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Abiturprüfung Baden-Württemberg Wahlaufgaben der Jahrgänge 2006 bis 2013 Datei 70100 Stand: 7. Juli 2013 DEMO für www.mathe-cd.de Friedrich Buckel INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK www.mathe-cd.de
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Abiturprüfung<br />
Ba<strong>de</strong>n-Württemberg<br />
Wahlaufgaben<br />
<strong>de</strong>r Jahrgänge 2006 bis 2013<br />
Datei <strong>70100</strong><br />
Stand: 7. Juli 2013<br />
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INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK<br />
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70200 Abitur BW – Analytische Geometrie Wahlaufgaben 1 2<br />
Hinweis<br />
Die Aufgaben <strong>de</strong>r Hauptprüfung <strong>de</strong>s Abiturs bestehen in Ba<strong>de</strong>n-Württemberg in diesen Jahren aus<br />
drei Teilen:<br />
Teil 1: Pflichtaufgaben Analysis (5 Aufgaben) und Vektorgeometrie (3 Aufgaben)<br />
Man fin<strong>de</strong>t sie mehrfach eingeordnet in die Sammlungstexte<br />
71101 (Pflicht Analysis 1 – 2004 bis 2012 mit Lösungen)<br />
72101 (Pflicht Geometrie 1 – 2004 bis 2012 mit Lösungen)<br />
Teil 2: Wahlaufgaben Analysis. Text <strong>70100</strong>,<br />
bestehend jeweils aus <strong>de</strong>n Aufgaben I.1, I.2 und I.3 (Dieser Text)<br />
Teil 3: Wahlaufgaben Analytische Geometrie.<br />
Sie fin<strong>de</strong>t man im Text 70200,<br />
bestehend aus <strong>de</strong>n Aufgaben II.1, und II.2.<br />
Aufgrund <strong>de</strong>r unterschiedlichen Regelungen betreffend die Verwendung von Rechnern an <strong>de</strong>n<br />
einzelnen Schulen, ist es kaum mehr möglich eine einheitliche Lösung zu erstellen. Meine<br />
Texte wer<strong>de</strong>n in allen Bun<strong>de</strong>slän<strong>de</strong>rn gelesen und sollten daher möglichst alle Wünsche<br />
erfüllen. Dies ist für Schüler wichtig<br />
Daher gehe ich neuerdings so vor (dies betrifft nicht ältere Lösungen):<br />
Viele Aufgabenteile wer<strong>de</strong>n traditionell „manuell“ gelöst (natürlich unter Verwendung von<br />
Taschenrechnern zur Ermittlung <strong>de</strong>r Ergebnisse. Dies ist vor allem für diejenigen wichtig,<br />
die auch verstehen wollen, wie „das“ eigentlich gerechnet wird.<br />
Sehr oft füge ich Screenshots und Anleitungen für CAS-Rechner bei, die ja immer mehr<br />
eingesetzt wer<strong>de</strong>n. Dies mache ich auch bei Aufgaben, die nicht für CAS vorgesehen sind.<br />
Ich verwen<strong>de</strong> abwechslungsweise TI Nspire CAs und CASIO ClassPad.<br />
Ab und zu zeige ich auch graphische Lösungen, die vor allem von Schülern verwen<strong>de</strong>t<br />
wer<strong>de</strong>n dürfen, die mit Grafikrechnern (GTR) arbeiten.<br />
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In manchen Aufgaben weise ich auch alle drei Optionen hin.<br />
Generell <strong>de</strong>nke ich, dass je<strong>de</strong>r aus <strong>de</strong>n vorhan<strong>de</strong>nen Lösungswegen und auch Ergebnissen erkennen<br />
kann, wie er vorgehen muss, bezogen auf seine Möglichkeiten.<br />
Friedrich Buckel<br />
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70200 Abitur BW – Analytische Geometrie Wahlaufgaben 1 3<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Aufgabe<br />
Lösung<br />
2006 I.1 <br />
<br />
<br />
120 x 120<br />
f x <br />
10<br />
2<br />
x 120 7200<br />
<br />
<br />
2<br />
Skisprungschanze 5 30<br />
I.2.1<br />
<br />
fx<br />
4sin x<br />
12<br />
<br />
<br />
6 32<br />
2007 I.1 fx<br />
I.2.2 f x sinax<br />
a<br />
1<br />
6 34<br />
a<br />
0,5 t<br />
I.3 f t 20t e Wirkstoff-Konzentration 7 36<br />
I.2 fx<br />
30x 800<br />
<br />
x<br />
5<br />
4<br />
<br />
<br />
<br />
2 cos x<br />
2<br />
<br />
Kostenfunktion 8 39<br />
9 44<br />
2 0,12 t<br />
I.3 f t 0,27t e Warteschlange 10 48<br />
3 2<br />
2008 I.1.1 f x 0,125x 0,75x 3,125 Stausee 11 51<br />
I.1.2<br />
<br />
g x<br />
2009 I.1.1 <br />
1<br />
Ableitungen vollständige Induktion 11 54<br />
1 2x<br />
<br />
f x 8sin<br />
x8,5 21<br />
12<br />
<br />
<br />
I.2 <br />
Tagestemperatur 12 55<br />
0,01 t<br />
I.3.1 f t 1000 800 e Wasserzulauf 13 60<br />
I.3.2 an1 100,8 an<br />
Konvergente Folge 13 64<br />
I.1.2<br />
I.2.1<br />
f x 6<br />
100<br />
x 2 16 2<br />
n 1<br />
0 1 2 n 5 1<br />
Eisenbahnbrücke 14 65<br />
5 5 5 ... 5<br />
Beweis vollst. Induktion 14 67<br />
4<br />
<br />
<br />
fx<br />
2sin<br />
x<br />
2<br />
<br />
2<br />
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15 68<br />
cos<br />
I.2.2 H 100<br />
Beleuchtungsfunktion 15 70<br />
2<br />
d<br />
0,1 t<br />
I.3 f t 36,5t e Fieberkurve 16 71<br />
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70200 Abitur BW – Analytische Geometrie Wahlaufgaben 1 4<br />
120<br />
f x 2<br />
x 20<br />
2010 I.1 <br />
2<br />
I.2 <br />
2011 I.1 f x<br />
Lärmschutzwall 17 74<br />
f x 1 cos( x)<br />
Minigolfbahn 18 77<br />
t 2t<br />
I.3 v t 960 e 960 e Motorboot 19 81<br />
<br />
x<br />
a 3<br />
4<br />
4a<br />
I.2.1<br />
<br />
<br />
12<br />
Düse 20 84<br />
w t 50sin t 60 Schneeschmelze 21 88<br />
I.2.2 <br />
f x asin ax a<br />
21 90<br />
a<br />
2 0,2 t<br />
I.3 f t 150t e Virusepi<strong>de</strong>mie, DGl 22 92<br />
3 2<br />
2012 I.1 f x 0,1x 0,3x 0,4x 3,2 Ortsumgehung 23 96<br />
I.2 fx sinx 2<br />
Pokal 24 99<br />
0,2t 0,8t<br />
I.3 f t 130 e e <br />
Wirkstoff im Blut, DGl 25 101<br />
2013 I.1 26 104<br />
I:2.1 27<br />
I.2.2 28<br />
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70200 Abitur BW – Analytische Geometrie Wahlaufgaben 1 5<br />
Abitur BW 2006 - Aufgabe I 1<br />
a) Gegeben ist die Funktion f durch<br />
<br />
<br />
120 x 120<br />
fx<br />
<br />
10<br />
2<br />
x 120 7200<br />
<br />
<br />
2<br />
für 0 x 130<br />
Ihr Schaubild sei K.<br />
Skizzieren Sie K.<br />
2<br />
Das Schaubild C einer weiteren Funktion g mit gx ax bx c enthält die Punkte<br />
P 0|95 , P 10|95 und P 20|92 .<br />
1<br />
2<br />
2<br />
Bestimmen Sie die Koeffizienten a, b und c.<br />
Skizzieren Sie C im ersten Feld <strong>de</strong>s vorhan<strong>de</strong>nen Koordinatensystems.<br />
2<br />
(Teilergebnis: gx 0,015x 0,15x 95 ) (5 VP)<br />
Eine Skisprunganlage besteht aus Sprungschanze und Aufsprunghang.<br />
Das Schaubild K beschreibt das Profil <strong>de</strong>s Aufsprunghangs, die Kurve C die Flugbahn <strong>de</strong>s<br />
Skispringers. Der Absprung erfolgt bei x = 0 (alle Angaben in Meter).<br />
b) Bestimmen Sie die Koordinaten <strong>de</strong>s Punktes, an <strong>de</strong>m <strong>de</strong>r Springer auf <strong>de</strong>m Aufsprunghang<br />
aufsetzt.<br />
Wie groß ist die maximale vertikal gemessene Höhe <strong>de</strong>s Springers über <strong>de</strong>m Aufsprunghang?<br />
(5 VP)<br />
c) Der Wen<strong>de</strong>punkt W71|40 von K entspricht <strong>de</strong>m „kritischen Punkt“ <strong>de</strong>s Aufsprunghangs.<br />
Mögliche Flugbahnen <strong>de</strong>s Skispringers wer<strong>de</strong>n nun durch die Schaubil<strong>de</strong>r <strong>de</strong>r Funktionen g k mit<br />
2<br />
gk<br />
x 0,015x kx<br />
95<br />
beschrieben.<br />
Welchen Wert darf <strong>de</strong>r Parameter k höchstens annehmen, damit <strong>de</strong>r Springer mit dieser<br />
Flugbahn nicht hinter <strong>de</strong>m kritischen Punkt lan<strong>de</strong>t?<br />
(4 VP)<br />
d) Beim Umbau dieser Schanze soll das Profil <strong>de</strong>s Aufsprunghangs verän<strong>de</strong>rt wer<strong>de</strong>n.<br />
Er soll nach <strong>de</strong>m Umbau durch die Funktion h mit<br />
3 2<br />
hx 0,00010,125x 225x 2150x 900.000<br />
mit 0 x 130<br />
beschrieben wer<strong>de</strong>n.<br />
Muss zur Realisierung <strong>de</strong>s neuen Profils insgesamt Er<strong>de</strong> weggefahren o<strong>de</strong>r angeliefert<br />
wer<strong>de</strong>n, wenn angenommen wird, dass <strong>de</strong>r Aufsprunghang überall gleich breit ist?<br />
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(4 VP)<br />
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Aufgabe I 2.1<br />
Abitur BW 2006 - Aufgabe I 2<br />
Gegeben ist die Funktion f mit<br />
<br />
fx<br />
4sin x<br />
12<br />
<br />
<br />
für 0 x 12<br />
Ihr Schaubild sei K.<br />
a) Skizzieren Sie K.<br />
Geben Sie die Anzahl <strong>de</strong>r gemeinsamen Punkte von K mit <strong>de</strong>r Gera<strong>de</strong>n y = mx in Abhängigkeit<br />
von m an.<br />
(4 VP)<br />
b) Bestimmen Sie die Seitenlängen <strong>de</strong>s flächengrößten Rechtecks, bei <strong>de</strong>m zwei Ecken auf <strong>de</strong>r<br />
x-Achse und die bei<strong>de</strong>n an<strong>de</strong>ren Ecken auf K liegen.<br />
