70100 - Mathe-cd.de

Abiturprüfung
Baden-Württemberg
Wahlaufgaben
der Jahrgänge 2006 bis 2013
Datei 70100
Stand: 7. Juli 2013
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Friedrich Buckel
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70200 Abitur BW – Analytische Geometrie Wahlaufgaben 1 2
Hinweis
Die Aufgaben der Hauptprüfung des Abiturs bestehen in Baden-Württemberg in diesen Jahren aus
drei Teilen:
Teil 1: Pflichtaufgaben Analysis (5 Aufgaben) und Vektorgeometrie (3 Aufgaben)
Man findet sie mehrfach eingeordnet in die Sammlungstexte
71101 (Pflicht Analysis 1 – 2004 bis 2012 mit Lösungen)
72101 (Pflicht Geometrie 1 – 2004 bis 2012 mit Lösungen)
Teil 2: Wahlaufgaben Analysis. Text 70100,
bestehend jeweils aus den Aufgaben I.1, I.2 und I.3 (Dieser Text)
Teil 3: Wahlaufgaben Analytische Geometrie.
Sie findet man im Text 70200,
bestehend aus den Aufgaben II.1, und II.2.
Aufgrund der unterschiedlichen Regelungen betreffend die Verwendung von Rechnern an den
einzelnen Schulen, ist es kaum mehr möglich eine einheitliche Lösung zu erstellen. Meine
Texte werden in allen Bundesländern gelesen und sollten daher möglichst alle Wünsche
erfüllen. Dies ist für Schüler wichtig
Daher gehe ich neuerdings so vor (dies betrifft nicht ältere Lösungen):
Viele Aufgabenteile werden traditionell „manuell“ gelöst (natürlich unter Verwendung von
Taschenrechnern zur Ermittlung der Ergebnisse. Dies ist vor allem für diejenigen wichtig,
die auch verstehen wollen, wie „das“ eigentlich gerechnet wird.
Sehr oft füge ich Screenshots und Anleitungen für CAS-Rechner bei, die ja immer mehr
eingesetzt werden. Dies mache ich auch bei Aufgaben, die nicht für CAS vorgesehen sind.
Ich verwende abwechslungsweise TI Nspire CAs und CASIO ClassPad.
Ab und zu zeige ich auch graphische Lösungen, die vor allem von Schülern verwendet
werden dürfen, die mit Grafikrechnern (GTR) arbeiten.
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In manchen Aufgaben weise ich auch alle drei Optionen hin.
Generell denke ich, dass jeder aus den vorhandenen Lösungswegen und auch Ergebnissen erkennen
kann, wie er vorgehen muss, bezogen auf seine Möglichkeiten.
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70200 Abitur BW – Analytische Geometrie Wahlaufgaben 1 3
Inhaltsverzeichnis
Aufgabe
Lösung
2006 I.1
120 x 120
f x
10
2
x 120 7200
2
Skisprungschanze 5 30
I.2.1
fx
4sin x
12
6 32
2007 I.1 fx
I.2.2 f x sinax
a
1
6 34
a
0,5 t
I.3 f t 20t e Wirkstoff-Konzentration 7 36
I.2 fx
30x 800
x
5
4
2 cos x
2
Kostenfunktion 8 39
9 44
2 0,12 t
I.3 f t 0,27t e Warteschlange 10 48
3 2
2008 I.1.1 f x 0,125x 0,75x 3,125 Stausee 11 51
I.1.2
g x
2009 I.1.1
1
Ableitungen vollständige Induktion 11 54
1 2x
f x 8sin
x8,5 21
12
I.2
Tagestemperatur 12 55
0,01 t
I.3.1 f t 1000 800 e Wasserzulauf 13 60
I.3.2 an1 100,8 an
Konvergente Folge 13 64
I.1.2
I.2.1
f x 6
100
x 2 16 2
n 1
0 1 2 n 5 1
Eisenbahnbrücke 14 65
5 5 5 ... 5
Beweis vollst. Induktion 14 67
4
fx
2sin
x
2
2
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15 68
cos
I.2.2 H 100
Beleuchtungsfunktion 15 70
2
d
0,1 t
I.3 f t 36,5t e Fieberkurve 16 71
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70200 Abitur BW – Analytische Geometrie Wahlaufgaben 1 4
120
f x 2
x 20
2010 I.1
2
I.2
2011 I.1 f x
Lärmschutzwall 17 74
f x 1 cos( x)
Minigolfbahn 18 77
t 2t
I.3 v t 960 e 960 e Motorboot 19 81
x
a 3
4
4a
I.2.1
12
Düse 20 84
w t 50sin t 60 Schneeschmelze 21 88
I.2.2
f x asin ax a
21 90
a
2 0,2 t
I.3 f t 150t e Virusepidemie, DGl 22 92
3 2
2012 I.1 f x 0,1x 0,3x 0,4x 3,2 Ortsumgehung 23 96
I.2 fx sinx 2
Pokal 24 99
0,2t 0,8t
I.3 f t 130 e e
Wirkstoff im Blut, DGl 25 101
2013 I.1 26 104
I:2.1 27
I.2.2 28
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70200 Abitur BW – Analytische Geometrie Wahlaufgaben 1 5
Abitur BW 2006 - Aufgabe I 1
a) Gegeben ist die Funktion f durch
120 x 120
fx
10
2
x 120 7200
2
für 0 x 130
Ihr Schaubild sei K.
Skizzieren Sie K.
2
Das Schaubild C einer weiteren Funktion g mit gx ax bx c enthält die Punkte
P 0|95 , P 10|95 und P 20|92 .
1
2
2
Bestimmen Sie die Koeffizienten a, b und c.
Skizzieren Sie C im ersten Feld des vorhandenen Koordinatensystems.
2
(Teilergebnis: gx 0,015x 0,15x 95 ) (5 VP)
Eine Skisprunganlage besteht aus Sprungschanze und Aufsprunghang.
Das Schaubild K beschreibt das Profil des Aufsprunghangs, die Kurve C die Flugbahn des
Skispringers. Der Absprung erfolgt bei x = 0 (alle Angaben in Meter).
b) Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes, an dem der Springer auf dem Aufsprunghang
aufsetzt.
Wie groß ist die maximale vertikal gemessene Höhe des Springers über dem Aufsprunghang?
(5 VP)
c) Der Wendepunkt W71|40 von K entspricht dem „kritischen Punkt“ des Aufsprunghangs.
Mögliche Flugbahnen des Skispringers werden nun durch die Schaubilder der Funktionen g k mit
2
gk
x 0,015x kx
95
beschrieben.
Welchen Wert darf der Parameter k höchstens annehmen, damit der Springer mit dieser
Flugbahn nicht hinter dem kritischen Punkt landet?
(4 VP)
d) Beim Umbau dieser Schanze soll das Profil des Aufsprunghangs verändert werden.
Er soll nach dem Umbau durch die Funktion h mit
3 2
hx 0,00010,125x 225x 2150x 900.000
mit 0 x 130
beschrieben werden.
Muss zur Realisierung des neuen Profils insgesamt Erde weggefahren oder angeliefert
werden, wenn angenommen wird, dass der Aufsprunghang überall gleich breit ist?
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(4 VP)
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70200 Abitur BW – Analytische Geometrie Wahlaufgaben 1 6
Aufgabe I 2.1
Abitur BW 2006 - Aufgabe I 2
Gegeben ist die Funktion f mit
fx
4sin x
12
für 0 x 12
Ihr Schaubild sei K.
a) Skizzieren Sie K.
Geben Sie die Anzahl der gemeinsamen Punkte von K mit der Geraden y = mx in Abhängigkeit
von m an.
(4 VP)
b) Bestimmen Sie die Seitenlängen des flächengrößten Rechtecks, bei dem zwei Ecken auf der
x-Achse und die beiden anderen Ecken auf K liegen.
(5 VP)
Aufgabe I 2.2
Für jedes a > 0 ist eine Funktion f a gegeben durch
1
fa
x sinax
für x
a
a) Wie wirkt sich eine Veränderung des Parameters a auf das Schaubild von f a aus?
Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die das Schaubild von f a mit der x-Achse zwischen zwei
benachbarten Nullstellen einschließt.
(4 VP)
b) Das Schaubild von f 0,5 schließt im Bereich 0 x 2 mit der x-Achse eine Fläche ein.
Eine Parallele zur x-Achse durch den Kurvenpunkt Pz|f 0,5 z
halbiert diese Fläche.
Bestimmen Sie z.
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(5 VP)
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70200 Abitur BW – Analytische Geometrie Wahlaufgaben 1 7
Abitur BW 2006 - Aufgabe I 3
0,5 t
Durch f t 20t e wird die Konzentration eines Medikaments im Blut eines Patienten
beschrieben. Dabei wird t in Stunden seit der Einnahme und f(t) in mg
L
gemessen.
Die folgenden Betrachtungen sind nur für die Zeitspanne der ersten 12 Stunden nach der Einnahme
des Medikaments durchzuführen.
a) Skizzieren Sie den zeitlichen Verlauf der Konzentration.
Nach welcher Zeit erreicht die Konzentration ihren höchsten Wert?
Wie groß ist dieser höchste Wert?
Das Medikament ist nur wirksam, wenn seine Konzentration im Blut mindestens 4 mg beträgt.
L
Berechnen Sie die Zeitspanne, in der das Medikament wirksam ist.
Wie hoch ist die mittlere Konzentration innerhalb der ersten 12 Stunden?
(5 VP)
b) Zu welchem Zeitpunkt wird das Medikament am stärksten abgebaut?
Wie groß ist zum Zeitpunkt t = 4 die momentane Änderungsrate der Konzentration?
Ab diesem Zeitpunkt wird die Konzentration des Medikaments nun näherungsweise durch die
Tangente an das Schaubild von f an der Stelle t = 4 beschrieben.
Bestimmen Sie damit den Zeitpunkt, zu dem das Medikament vollständig abgebaut ist. (4 VP)
c) Anstelle der Näherung aus Teilaufgabe b) wird nun wieder die Beschreibung der Konzentration
durch f verwendet. Vier Stunden nach der ersten Einnahme wird das Medikament in der
gleichen Dosierung erneut eingenommen. Es wird angenommen, dass sich dabei die
Konzentration im Blut des Patienten addiert.
Skizzieren Sie den zeitlichen Verlauf der Gesamtkonzentration für 0 t 12 .
Die Konzentration des Medikaments im Blut darf 20 mg
L
Wird diese Vorgabe in diesem Fall eingehalten?
nicht übersteigen.
d) Das Medikament wird nun in seiner Zusammensetzung verändert. Die Konzentration des
Medikaments im Blut wird durch
bt
gt ate mit a > 0 und b > 0 beschrieben.
Dabei wird t in Stunden seit der Einnahme und g(t) in mg gemessen.
L
Bestimmen Sie die Konstanten a und b, wenn die Konzentration vier Stunden nach der
Einnahme ihren größten Wert 10 mg erreicht.
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L
(5 VP)
(4 VP)
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70200 Abitur BW – Analytische Geometrie Wahlaufgaben 1 8
Abitur BW 2007 - Aufgabe I 1
Die Herstellungskosten eines neuen Rheumamittels werden durch eine Funktion f mit
ax b
fx
, x R
0
.
x
5
modellhaft kalkuliert.
Hierbei gibt f(x) die Kosten in 10.000 € für die x-te Produktionseinheit an, wobei die Einheiten
nacheinander produziert werden.
Die fünfte Produktionseinheit kostet in der Herstellung 950.000 €, die zwanzigste nur noch 560.000 €.
a) Bestimmen Sie a und b. Skizzieren Sie das Schaubild von f.
Weisen Sie nach, dass die Herstellungskosten für eine Produktionseinheit im Laufe der Zeit
sinken.
Ab der wievielten Produktionseinheit sind die Herstellungskosten für eine Produktionseinheit
geringer als 400.000 €?
Mit welchen Herstellungskosten für eine Produktionseinheit muss man langfristig rechnen?
(Teilergebnis:
f x
30x 800
). (7 VP)
x
5
b) Ab der wievielten Produktionseinheit unterscheiden sich die Herstellungskosten von zwei
aufeinanderfolgenden Produktionseinheiten um weniger als 10.000 €?
Jede Produktionseinheit besteht aus 10.000 Packungen. Wie hoch muss der Verkaufspreis
für eine Packung sein, damit die Einnahmen aus den ersten 100 verkauften Produktionseinheiten
ihren Herstellungskosten entsprechen?
(5 VP)
Bei klinischen Studien wird dieses Rheumamittel Patienten, die den Wirkstoff bisher nicht im Blut
hatten, zugeführt und die Menge des Wirkstoffs im Blut gemessen.
c) Ein Patient erhält alle 6 Stunden eine Spritze mit 50 mg Wirkstoff. Bis zur nächsten Spritze
hat der Körper 18% des im Blut vorhandenen Wirkstoffs abgebaut.
Beschreiben Sie mittels einer rekursiv definierten Folge, wie viel Wirkstoff sich jeweils direkt
nach Verabreichung einer Spritze im Blut befindet.
Welche Wirkstoffmenge befindet sich direkt nach der fünften Spritze im Blut?
In welchem Bereich schwankt die Wirkstoffmenge im Blut langfristig?
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Skizzieren Sie den zeitlichen Verlauf der im Blut vorhandenen Wirkstoffmenge für die ersten
24 Stunden. (6 VP)
Hinweise: 1. Zahlenfolgen, wie sie in Teilaufgabe c) vorkommen sind seit 2012 nicht mehr
Prüfungsstoff in BW.
2. Diese Aufgabe steht noch einmal in einem Text über Anwendungsaufgaben zu
gebrochen rationalen Funktionen (Nr. 43200). Dort wurde sie durch viele
Zusatzaufgaben zu exponentiellen Zunahme des Wirkstoffs im Blut ergänzt.
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70200 Abitur BW – Analytische Geometrie Wahlaufgaben 1 9
Abitur BW 2007 - Aufgabe I 2
Die Funktion f ist durch
gegeben. Ihr Schaubild ist K.
f x
4
2 cos x
2
für x
a) Skizzieren sie K im Intervall [-4 ; 4].
Begründen Sie, dass die maximale Definitionsmenge von f ist.
Geben Sie die Wertemenge von f an.
Bestimmen Sie die Periode von f.
Geben Sie alle Hoch- und Tiefpunkte von K an.
(7 VP)
b) Im Intervall [-2;2] soll f durch eine ganzrationale Funktion g vom Grad 2 angenähert werden, die
mit f an den Stellen -2, 0 und 2 übereinstimmt.
Bestimmen Sie einen geeigneten Funktionsterm für g.
An welchen Stellen des Intervalls [-2;2] weicht die Näherungsfunktion g am stärksten von der
Funktion f ab?
Wie groß ist die Abweichung an diesen Stellen?
Wie groß ist im Mittel der Betrag der Abweichung von f und g im angegebenen Intervall? (6 VP)
c) Das Schaubild K rotiert im Intervall [0;4] um die Gerade mit der Gleichung y
4
.
3
Berechnen Sie das Volumen des entstehenden Rotationskörpers.
4
Das Schaubild K wird an der durch die Gleichung y gegebenen Geraden gespiegelt.
3
Geben Sie die Gleichung des gespiegelten Schaubilds an.
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(5 VP)
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70200 Abitur BW – Analytische Geometrie Wahlaufgaben 1 10
Abitur BW 2007 - Aufgabe I 3
Die momentane Ankunftsrate an einem Kino – also die Anzahl der ankommenden Personen pro
Minute – soll modellhaft beschrieben werden durch die Funktion f mit
2 0,12 t
ft 0,27t e
Dabei ist t die Zeit in Minuten seit 19.00 Uhr und f(t) die Anzahl der ankommenden Personen pro
Minute. Vor 19.00 Uhr befinden sich noch keine Besucher am Kartenschalter.
a) Skizzieren Sie das Schaubild von f.
