vor. DEMO für www.mathe-cd.de Lotfußpunkt auf g: g0,28 0,64 F 0,28 | 0,64 Ergebnis: Ein Fahrzeug auf der Umgehungsstraße hat höchstens etwa 2,86 km Abstand von der Ortsdurchfahrt (AB). Friedrich Buckel www.mathe-cd.de
70200 Abitur BW – Analytische Geometrie Wahlaufgaben 1 99 Lösung 2012 -Aufgabe I 2 a) f hat die Periode und die Amplitude 0,5. Größter Unterschied zwischen den Funktionswerten: Differenz der Funktionswerte: d x g x f x sin x sin x Ableitungen: 2 1 d' x cosx2sinx cosx 2 2 d'' x sinx2 cos x sin x Extremwertbedingung: d' x 0 cosx12 sinx 0 1 1. Faktor: cosx 0 für x in 0 x cos x 2 sin x cos x 0 1 2 2. Faktor: 1 12sin x 0 sin x x 0,52 1 2 6 5 3 6 x 2,62 Kontrollen: 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 d'' sin 2 cos sin 12 01 12 0 Min. 2 1 1 1 1 1 1 2 1 2 d'' sin 2 cos sin 2 3 0 6 6 6 6 2 2 2 Max. 2 2 2 2 d'' 5 sin 5 2 cos 5 sin 5 1 2 1 3 1 6 6 6 6 2 2 2 0 Max. Maximalwerte: d sin sin Randwerte: Ergebnis: 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 6 6 6 2 2 2 4 4 2 5 5 5 1 1 2 1 1 1 6 6 6 2 2 2 4 4 d sin sin d0 0 und d 0. Der absolut größte Unterschied zwischen den Funktionswerten liegt an den Stellen 1 5 x 0,52 und x 2,62 vor. Er beträgt jeweils genau 1 0,25 . 4 2 6 3 6 b) Für welchen Wert von t schneiden sich die Graphen von f und g t im Ursprung unter einem Winkel von 45°? DEMO für www.mathe-cd.de Der Schnittwinkel wird aus den Tangentensteigungen berechnet, also benötigt man die Ableitungen: sinx 2 f' x 2sinx cosx f x t f ' 0 2 sin 0 cos 0 0 g' x t cosx. g x t sin x Ein Schnittwinkel von 45 O liegt dann vor, wenn g' 0 tcos 0 t g' 0 1 ist, also für t = 1. 0 1 Friedrich Buckel www.mathe-cd.de
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70200 Abitur BW – Analytische Geometrie Wahlaufgaben 1 98<br />
d) ln welchem Punkt <strong>de</strong>r Umgehungsstraße fährt ein Fahrzeug parallel zur Ortsdurchfahrt AB?<br />
Welchen Abstand hat ein Fahrzeug auf <strong>de</strong>r Umgehungsstraße höchstens von <strong>de</strong>r<br />
Ortsdurchfahrt?<br />
Tangente an K parallel zu g = (AB):<br />
Bedingung: f' x mg<br />
0,5<br />
y-Koordinate:<br />
2<br />
0,3x 0,6x 0,4 0,5<br />
2<br />
0,3x 0,6x 0,9 0 | <br />
10<br />
2<br />
3x 6x 9 0<br />
6 36439 612<br />
1<br />
xQ<br />
x1,2<br />
<br />
6 6 3 x<br />
y f 1 3,2.<br />
Q<br />
<br />
Ergebnis: In Q1|3,2 fährt das Auto einen Moment lang parallel zu (AB).<br />
Ein Auto hat <strong>de</strong>n maximalen Abstand von g, wenn sich es sich im Punkt Q befin<strong>de</strong>t, dann<br />
anschließend bringt es die Linkskurve wie<strong>de</strong>r näher an die Ortsdurchfahrt heran.<br />
Maximaler Abstand:<br />
1. Metho<strong>de</strong>: Lot von Q auf g.<br />
Steigung <strong>de</strong>s Lots:<br />
1 1<br />
mL<br />
2<br />
m 0,5<br />
Lotgera<strong>de</strong> L: y3,2 2x 1<br />
y 2x<br />
1,2<br />
Schnitt von L und g: 2x 1,2 0,5x 0,5<br />
0,7<br />
2,5x 0,7 x<br />
S<br />
0,28<br />
2,5<br />
y 2 0,28 1,2 0,64<br />
g<br />
S <br />
Schnittpunkt: S<br />
0,28|0,64<br />
Maximaler Abstand:<br />
2 2<br />
2 2<br />
dmax<br />
x y 10,28 3,2 0,64 2,86 km<br />
2. Metho<strong>de</strong>: Extremwertaufgabe mit Distanzfunktion (CAS) zu Q1|3,2:<br />
<br />
1 1<br />
Es sei Fu|gu <br />
ein beliebiger Punkt auf <strong>de</strong>r Gera<strong>de</strong>n g: y x<br />
2 2<br />
Distanzfunktion: <br />
Definitionsbereich: 3 u 3<br />
Bed.:<br />
A<br />
<br />
2<br />
2<br />
2 1 1<br />
2<br />
2 2<br />
du QF (u1) gu 3,2 (u1) u 3,2<br />
<br />
d' u 0 ergibt u = - 0,28<br />
Kontrolle: d'' 0,28<br />
0 Max.<br />
Minimale Distanz: d( 0,28) 2,86<br />
Randwerte: d3 d3<br />
0< 2,96<br />
Also liegt ein absolutes Maximum vor.<br />
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Lotfußpunkt auf g: g0,28 0,64 F<br />
0,28 | 0,64<br />
Ergebnis:<br />
Ein Fahrzeug auf <strong>de</strong>r Umgehungsstraße hat<br />
höchstens etwa 2,86 km Abstand von <strong>de</strong>r Ortsdurchfahrt (AB).<br />
Friedrich Buckel<br />
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