(5 VP)<br />
Aufgabe I 2.2<br />
Für je<strong>de</strong>s a > 0 ist eine Funktion f a gegeben durch<br />
1<br />
fa<br />
x sinax<br />
für x <br />
a<br />
a) Wie wirkt sich eine Verän<strong>de</strong>rung <strong>de</strong>s Parameters a auf das Schaubild von f a aus?<br />
Berechnen Sie <strong>de</strong>n Inhalt <strong>de</strong>r Fläche, die das Schaubild von f a mit <strong>de</strong>r x-Achse zwischen zwei<br />
benachbarten Nullstellen einschließt.<br />
(4 VP)<br />
b) Das Schaubild von f 0,5 schließt im Bereich 0 x 2 mit <strong>de</strong>r x-Achse eine Fläche ein.<br />
Eine Parallele zur x-Achse durch <strong>de</strong>n Kurvenpunkt Pz|f 0,5 z <br />
halbiert diese Fläche.<br />
Bestimmen Sie z.<br />
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(5 VP)<br />
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Abitur BW 2006 - Aufgabe I 3<br />
0,5 t<br />
Durch f t 20t e wird die Konzentration eines Medikaments im Blut eines Patienten<br />
beschrieben. Dabei wird t in Stun<strong>de</strong>n seit <strong>de</strong>r Einnahme und f(t) in mg<br />
L<br />
gemessen.<br />
Die folgen<strong>de</strong>n Betrachtungen sind nur für die Zeitspanne <strong>de</strong>r ersten 12 Stun<strong>de</strong>n nach <strong>de</strong>r Einnahme<br />
<strong>de</strong>s Medikaments durchzuführen.<br />
a) Skizzieren Sie <strong>de</strong>n zeitlichen Verlauf <strong>de</strong>r Konzentration.<br />
Nach welcher Zeit erreicht die Konzentration ihren höchsten Wert?<br />
Wie groß ist dieser höchste Wert?<br />
Das Medikament ist nur wirksam, wenn seine Konzentration im Blut min<strong>de</strong>stens 4 mg beträgt.<br />
L<br />
Berechnen Sie die Zeitspanne, in <strong>de</strong>r das Medikament wirksam ist.<br />
Wie hoch ist die mittlere Konzentration innerhalb <strong>de</strong>r ersten 12 Stun<strong>de</strong>n?<br />
(5 VP)<br />
b) Zu welchem Zeitpunkt wird das Medikament am stärksten abgebaut?<br />
Wie groß ist zum Zeitpunkt t = 4 die momentane Än<strong>de</strong>rungsrate <strong>de</strong>r Konzentration?<br />
Ab diesem Zeitpunkt wird die Konzentration <strong>de</strong>s Medikaments nun näherungsweise durch die<br />
Tangente an das Schaubild von f an <strong>de</strong>r Stelle t = 4 beschrieben.<br />
Bestimmen Sie damit <strong>de</strong>n Zeitpunkt, zu <strong>de</strong>m das Medikament vollständig abgebaut ist. (4 VP)<br />
c) Anstelle <strong>de</strong>r Näherung aus Teilaufgabe b) wird nun wie<strong>de</strong>r die Beschreibung <strong>de</strong>r Konzentration<br />
durch f verwen<strong>de</strong>t. Vier Stun<strong>de</strong>n nach <strong>de</strong>r ersten Einnahme wird das Medikament in <strong>de</strong>r<br />
gleichen Dosierung erneut eingenommen. Es wird angenommen, dass sich dabei die<br />
Konzentration im Blut <strong>de</strong>s Patienten addiert.<br />
Skizzieren Sie <strong>de</strong>n zeitlichen Verlauf <strong>de</strong>r Gesamtkonzentration für 0 t 12 .<br />
Die Konzentration <strong>de</strong>s Medikaments im Blut darf 20 mg<br />
L<br />
Wird diese Vorgabe in diesem Fall eingehalten?<br />
nicht übersteigen.<br />
d) Das Medikament wird nun in seiner Zusammensetzung verän<strong>de</strong>rt. Die Konzentration <strong>de</strong>s<br />
Medikaments im Blut wird durch <br />
bt<br />
gt ate mit a > 0 und b > 0 beschrieben.<br />
Dabei wird t in Stun<strong>de</strong>n seit <strong>de</strong>r Einnahme und g(t) in mg gemessen.<br />
L<br />
Bestimmen Sie die Konstanten a und b, wenn die Konzentration vier Stun<strong>de</strong>n nach <strong>de</strong>r<br />
Einnahme ihren größten Wert 10 mg erreicht.<br />
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L<br />
(5 VP)<br />
(4 VP)<br />
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Abitur BW 2007 - Aufgabe I 1<br />
Die Herstellungskosten eines neuen Rheumamittels wer<strong>de</strong>n durch eine Funktion f mit<br />
ax b<br />
<br />
fx<br />
, x R<br />
0<br />
.<br />
x<br />
5<br />
mo<strong>de</strong>llhaft kalkuliert.<br />
Hierbei gibt f(x) die Kosten in 10.000 € für die x-te Produktionseinheit an, wobei die Einheiten<br />
nacheinan<strong>de</strong>r produziert wer<strong>de</strong>n.<br />
Die fünfte Produktionseinheit kostet in <strong>de</strong>r Herstellung 950.000 €, die zwanzigste nur noch 560.000 €.<br />
a) Bestimmen Sie a und b. Skizzieren Sie das Schaubild von f.<br />
Weisen Sie nach, dass die Herstellungskosten für eine Produktionseinheit im Laufe <strong>de</strong>r Zeit<br />
sinken.<br />
Ab <strong>de</strong>r wievielten Produktionseinheit sind die Herstellungskosten für eine Produktionseinheit<br />
geringer als 400.000 €?<br />
Mit welchen Herstellungskosten für eine Produktionseinheit muss man langfristig rechnen?<br />
(Teilergebnis:<br />
<br />
f x<br />
30x 800<br />
). (7 VP)<br />
x<br />
5<br />
b) Ab <strong>de</strong>r wievielten Produktionseinheit unterschei<strong>de</strong>n sich die Herstellungskosten von zwei<br />
aufeinan<strong>de</strong>rfolgen<strong>de</strong>n Produktionseinheiten um weniger als 10.000 €?<br />
Je<strong>de</strong> Produktionseinheit besteht aus 10.000 Packungen. Wie hoch muss <strong>de</strong>r Verkaufspreis<br />
für eine Packung sein, damit die Einnahmen aus <strong>de</strong>n ersten 100 verkauften Produktionseinheiten<br />
ihren Herstellungskosten entsprechen?<br />
(5 VP)<br />
Bei klinischen Studien wird dieses Rheumamittel Patienten, die <strong>de</strong>n Wirkstoff bisher nicht im Blut<br />
hatten, zugeführt und die Menge <strong>de</strong>s Wirkstoffs im Blut gemessen.<br />
c) Ein Patient erhält alle 6 Stun<strong>de</strong>n eine Spritze mit 50 mg Wirkstoff. Bis zur nächsten Spritze<br />
hat <strong>de</strong>r Körper 18% <strong>de</strong>s im Blut vorhan<strong>de</strong>nen Wirkstoffs abgebaut.<br />
Beschreiben Sie mittels einer rekursiv <strong>de</strong>finierten Folge, wie viel Wirkstoff sich jeweils direkt<br />
nach Verabreichung einer Spritze im Blut befin<strong>de</strong>t.<br />
Welche Wirkstoffmenge befin<strong>de</strong>t sich direkt nach <strong>de</strong>r fünften Spritze im Blut?<br />
In welchem Bereich schwankt die Wirkstoffmenge im Blut langfristig?<br />
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Skizzieren Sie <strong>de</strong>n zeitlichen Verlauf <strong>de</strong>r im Blut vorhan<strong>de</strong>nen Wirkstoffmenge für die ersten<br />
24 Stun<strong>de</strong>n. (6 VP)<br />
Hinweise: 1. Zahlenfolgen, wie sie in Teilaufgabe c) vorkommen sind seit 2012 nicht mehr<br />
Prüfungsstoff in BW.<br />
2. Diese Aufgabe steht noch einmal in einem Text über Anwendungsaufgaben zu<br />
gebrochen rationalen Funktionen (Nr. 43200). Dort wur<strong>de</strong> sie durch viele<br />
Zusatzaufgaben zu exponentiellen Zunahme <strong>de</strong>s Wirkstoffs im Blut ergänzt.<br />
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70200 Abitur BW – Analytische Geometrie Wahlaufgaben 1 9<br />
Abitur BW 2007 - Aufgabe I 2<br />
Die Funktion f ist durch<br />
gegeben. Ihr Schaubild ist K.<br />
<br />
f x<br />
4<br />
<br />
<br />
<br />
2 cos x<br />
2<br />
<br />
<br />
für x <br />
a) Skizzieren sie K im Intervall [-4 ; 4].<br />
Begrün<strong>de</strong>n Sie, dass die maximale Definitionsmenge von f ist.<br />
Geben Sie die Wertemenge von f an.<br />
Bestimmen Sie die Perio<strong>de</strong> von f.<br />
Geben Sie alle Hoch- und Tiefpunkte von K an.<br />
(7 VP)<br />
b) Im Intervall [-2;2] soll f durch eine ganzrationale Funktion g vom Grad 2 angenähert wer<strong>de</strong>n, die<br />
mit f an <strong>de</strong>n Stellen -2, 0 und 2 übereinstimmt.<br />
Bestimmen Sie einen geeigneten Funktionsterm für g.<br />
An welchen Stellen <strong>de</strong>s Intervalls [-2;2] weicht die Näherungsfunktion g am stärksten von <strong>de</strong>r<br />
Funktion f ab?<br />
Wie groß ist die Abweichung an diesen Stellen?<br />
Wie groß ist im Mittel <strong>de</strong>r Betrag <strong>de</strong>r Abweichung von f und g im angegebenen Intervall? (6 VP)<br />
c) Das Schaubild K rotiert im Intervall [0;4] um die Gera<strong>de</strong> mit <strong>de</strong>r Gleichung y <br />
4<br />
.<br />
3<br />
Berechnen Sie das Volumen <strong>de</strong>s entstehen<strong>de</strong>n Rotationskörpers.<br />
4<br />
Das Schaubild K wird an <strong>de</strong>r durch die Gleichung y gegebenen Gera<strong>de</strong>n gespiegelt.<br />
3<br />
Geben Sie die Gleichung <strong>de</strong>s gespiegelten Schaubilds an.<br />
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(5 VP)<br />
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70200 Abitur BW – Analytische Geometrie Wahlaufgaben 1 10<br />
Abitur BW 2007 - Aufgabe I 3<br />