Wann kommen die meisten Besucher pro Minute zum Kartenschalter, wie viele sind das?
Ab wann kommen weniger als drei Personen pro Minute zum Kino?
b) Zeigen Sie, dass die Anzahl der angekommenen Personen durch die Funktion g mit
g t 312,5 2,25t 2 37,5t 312,5 e 0,12t
beschrieben wird.
Wie viele Personen kommen nach diesem Modell höchstens zum Kino?
c) Um 19.20 Uhr öffnet der Kartenschalter des Kinos. Pro Minute können durchschnittlich für 6
Personen Karten ausgegeben werden.
Mit welcher Wartezeit muss eine Person rechnen, die um 19.20 Uhr zum Kino kommt?
Wann ist die Anzahl der Wartenden am größten?
Wie viele Besucher warten dann?
Wann hat sich die Warteschlange aufgelöst?
d) Durch eine Verzögerung öffnet der Kartenschalter erst um 19.50 Uhr. Wie viele Personen
müssen jetzt mindestens pro Minute am Schalter abgefertigt werden, damit die Warteschlange
um 20.30 Uhr abgebaut ist?
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70200 Abitur BW – Analytische Geometrie Wahlaufgaben 1 11
Aufgabe I 1.2:
Abitur BW 2008 - Aufgabe I 1
Ein Tal in den Bergen wird nach Westen von einer steilen Felswand, nach Osten von einem flachen
Höhenzug begrenzt. Der Querschnitt des Geländes wird beschrieben durch das Schaubild der
Funktion f mit
3 2
f x 0,125x 0,75x 3,125 im Bereich 2,5 x 5 ,
dabei weist die positive x-Achse nach Osten (1 LE entspricht 100 m).
a) Skizzieren Sie den Querschnitt des Geländes.
Berechnen Sie die Stelle, an der die östliche Talseite am steilsten ist, und dann die Stelle, an
der die westliche Talseite gleich steil ist.
Quer zum Tal befindet sich in West-Ost-Richtung eine Staumauer. Vom tiefsten Punkt des Tals
aus gemessen ist sie 312,5 m hoch.
Berechnen Sie die Breite der Staumauer an ihrer Oberkante.
Bevor das Wasser aufgestaut wird, muss die dem See zugewandte Seite der Staumauer
versiegelt werden. Bestimmen Sie den Inhalt dieser Fläche.
(8 VP)
b) In der Talsohle befindet sich ein Dorf, das bereits nachmittags im Schatten liegt. Nach dem
Vorbild des italienischen Ortes Viganella soll auf dem höchsten Punkt des Höhenzugs östlich
des Dorfes ein Gerüst mit einem drehbaren Spiegel zur Reflexion von Sonnenlicht aufgestellt
werden. Auch hier wird der Querschnitt des Geländes durch das Schaubild der Funktion f
beschrieben.
Bestimmen Sie die Mindesthöhe dieses Gerüstes, bei der das Sonnenlicht den tiefsten Punkt
des Geländequerschnitts erreichen kann.
Wie hoch müsste das Gerüst werden, damit der gesamte Geländequerschnitt zwischen Dorf
und Gerüst beleuchtet werden kann?
(6 VP)
Aufgabe I 1.2:
Die Funktion g ist gegeben durch
(Ab 2012 kein Prüfungsstoff mehr in BW)
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g x
1
x 0,5-
1 2x
Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass g für alle n 1 die n-te Ableitung
n
(n)
2
g x
n!
n 1
1
2x
Besitzt, wobei n! 12 3 ... n 1 n ist, für n 1 gilt. (4 VP)
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70200 Abitur BW – Analytische Geometrie Wahlaufgaben 1 12
Abitur BW 2008 - Aufgabe I 2
Der Temperaturverlauf außerhalb eines Hauses während eines Tages kann durch eine Funktion f mit
fx 8sin
x8,5
21
12
für 0 x 24
beschrieben werden (x in Stunden, f(x) in °C).
Die Abbildung zeigt das Schaubild K f von f sowie den innerhalb des Hauses gemessenen
Temperaturverlauf K g .
a) Berechnen Sie, zu welchen Uhrzeiten die Außentemperatur minimal bzw. maximal ist.
Wie viele Stunden an diesem Tag beträgt die Außentemperatur höchstens 22°C?
Wann ist der Temperaturanstieg im Freien am größten?
Bestimmen Sie die durchschnittliche Temperatur im Freien zwischen 6 und 18 Uhr.
(5 VP)
b) Bestimmen Sie einen Term der Funktion g, der den Temperaturverlauf K g wiedergibt.
Beschreiben Sie, wie K g aus dem Schaubild der Sinusfunktion mit y =sin x entsteht.
Geben Sie eine mögliche Ursache für die zeitliche Verschiebung der beiden Temperaturverläufe
K f und K g an.
Zu welcher Uhrzeit ist der Unterschied zwischen Innen- und Außentemperatur am größten?
(7 VP)
c) Für den folgenden Tag wird vermutet, dass der Temperaturverlauf außerhalb des Hauses durch
eine Funktion h mit
hx 10sin
x8,5
axb
12
mit 24 x 48
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beschrieben werden kann (x in Stunden, h(x) in °C). Dabei stimmen zum Zeitpunkt x = 24
sowohl die durch f und h beschriebenen Temperaturen als auch ihre momentanen
Änderungsraten überein. Ermitteln Sie a und b.
Begründen Sie, warum die durchschnittliche Außentemperatur am zweiten Tag nur durch den
Term ax+b bestimmt wird.
(6 VP)
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70200 Abitur BW – Analytische Geometrie Wahlaufgaben 1 13
Aufgabe I 3.1
Abitur BW 2008 - Aufgabe I 3
Ein Behälter hat ein Fassungsvermögen von 1200 Liter. Die enthaltene Flüssigkeitsmenge zum
Zeitpunkt t wird beschrieben durch die Funktion f mit
0,01 t
für t 0
f t 1000 800 e
(t in Minuten, f(t) in Litern)
a) Zu welchem Zeitpunkt ist der Behälter zur Hälfte gefüllt?
Zeigen Sie, dass die Flüssigkeitsmenge im Behälter stets zunimmt.
Bestimmen Sie die mittlere Flüssigkeitsmenge während der ersten Stunde.
Aus Sicherheitsgründen darf die Flüssigkeitsmenge höchstens 85% des Fassungsvermögens
betragen. Wird diese Vorschrift zu jeder Zeit eingehalten? Begründen Sie Ihre Antwort. (6 VP)
b) In einem anderen Behälter mit einem Zufluss und einem Abfluss befinden sich zu Beginn
ebenfalls 200 Liter Flüssigkeit. Einerseits fließen pro Minute 10 Liter zu, andererseits beträgt
die momentane Abflussrate 1% des jeweiligen Inhalts pro Minute. Dieser Vorgang wird durch
die Differenzialgleichung
B' t ab
B t
beschrieben. Geben Sie a und b an.
Zeigen Sie, dass f eine Lösung dieser Differenzialgleichung ist.
(3 VP)
c) Der Vorgang in b) wird nun so geändert, dass pro Minute 12 Liter zufließen und die momentane
Abflussrate 2% des Inhalts pro Minute beträgt. Die anfängliche Flüssigkeitsmenge ist wiederum
200 Liter.
Ermitteln Sie einen Funktionsterm, der diesen Vorgang beschreibt.
Welche Flüssigkeitsmenge ist nach einer Stunde aus diesem Behälter abgeflossen? (5 VP)
Aufgabe I 3.2 (Ab 2012 kein Prüfungsstoff mehr in BW)
Die Folge (a n ) ist gegeben durch
a 0 = 5, an1
100,8 an
für n .
50 ist eine obere Schranke dieser Folge.
Zeigen Sie damit, dass die Folge monoton wachsend ist.
Begründen Sie, dass die Folge konvergiert. Berechnen Sie den Grenzwert exakt.
