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Lösung 2012 -Aufgabe I 1
a) Der nördlichste Punkt der Umgehungsstraße
ist der Hochpunkt des Graphs K von f.
N
3 2
f x 0,1x 0,3x 0,4x 3,2
2
f' x 0,3x 0,6x
0,4
f '' x
0,6x 0,6
f''' x
0,6
Extremwert-Bedingung: f' x 0
2
0,3x 0,6x 0,4 0 |
10
2
3x 6x 4 0
6 36434 6 84 0,53
xE
6 6 ( 2,53)
H
y f 0,53 3,31 (Taschenrechner)
Kontrolle: f '' 0,53
0,6 0,53 0,6 0
Hochpunkt H0,53|3,31
2 2
Entfernung: d MH x y 0,53 0 2 3,310,5 2
2,86 km
Die Linkskurve geht am Wendepunkt in eine Rechtskurve über.
Wendepunkt-Bedingung:
mit f''' 1
0
W
Ergebnis: W
1|2,6
f'' x 0
0,6x 0,6 0 x 1
y f 1 2,6
Knickfreie Einmündung bei A3| 2:
A liegt auf der Geraden (AB), weil aber f3
2 ist, liegt A auch auf K.
Tangentensteigung in A an K: f' 3
0,5
y 12 3 1
Andererseits hat die Gerade (AB) die Steigung: mAB
x 33
6 2
Also ist (AB) zugleich Tangente an K in A, d. h. K geht also in A knickfrei in (AB) über.
b) Fläche zwischen K und (AB):
Steigung von (AB): m 0,5 ,
Punkt-Steigungsform: y 2 0,5 x 3
y 0,5x 0,5
3
3 2
A 0,1x 0,3x 0,4x 3,2 0,5x 0,5dx
3
3
3 2 0,1 4 0,3 3 0,9 2
3
DEMO für www.mathe-cd.de
0,1x 0,3x 0,9x 2,7 dx x x x 2,7x
4 3 2
1
3
4
3
1
4
3
0,13 0,45 9
2,7 3 3
0,1 3 0,45 9 2,7 3
10,8 km
40
40
Davon subtrahiert man die Fläche des Halbkreises mit dem Radius r = 1,5:
W
3
3
2