Die momentane Ankunftsrate an einem Kino – also die Anzahl <strong>de</strong>r ankommen<strong>de</strong>n Personen pro<br />
Minute – soll mo<strong>de</strong>llhaft beschrieben wer<strong>de</strong>n durch die Funktion f mit<br />
2 0,12 t<br />
ft 0,27t e <br />
Dabei ist t die Zeit in Minuten seit 19.00 Uhr und f(t) die Anzahl <strong>de</strong>r ankommen<strong>de</strong>n Personen pro<br />
Minute. Vor 19.00 Uhr befin<strong>de</strong>n sich noch keine Besucher am Kartenschalter.<br />
a) Skizzieren Sie das Schaubild von f.<br />
Wann kommen die meisten Besucher pro Minute zum Kartenschalter, wie viele sind das?<br />
Ab wann kommen weniger als drei Personen pro Minute zum Kino?<br />
b) Zeigen Sie, dass die Anzahl <strong>de</strong>r angekommenen Personen durch die Funktion g mit<br />
<br />
g t 312,5 2,25t 2 37,5t 312,5 e 0,12t<br />
beschrieben wird.<br />
Wie viele Personen kommen nach diesem Mo<strong>de</strong>ll höchstens zum Kino?<br />
c) Um 19.20 Uhr öffnet <strong>de</strong>r Kartenschalter <strong>de</strong>s Kinos. Pro Minute können durchschnittlich für 6<br />
Personen Karten ausgegeben wer<strong>de</strong>n.<br />
Mit welcher Wartezeit muss eine Person rechnen, die um 19.20 Uhr zum Kino kommt?<br />
Wann ist die Anzahl <strong>de</strong>r Warten<strong>de</strong>n am größten?<br />
Wie viele Besucher warten dann?<br />
Wann hat sich die Warteschlange aufgelöst?<br />
d) Durch eine Verzögerung öffnet <strong>de</strong>r Kartenschalter erst um 19.50 Uhr. Wie viele Personen<br />
müssen jetzt min<strong>de</strong>stens pro Minute am Schalter abgefertigt wer<strong>de</strong>n, damit die Warteschlange<br />
um 20.30 Uhr abgebaut ist?<br />
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70200 Abitur BW – Analytische Geometrie Wahlaufgaben 1 11<br />
Aufgabe I 1.2:<br />
Abitur BW 2008 - Aufgabe I 1<br />
Ein Tal in <strong>de</strong>n Bergen wird nach Westen von einer steilen Felswand, nach Osten von einem flachen<br />
Höhenzug begrenzt. Der Querschnitt <strong>de</strong>s Gelän<strong>de</strong>s wird beschrieben durch das Schaubild <strong>de</strong>r<br />
Funktion f mit<br />
3 2<br />
f x 0,125x 0,75x 3,125 im Bereich 2,5 x 5 ,<br />
dabei weist die positive x-Achse nach Osten (1 LE entspricht 100 m).<br />
a) Skizzieren Sie <strong>de</strong>n Querschnitt <strong>de</strong>s Gelän<strong>de</strong>s.<br />
Berechnen Sie die Stelle, an <strong>de</strong>r die östliche Talseite am steilsten ist, und dann die Stelle, an<br />
<strong>de</strong>r die westliche Talseite gleich steil ist.<br />
Quer zum Tal befin<strong>de</strong>t sich in West-Ost-Richtung eine Staumauer. Vom tiefsten Punkt <strong>de</strong>s Tals<br />
aus gemessen ist sie 312,5 m hoch.<br />
Berechnen Sie die Breite <strong>de</strong>r Staumauer an ihrer Oberkante.<br />
Bevor das Wasser aufgestaut wird, muss die <strong>de</strong>m See zugewandte Seite <strong>de</strong>r Staumauer<br />
versiegelt wer<strong>de</strong>n. Bestimmen Sie <strong>de</strong>n Inhalt dieser Fläche.<br />
(8 VP)<br />
b) In <strong>de</strong>r Talsohle befin<strong>de</strong>t sich ein Dorf, das bereits nachmittags im Schatten liegt. Nach <strong>de</strong>m<br />
Vorbild <strong>de</strong>s italienischen Ortes Viganella soll auf <strong>de</strong>m höchsten Punkt <strong>de</strong>s Höhenzugs östlich<br />
<strong>de</strong>s Dorfes ein Gerüst mit einem drehbaren Spiegel zur Reflexion von Sonnenlicht aufgestellt<br />
wer<strong>de</strong>n. Auch hier wird <strong>de</strong>r Querschnitt <strong>de</strong>s Gelän<strong>de</strong>s durch das Schaubild <strong>de</strong>r Funktion f<br />
beschrieben.<br />
Bestimmen Sie die Min<strong>de</strong>sthöhe dieses Gerüstes, bei <strong>de</strong>r das Sonnenlicht <strong>de</strong>n tiefsten Punkt<br />
<strong>de</strong>s Gelän<strong>de</strong>querschnitts erreichen kann.<br />
Wie hoch müsste das Gerüst wer<strong>de</strong>n, damit <strong>de</strong>r gesamte Gelän<strong>de</strong>querschnitt zwischen Dorf<br />
und Gerüst beleuchtet wer<strong>de</strong>n kann?<br />
(6 VP)<br />
Aufgabe I 1.2:<br />
Die Funktion g ist gegeben durch<br />
(Ab 2012 kein Prüfungsstoff mehr in BW)<br />
DEMO für www.mathe-<strong>cd</strong>.<strong>de</strong><br />
<br />
g x<br />
1<br />
x 0,5-<br />
1 2x<br />
Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass g für alle n 1 die n-te Ableitung<br />
n<br />
(n)<br />
2<br />
g x<br />
n!<br />
<br />
n 1<br />
1<br />
2x <br />
<br />
Besitzt, wobei n! 12 3 ... n 1 n ist, für n 1 gilt. (4 VP)<br />
Friedrich Buckel<br />
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70200 Abitur BW – Analytische Geometrie Wahlaufgaben 1 12<br />
Abitur BW 2008 - Aufgabe I 2<br />
Der Temperaturverlauf außerhalb eines Hauses während eines Tages kann durch eine Funktion f mit<br />
<br />
fx 8sin<br />
x8,5<br />
21<br />
12<br />
<br />
<br />
für 0 x 24<br />
beschrieben wer<strong>de</strong>n (x in Stun<strong>de</strong>n, f(x) in °C).<br />
Die Abbildung zeigt das Schaubild K f von f sowie <strong>de</strong>n innerhalb <strong>de</strong>s Hauses gemessenen<br />
Temperaturverlauf K g .<br />
a) Berechnen Sie, zu welchen Uhrzeiten die Außentemperatur minimal bzw. maximal ist.<br />
Wie viele Stun<strong>de</strong>n an diesem Tag beträgt die Außentemperatur höchstens 22°C?<br />
Wann ist <strong>de</strong>r Temperaturanstieg im Freien am größten?<br />
Bestimmen Sie die durchschnittliche Temperatur im Freien zwischen 6 und 18 Uhr.<br />
(5 VP)<br />
b) Bestimmen Sie einen Term <strong>de</strong>r Funktion g, <strong>de</strong>r <strong>de</strong>n Temperaturverlauf K g wie<strong>de</strong>rgibt.<br />
Beschreiben Sie, wie K g aus <strong>de</strong>m Schaubild <strong>de</strong>r Sinusfunktion mit y =sin x entsteht.<br />
Geben Sie eine mögliche Ursache für die zeitliche Verschiebung <strong>de</strong>r bei<strong>de</strong>n Temperaturverläufe<br />
K f und K g an.<br />
Zu welcher Uhrzeit ist <strong>de</strong>r Unterschied zwischen Innen- und Außentemperatur am größten?<br />
(7 VP)<br />
c) Für <strong>de</strong>n folgen<strong>de</strong>n Tag wird vermutet, dass <strong>de</strong>r Temperaturverlauf außerhalb <strong>de</strong>s Hauses durch<br />
eine Funktion h mit<br />
<br />
hx 10sin<br />
x8,5<br />
axb<br />
12<br />
<br />
<br />
mit 24 x 48<br />
DEMO für www.mathe-<strong>cd</strong>.<strong>de</strong><br />
beschrieben wer<strong>de</strong>n kann (x in Stun<strong>de</strong>n, h(x) in °C). Dabei stimmen zum Zeitpunkt x = 24<br />
sowohl die durch f und h beschriebenen Temperaturen als auch ihre momentanen<br />
Än<strong>de</strong>rungsraten überein. Ermitteln Sie a und b.<br />
Begrün<strong>de</strong>n Sie, warum die durchschnittliche Außentemperatur am zweiten Tag nur durch <strong>de</strong>n<br />
Term ax+b bestimmt wird.<br />
(6 VP)<br />
Friedrich Buckel<br />
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70200 Abitur BW – Analytische Geometrie Wahlaufgaben 1 13<br />
Aufgabe I 3.1<br />
Abitur BW 2008 - Aufgabe I 3<br />
Ein Behälter hat ein Fassungsvermögen von 1200 Liter. Die enthaltene Flüssigkeitsmenge zum<br />
Zeitpunkt t wird beschrieben durch die Funktion f mit<br />
<br />
0,01 t<br />
für t 0<br />
f t 1000 800 e <br />
(t in Minuten, f(t) in Litern)<br />
a) Zu welchem Zeitpunkt ist <strong>de</strong>r Behälter zur Hälfte gefüllt?<br />
Zeigen Sie, dass die Flüssigkeitsmenge im Behälter stets zunimmt.<br />
Bestimmen Sie die mittlere Flüssigkeitsmenge während <strong>de</strong>r ersten Stun<strong>de</strong>.<br />
Aus Sicherheitsgrün<strong>de</strong>n darf die Flüssigkeitsmenge höchstens 85% <strong>de</strong>s Fassungsvermögens<br />
betragen. Wird diese Vorschrift zu je<strong>de</strong>r Zeit eingehalten? Begrün<strong>de</strong>n Sie Ihre Antwort. (6 VP)<br />
b) In einem an<strong>de</strong>ren Behälter mit einem Zufluss und einem Abfluss befin<strong>de</strong>n sich zu Beginn<br />
ebenfalls 200 Liter Flüssigkeit. Einerseits fließen pro Minute 10 Liter zu, an<strong>de</strong>rerseits beträgt<br />
die momentane Abflussrate 1% <strong>de</strong>s jeweiligen Inhalts pro Minute. Dieser Vorgang wird durch<br />
die Differenzialgleichung<br />
<br />
<br />
B' t ab<br />
B t<br />
beschrieben. Geben Sie a und b an.<br />
Zeigen Sie, dass f eine Lösung dieser Differenzialgleichung ist.<br />
(3 VP)<br />
c) Der Vorgang in b) wird nun so geän<strong>de</strong>rt, dass pro Minute 12 Liter zufließen und die momentane<br />
Abflussrate 2% <strong>de</strong>s Inhalts pro Minute beträgt. Die anfängliche Flüssigkeitsmenge ist wie<strong>de</strong>rum<br />
200 Liter.<br />
Ermitteln Sie einen Funktionsterm, <strong>de</strong>r diesen Vorgang beschreibt.<br />