(4 VP)
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70200 Abitur BW – Analytische Geometrie Wahlaufgaben 1 14
Aufgabe I 1.1
Abitur BW 2009 - Aufgabe I 1
Gegeben ist eine Funktion f mit
f x 6
100
x 2 16 2
.
a) Geben Sie sämtliche Asymptoten des Schaubilds von f an.
Geben Sie die Nullstellen von f an.
Skizzieren Sie das Schaubild von f samt Asymptoten für 7 x 7.
Weisen Sie nach, dass f genau eine Extremstelle besitzt.
Das Schaubild von f, die x-Achse und die Gerade y 7 begrenzen im Bereich 7 x 7 eine
Fläche. Diese Fläche stellt die Seitenansicht einer 14 m langen, 7 m hohen und 10 m breiten
Steinbrücke dar.
(6 VP)
b) Wie viele Kubikmeter Stein wurden für die Brücke verbaut? (4 VP)
c) Unter dem Brückenbogen fährt mittig ein Zug hindurch. Sein Querschnitt kann als
Rechteck der Breite 3 m und der Höhe 4 m angesehen werden.
Wie nah kommt der Zug der gewölbten Wandfläche?
Aufgabe I 1.2
Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion die Gültigkeit der folgenden Gleichung für alle n 1:
n 1
0 1 2 n 5 1
5 5 5 ... 5
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4
(4 VP)
(4 VP)
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70200 Abitur BW – Analytische Geometrie Wahlaufgaben 1 15
Abitur BW 2009 - Aufgabe I 2
Gegeben ist die Funktion f durch
Ihr Schaubild ist K.
fx
2sin
x
2
2
a) Skizzieren Sie K im Intervall [0;4]. (Längeneinheit 2 cm empfohlen)
Geben Sie die Periode von f an.
Geben Sie alle Hoch- und Tiefpunkte von K auf ganz an.
Für welche Werte von x nimmt f im Intervall [0;2] den Wert 1 an?
b) Die Funktion f kann auch in der Form fx
a cos(bx) dargestellt werden.
Bestimmen Sie a und b.
K und die x-Achse begrenzen zwischen benachbarten Nullstellen jeweils eine Fläche.
Berechnen Sie den Inhalt einer solchen Fläche exakt.
c) Das Schaubild einer ganzrationalen Funktion g dritten Grades hat in P1|2 einen
Hochpunkt und in Q2|0 einen Tiefpunkt.
Bestimmen Sie einen Funktionsterm für g.
An welchen Stellen im Intervall [1;2] weichen die Funktionswerte von f und g am stärksten
voneinander ab?
Aufgabe I 2.2
Zwei in gleicher Höhe h ( h 5 )
befestigte Lampen sollen einen
10 m langen Abschnitt eines ebenen
Spazierwegs beleuchten.
Lampe
Für die Maßzahl H der Helligkeit in der Mitte gilt
h
(5 VP)
(4 VP)
cos
H 100
(d in Meter).
2
d
In welcher Höhe müssen die Lampen befestigt werden, damit der Weg bei M möglichst hell
beleuchtet wird?
(4 VP)
d
5m
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M
5m
Lampe
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70200 Abitur BW – Analytische Geometrie Wahlaufgaben 1 16
Abitur BW 2009 - Aufgabe I 3
Die normale Körpertemperatur eines gesunden Menschen liegt bei 36,5°C.
Die Funktion f mit
0,1 t
f t 36,5t
e
beschreibt modellhaft den Verlauf einer Fieberkurve bei einem Erkrankten.
Dabei ist t 0 die Zeit in Stunden nach Ausbruch der Krankheit und f(t) die Körpertemperatur in °C.
a) Wann innerhalb der ersten 48 Stunden ist die Temperatur am höchsten?
Geben Sie diese Temperatur an.
Skizzieren Sie die Fieberkurve innerhalb der ersten 48 Stunden in einem geeigneten Ausschnitt
eines Koordinatensystems.
Zu welchen beiden Zeitpunkten innerhalb der ersten 48 Stunden nimmt die Körpertemperatur
am stärksten zu bzw. ab?
(6 VP)
b) Wann sinkt die Körpertemperatur unter 37°C?
Weisen Sie nach, dass die Temperatur ab diesem Zeitpunkt dauerhaft unter 37°C bleibt.
Bestimmen Sie die mittlere Körpertemperatur für den Zeitraum vom Krankheitsbeginn bis zu
diesem Zeitpunkt.
In welchem 2-Stunden-Zeitraum nimmt die Temperatur um ein Grad zu?
(7 VP)
c) Fünf Stunden nach Ausbruch der Krankheit erhält der Erkrankte ein Fieber senkendes
Medikament. Von diesem Zeitpunkt an sinkt die Temperatur nach der Gesetzmäßigkeit des
beschränkten Wachstums und nähert sich der normalen Körpertemperatur. Zwei Stunden nach
Einnahme des Medikaments beträgt die Temperatur 38,4°C.
Bestimmen Sie eine Funktion g, welche den weiteren Temperaturverlauf beschreibt.
Zu welchem Zeitpunkt nach der Einnahme des Medikaments ist die Körpertemperatur erstmals
um ein Grad niedriger, als sie ohne Medikament wäre?
(5 VP)
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70200 Abitur BW – Analytische Geometrie Wahlaufgaben 1 17
Abitur BW 2010 - Aufgabe I 1
Auf einem ebenen Gelände befindet sich ein geradliniger, 500 m langer Lärmschutzwall.
Das Profil seines Querschnitts wird beschrieben durch die Funktion f mit
120
fx 2
2
x 20
und
fx
0 (x und f(x) in Meter).
a) Wie breit ist der Wall an seinem Fuß?
Zeigen Sie, dass der Wall einen symmetrischen Querschnitt besitzt.
Der Wall soll begrünt werden. Um Erosion zu vermeiden, sollte das maximale Gefälle
der Böschung nicht größer als 100% sein.
Ist dies beim gegebenen Querschnittprofil der Fall?
(4 VP)
b) Berechnen Sie das Volumen des Lärmschutzwalls.
Es ist geplant, den Wall auf 3 m Höhe abzutragen, um darauf einen Fahrweg anzulegen.
Welche Breite hätte dieser Fahrweg?
Das abzutragende Material soll dazu verwendet werden, den abgeflachten Wall zu verlängern.
Um wie viel Meter würde er länger?
(6 VP)
c) Statt der Planung aus Teilaufgabe b) wird am ursprünglichen Wall die Erde so abgetragen,
dass der Fahrweg seitlich geneigt ist. Sein rechter Rand liegt 0,4 m höher als sein linker Rand.
Die Breite des Fahrwegs beträgt 4 m.
Bestimmen Sie den Winkel, um den der Fahrweg gegenüber der Horizontalen geneigt ist,
auf zwei Dezimalen genau.
In welcher Höhe befindet sich der linke Rand des Fahrwegs?
(5 VP)
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70200 Abitur BW – Analytische Geometrie Wahlaufgaben 1 18
Gegeben sind die Funktionen f und g durch
Abitur BW 2010 - Aufgabe I 2
und gx 1 4 x fx
f x 1 cos( x)
Ihre Schaubilder sind K f und K g .
, x R .
10
a) Geben Sie alle Nullsteilen der Funktion f an.
Beschreiben Sie, wie man K f aus dem Schaubild der Kosinusfunktion erhalten kann.
Skizzieren Sie K g für 0 x 4 . (5 VP)
Das Schaubild K g beschreibt im Bereich 0 x 4 die Seitenansicht einer Minigolfbahn,
die eine Doppelwelle als Hindernis enthält (Längenangaben in Meter).
Gespielt wird von links nach rechts.
b) Wie hoch liegt der höchste Punkt der Bahn?
An welcher Stelle der Bahn muss der Ball die größte Steigung überwinden?
Die Minigolfbahn ist 1,25 m breit. Nach einem schweren Regenguss steht das
Wasser zwischen den beiden Wellen 5 cm hoch.
Wie viele Liter Wasser haben sich dort gesammelt?
c) Ein Ball wird so fest geschlagen, dass er bei x = 0,5 tangential von der Bahn abhebt
und im Punkt P7|0 wieder auf dem Boden auftrifft.
