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70200 Abitur BW – Analytische Geometrie Wahlaufgaben 1 10 Abitur BW 2007 - Aufgabe I 3 Die momentane Ankunftsrate an einem Kino – also die Anzahl der ankommenden Personen pro Minute – soll modellhaft beschrieben werden durch die Funktion f mit 2 0,12 t ft 0,27t e Dabei ist t die Zeit in Minuten seit 19.00 Uhr und f(t) die Anzahl der ankommenden Personen pro Minute. Vor 19.00 Uhr befinden sich noch keine Besucher am Kartenschalter. a) Skizzieren Sie das Schaubild von f. Wann kommen die meisten Besucher pro Minute zum Kartenschalter, wie viele sind das? Ab wann kommen weniger als drei Personen pro Minute zum Kino? b) Zeigen Sie, dass die Anzahl der angekommenen Personen durch die Funktion g mit g t 312,5 2,25t 2 37,5t 312,5 e 0,12t beschrieben wird. Wie viele Personen kommen nach diesem Modell höchstens zum Kino? c) Um 19.20 Uhr öffnet der Kartenschalter des Kinos. Pro Minute können durchschnittlich für 6 Personen Karten ausgegeben werden. Mit welcher Wartezeit muss eine Person rechnen, die um 19.20 Uhr zum Kino kommt? Wann ist die Anzahl der Wartenden am größten? Wie viele Besucher warten dann? Wann hat sich die Warteschlange aufgelöst? d) Durch eine Verzögerung öffnet der Kartenschalter erst um 19.50 Uhr. Wie viele Personen müssen jetzt mindestens pro Minute am Schalter abgefertigt werden, damit die Warteschlange um 20.30 Uhr abgebaut ist? DEMO für www.mathe-cd.de Friedrich Buckel www.mathe-cd.de
70200 Abitur BW – Analytische Geometrie Wahlaufgaben 1 11 Aufgabe I 1.2: Abitur BW 2008 - Aufgabe I 1 Ein Tal in den Bergen wird nach Westen von einer steilen Felswand, nach Osten von einem flachen Höhenzug begrenzt. Der Querschnitt des Geländes wird beschrieben durch das Schaubild der Funktion f mit 3 2 f x 0,125x 0,75x 3,125 im Bereich 2,5 x 5 , dabei weist die positive x-Achse nach Osten (1 LE entspricht 100 m). a) Skizzieren Sie den Querschnitt des Geländes. Berechnen Sie die Stelle, an der die östliche Talseite am steilsten ist, und dann die Stelle, an der die westliche Talseite gleich steil ist. Quer zum Tal befindet sich in West-Ost-Richtung eine Staumauer. Vom tiefsten Punkt des Tals aus gemessen ist sie 312,5 m hoch. Berechnen Sie die Breite der Staumauer an ihrer Oberkante. Bevor das Wasser aufgestaut wird, muss die dem See zugewandte Seite der Staumauer versiegelt werden. Bestimmen Sie den Inhalt dieser Fläche. (8 VP) b) In der Talsohle befindet sich ein Dorf, das bereits nachmittags im Schatten liegt. Nach dem Vorbild des italienischen Ortes Viganella soll auf dem höchsten Punkt des Höhenzugs östlich des Dorfes ein Gerüst mit einem drehbaren Spiegel zur Reflexion von Sonnenlicht aufgestellt werden. Auch hier wird der Querschnitt des Geländes durch das Schaubild der Funktion f beschrieben. Bestimmen Sie die Mindesthöhe dieses Gerüstes, bei der das Sonnenlicht den tiefsten Punkt des Geländequerschnitts erreichen kann. Wie hoch müsste das Gerüst werden, damit der gesamte Geländequerschnitt zwischen Dorf und Gerüst beleuchtet werden kann? (6 VP) Aufgabe I 1.2: Die Funktion g ist gegeben durch (Ab 2012 kein Prüfungsstoff mehr in BW) DEMO für www.mathe-cd.de g x 1 x 0,5- 1 2x Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass g für alle n 1 die n-te Ableitung n (n) 2 g x n! n 1 1 2x Besitzt, wobei n! 12 3 ... n 1 n ist, für n 1 gilt. (4 VP) Friedrich Buckel www.mathe-cd.de
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