Welche Flüssigkeitsmenge ist nach einer Stun<strong>de</strong> aus diesem Behälter abgeflossen? (5 VP)<br />
Aufgabe I 3.2 (Ab 2012 kein Prüfungsstoff mehr in BW)<br />
Die Folge (a n ) ist gegeben durch<br />
a 0 = 5, an1<br />
100,8 an<br />
für n .<br />
50 ist eine obere Schranke dieser Folge.<br />
Zeigen Sie damit, dass die Folge monoton wachsend ist.<br />
Begrün<strong>de</strong>n Sie, dass die Folge konvergiert. Berechnen Sie <strong>de</strong>n Grenzwert exakt.<br />
(4 VP)<br />
DEMO für www.mathe-<strong>cd</strong>.<strong>de</strong><br />
Friedrich Buckel<br />
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70200 Abitur BW – Analytische Geometrie Wahlaufgaben 1 14<br />
Aufgabe I 1.1<br />
Abitur BW 2009 - Aufgabe I 1<br />
Gegeben ist eine Funktion f mit<br />
<br />
f x 6<br />
100<br />
x 2 16 2<br />
.<br />
a) Geben Sie sämtliche Asymptoten <strong>de</strong>s Schaubilds von f an.<br />
Geben Sie die Nullstellen von f an.<br />
Skizzieren Sie das Schaubild von f samt Asymptoten für 7 x 7.<br />
Weisen Sie nach, dass f genau eine Extremstelle besitzt.<br />
Das Schaubild von f, die x-Achse und die Gera<strong>de</strong> y 7 begrenzen im Bereich 7 x 7 eine<br />
Fläche. Diese Fläche stellt die Seitenansicht einer 14 m langen, 7 m hohen und 10 m breiten<br />
Steinbrücke dar.<br />
(6 VP)<br />
b) Wie viele Kubikmeter Stein wur<strong>de</strong>n für die Brücke verbaut? (4 VP)<br />
c) Unter <strong>de</strong>m Brückenbogen fährt mittig ein Zug hindurch. Sein Querschnitt kann als<br />
Rechteck <strong>de</strong>r Breite 3 m und <strong>de</strong>r Höhe 4 m angesehen wer<strong>de</strong>n.<br />
Wie nah kommt <strong>de</strong>r Zug <strong>de</strong>r gewölbten Wandfläche?<br />
Aufgabe I 1.2<br />
Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion die Gültigkeit <strong>de</strong>r folgen<strong>de</strong>n Gleichung für alle n 1:<br />
n 1<br />
0 1 2 n 5 1<br />
5 5 5 ... 5<br />
<br />
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4<br />
(4 VP)<br />
(4 VP)<br />
Friedrich Buckel<br />
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70200 Abitur BW – Analytische Geometrie Wahlaufgaben 1 15<br />
Abitur BW 2009 - Aufgabe I 2<br />
Gegeben ist die Funktion f durch<br />
Ihr Schaubild ist K.<br />
<br />
<br />
fx<br />
2sin<br />
x<br />
2<br />
<br />
2<br />
a) Skizzieren Sie K im Intervall [0;4]. (Längeneinheit 2 cm empfohlen)<br />
Geben Sie die Perio<strong>de</strong> von f an.<br />
Geben Sie alle Hoch- und Tiefpunkte von K auf ganz an.<br />
Für welche Werte von x nimmt f im Intervall [0;2] <strong>de</strong>n Wert 1 an?<br />
b) Die Funktion f kann auch in <strong>de</strong>r Form fx<br />
a cos(bx) dargestellt wer<strong>de</strong>n.<br />
Bestimmen Sie a und b.<br />
K und die x-Achse begrenzen zwischen benachbarten Nullstellen jeweils eine Fläche.<br />
Berechnen Sie <strong>de</strong>n Inhalt einer solchen Fläche exakt.<br />
c) Das Schaubild einer ganzrationalen Funktion g dritten Gra<strong>de</strong>s hat in P1|2 einen<br />
Hochpunkt und in Q2|0 einen Tiefpunkt.<br />
Bestimmen Sie einen Funktionsterm für g.<br />
An welchen Stellen im Intervall [1;2] weichen die Funktionswerte von f und g am stärksten<br />
voneinan<strong>de</strong>r ab?<br />
Aufgabe I 2.2<br />
Zwei in gleicher Höhe h ( h 5 )<br />
befestigte Lampen sollen einen<br />
10 m langen Abschnitt eines ebenen<br />
Spazierwegs beleuchten.<br />
Lampe<br />
Für die Maßzahl H <strong>de</strong>r Helligkeit in <strong>de</strong>r Mitte gilt<br />
h<br />
<br />
(5 VP)<br />
(4 VP)<br />
cos<br />
H 100<br />
(d in Meter).<br />
2<br />
d<br />
In welcher Höhe müssen die Lampen befestigt wer<strong>de</strong>n, damit <strong>de</strong>r Weg bei M möglichst hell<br />
beleuchtet wird?<br />
(4 VP)<br />
d<br />
5m<br />
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M<br />
5m<br />
Lampe<br />
Friedrich Buckel<br />
www.mathe-<strong>cd</strong>.<strong>de</strong>
70200 Abitur BW – Analytische Geometrie Wahlaufgaben 1 16<br />
Abitur BW 2009 - Aufgabe I 3<br />
Die normale Körpertemperatur eines gesun<strong>de</strong>n Menschen liegt bei 36,5°C.<br />
Die Funktion f mit<br />
<br />
0,1 t<br />
f t 36,5t<br />
e <br />
beschreibt mo<strong>de</strong>llhaft <strong>de</strong>n Verlauf einer Fieberkurve bei einem Erkrankten.<br />
Dabei ist t 0 die Zeit in Stun<strong>de</strong>n nach Ausbruch <strong>de</strong>r Krankheit und f(t) die Körpertemperatur in °C.<br />
a) Wann innerhalb <strong>de</strong>r ersten 48 Stun<strong>de</strong>n ist die Temperatur am höchsten?<br />
Geben Sie diese Temperatur an.<br />
Skizzieren Sie die Fieberkurve innerhalb <strong>de</strong>r ersten 48 Stun<strong>de</strong>n in einem geeigneten Ausschnitt<br />
eines Koordinatensystems.<br />
Zu welchen bei<strong>de</strong>n Zeitpunkten innerhalb <strong>de</strong>r ersten 48 Stun<strong>de</strong>n nimmt die Körpertemperatur<br />
am stärksten zu bzw. ab?<br />
(6 VP)<br />
b) Wann sinkt die Körpertemperatur unter 37°C?<br />
Weisen Sie nach, dass die Temperatur ab diesem Zeitpunkt dauerhaft unter 37°C bleibt.<br />
Bestimmen Sie die mittlere Körpertemperatur für <strong>de</strong>n Zeitraum vom Krankheitsbeginn bis zu<br />
diesem Zeitpunkt.<br />
In welchem 2-Stun<strong>de</strong>n-Zeitraum nimmt die Temperatur um ein Grad zu?<br />
(7 VP)<br />
c) Fünf Stun<strong>de</strong>n nach Ausbruch <strong>de</strong>r Krankheit erhält <strong>de</strong>r Erkrankte ein Fieber senken<strong>de</strong>s<br />
Medikament. Von diesem Zeitpunkt an sinkt die Temperatur nach <strong>de</strong>r Gesetzmäßigkeit <strong>de</strong>s<br />
beschränkten Wachstums und nähert sich <strong>de</strong>r normalen Körpertemperatur. Zwei Stun<strong>de</strong>n nach<br />
Einnahme <strong>de</strong>s Medikaments beträgt die Temperatur 38,4°C.<br />
Bestimmen Sie eine Funktion g, welche <strong>de</strong>n weiteren Temperaturverlauf beschreibt.<br />
Zu welchem Zeitpunkt nach <strong>de</strong>r Einnahme <strong>de</strong>s Medikaments ist die Körpertemperatur erstmals<br />
um ein Grad niedriger, als sie ohne Medikament wäre?<br />
(5 VP)<br />
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Friedrich Buckel<br />
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70200 Abitur BW – Analytische Geometrie Wahlaufgaben 1 17<br />
Abitur BW 2010 - Aufgabe I 1<br />
Auf einem ebenen Gelän<strong>de</strong> befin<strong>de</strong>t sich ein geradliniger, 500 m langer Lärmschutzwall.<br />
Das Profil seines Querschnitts wird beschrieben durch die Funktion f mit<br />
120<br />
fx 2<br />
2<br />
x 20<br />
und<br />
fx<br />
0 (x und f(x) in Meter).<br />
a) Wie breit ist <strong>de</strong>r Wall an seinem Fuß?<br />
Zeigen Sie, dass <strong>de</strong>r Wall einen symmetrischen Querschnitt besitzt.<br />
Der Wall soll begrünt wer<strong>de</strong>n. Um Erosion zu vermei<strong>de</strong>n, sollte das maximale Gefälle<br />
<strong>de</strong>r Böschung nicht größer als 100% sein.<br />
Ist dies beim gegebenen Querschnittprofil <strong>de</strong>r Fall?<br />
(4 VP)<br />
b) Berechnen Sie das Volumen <strong>de</strong>s Lärmschutzwalls.<br />
Es ist geplant, <strong>de</strong>n Wall auf 3 m Höhe abzutragen, um darauf einen Fahrweg anzulegen.<br />
Welche Breite hätte dieser Fahrweg?<br />
Das abzutragen<strong>de</strong> Material soll dazu verwen<strong>de</strong>t wer<strong>de</strong>n, <strong>de</strong>n abgeflachten Wall zu verlängern.<br />
Um wie viel Meter wür<strong>de</strong> er länger?<br />
(6 VP)<br />
c) Statt <strong>de</strong>r Planung aus Teilaufgabe b) wird am ursprünglichen Wall die Er<strong>de</strong> so abgetragen,<br />
dass <strong>de</strong>r Fahrweg seitlich geneigt ist. Sein rechter Rand liegt 0,4 m höher als sein linker Rand.<br />
Die Breite <strong>de</strong>s Fahrwegs beträgt 4 m.<br />
Bestimmen Sie <strong>de</strong>n Winkel, um <strong>de</strong>n <strong>de</strong>r Fahrweg gegenüber <strong>de</strong>r Horizontalen geneigt ist,<br />
auf zwei Dezimalen genau.<br />
In welcher Höhe befin<strong>de</strong>t sich <strong>de</strong>r linke Rand <strong>de</strong>s Fahrwegs?<br />
(5 VP)<br />
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Friedrich Buckel<br />
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70200 Abitur BW – Analytische Geometrie Wahlaufgaben 1 18<br />
Gegeben sind die Funktionen f und g durch<br />
Abitur BW 2010 - Aufgabe I 2<br />
und gx 1 4 x fx <br />
f x 1 cos( x)<br />
Ihre Schaubil<strong>de</strong>r sind K f und K g .<br />
, x R .<br />
10<br />
a) Geben Sie alle Nullsteilen <strong>de</strong>r Funktion f an.<br />
Beschreiben Sie, wie man K f aus <strong>de</strong>m Schaubild <strong>de</strong>r Kosinusfunktion erhalten kann.<br />