Bestimmen Sie die maximale Höhe des Balls auf deiner parabelförmigen Flugbahn.
(5 VP)
(4 VP)
d) Das Hindernis der Minigolfbahn soll im gleichen Bereich neu gestaltet werden.
Das neue Hindernis soll drei jeweils 40 cm hohe Wellen erhalten.
Am Anfang und Ende soll das Hindernis waagrecht und auf der gleichen Höhe wie bisher
enden.
Bestimmen Sie einen Term einer Funktion, die den neuen Bahnverlauf beschreibt.
Vergleichen die durchschnittlichen Höhen der beiden Bahnen.
(4 VP)
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70200 Abitur BW – Analytische Geometrie Wahlaufgaben 1 19
Abitur BW 2010 - Aufgabe I 3
Ein Segelboot gleitet mit der konstanten Geschwindigkeit 160 m an einem ruhenden Motorboot
min
vorbei. Das Motorboot nimmt zu diesem Zeitpunkt Fahrt auf und fährt dem Segelboot hinterher.
Die Geschwindigkeit v(t) des Motorbootes ist für t > 0 stets positiv und wird durch
t 2t
v t 960 e 960 e ; t 0
beschrieben (Zeit t in min seit der Vorbeifahrt, Geschwindigkeit v(t) in m min )
a) Skizzieren Sie das Zeit-Geschwindigkeit-Schaubild des Motorbootes für die ersten fünf Minuten.
Bestimmen Sie die höchste Geschwindigkeit des Motorbootes in diesem Zeitraum.
Wann nimmt die Geschwindigkeit des Motorbootes in diesem Zeitraum am stärksten ab?
Welche mittlere Geschwindigkeit hat das Motorboot in den ersten fünf Minuten?
Wie lange fährt das Motorboot in diesem Zeitraum schneller als das Segelboot? (6VP)
b) Wie weit ist das Motorboot nach zwei Minuten gefahren?
Bestimmen Sie einen Term der Funktion, die den vom Motorboot zurückgelegten Weg in
Abhängigkeit von der Zeit beschreibt.
Legt das Motorboot nach diesem Modell mehr als 500 m zurück?
Zu welchem Zeitpunkt überholt das Motorboot das Segelboot?
(6VP)
c) Zum Zeitpunkt t O = 2,55holt das Segelboot das Motorboot wieder ein. Beide Boote verringern
ab diesem Moment ihre Geschwindigkeit. Ab dem Zeitpunkt t O wird die Geschwindigkeit des
Motorbootes durch die Tangente an das Schaubild der Funktion v an der Stelle t O beschrieben.
Wann kommt das Motorboot zum Stillstand?
Die Geschwindigkeit des Segelbootes kann ab dem Zeitpunkt t O ebenfalls durch eine Gerade
beschrieben werden. Das Segelboot kommt am gleichen Ort wie das Motorboot zum Stillstand.
Wann kommt das Boot zum Stillstand?
(6VP)
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70200 Abitur BW – Analytische Geometrie Wahlaufgaben 1 20
Für jedes a 0
Ihr Schaubild ist K a .
Abitur BW 2011 - Aufgabe I 1
ist eine Funktion f a gegeben mit f x
x
a 3
4
4a
a) Bestimmen Sie die maximale Definitionsmenge von f 2 .
Geben Sie die Asymptoten von K 2 an.
Das Schaubild K 2 besitzt genau zwei Wendepunkte. Bestimmen Sie deren Koordinaten.
Welcher Punkt Pu|v von K 2 mit 0 u 2 hat vom Punkt A1|0 den kleinsten Abstand?
(7 VP)
b) Zeigen Sie, dass K 2 mit keinem anderen Schaubild K a einen gemeinsamen Punkt besitzt.
Bestimmen Sie den Punkt Q a , in dem K a eine waagrechte Tangente besitzt.
Wo liegen alle Punkte Q a ?
(5 VP)
c) Die Schaubilder K 1 und K 2 schließen mit der y-Achse und der Geraden x = 2 eine Fläche ein.
Bei Rotation dieser Fläche um die x-Achse entsteht ein Drehkörper, der als Düse benutzt wird
(Längeneinheit 1 cm).
Berechnen Sie die Masse einer solchen Düse, die aus Titan mit einer Dichte von 4,5
3 cm
besteht.
Diese Düse wurde aus einem massiven Kegel mit der Höhe 3 cm und der x-Achse als
Rotationsachse ausgefräst
Welchen Radius hatte der Grundkreis dieses Kegels mindestens?
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g
(6 VP)
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70200 Abitur BW – Analytische Geometrie Wahlaufgaben 1 21
Abitur BW 2011 - Aufgabe I 2
Aufgabe I 2.1
Ein Staubecken wird zur Zeit der Schneeschmelze gefüllt. Da die Schneeschmelze
temperaturabhängig ist, kann die momentane Zuflussrate des Wassers durch die Funktion w mit
w t 50sin t 60 für 0 t 24
beschrieben werden (t in Stunden seit Beobachtungsbeginn,
12
m 3
h
w t in ).
a) ln welchem Zeitraum ist die momentane Zuflussrate größer als 100 ?
Zu welchem Zeitpunkt nimmt die momentane Zuflussrate am stärksten ab?
b) Zu Beobachtungsbeginn enthält das Staubecken 5000 m 3 Wasser.
Wie viel Wasser enthält es nach 24 Stunden?
Bestimmen Sie einen integralfreien Funktionsterm für die zum Zeitpunkt t im Staubecken
enthaltene Wassermenge.
Nach welcher Zeit sind 6000 m 3 Wasser im Becken?
Aufgabe I 2.2
Für jedes a > 0 ist eine Funktion f a gegeben durch
f x asin ax a , x R .
a
a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Hochpunkts H a von K a für 0 x pa
.
Ermitteln Sie eine Gleichung der Kurve, auf der alle diese Hochpunkte H a liegen.
b) Geben Sie in Abhängigkeit von a die Koordinaten des Wendepunkts W a von K a an,
der den kleinsten positiven x-Wert hat.
Die Tangente in W a an K a schließt mit den Koordinatenachsen eine Fläche ein.
Zeigen Sie, dass der Inhalt dieser Fläche unabhängig von a ist.
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m
h
3
(4 VP)
(5 VP)
(4 VP)
(5 VP)
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70200 Abitur BW – Analytische Geometrie Wahlaufgaben 1 22
Abitur BW 2011 - Aufgabe I 3
In einer großen Stadt breitet sich eine Viruserkrankung aus.
Die momentane Erkrankungsrate wird modellhaft beschrieben durch die Funktion f mit
2 0,2 t
ft 150t e für t 0
Dabei ist t die Zeit in Wochen seit Beobachtungsbeginn und f(t) die Anzahl der Neuerkrankungen pro
Woche.
a) Skizzieren Sie das Schaubild von f.
Wann erkranken die meisten Personen?
Zeigen Sie, dass ab diesem Zeitpunkt die momentane Erkrankungsrate rückläufig ist.
Wann nimmt sie am stärksten ab?
(6 VP)
b) Alle Neuerkrankungen werden sofort dem Gesundheitsamt gemeldet. Bei Beobachtungsbeginn
sind bereits 100 Personen gemeldet.
Wie viele Personen sind nach 12 Wochen insgesamt gemeldet?
Die Funktion F mit
F t 750 t 10t 50 e
2 0,2 t
ist eine Stammfunktion von f.
Geben Sie eine Funktion für die Gesamtzahl der gemeldeten Personen nach t Wochen an.
Wann wird die Zahl von 20.000 gemeldeten Personen erreicht?
Weisen Sie nach, dass die Anzahl der Meldungen unter 40.000 bleiben wird.
(6 VP)
In einer benachbarten Stadt mit 30.000 Einwohnern ist bei Beobachtungsbeginn bereits die Hälfte der
Einwohner an diesem Virus erkrankt. Es ist davon auszugehen, dass im Laufe der Zeit alle Einwohner
von der Krankheit erfasst werden und dass dabei die momentane wöchentliche Erkrankungsrate
proportional zur Anzahl der bisher noch nicht von der Krankheit erfassten Einwohner ist.
c) Man nimmt zur Modellierung zunächst den Proportionalitätsfaktor 0,1 an.
