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4 Oszillatoren © 2007 Dennis Melikjan
Zur Erzeugung von ungedämpften sinusförmigen Schwingungen kann man Zweipol- bzw.
Vierpol-Oszillatoren einsetzen.
Bei den Zweipol-Oszillatoren wird durch Einbeziehung eines aktiven Zweipols mit negativem
Widerstandsbereich (z.B. Tunneldioden u.a.) die Entdämpfung eines Schwingkreises
herbeigeführt.
Bei den Vierpol-Oszillatoren wird i.a. durch geeignete äußere Rückkopplung des
Wechselsignales vom Ausgang eines Verstärker-Vierpols auf den Eingang eine Schwingung
angeregt. Beurteilungskriterien von Oszillator-Schaltungen sind in erster Linie die
Frequenzstabilität sowie ein möglichst geringer Oberwellengehalt der Ausgangsschwingung. Bei
höheren Anforderungen hinsichtlich der Frequenzstabilität ist meist ein Schwingquarz
einzusetzen.
Zur Erzeugung eines Frequenzrasters (für ein Frequenz-Multiplex) werden heute i.a. PLL-Kreise
eingesetzt.
4.1 Grundprinzip eines Zweipol-Oszillators
Zunächst sei kurz ein Reihenschwingkreis bestehend aus den Elementen R, L, C betrachtet, der
im Zeitpunkt t = 0 an eine Quelle mit der Gleichspannung U 0 gelegt wird und dann sich selbst
überlassen bleibt (Bild 4.1-1a).
t≥0
b)
I
I
1
A
U
2
r =
~
U
I
U
< 0
Bild 4.1-1
Reihenschwingkreis
a) Einschalten einer Gleichspannung beim
verlustbehafteten Schwingkreis
b) Entdämpfung durch negativen
differentiellen Widerstand
Ein Maschenumlauf in Bild 4.1-1a für t ≥ 0 (u C (0⎯) = 0 ) liefert die Gl.(4.1/1).
i R + u L + u C = u 1 = U 0 (4.1/1)
Mit u L = L di/dt sowie i = i C = C du C /dt in (4.1/1) erhält man die Differentialgleichung (4.1/2).
L C d2 u C
dt 2 + C R du C
dt + u C = u 1 = U 0 (4.1/2)
1

Aus dem homogenen Differentialgleichungsanteil erhält man mit dem Lösungsansatz
u C,hom(t) = k e λ t (siehe TF, Übung 1/1, Hilfsgl. (6)) als charakteristische Gleichung
L C λ² + C R λ + 1 = 0 und damit als Lösung die Gl.(4.1/3).
aus TF, Üb.1/1, Hilfsgl. (7) λ = – R 1,2
2L ± ⎝ ⎜⎛ R
2L⎠ ⎟⎞ ² 1 –
LC
(4.1/3)
Bei positivem Radikand (d.h. beim Vorliegen einer stärkeren Dämpfung) besteht in (4.1/3)
für ⎜ ⎛ R
⎝ 2L ⎠ ⎟⎞ ² 1 >
LC
der flüchtige Anteil aus zwei abklingenden Exponentialfunktionen.
aus TF, Üb 1/1, Hilfsgl. (10) u C,hom(t) = k 1 e λ 1 t + k 2 e λ 2 t
Spezielle Lösung (eingeschwungener Zustand) u C,spez(t) = u C (t→∞) = U 0
u C (t) = u C,spez(t) + u C,hom(t) = U 0 + k 1 e λ 1 t + k 2 e λ 2 t (4.1/4)
Der Gesamtlösungsansatz für u C (t) berechnet sich mit Gl.(4.1/4).
Bei negativem Radikand (beim Vorliegen einer schwachen Dämpfung), d.h. für 1
LC > ⎝ ⎜⎛ R
2L⎠ ⎟⎞ ²
in (4.1/3) gilt die Gl. (4.1/5).
analog zu TF, Üb. 1/1, Hilfsgl. (7) + (8)
λ 1,2 = – R 2L ± j 1
LC – ⎝ ⎜⎛ R
2L⎠ ⎟⎞ ² = – δ ± j ω0 ² - δ² = – δ ± jω e (4.1/5)
In Gl.(4.1/5) beschreibt δ = R 2L das Dämpfungsmaß, ω 1
0 = die Kreisfrequenz der
LC
ungedämpften Schwingung und ω e = ω 0 ² - δ² die Eigenkreisfrequenz der gedämpften
Schwingung.
analog zu TF, Üb. 1/1, Hilfsgl. (18)
u C (t) = U 0 [ 1 – e – δt (cos (ω e t) + δ ω e
sin (ω e t)) ] (4.1/6)
Die gedämpfte Schwingung u C (t) lässt sich mit Gl.(4.1/6) berechnen.
Beim normalen Reihenschwingkreis ist auf Grund der geringen Verluste der Widerstand R
zwar klein, aber sicher positiv. Beim Schließen des Schalters (Bild 4.1-1a) tritt als
Ausgleichsvorgang eine gedämpfte Schwingung auf, die nach einiger Zeit abgeklungen ist.
Im stationären (eingeschwungenen) Zustand (theoretisch t → ∞) ist dann als Spannung am
Kondensator nur noch die Gleichspannung U 0 vorhanden.
Interessant dagegen ist der Fall, dass man eine Entdämpfung des Schwingkreises erreicht und
zwar durch Einbringen eines negativen Zusatzwiderstandes. Dadurch ließen sich die
Gesamtverluste gerade zu null machen. Für den Sonderfall R ges = 0 und damit auch δ = 0
bekäme man beim Einschalten einer Gleichspannung U 0 nach (4.1/6) eine ungedämpfte
Schwingung mit der Frequenz ƒ 0 nach Gl. (4.1/6a).
2