Skizzieren Sie K g für 0 x 4 . (5 VP)<br />
Das Schaubild K g beschreibt im Bereich 0 x 4 die Seitenansicht einer Minigolfbahn,<br />
die eine Doppelwelle als Hin<strong>de</strong>rnis enthält (Längenangaben in Meter).<br />
Gespielt wird von links nach rechts.<br />
b) Wie hoch liegt <strong>de</strong>r höchste Punkt <strong>de</strong>r Bahn?<br />
An welcher Stelle <strong>de</strong>r Bahn muss <strong>de</strong>r Ball die größte Steigung überwin<strong>de</strong>n?<br />
Die Minigolfbahn ist 1,25 m breit. Nach einem schweren Regenguss steht das<br />
Wasser zwischen <strong>de</strong>n bei<strong>de</strong>n Wellen 5 cm hoch.<br />
Wie viele Liter Wasser haben sich dort gesammelt?<br />
c) Ein Ball wird so fest geschlagen, dass er bei x = 0,5 tangential von <strong>de</strong>r Bahn abhebt<br />
und im Punkt P7|0 wie<strong>de</strong>r auf <strong>de</strong>m Bo<strong>de</strong>n auftrifft.<br />
Bestimmen Sie die maximale Höhe <strong>de</strong>s Balls auf <strong>de</strong>iner parabelförmigen Flugbahn.<br />
(5 VP)<br />
(4 VP)<br />
d) Das Hin<strong>de</strong>rnis <strong>de</strong>r Minigolfbahn soll im gleichen Bereich neu gestaltet wer<strong>de</strong>n.<br />
Das neue Hin<strong>de</strong>rnis soll drei jeweils 40 cm hohe Wellen erhalten.<br />
Am Anfang und En<strong>de</strong> soll das Hin<strong>de</strong>rnis waagrecht und auf <strong>de</strong>r gleichen Höhe wie bisher<br />
en<strong>de</strong>n.<br />
Bestimmen Sie einen Term einer Funktion, die <strong>de</strong>n neuen Bahnverlauf beschreibt.<br />
Vergleichen die durchschnittlichen Höhen <strong>de</strong>r bei<strong>de</strong>n Bahnen.<br />
(4 VP)<br />
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Friedrich Buckel<br />
www.mathe-<strong>cd</strong>.<strong>de</strong>
70200 Abitur BW – Analytische Geometrie Wahlaufgaben 1 19<br />
Abitur BW 2010 - Aufgabe I 3<br />
Ein Segelboot gleitet mit <strong>de</strong>r konstanten Geschwindigkeit 160 m an einem ruhen<strong>de</strong>n Motorboot<br />
min<br />
vorbei. Das Motorboot nimmt zu diesem Zeitpunkt Fahrt auf und fährt <strong>de</strong>m Segelboot hinterher.<br />
Die Geschwindigkeit v(t) <strong>de</strong>s Motorbootes ist für t > 0 stets positiv und wird durch<br />
t 2t<br />
<br />
v t 960 e 960 e ; t 0<br />
beschrieben (Zeit t in min seit <strong>de</strong>r Vorbeifahrt, Geschwindigkeit v(t) in m min )<br />
a) Skizzieren Sie das Zeit-Geschwindigkeit-Schaubild <strong>de</strong>s Motorbootes für die ersten fünf Minuten.<br />
Bestimmen Sie die höchste Geschwindigkeit <strong>de</strong>s Motorbootes in diesem Zeitraum.<br />
Wann nimmt die Geschwindigkeit <strong>de</strong>s Motorbootes in diesem Zeitraum am stärksten ab?<br />
Welche mittlere Geschwindigkeit hat das Motorboot in <strong>de</strong>n ersten fünf Minuten?<br />
Wie lange fährt das Motorboot in diesem Zeitraum schneller als das Segelboot? (6VP)<br />
b) Wie weit ist das Motorboot nach zwei Minuten gefahren?<br />
Bestimmen Sie einen Term <strong>de</strong>r Funktion, die <strong>de</strong>n vom Motorboot zurückgelegten Weg in<br />
Abhängigkeit von <strong>de</strong>r Zeit beschreibt.<br />
Legt das Motorboot nach diesem Mo<strong>de</strong>ll mehr als 500 m zurück?<br />
Zu welchem Zeitpunkt überholt das Motorboot das Segelboot?<br />
(6VP)<br />
c) Zum Zeitpunkt t O = 2,55holt das Segelboot das Motorboot wie<strong>de</strong>r ein. Bei<strong>de</strong> Boote verringern<br />
ab diesem Moment ihre Geschwindigkeit. Ab <strong>de</strong>m Zeitpunkt t O wird die Geschwindigkeit <strong>de</strong>s<br />
Motorbootes durch die Tangente an das Schaubild <strong>de</strong>r Funktion v an <strong>de</strong>r Stelle t O beschrieben.<br />
Wann kommt das Motorboot zum Stillstand?<br />
Die Geschwindigkeit <strong>de</strong>s Segelbootes kann ab <strong>de</strong>m Zeitpunkt t O ebenfalls durch eine Gera<strong>de</strong><br />
beschrieben wer<strong>de</strong>n. Das Segelboot kommt am gleichen Ort wie das Motorboot zum Stillstand.<br />
Wann kommt das Boot zum Stillstand?<br />
(6VP)<br />
DEMO für www.mathe-<strong>cd</strong>.<strong>de</strong><br />
Friedrich Buckel<br />
www.mathe-<strong>cd</strong>.<strong>de</strong>
70200 Abitur BW – Analytische Geometrie Wahlaufgaben 1 20<br />
Für je<strong>de</strong>s a 0<br />
Ihr Schaubild ist K a .<br />
Abitur BW 2011 - Aufgabe I 1<br />
ist eine Funktion f a gegeben mit f x<br />
<br />
x<br />
a 3<br />
4<br />
4a<br />
a) Bestimmen Sie die maximale Definitionsmenge von f 2 .<br />
Geben Sie die Asymptoten von K 2 an.<br />
Das Schaubild K 2 besitzt genau zwei Wen<strong>de</strong>punkte. Bestimmen Sie <strong>de</strong>ren Koordinaten.<br />
Welcher Punkt Pu|v von K 2 mit 0 u 2 hat vom Punkt A1|0 <strong>de</strong>n kleinsten Abstand?<br />
(7 VP)<br />
b) Zeigen Sie, dass K 2 mit keinem an<strong>de</strong>ren Schaubild K a einen gemeinsamen Punkt besitzt.<br />
Bestimmen Sie <strong>de</strong>n Punkt Q a , in <strong>de</strong>m K a eine waagrechte Tangente besitzt.<br />
Wo liegen alle Punkte Q a ?<br />
(5 VP)<br />
c) Die Schaubil<strong>de</strong>r K 1 und K 2 schließen mit <strong>de</strong>r y-Achse und <strong>de</strong>r Gera<strong>de</strong>n x = 2 eine Fläche ein.<br />
Bei Rotation dieser Fläche um die x-Achse entsteht ein Drehkörper, <strong>de</strong>r als Düse benutzt wird<br />
(Längeneinheit 1 cm).<br />
Berechnen Sie die Masse einer solchen Düse, die aus Titan mit einer Dichte von 4,5<br />
3 cm<br />
besteht.<br />
Diese Düse wur<strong>de</strong> aus einem massiven Kegel mit <strong>de</strong>r Höhe 3 cm und <strong>de</strong>r x-Achse als<br />
Rotationsachse ausgefräst<br />
Welchen Radius hatte <strong>de</strong>r Grundkreis dieses Kegels min<strong>de</strong>stens?<br />
DEMO für www.mathe-<strong>cd</strong>.<strong>de</strong><br />
g<br />
(6 VP)<br />
Friedrich Buckel<br />
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70200 Abitur BW – Analytische Geometrie Wahlaufgaben 1 21<br />
Abitur BW 2011 - Aufgabe I 2<br />
Aufgabe I 2.1<br />
Ein Staubecken wird zur Zeit <strong>de</strong>r Schneeschmelze gefüllt. Da die Schneeschmelze<br />
temperaturabhängig ist, kann die momentane Zuflussrate <strong>de</strong>s Wassers durch die Funktion w mit<br />
<br />
<br />
w t 50sin t 60 für 0 t 24<br />
beschrieben wer<strong>de</strong>n (t in Stun<strong>de</strong>n seit Beobachtungsbeginn,<br />
12<br />
<br />
m 3<br />
h<br />
w t in ).<br />
a) ln welchem Zeitraum ist die momentane Zuflussrate größer als 100 ?<br />
Zu welchem Zeitpunkt nimmt die momentane Zuflussrate am stärksten ab?<br />
b) Zu Beobachtungsbeginn enthält das Staubecken 5000 m 3 Wasser.<br />
Wie viel Wasser enthält es nach 24 Stun<strong>de</strong>n?<br />
Bestimmen Sie einen integralfreien Funktionsterm für die zum Zeitpunkt t im Staubecken<br />
enthaltene Wassermenge.<br />
Nach welcher Zeit sind 6000 m 3 Wasser im Becken?<br />
Aufgabe I 2.2<br />
Für je<strong>de</strong>s a > 0 ist eine Funktion f a gegeben durch<br />
<br />
f x asin ax a , x R .<br />
a<br />
a) Bestimmen Sie die Koordinaten <strong>de</strong>s Hochpunkts H a von K a für 0 x pa<br />
.<br />
Ermitteln Sie eine Gleichung <strong>de</strong>r Kurve, auf <strong>de</strong>r alle diese Hochpunkte H a liegen.<br />
b) Geben Sie in Abhängigkeit von a die Koordinaten <strong>de</strong>s Wen<strong>de</strong>punkts W a von K a an,<br />
<strong>de</strong>r <strong>de</strong>n kleinsten positiven x-Wert hat.<br />
Die Tangente in W a an K a schließt mit <strong>de</strong>n Koordinatenachsen eine Fläche ein.<br />
Zeigen Sie, dass <strong>de</strong>r Inhalt dieser Fläche unabhängig von a ist.<br />
DEMO für www.mathe-<strong>cd</strong>.<strong>de</strong><br />
m<br />
h<br />
3<br />
(4 VP)<br />
(5 VP)<br />
(4 VP)<br />
(5 VP)<br />
Friedrich Buckel<br />
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70200 Abitur BW – Analytische Geometrie Wahlaufgaben 1 22<br />
Abitur BW 2011 - Aufgabe I 3<br />
In einer großen Stadt breitet sich eine Viruserkrankung aus.<br />
Die momentane Erkrankungsrate wird mo<strong>de</strong>llhaft beschrieben durch die Funktion f mit<br />
2 0,2 t<br />
ft 150t e für t 0<br />
Dabei ist t die Zeit in Wochen seit Beobachtungsbeginn und f(t) die Anzahl <strong>de</strong>r Neuerkrankungen pro<br />
Woche.<br />
a) Skizzieren Sie das Schaubild von f.<br />
Wann erkranken die meisten Personen?<br />
Zeigen Sie, dass ab diesem Zeitpunkt die momentane Erkrankungsrate rückläufig ist.<br />
Wann nimmt sie am stärksten ab?<br />
(6 VP)<br />
b) Alle Neuerkrankungen wer<strong>de</strong>n sofort <strong>de</strong>m Gesundheitsamt gemel<strong>de</strong>t. Bei Beobachtungsbeginn<br />