Gebe Sie eine zugehörige Differenzialgleichung an.
Bestimmen sie eine Funktion, welche die Anzahl der von der Krankheit erfassten Personen
beschreibt.
Wie viele Personen werden demzufolge nach 4 Wochen von der Krankheit erfasst sein?
Tatsächlich sind es nach 4 Wochen bereits 22.000 Personen.
Passen Sie die Funktion an die tatsächliche Situation an.
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(6 VP)
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70200 Abitur BW – Analytische Geometrie Wahlaufgaben 1 23
Abitur BW 2012 - Aufgabe I 1
Die Abbildung zeigt den Verlauf einer
Umgehungsstraße zur Entlastung der
Ortsdurchfahrt AB einer Gemeinde.
Das Gemeindegebiet ist kreisförmig mit dem
Mittelpunkt M und dem Radius 1 ,5 km.
Die Umgehungsstraße verläuft durch die
Punkte A und B und wird beschrieben
durch die Funktion f mit
3 2
f x 0,1x 0,3x 0,4x 3,2 .
1 LE entspricht 1 km. ·
a) Welche Koordinaten hat der nördlichste Punkt der Umgehungsstraße?
Wie weit ist dieser Punkt vom Ortsmittelpunkt M entfernt?
Die Umgehungsstraße beschreibt eine Linkskurve und eine Rechtskurve.
Bestimmen Sie den Punkt, in dem diese beiden Abschnitte ineinander übergehen.
Zeigen Sie, dass die Umgehungsstraße im Punkt A ohne Knick in die Ortsdurchfahrt
einmündet.
b) Zur Bewertung von Grundstücken wird die Fläche zwischen der Ortsdurchfahrt
und der Umgehungsstraße vermessen.
Wie viel Prozent dieser Fläche liegen außerhalb des Gemeindegebiets?
c) Im Punkt P1,5|3 befindet sich eine Windkraftanlage.
Ein Fahrzeug fährt von B aus auf der Umgehungsstraße.
Von welchem Punkt der Umgehungsstraße aus sieht der Fahrer die Windkraftanlage
genau in Fahrtrichtung vor sich?
(6 VP)
(4 VP)
(4 VP)
d) ln welchem Punkt der Umgehungsstraße fährt ein Fahrzeug parallel zur Ortsdurchfahrt AB?
Welchen Abstand hat ein Fahrzeug auf der Umgehungsstraße höchstens von der
Ortsdurchfahrt?
(4 VP)
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N
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70200 Abitur BW – Analytische Geometrie Wahlaufgaben 1 24
Abitur BW 2012 - Aufgabe I 2
Gegeben sind die Funktion f und für jedes t > 0 die Funktion g t durch
sinx 2
bzw. gt
x t sinx
f x
, x R .
a) Skizzieren Sie die Graphen von f und g 1 für 0 x in einem gemeinsamen
Koordinatensystem.
Geben Sie die Periode und die Amplitude der Funktion f an.
An welchen Stellen unterscheiden sich die Funktionswerte von f und g 1 im skizzierten Bereich
am stärksten?
Wie groß ist dieser Unterschied?
(6 VP)
b) Für welchen Wert von t schneiden sich die Graphen von f und g t im Ursprung unter einem
Winkel von 45°?
Der Graph der Funktion f schließt im Bereich 0 x mit der x-Achse eine Fläche ein.
Für welchen Wert von t hat die Fläche, die der Graph von g t im gleichen Bereich mit der
x-Achse einschließt, den gleichen Inhalt?
(6 VP)
c) K ist der Graph der Funktion g 1 .
Durch Spiegelung von K an der Geraden h : y 2 entsteht der Graph K' .
Geben Sie eine zu K' gehörende Gleichung an.
K rotiert um die Gerade h.
Dadurch entsteht im Bereich 0,5 x 5,2 das Modell eines Pokals, dessen Standfläche den
Mittelpunkt M0,5|2 hat.
Der massive Boden des Pokals reicht von der Standfläche bis zur engsten Stelle.
Untersuchen Sie, ob ein Liter Flüssigkeit in den Pokal passt.
(1 LE entspricht 2,5 cm.) (6 VP)
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70200 Abitur BW – Analytische Geometrie Wahlaufgaben 1 25
Abitur BW 2012 - Aufgabe I 3
Ein Medikament kann mithilfe einer Spritze oder durch Tropfinfusion verabreicht werden.
a) Bei Verabreichung des Medikaments mithilfe einer Spritze wird die Wirkstoffmenge
im Blut des Patienten beschrieben durch die Funktion f mit
0,2t 0,8t
f t 130 e e
0 t 24
(t in Stunden nach der Injektion, f(t) in mg).
Skizzieren Sie den Graphen von f.
Das Medikament wirkt nur dann, wenn mindestens 36 mg des Wirkstoffs im Blut vorhanden
sind. Bestimmen Sie den Zeitraum, in dem das Medikament wirkt.
Zu welchen Zeitpunkten nimmt die Wirkstoffmenge im Blut am stärksten zu bzw. ab?
Berechnen Sie die mittlere Wirkstoffmenge im Blut während der ersten 12 Stunden.
(7 VP)
Wenn das Medikament stattdessen durch Tropfinfusion zugeführt wird, lässt sich die Wirkstoffmenge
im Blut beschreiben durch die Funktion g mit
0,05 t
g t 80 1 e
t 0
(t in Minuten seit lnfusionsbeginn, g(t) in mg).
b) Welche Wirkstoffmenge wird sich langfristig im Blut befinden?
Zeigen Sie, dass die Wirkstoffmenge im Blut ständig zunimmt.
Zu welchem Zeitpunkt beträgt die momentane Änderungsrate der Wirkstoffmenge im Blut
ln welchem 15-Minuten-Zeitraum ändert sich die Wirkstoffmenge um 30 mg?
mg
1 ?
min
(7 VP)
c) Geben Sie eine Differenzialgleichung des beschränkten Wachstums an, die von der Funktion
g erfüllt wird.
Bei der Tropfinfusion wird dem Patienten pro Minute eine konstante Wirkstoffmenge zugeführt.
Die Abbaurate ist dabei stets proportional zur Wirkstoffmenge im Blut. Wie groß ist die
konstante Zufuhr der Wirkstoffmenge pro Minute?
Welche Wirkstoffmenge müsste man pro Minute zuführen, damit sich langfristig 90 mg im Blut
befinden?
(4 VP)
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70200 Abitur BW – Analytische Geometrie Wahlaufgaben 1 26
Abitur BW 2013 - Aufgabe I 1
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70200 Abitur BW – Analytische Geometrie Wahlaufgaben 1 27
Abitur BW 2013 - Aufgabe I 2.1
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70200 Abitur BW – Analytische Geometrie Wahlaufgaben 1 28
Abitur BW 2013 - Aufgabe I 2.2
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70200 Abitur BW – Analytische Geometrie Wahlaufgaben 1 29
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Lösung 2012 -Aufgabe I 1
a) Der nördlichste Punkt der Umgehungsstraße
ist der Hochpunkt des Graphs K von f.
N
3 2
f x 0,1x 0,3x 0,4x 3,2
2
f' x 0,3x 0,6x
0,4
f '' x
0,6x 0,6
f''' x
0,6
Extremwert-Bedingung: f' x 0
2
0,3x 0,6x 0,4 0 |
10
2
3x 6x 4 0
6 36434 6 84 0,53
xE
6 6 ( 2,53)
H
y f 0,53 3,31 (Taschenrechner)
Kontrolle: f '' 0,53
0,6 0,53 0,6 0
Hochpunkt H0,53|3,31
2 2
Entfernung: d MH x y 0,53 0 2 3,310,5 2
2,86 km
Die Linkskurve geht am Wendepunkt in eine Rechtskurve über.
Wendepunkt-Bedingung:
mit f''' 1
0
W
Ergebnis: W
1|2,6
f'' x 0
0,6x 0,6 0 x 1
y f 1 2,6
Knickfreie Einmündung bei A3| 2:
A liegt auf der Geraden (AB), weil aber f3
2 ist, liegt A auch auf K.
Tangentensteigung in A an K: f' 3
0,5
y 12 3 1
Andererseits hat die Gerade (AB) die Steigung: mAB
x 33
6 2
Also ist (AB) zugleich Tangente an K in A, d. h. K geht also in A knickfrei in (AB) über.
b) Fläche zwischen K und (AB):
Steigung von (AB): m 0,5 ,
Punkt-Steigungsform: y 2 0,5 x 3
y 0,5x 0,5
3
3 2
A 0,1x 0,3x 0,4x 3,2 0,5x 0,5dx
3
3
3 2 0,1 4 0,3 3 0,9 2
3
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0,1x 0,3x 0,9x 2,7 dx x x x 2,7x
4 3 2
1
3
4
3
1
4
3
0,13 0,45 9
2,7 3 3
0,1 3 0,45 9 2,7 3
10,8 km
40
40
Davon subtrahiert man die Fläche des Halbkreises mit dem Radius r = 1,5:
W
3
3
2

70200 Abitur BW – Analytische Geometrie Wahlaufgaben 1 97
A r 1,5 3,53 km
1 2 1 2 2
HK 2 2
und erhält als Fläche außerhalb des Gemeindegebiets:
Prozentualer Anteil:
Ergebnis:
A 10,83,53 7,27
A 7,27
p 100% 100% 67,4%
A 10,8
Etwa 67,4 % der Fläche liegen außerhalb des Gemeindegebiets.
c) Ein Fahrer sieht von der Umgehungsstraße aus
die Windkraftanlage genau dann in Fahrtrichtung
vor sich, wenn er sich im Berührpunkt Z der
Tangente an K befindet, die durch P geht.
Also muss man die Aufgabe lösen:
Lege von P1,5|3 aus die Tangente an K.
Methode: Man geht von einem unbekannten Berührpunkt
Zu|fu aus, stellt dazu die
Tangentengleichung auf. Diese enthält dann neben x und y noch die Unbekannte u. Verlangt
man, dass diese Tangente durch P geht, kann man die Koordinaten von P einsetzen, so dass
als einzige Unbekannte u übrig bleibt.
1. Manuelle Lösung:
Tangente t in Zu|fu : yfu f' ux
u
Bedingung: P1,5|3 t: 3fu f' u1,5
u
d. h. 3 0,1u 3 0,3u 2 0,4u 3,2 0,3 u 2 0,6u 0,41,5 u
Vereinfachen liefert:
3 2
4u 3u 18u 16 0
Grafikrechner-Lösungen: u1 2, u2 0,92 und u3
2,17 .
Da das Fahrzeug von B aus kommt, ist nur die Lösung u 1 = 2 brauchbar.
Wegen f2
2 lautet der gesuchte Berührpunkt Z2|2 . Von hier aus sieht man die
Windkraftanlage genau in Fahrtrichtung vor sich.
2. CAS-Lösung: (CASIO ClassPad)
1. Zeile: Definition der Funktion.
2. Zeile: Definition der Ableitungsfunktion f' x
3. Zeile: Definition der Tangentenfunktion.
4. Zeile: P1,5|3 eingesetzt und u berechnet.
5. Zeile: y-Koordinate von Z.
6. Zeile: Tangentengleichung für u = 2.
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70200 Abitur BW – Analytische Geometrie Wahlaufgaben 1 98
d) ln welchem Punkt der Umgehungsstraße fährt ein Fahrzeug parallel zur Ortsdurchfahrt AB?
Welchen Abstand hat ein Fahrzeug auf der Umgehungsstraße höchstens von der
Ortsdurchfahrt?
Tangente an K parallel zu g = (AB):
Bedingung: f' x mg
0,5
y-Koordinate:
2
0,3x 0,6x 0,4 0,5
2
0,3x 0,6x 0,9 0 |
10
2
3x 6x 9 0
6 36439 612
1
xQ
x1,2
6 6 3 x
y f 1 3,2.
Q
Ergebnis: In Q1|3,2 fährt das Auto einen Moment lang parallel zu (AB).
Ein Auto hat den maximalen Abstand von g, wenn sich es sich im Punkt Q befindet, dann
anschließend bringt es die Linkskurve wieder näher an die Ortsdurchfahrt heran.
Maximaler Abstand:
1. Methode: Lot von Q auf g.
Steigung des Lots:
1 1
mL
2
m 0,5
Lotgerade L: y3,2 2x 1
y 2x
1,2
Schnitt von L und g: 2x 1,2 0,5x 0,5
0,7
2,5x 0,7 x
S
0,28
2,5
y 2 0,28 1,2 0,64
g
S
Schnittpunkt: S
0,28|0,64
Maximaler Abstand:
2 2
2 2
dmax
x y 10,28 3,2 0,64 2,86 km
2. Methode: Extremwertaufgabe mit Distanzfunktion (CAS) zu Q1|3,2:
1 1
Es sei Fu|gu
ein beliebiger Punkt auf der Geraden g: y x
2 2
Distanzfunktion:
Definitionsbereich: 3 u 3
Bed.:
A
2
2
2 1 1
2
2 2
du QF (u1) gu 3,2 (u1) u 3,2
d' u 0 ergibt u = - 0,28
Kontrolle: d'' 0,28
0 Max.
Minimale Distanz: d( 0,28) 2,86
Randwerte: d3 d3
0< 2,96
Also liegt ein absolutes Maximum vor.
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Lotfußpunkt auf g: g0,28 0,64 F
0,28 | 0,64
Ergebnis:
Ein Fahrzeug auf der Umgehungsstraße hat
höchstens etwa 2,86 km Abstand von der Ortsdurchfahrt (AB).
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70200 Abitur BW – Analytische Geometrie Wahlaufgaben 1 99
Lösung 2012 -Aufgabe I 2
a) f hat die Periode
und die Amplitude 0,5.
Größter Unterschied zwischen den Funktionswerten:
Differenz der Funktionswerte:
d x g x f x sin x sin x
Ableitungen:
2
1
d' x cosx2sinx
cosx
2 2
d'' x sinx2 cos x
sin x
Extremwertbedingung:
d' x
0
cosx12 sinx
0
1
1. Faktor: cosx
0 für x
in 0 x
cos x 2 sin x cos x 0
1 2
2. Faktor:
1
12sin x 0 sin x
x 0,52
1
2 6
5
3 6
x 2,62
Kontrollen: 1 2 2
1 1 1
2 2 2 2
2 2
d'' sin 2 cos sin 12 01 12 0 Min.
2
1 1 1 1 1 1
2 1 2
d'' sin 2 cos sin 2 3
0
6 6 6 6 2 2 2 Max.
2
2 2
2
d'' 5 sin 5 2 cos 5 sin 5 1 2 1 3 1
6 6 6 6 2
2 2
0
Max.
Maximalwerte: d sin sin
Randwerte:
Ergebnis:
2
1 1 1 1 1
2
1 1 1
6 6 6 2 2 2 4 4
2
5 5 5 1 1
2
1 1 1
6 6 6 2 2 2 4 4
d sin sin
d0 0 und
d 0.
Der absolut größte Unterschied zwischen den Funktionswerten liegt an den Stellen
1
5
x 0,52 und x 2,62 vor. Er beträgt jeweils genau 1 0,25 .
4
2 6
3 6
b) Für welchen Wert von t schneiden sich die Graphen von f und g t im Ursprung unter einem
Winkel von 45°?
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Der Schnittwinkel wird aus den Tangentensteigungen berechnet, also benötigt man die
Ableitungen:
sinx 2
f' x 2sinx cosx
f x
t
f ' 0 2 sin 0 cos 0 0
g' x t cosx.
g x t sin x
Ein Schnittwinkel von 45 O liegt dann vor, wenn
g' 0 tcos 0 t
g' 0
1 ist, also für t = 1.