sind bereits 100 Personen gemel<strong>de</strong>t.<br />
Wie viele Personen sind nach 12 Wochen insgesamt gemel<strong>de</strong>t?<br />
Die Funktion F mit <br />
F t 750 t 10t 50 e <br />
2 0,2 t<br />
ist eine Stammfunktion von f.<br />
Geben Sie eine Funktion für die Gesamtzahl <strong>de</strong>r gemel<strong>de</strong>ten Personen nach t Wochen an.<br />
Wann wird die Zahl von 20.000 gemel<strong>de</strong>ten Personen erreicht?<br />
Weisen Sie nach, dass die Anzahl <strong>de</strong>r Meldungen unter 40.000 bleiben wird.<br />
(6 VP)<br />
In einer benachbarten Stadt mit 30.000 Einwohnern ist bei Beobachtungsbeginn bereits die Hälfte <strong>de</strong>r<br />
Einwohner an diesem Virus erkrankt. Es ist davon auszugehen, dass im Laufe <strong>de</strong>r Zeit alle Einwohner<br />
von <strong>de</strong>r Krankheit erfasst wer<strong>de</strong>n und dass dabei die momentane wöchentliche Erkrankungsrate<br />
proportional zur Anzahl <strong>de</strong>r bisher noch nicht von <strong>de</strong>r Krankheit erfassten Einwohner ist.<br />
c) Man nimmt zur Mo<strong>de</strong>llierung zunächst <strong>de</strong>n Proportionalitätsfaktor 0,1 an.<br />
Gebe Sie eine zugehörige Differenzialgleichung an.<br />
Bestimmen sie eine Funktion, welche die Anzahl <strong>de</strong>r von <strong>de</strong>r Krankheit erfassten Personen<br />
beschreibt.<br />
Wie viele Personen wer<strong>de</strong>n <strong>de</strong>mzufolge nach 4 Wochen von <strong>de</strong>r Krankheit erfasst sein?<br />
Tatsächlich sind es nach 4 Wochen bereits 22.000 Personen.<br />
Passen Sie die Funktion an die tatsächliche Situation an.<br />
DEMO für www.mathe-<strong>cd</strong>.<strong>de</strong><br />
(6 VP)<br />
Friedrich Buckel<br />
www.mathe-<strong>cd</strong>.<strong>de</strong>
70200 Abitur BW – Analytische Geometrie Wahlaufgaben 1 23<br />
Abitur BW 2012 - Aufgabe I 1<br />
Die Abbildung zeigt <strong>de</strong>n Verlauf einer<br />
Umgehungsstraße zur Entlastung <strong>de</strong>r<br />
Ortsdurchfahrt AB einer Gemein<strong>de</strong>.<br />
Das Gemein<strong>de</strong>gebiet ist kreisförmig mit <strong>de</strong>m<br />
Mittelpunkt M und <strong>de</strong>m Radius 1 ,5 km.<br />
Die Umgehungsstraße verläuft durch die<br />
Punkte A und B und wird beschrieben<br />
durch die Funktion f mit<br />
3 2<br />
f x 0,1x 0,3x 0,4x 3,2 .<br />
1 LE entspricht 1 km. ·<br />
a) Welche Koordinaten hat <strong>de</strong>r nördlichste Punkt <strong>de</strong>r Umgehungsstraße?<br />
Wie weit ist dieser Punkt vom Ortsmittelpunkt M entfernt?<br />
Die Umgehungsstraße beschreibt eine Linkskurve und eine Rechtskurve.<br />
Bestimmen Sie <strong>de</strong>n Punkt, in <strong>de</strong>m diese bei<strong>de</strong>n Abschnitte ineinan<strong>de</strong>r übergehen.<br />
Zeigen Sie, dass die Umgehungsstraße im Punkt A ohne Knick in die Ortsdurchfahrt<br />
einmün<strong>de</strong>t.<br />
b) Zur Bewertung von Grundstücken wird die Fläche zwischen <strong>de</strong>r Ortsdurchfahrt<br />
und <strong>de</strong>r Umgehungsstraße vermessen.<br />
Wie viel Prozent dieser Fläche liegen außerhalb <strong>de</strong>s Gemein<strong>de</strong>gebiets?<br />
c) Im Punkt P1,5|3 befin<strong>de</strong>t sich eine Windkraftanlage.<br />
Ein Fahrzeug fährt von B aus auf <strong>de</strong>r Umgehungsstraße.<br />
Von welchem Punkt <strong>de</strong>r Umgehungsstraße aus sieht <strong>de</strong>r Fahrer die Windkraftanlage<br />
genau in Fahrtrichtung vor sich?<br />
(6 VP)<br />
(4 VP)<br />
(4 VP)<br />
d) ln welchem Punkt <strong>de</strong>r Umgehungsstraße fährt ein Fahrzeug parallel zur Ortsdurchfahrt AB?<br />
Welchen Abstand hat ein Fahrzeug auf <strong>de</strong>r Umgehungsstraße höchstens von <strong>de</strong>r<br />
Ortsdurchfahrt?<br />
(4 VP)<br />
DEMO für www.mathe-<strong>cd</strong>.<strong>de</strong><br />
N<br />
Friedrich Buckel<br />
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70200 Abitur BW – Analytische Geometrie Wahlaufgaben 1 24<br />
Abitur BW 2012 - Aufgabe I 2<br />
Gegeben sind die Funktion f und für je<strong>de</strong>s t > 0 die Funktion g t durch<br />
sinx 2<br />
bzw. gt<br />
x t sinx<br />
f x<br />
, x R .<br />
a) Skizzieren Sie die Graphen von f und g 1 für 0 x in einem gemeinsamen<br />
Koordinatensystem.<br />
Geben Sie die Perio<strong>de</strong> und die Amplitu<strong>de</strong> <strong>de</strong>r Funktion f an.<br />
An welchen Stellen unterschei<strong>de</strong>n sich die Funktionswerte von f und g 1 im skizzierten Bereich<br />
am stärksten?<br />
Wie groß ist dieser Unterschied?<br />
(6 VP)<br />
b) Für welchen Wert von t schnei<strong>de</strong>n sich die Graphen von f und g t im Ursprung unter einem<br />
Winkel von 45°?<br />
Der Graph <strong>de</strong>r Funktion f schließt im Bereich 0 x mit <strong>de</strong>r x-Achse eine Fläche ein.<br />
Für welchen Wert von t hat die Fläche, die <strong>de</strong>r Graph von g t im gleichen Bereich mit <strong>de</strong>r<br />
x-Achse einschließt, <strong>de</strong>n gleichen Inhalt?<br />
(6 VP)<br />
c) K ist <strong>de</strong>r Graph <strong>de</strong>r Funktion g 1 .<br />
Durch Spiegelung von K an <strong>de</strong>r Gera<strong>de</strong>n h : y 2 entsteht <strong>de</strong>r Graph K' .<br />
Geben Sie eine zu K' gehören<strong>de</strong> Gleichung an.<br />
K rotiert um die Gera<strong>de</strong> h.<br />
Dadurch entsteht im Bereich 0,5 x 5,2 das Mo<strong>de</strong>ll eines Pokals, <strong>de</strong>ssen Standfläche <strong>de</strong>n<br />
Mittelpunkt M0,5|2 hat.<br />
Der massive Bo<strong>de</strong>n <strong>de</strong>s Pokals reicht von <strong>de</strong>r Standfläche bis zur engsten Stelle.<br />
Untersuchen Sie, ob ein Liter Flüssigkeit in <strong>de</strong>n Pokal passt.<br />
(1 LE entspricht 2,5 cm.) (6 VP)<br />
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Friedrich Buckel<br />
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70200 Abitur BW – Analytische Geometrie Wahlaufgaben 1 25<br />
Abitur BW 2012 - Aufgabe I 3<br />
Ein Medikament kann mithilfe einer Spritze o<strong>de</strong>r durch Tropfinfusion verabreicht wer<strong>de</strong>n.<br />
a) Bei Verabreichung <strong>de</strong>s Medikaments mithilfe einer Spritze wird die Wirkstoffmenge<br />
im Blut <strong>de</strong>s Patienten beschrieben durch die Funktion f mit<br />
0,2t 0,8t<br />
<br />
f t 130 e e<br />
0 t 24<br />
(t in Stun<strong>de</strong>n nach <strong>de</strong>r Injektion, f(t) in mg).<br />
Skizzieren Sie <strong>de</strong>n Graphen von f.<br />
Das Medikament wirkt nur dann, wenn min<strong>de</strong>stens 36 mg <strong>de</strong>s Wirkstoffs im Blut vorhan<strong>de</strong>n<br />
sind. Bestimmen Sie <strong>de</strong>n Zeitraum, in <strong>de</strong>m das Medikament wirkt.<br />
Zu welchen Zeitpunkten nimmt die Wirkstoffmenge im Blut am stärksten zu bzw. ab?<br />
Berechnen Sie die mittlere Wirkstoffmenge im Blut während <strong>de</strong>r ersten 12 Stun<strong>de</strong>n.<br />
(7 VP)<br />
Wenn das Medikament statt<strong>de</strong>ssen durch Tropfinfusion zugeführt wird, lässt sich die Wirkstoffmenge<br />
im Blut beschreiben durch die Funktion g mit<br />
0,05 t<br />
<br />
g t 80 1 e <br />
t 0<br />
(t in Minuten seit lnfusionsbeginn, g(t) in mg).<br />
b) Welche Wirkstoffmenge wird sich langfristig im Blut befin<strong>de</strong>n?<br />
Zeigen Sie, dass die Wirkstoffmenge im Blut ständig zunimmt.<br />
Zu welchem Zeitpunkt beträgt die momentane Än<strong>de</strong>rungsrate <strong>de</strong>r Wirkstoffmenge im Blut<br />
ln welchem 15-Minuten-Zeitraum än<strong>de</strong>rt sich die Wirkstoffmenge um 30 mg?<br />
mg<br />
1 ?<br />
min<br />
(7 VP)<br />
c) Geben Sie eine Differenzialgleichung <strong>de</strong>s beschränkten Wachstums an, die von <strong>de</strong>r Funktion<br />
g erfüllt wird.<br />
Bei <strong>de</strong>r Tropfinfusion wird <strong>de</strong>m Patienten pro Minute eine konstante Wirkstoffmenge zugeführt.<br />
Die Abbaurate ist dabei stets proportional zur Wirkstoffmenge im Blut. Wie groß ist die<br />
konstante Zufuhr <strong>de</strong>r Wirkstoffmenge pro Minute?<br />
Welche Wirkstoffmenge müsste man pro Minute zuführen, damit sich langfristig 90 mg im Blut<br />
befin<strong>de</strong>n?<br />
(4 VP)<br />
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70200 Abitur BW – Analytische Geometrie Wahlaufgaben 1 26<br />
Abitur BW 2013 - Aufgabe I 1<br />
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70200 Abitur BW – Analytische Geometrie Wahlaufgaben 1 27<br />
Abitur BW 2013 - Aufgabe I 2.1<br />
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70200 Abitur BW – Analytische Geometrie Wahlaufgaben 1 28<br />