0
1
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70200 Abitur BW – Analytische Geometrie Wahlaufgaben 1 100
Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse:
2 1
A sin x dx
f 2
0
(Entweder der Formelsammlung entnommen, oder Berechnung mit CAS oder partieller Integration,
siehe Text 48016 Seite 12)
Fläche zwischen dem Graphen von g t und der x-Achse:
A t tsin x dx tcos x tcos cos 0 t 1 1
2t
g 0
0
1 1
Bedingung: A A t 2t t 0,785
f g 2 4
Mit geeigneten Rechnern, muss man eigentlich nicht mehr selbst rechnen, sondern nur noch einen
Apparat bedienen, denn dieser kann diese Gleichung lösen:
2
sin x dx t sin x dx
0 0
Screenshot von TI Nspire CAS.
c) Gleichung der an y = 2 gespiegelten Kurve.
Es sei Px| y und der Bildpunkt P' x | y'
y
y'
Dann gilt: 2 yy' 4 y' 4
y
2
Also hat K' die Gleichung: y 4
sin x
Volumen des Drehkörpers:
Man verschiebt K um 2 LE nach unten und lässt diese
Kurve dann rotieren:
Der Boden befindet sich an der engsten Stelle, also
beim Hochpunkt, d.h. bei x 1,57
5,2
2
V sin x 2 dx 57,84 VE
1,57
Da 1 LE 2,5 cm entspricht, bedeutet 1 VE = 2,5 3 =15,625 cm 3 .
3 3 3
Daher kann der Pokal V 57,842,5 cm 904cm aufnehmen, also weniger als
1 Liter = 1 dm 3 = 1000 cm 3 .
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Friedrich Buckel
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70200 Abitur BW – Analytische Geometrie Wahlaufgaben 1 101
Lösung 2012 -Aufgabe I 3
0,2t 0,8t
a) Gegeben ist f durch ft 130 e e
(t in Stunden nach der Injektion, f(t) in mg).
Rechts eine Wertetafel und
ein Schaubild, erstellt mit
CASIO ClassPad CAS.
Wann sind mindestens 36 mg
Wirkstoff im Blut?
Bed.
ft
36
0,2t 0,8t
d. h.
130 e e 36
Die Schnittstellen liegen bei
t1
0,63 und t 2
6,3
(Siehe Rechner-Screenshot)
Das Medikament wirkt also ab etwa
0,63 h 0,63 60 min 38 min
bis etwa 6,3h 6h18min nach der Injektion.
Stärkste Zunahme und Abnahme:
Berechnung der Extremstellen von f':
Notwendige Bedingung: f'' t 0.
Der Rechner liefert
Hinreichende Bedingung:
0 t 24
20
3
t ln 2 7,32
20
3
Also hat f' bei etwa 7,3 ein Minimum,
also die stärkste Abnahme.
f ''' ln 2 1,238 0
Und diese stärkste Abnahme hat den Wert -7,74
Randwert-Untersuchung:
Ergebnis:
Am linken Rand ist f' 0 78,
am rechten Rand lim f ' t 0
t
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Der stärkste Zunahme des Wirkstoffgehalts
mg
f' 0 78
mg
ist bei t = 0 mit h , die stärkste Abnahme bei 7,32 h mit f ' 7,32 7,74 h
.
Mittlere Wirkstoffmenge im Blut in der Zeitspanne 0 bis 12 h:
12
1
f t f(t) dt 35,7
12
(mg)
0
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70200 Abitur BW – Analytische Geometrie Wahlaufgaben 1 102
0,05 t
b) Wirkstoffmenge (Infusion): g t 80 1 e
t 0
t in Minuten seit lnfusionsbeginn, g(t) in mg.
Langfristige Wirkstoffmenge:
t
lim g t 80
lim e 0
0,05 m t
, denn
t
Ableitung:
Manuell:
Es
g' t 0 für alle t, wächst g streng monoton.
g' t 80 e 0,05 4
e
0,0t
Die Änderungsrate ist RT g' t 4 e ?
mg
Wann gilt: Rt 1 min
?
0,0t
4e 1
0,05 t 1
e
4
1
4
0,05 t 0,05 t
0,05 t ln ln 4
ln(4)
t 27,7 (min)
0,05
Wirkstoffzunahme in einem 15-Minuten-Intervall:
Die Abb. zeigt zwei Beispiele solcher Intervalle.
Weil die Kurve Rechtskrümmung hat, nimmt die
Zunahme nach rechts ab. Im Intervall 20 ; 35 ,
also vom Zustandspunkt A bis B beträgt sie
etwa 16 mg, im Intervall 40 ; 55 , also von C
bis D beträgt sie etwa 6 mg.
Wo beträgt sie 30 mg?
Bedingung: gt 15gt 30
Rechner-Ergebnis:
Die Rechner-Lösung ergibt, dass t 6,8 min
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beträgt.
Das Intervall-Ende ist dann 15-Minuten später: t* 21,8 min
Die Abbildung zeigt dieses Intervall und die Zunahme um 30 mg,
dargestellt durch den Doppelpfeil a .
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70200 Abitur BW – Analytische Geometrie Wahlaufgaben 1 103
c) Differenzialgleichung des beschränkten Wachstums
1. Möglichkeit: WISSEN, dass das beschränkte Wachstum stets durch eine
Differenzialgleichung der Form g' t k S gt
beschrieben wird.
(Sie bedeutet nichts anderes, als dass das Sättigungsmanko S - g(t)
proportional zur Wachstumsrate g‘(t) abnimmt.)
Die gegebene Funktion gt 80 1 e 0,0t
0,05 t 0,05 t
in die DGl einsetzen: 4e k S801
e
Für S = 80 folgt:
g' t 4
e
mit der Ableitung
0,05 t
4e k80
e
0,05 t 0,05 t
4 1
Also muss gelten: 4 k80 k 0,05
80 20
Differenzialgleichung also: g' t 0,05 80 gt
2. Möglichkeit: Man erzeugt durch Eliminieren von
0,005 t
e zwischen g(t) und g' t
die Differenzialgleichung und vergleicht das Ergebnis mit der typischen
Form beim beschränkten Wachstum.
0,05 t
und ersetzt in gt 801
e
0,05 t
Aus g' t 4 e
0,05 t 1
bildet man e g'
4
t
1
So entsteht: gt 80 1 g't bzw. gt 8020g't
Umstellen nach
4
g' t : 20 g' t 80 gt
| : 20
Im Vergleich mit g' t k S gt
4
g' t 0,05
g
t
0,05
g' t 4 0,05 g t
erkennt man, dass man 0,05 ausklammern muss:
bzw. g' t 0,05 80 gt
Man erkennt die DGl eines beschränkten Wachstums mit S = 80 und k = 0,05.
Der Aufgabentext besagt jetzt: Die Abbaurate ist dabei stets proportional zur Wirkstoffmenge im Blut.
Wie groß ist die konstante Zufuhr der Wirkstoffmenge pro Minute?
Unter Abbaurate versteht man den pro Minute im Körper abgebauten Wirkstoffanteil.
Man ändert die Differenzialgleichung g' t 0,05 80 gt
so ab: g' t 4 0,05 gt
Dann erkennt man, dass 4 (mg) gerade der pro Minute zugeführte Wirkstoffanteil ist, und
0,05 g
t
g' t .
der vom Körper absorbierte Anteil. Die Differenz ist die Wachstumsrate
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Welche Wirkstoffmenge müsste man pro Minute zuführen, damit sich langfristig 90 mg im Blut
befinden?
In der Differenzialgleichung g' t k S gt
gibt S den Grenzwert des Wachstums an.
Dieser war bisher S = 80 mg. Er soll nun auf S = 90 mg erhöht werden.
Andererseits war g' t 0,05 80 gt
bzw. g' t 4 0,05
gt
Schreibt man nun für die neue Infusions-Funktion g' t 0,05 90 gt
Dann folgt: g' t 4,5 0,05 gt
Das heißt, dass nunmehr pro Minute 4,5 mg zugeführt werden müssen.
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