Abitur BW 2013 - Aufgabe I 2.2<br />
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70200 Abitur BW – Analytische Geometrie Wahlaufgaben 1 29<br />
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Lösung 2012 -Aufgabe I 1<br />
a) Der nördlichste Punkt <strong>de</strong>r Umgehungsstraße<br />
ist <strong>de</strong>r Hochpunkt <strong>de</strong>s Graphs K von f.<br />
N<br />
3 2<br />
f x 0,1x 0,3x 0,4x 3,2<br />
2<br />
f' x 0,3x 0,6x<br />
0,4<br />
f '' x<br />
0,6x 0,6<br />
f''' x<br />
0,6<br />
<br />
Extremwert-Bedingung: f' x 0<br />
2<br />
0,3x 0,6x 0,4 0 | <br />
10<br />
2<br />
3x 6x 4 0<br />
6 36434 6 84 0,53<br />
xE<br />
<br />
6 6 ( 2,53)<br />
H<br />
<br />
<br />
y f 0,53 3,31 (Taschenrechner)<br />
Kontrolle: f '' 0,53<br />
0,6 0,53 0,6 0<br />
Hochpunkt H0,53|3,31<br />
<br />
2 2<br />
Entfernung: d MH x y 0,53 0 2 3,310,5 2<br />
2,86 km<br />
Die Linkskurve geht am Wen<strong>de</strong>punkt in eine Rechtskurve über.<br />
Wen<strong>de</strong>punkt-Bedingung:<br />
<br />
mit f''' 1<br />
0<br />
W <br />
Ergebnis: W<br />
1|2,6<br />
f'' x 0<br />
0,6x 0,6 0 x 1<br />
y f 1 2,6<br />
Knickfreie Einmündung bei A3| 2:<br />
A liegt auf <strong>de</strong>r Gera<strong>de</strong>n (AB), weil aber f3<br />
2 ist, liegt A auch auf K.<br />
Tangentensteigung in A an K: f' 3<br />
0,5<br />
y 12 3 1<br />
An<strong>de</strong>rerseits hat die Gera<strong>de</strong> (AB) die Steigung: mAB<br />
<br />
x 33<br />
6 2<br />
Also ist (AB) zugleich Tangente an K in A, d. h. K geht also in A knickfrei in (AB) über.<br />
b) Fläche zwischen K und (AB):<br />
Steigung von (AB): m 0,5 ,<br />
Punkt-Steigungsform: y 2 0,5 x 3<br />
y 0,5x 0,5<br />
3<br />
3 2<br />
A 0,1x 0,3x 0,4x 3,2 0,5x 0,5dx<br />
3<br />
3<br />
3 2 0,1 4 0,3 3 0,9 2<br />
<br />
3<br />
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<br />
<br />
0,1x 0,3x 0,9x 2,7 dx x x x 2,7x<br />
4 3 2<br />
<br />
<br />
<br />
1 <br />
3<br />
4<br />
3<br />
1<br />
<br />
4<br />
3<br />
0,13 0,45 9<br />
2,7 3 3<br />
0,1 3 0,45 9 2,7 3<br />
10,8 km<br />
40<br />
40<br />
<br />
Davon subtrahiert man die Fläche <strong>de</strong>s Halbkreises mit <strong>de</strong>m Radius r = 1,5:<br />
W<br />
3<br />
3<br />
2
70200 Abitur BW – Analytische Geometrie Wahlaufgaben 1 97<br />
A r 1,5 3,53 km<br />
1 2 1 2 2<br />
HK 2 2<br />
und erhält als Fläche außerhalb <strong>de</strong>s Gemein<strong>de</strong>gebiets:<br />
Prozentualer Anteil:<br />
Ergebnis:<br />
A 10,83,53 7,27<br />
A 7,27<br />
p 100% 100% 67,4%<br />
A 10,8<br />
Etwa 67,4 % <strong>de</strong>r Fläche liegen außerhalb <strong>de</strong>s Gemein<strong>de</strong>gebiets.<br />
<br />
<br />
c) Ein Fahrer sieht von <strong>de</strong>r Umgehungsstraße aus<br />
die Windkraftanlage genau dann in Fahrtrichtung<br />
vor sich, wenn er sich im Berührpunkt Z <strong>de</strong>r<br />
Tangente an K befin<strong>de</strong>t, die durch P geht.<br />
Also muss man die Aufgabe lösen:<br />
Lege von P1,5|3 aus die Tangente an K.<br />
Metho<strong>de</strong>: Man geht von einem unbekannten Berührpunkt <br />
Zu|fu aus, stellt dazu die<br />
Tangentengleichung auf. Diese enthält dann neben x und y noch die Unbekannte u. Verlangt<br />
man, dass diese Tangente durch P geht, kann man die Koordinaten von P einsetzen, so dass<br />
als einzige Unbekannte u übrig bleibt.<br />
1. Manuelle Lösung:<br />
Tangente t in Zu|fu : yfu f' ux<br />
u<br />
Bedingung: P1,5|3 t: 3fu f' u1,5<br />
u<br />
d. h. 3 0,1u 3 0,3u 2 0,4u 3,2 0,3 u 2 0,6u 0,41,5 u<br />
Vereinfachen liefert:<br />
3 2<br />
4u 3u 18u 16 0<br />
Grafikrechner-Lösungen: u1 2, u2 0,92 und u3<br />
2,17 .<br />
Da das Fahrzeug von B aus kommt, ist nur die Lösung u 1 = 2 brauchbar.<br />
Wegen f2<br />
2 lautet <strong>de</strong>r gesuchte Berührpunkt Z2|2 . Von hier aus sieht man die<br />
Windkraftanlage genau in Fahrtrichtung vor sich.<br />
2. CAS-Lösung: (CASIO ClassPad)<br />
1. Zeile: Definition <strong>de</strong>r Funktion.<br />
2. Zeile: Definition <strong>de</strong>r Ableitungsfunktion f' x<br />
<br />
3. Zeile: Definition <strong>de</strong>r Tangentenfunktion.<br />
4. Zeile: P1,5|3 eingesetzt und u berechnet.<br />
5. Zeile: y-Koordinate von Z.<br />
6. Zeile: Tangentengleichung für u = 2.<br />
DEMO für www.mathe-<strong>cd</strong>.<strong>de</strong><br />
Friedrich Buckel<br />
www.mathe-<strong>cd</strong>.<strong>de</strong>
70200 Abitur BW – Analytische Geometrie Wahlaufgaben 1 98<br />
d) ln welchem Punkt <strong>de</strong>r Umgehungsstraße fährt ein Fahrzeug parallel zur Ortsdurchfahrt AB?<br />
Welchen Abstand hat ein Fahrzeug auf <strong>de</strong>r Umgehungsstraße höchstens von <strong>de</strong>r<br />
Ortsdurchfahrt?<br />
Tangente an K parallel zu g = (AB):<br />
Bedingung: f' x mg<br />
0,5<br />
y-Koordinate:<br />
2<br />
0,3x 0,6x 0,4 0,5<br />
2<br />
0,3x 0,6x 0,9 0 | <br />
10<br />
2<br />
3x 6x 9 0<br />
6 36439 612<br />
1<br />
xQ<br />
x1,2<br />
<br />
6 6 3 x<br />
y f 1 3,2.<br />
Q<br />
<br />
Ergebnis: In Q1|3,2 fährt das Auto einen Moment lang parallel zu (AB).<br />
Ein Auto hat <strong>de</strong>n maximalen Abstand von g, wenn sich es sich im Punkt Q befin<strong>de</strong>t, dann<br />
anschließend bringt es die Linkskurve wie<strong>de</strong>r näher an die Ortsdurchfahrt heran.<br />
Maximaler Abstand:<br />
1. Metho<strong>de</strong>: Lot von Q auf g.<br />
Steigung <strong>de</strong>s Lots:<br />
1 1<br />
mL<br />
2<br />
m 0,5<br />
Lotgera<strong>de</strong> L: y3,2 2x 1<br />
y 2x<br />
1,2<br />
Schnitt von L und g: 2x 1,2 0,5x 0,5<br />
0,7<br />
2,5x 0,7 x<br />
S<br />
0,28<br />
2,5<br />
y 2 0,28 1,2 0,64<br />
g<br />
S <br />
Schnittpunkt: S<br />
0,28|0,64<br />
Maximaler Abstand:<br />
2 2<br />
2 2<br />
dmax<br />
x y 10,28 3,2 0,64 2,86 km<br />
2. Metho<strong>de</strong>: Extremwertaufgabe mit Distanzfunktion (CAS) zu Q1|3,2:<br />
<br />
1 1<br />
Es sei Fu|gu <br />
ein beliebiger Punkt auf <strong>de</strong>r Gera<strong>de</strong>n g: y x<br />
2 2<br />
Distanzfunktion: <br />
Definitionsbereich: 3 u 3<br />
Bed.:<br />
A<br />
<br />
2<br />
2<br />
2 1 1<br />
2<br />
2 2<br />
du QF (u1) gu 3,2 (u1) u 3,2<br />
<br />
d' u 0 ergibt u = - 0,28<br />
Kontrolle: d'' 0,28<br />
0 Max.<br />
Minimale Distanz: d( 0,28) 2,86<br />
Randwerte: d3 d3<br />
0< 2,96<br />
Also liegt ein absolutes Maximum vor.<br />
DEMO für www.mathe-<strong>cd</strong>.<strong>de</strong><br />
Lotfußpunkt auf g: g0,28 0,64 F<br />
0,28 | 0,64<br />
Ergebnis:<br />
Ein Fahrzeug auf <strong>de</strong>r Umgehungsstraße hat<br />
höchstens etwa 2,86 km Abstand von <strong>de</strong>r Ortsdurchfahrt (AB).<br />
Friedrich Buckel<br />
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70200 Abitur BW – Analytische Geometrie Wahlaufgaben 1 99<br />
Lösung 2012 -Aufgabe I 2<br />
a) f hat die Perio<strong>de</strong> <br />
und die Amplitu<strong>de</strong> 0,5.<br />
Größter Unterschied zwischen <strong>de</strong>n Funktionswerten:<br />
Differenz <strong>de</strong>r Funktionswerte:<br />
d x g x f x sin x sin x<br />
Ableitungen:<br />
2<br />
1<br />
d' x cosx2sinx<br />
cosx<br />
2 2<br />
d'' x sinx2 cos x<br />
sin x<br />
Extremwertbedingung:<br />
<br />
d' x<br />
0<br />
<br />
cosx12 sinx<br />
0<br />
1<br />
1. Faktor: cosx<br />
0 für x <br />
<br />
in 0 x <br />
cos x 2 sin x cos x 0<br />
1 2<br />
2. Faktor: <br />
1<br />
12sin x 0 sin x <br />
x 0,52<br />
1<br />
2 6<br />
5<br />
3 6<br />
x 2,62<br />
Kontrollen: 1 2 2<br />
1 1 1 <br />
2 2 2 2 <br />
2 2<br />
<br />
<br />
<br />
d'' sin 2 cos sin 12 01 12 0 Min.<br />
2<br />
<br />
1 1 1 1 1 1<br />
2 1 2<br />
d'' sin 2 cos sin 2 3 <br />
<br />
0<br />
6 6 6 6 2 2 2 Max.<br />
<br />
<br />
2<br />
2 2<br />
2<br />
d'' 5 sin 5 2 cos 5 sin 5 1 2 1 3 1 <br />
6 6 6 6 2 <br />
2 2<br />
0<br />
Max.<br />
<br />
<br />
Maximalwerte: d sin sin <br />
Randwerte:<br />
Ergebnis:<br />
2<br />
1 1 1 1 1<br />
2<br />
1 1 1<br />
<br />
6 6 6 2 2 2 4 4<br />
<br />
2<br />
5 5 5 1 1<br />
2<br />
1 1 1<br />
<br />
6 6 6 2 2 2 4 4<br />
d sin sin<br />
d0 0 und <br />
d 0.<br />
Der absolut größte Unterschied zwischen <strong>de</strong>n Funktionswerten liegt an <strong>de</strong>n Stellen<br />
1<br />
5<br />
x 0,52 und x 2,62 vor. Er beträgt jeweils genau 1 0,25 .<br />
4<br />
2 6<br />
3 6<br />
b) Für welchen Wert von t schnei<strong>de</strong>n sich die Graphen von f und g t im Ursprung unter einem<br />
Winkel von 45°?<br />
DEMO für www.mathe-<strong>cd</strong>.<strong>de</strong><br />
Der Schnittwinkel wird aus <strong>de</strong>n Tangentensteigungen berechnet, also benötigt man die<br />
Ableitungen:<br />
sinx 2<br />
f' x 2sinx cosx<br />
<br />
f x<br />
t<br />
f ' 0 2 sin 0 cos 0 0<br />
<br />
g' x t cosx. <br />
g x t sin x<br />
Ein Schnittwinkel von 45 O liegt dann vor, wenn<br />
g' 0 tcos 0 t<br />
<br />
g' 0<br />
1 ist, also für t = 1.<br />
0<br />
1<br />
Friedrich Buckel<br />
www.mathe-<strong>cd</strong>.<strong>de</strong>
70200 Abitur BW – Analytische Geometrie Wahlaufgaben 1 100<br />
Fläche zwischen <strong>de</strong>m Graphen von f und <strong>de</strong>r x-Achse:<br />
<br />
2 1<br />
<br />
<br />
A sin x dx<br />
f 2<br />
0<br />
<br />
(Entwe<strong>de</strong>r <strong>de</strong>r Formelsammlung entnommen, o<strong>de</strong>r Berechnung mit CAS o<strong>de</strong>r partieller Integration,<br />
siehe Text 48016 Seite 12)<br />
Fläche zwischen <strong>de</strong>m Graphen von g t und <strong>de</strong>r x-Achse:<br />
<br />
<br />
<br />
A t tsin x dx tcos x tcos cos 0 t 1 1<br />
2t<br />
g 0<br />
0<br />
1 1<br />
Bedingung: A A t 2t t 0,785<br />
f g 2 4<br />
Mit geeigneten Rechnern, muss man eigentlich nicht mehr selbst rechnen, son<strong>de</strong>rn nur noch einen<br />
Apparat bedienen, <strong>de</strong>nn dieser kann diese Gleichung lösen:<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
sin x dx t sin x dx<br />
0 0<br />
Screenshot von TI Nspire CAS.<br />
c) Gleichung <strong>de</strong>r an y = 2 gespiegelten Kurve.<br />
Es sei Px| y und <strong>de</strong>r Bildpunkt P' x | y' <br />
<br />
y<br />
y'<br />
Dann gilt: 2 yy' 4 y' 4<br />
y<br />
2<br />
Also hat K' die Gleichung: y 4<br />
sin x<br />
Volumen <strong>de</strong>s Drehkörpers:<br />
<br />
Man verschiebt K um 2 LE nach unten und lässt diese<br />
Kurve dann rotieren:<br />
Der Bo<strong>de</strong>n befin<strong>de</strong>t sich an <strong>de</strong>r engsten Stelle, also<br />
beim Hochpunkt, d.h. bei x 1,57<br />
5,2<br />
2<br />
<br />
V sin x 2 dx 57,84 VE<br />
1,57<br />
Da 1 LE 2,5 cm entspricht, be<strong>de</strong>utet 1 VE = 2,5 3 =15,625 cm 3 .<br />
3 3 3<br />
Daher kann <strong>de</strong>r Pokal V 57,842,5 cm 904cm aufnehmen, also weniger als<br />
1 Liter = 1 dm 3 = 1000 cm 3 .<br />
DEMO für www.mathe-<strong>cd</strong>.<strong>de</strong><br />
Friedrich Buckel<br />
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70200 Abitur BW – Analytische Geometrie Wahlaufgaben 1 101<br />
Lösung 2012 -Aufgabe I 3<br />
0,2t 0,8t<br />
a) Gegeben ist f durch ft 130 e e <br />
(t in Stun<strong>de</strong>n nach <strong>de</strong>r Injektion, f(t) in mg).<br />
Rechts eine Wertetafel und<br />
ein Schaubild, erstellt mit<br />
CASIO ClassPad CAS.<br />
Wann sind min<strong>de</strong>stens 36 mg<br />
Wirkstoff im Blut?<br />
Bed.<br />
ft<br />
36<br />
0,2t 0,8t<br />
d. h. <br />
130 e e 36<br />
Die Schnittstellen liegen bei<br />
t1<br />
0,63 und t 2<br />
6,3<br />
(Siehe Rechner-Screenshot)<br />
Das Medikament wirkt also ab etwa<br />
0,63 h 0,63 60 min 38 min<br />
bis etwa 6,3h 6h18min nach <strong>de</strong>r Injektion.<br />
Stärkste Zunahme und Abnahme:<br />
Berechnung <strong>de</strong>r Extremstellen von f':<br />
Notwendige Bedingung: f'' t 0.<br />
Der Rechner liefert<br />
Hinreichen<strong>de</strong> Bedingung:<br />
<br />
0 t 24<br />
20<br />
3<br />
<br />
<br />
t ln 2 7,32<br />
<br />
20<br />
3<br />
Also hat f' bei etwa 7,3 ein Minimum,<br />
also die stärkste Abnahme.<br />
<br />
f ''' ln 2 1,238 0<br />
Und diese stärkste Abnahme hat <strong>de</strong>n Wert -7,74<br />
Randwert-Untersuchung:<br />
Ergebnis:<br />
<br />
<br />
Am linken Rand ist f' 0 78,<br />
am rechten Rand lim f ' t 0<br />
t<br />
DEMO für www.mathe-<strong>cd</strong>.<strong>de</strong><br />
Der stärkste Zunahme <strong>de</strong>s Wirkstoffgehalts<br />
mg<br />
f' 0 78<br />
mg<br />
ist bei t = 0 mit h , die stärkste Abnahme bei 7,32 h mit f ' 7,32 7,74 h <br />
.<br />
Mittlere Wirkstoffmenge im Blut in <strong>de</strong>r Zeitspanne 0 bis 12 h:<br />
12<br />
1<br />
f t f(t) dt 35,7<br />
12<br />
(mg)<br />
0<br />
Friedrich Buckel<br />
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70200 Abitur BW – Analytische Geometrie Wahlaufgaben 1 102<br />
0,05 t<br />
b) Wirkstoffmenge (Infusion): g t 80 1 e <br />
<br />
t 0<br />
t in Minuten seit lnfusionsbeginn, g(t) in mg.<br />
Langfristige Wirkstoffmenge:<br />
t<br />
<br />
lim g t 80<br />
lim e 0<br />
0,05 m t<br />
, <strong>de</strong>nn <br />
t<br />
Ableitung:<br />
Manuell: <br />
Es<br />
g' t 0 für alle t, wächst g streng monoton.<br />
g' t 80 e 0,05 4<br />
e<br />
0,0t<br />
Die Än<strong>de</strong>rungsrate ist RT g' t 4 e ?<br />
mg<br />
Wann gilt: Rt 1 min<br />
<br />
?<br />
0,0t<br />
4e 1<br />
0,05 t 1<br />
e <br />
4<br />
1<br />
<br />
4<br />
0,05 t 0,05 t<br />
<br />
0,05 t ln ln 4<br />
ln(4)<br />
t 27,7 (min)<br />
0,05<br />
Wirkstoffzunahme in einem 15-Minuten-Intervall:<br />
Die Abb. zeigt zwei Beispiele solcher Intervalle.<br />
Weil die Kurve Rechtskrümmung hat, nimmt die<br />
Zunahme nach rechts ab. Im Intervall 20 ; 35 ,<br />
also vom Zustandspunkt A bis B beträgt sie<br />
etwa 16 mg, im Intervall 40 ; 55 , also von C<br />
bis D beträgt sie etwa 6 mg.<br />
Wo beträgt sie 30 mg?<br />
Bedingung: gt 15gt 30<br />
Rechner-Ergebnis:<br />
Die Rechner-Lösung ergibt, dass t 6,8 min<br />
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beträgt.<br />
Das Intervall-En<strong>de</strong> ist dann 15-Minuten später: t* 21,8 min<br />
Die Abbildung zeigt dieses Intervall und die Zunahme um 30 mg,<br />
dargestellt durch <strong>de</strong>n Doppelpfeil a .<br />
Friedrich Buckel<br />
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70200 Abitur BW – Analytische Geometrie Wahlaufgaben 1 103<br />
c) Differenzialgleichung <strong>de</strong>s beschränkten Wachstums<br />
1. Möglichkeit: WISSEN, dass das beschränkte Wachstum stets durch eine<br />
Differenzialgleichung <strong>de</strong>r Form g' t k S gt<br />
beschrieben wird.<br />
(Sie be<strong>de</strong>utet nichts an<strong>de</strong>res, als dass das Sättigungsmanko S - g(t)<br />
proportional zur Wachstumsrate g‘(t) abnimmt.)<br />
Die gegebene Funktion gt 80 1 e 0,0t<br />
<br />
0,05 t 0,05 t<br />
in die DGl einsetzen: 4e k S801<br />
e <br />
Für S = 80 folgt:<br />
g' t 4<br />
e <br />
mit <strong>de</strong>r Ableitung <br />
0,05 t<br />
4e k80<br />
e<br />
0,05 t 0,05 t<br />
4 1<br />
Also muss gelten: 4 k80 k 0,05<br />
<br />
80 20<br />
Differenzialgleichung also: g' t 0,05 80 gt<br />
2. Möglichkeit: Man erzeugt durch Eliminieren von<br />
<br />
0,005 t<br />
e zwischen g(t) und g' t<br />
<br />
die Differenzialgleichung und vergleicht das Ergebnis mit <strong>de</strong>r typischen<br />
Form beim beschränkten Wachstum.<br />
0,05 t<br />
und ersetzt in gt 801<br />
e <br />
<br />
0,05 t<br />
Aus g' t 4 e <br />
0,05 t 1<br />
bil<strong>de</strong>t man e g'<br />
4<br />
t<br />
1<br />
So entsteht: gt 80 1 g't bzw. gt 8020g't<br />
<br />
Umstellen nach<br />
<br />
4<br />
g' t : 20 g' t 80 gt<br />
<br />
| : 20<br />
<br />
Im Vergleich mit g' t k S gt<br />
4 <br />
g' t 0,05 <br />
g<br />
t<br />
0,05<br />
<br />
<br />
<br />
g' t 4 0,05 g t<br />
erkennt man, dass man 0,05 ausklammern muss:<br />
bzw. g' t 0,05 80 gt<br />
Man erkennt die DGl eines beschränkten Wachstums mit S = 80 und k = 0,05.<br />
Der Aufgabentext besagt jetzt: Die Abbaurate ist dabei stets proportional zur Wirkstoffmenge im Blut.<br />
Wie groß ist die konstante Zufuhr <strong>de</strong>r Wirkstoffmenge pro Minute?<br />
Unter Abbaurate versteht man <strong>de</strong>n pro Minute im Körper abgebauten Wirkstoffanteil.<br />
Man än<strong>de</strong>rt die Differenzialgleichung g' t 0,05 80 gt<br />
so ab: g' t 4 0,05 gt<br />
Dann erkennt man, dass 4 (mg) gera<strong>de</strong> <strong>de</strong>r pro Minute zugeführte Wirkstoffanteil ist, und<br />
0,05 g<br />
t<br />
g' t .<br />
<strong>de</strong>r vom Körper absorbierte Anteil. Die Differenz ist die Wachstumsrate <br />
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Welche Wirkstoffmenge müsste man pro Minute zuführen, damit sich langfristig 90 mg im Blut<br />
befin<strong>de</strong>n?<br />
In <strong>de</strong>r Differenzialgleichung g' t k S gt<br />
gibt S <strong>de</strong>n Grenzwert <strong>de</strong>s Wachstums an.<br />
Dieser war bisher S = 80 mg. Er soll nun auf S = 90 mg erhöht wer<strong>de</strong>n.<br />
An<strong>de</strong>rerseits war g' t 0,05 80 gt<br />
bzw. g' t 4 0,05<br />
gt<br />
Schreibt man nun für die neue Infusions-Funktion g' t 0,05 90 gt<br />
Dann folgt: g' t 4,5 0,05 gt<br />
Das heißt, dass nunmehr pro Minute 4,5 mg zugeführt wer<strong>de</strong>n müssen.<br />
Friedrich Buckel<br />
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