analog zu Gl. (4.1/5):
δ = R ges
2L = 0 => ω 1
e = ω 0 => ƒ 0 =
2π LC
(4.1/6a)
Für eine Entdämpfung eignen sich Bauelemente, die negative Widerstandsbereiche aufweisen.
D. h. hierbei liegen i-u-Kennlinien vor, bei denen z.B. mit wachsender Spannung der Strom
abnimmt (Bild 4.1-1b). Der differentielle (negative) Widerstand r n im Arbeitspunkt A lässt
sich dann durch den Differenzen-Quotienten in Gl. (4.1/7) annähern.
aus Bild (4.1-1b)
negativer, differentieller Widerstand: r n = dU
dI
≈ ΔU
ΔI
= U 2 – U 1
I 2 – I 1
< 0 (4.1/7)
I F
R L =
A
T
U B
L
Z
R
L
a)
U
U
U
H B T F
U
b)
I H
IT
H
TD
c)
u
i
1
rn
i3
L s A
i2
TD
L z
R L
B
äußerer
Kreis
Bild 4.1-2
Zweipol-Oszillator mit Tunneldiode
a) Kennlinie einer Tunneldiode
b) Einfacher Tunneldioden-Oszillator
c) Ersatzschaltbild zu b)
Eine solche Kennlinie besitzen z.B. Tunneldioden (Bild 4.1-2a). Im Verlauf zwischen dem
Höckerpunkt H und dem Talpunkt T tritt ein negativer Widerstandsbereich auf. Hier muss
somit auch der Arbeitspunkt A gewählt werden.
Eine einfache Schwingschaltung ergibt sich, wenn man eine Tunneldiode mit einem äußeren
Kreis, bestehend aus einer Zusatzinduktivität L Z und einem Lastwiderstand R L , in Reihe an
eine kleine Betriebsspannung U B legt (Bild 4.1-2b). Für einen stabilen Arbeitspunkt A muss die
Gleichstrom-Lastgerade R L = so gewählt werden, wie im Bild 4.1-2a dargestellt, d.h U B muss
zwischen U H und U T liegen. Das wechselmäßige Ersatzschaltbild für die Tunneldiode im
Arbeitspunkt A mit der äußeren Beschaltung ist im Bild 4.1-2c angegeben. Die hier enthaltenen
Ersatzgrößen sind in erster Linie der negative differentielle Widerstand –|r n | der Tunneldiode
sowie die Kapazität Cj der Grenzschicht des pn-Übergangs. Zusätzlich kann man noch den
Bahnwiderstand r B der Diode sowie die Zuleitungsinduktivität L S berücksichtigen. Aus dem
Ersatzbild ist ersichtlich, dass Cj die erforderliche Schwingkreiskapazität darstellt.
3

Um eine Aussage über die Schwingfrequenz ƒ 0 des Tunneldioden-Oszillators zu erhalten, setzt
man wiederum die Differentialgleichung z.B. für u in der Ersatz-Schaltung (Bild 4.1-2c) an
und entnimmt ω 0 aus der charakteristischen Gleichung. Mit den Abkürzungen R = r B + R L
und L = L S + L Z erhält man mit Hilfe des Operators s und den dort eingetragenen Zählpfeilen
die Gl. (4.1/8).
aus Bild (4.1-2c)
Abkürzungen: R = r B + R L , L = L S + L Z
i 3 =
u
R + sL = –i 1 – i 2 = –u
–|r n |
u
R + sL = – u( – 1
|r n | + sC j )
(– 1
|r n | + sC j ) (R + sL) + 1 = 0
–
u
1
sCj
= – u ( – 1
|r n |
+ sCj )
s²LCj + s (RCj – L
|r n | ) + 1 – R
|r n | = 0 (4.1/8)
a b c
Als Lösung der quadratischen Gleichung (4.1/8) für den Schwingungsfall erhält man mit den
Abkürzungen a = LCj, b = [RCj – L ] |r n | und c = ⎝ ⎜⎛ 1 – R
|r ⎠ ⎟⎞
n |
in Analogie zu (4.1/5)
die Gl. (4.1/5).
analog zu (4.1/5) + Bsp. 2.6.1/1 (TF) für den Schwingungsfall:
s²a + s b + c = 0
s² + s b a + c a = 0
s 1,2 = – ⎜ ⎛ b
⎝ 2a ⎠ ⎟⎞ ± ⎝ ⎜⎛ b
2a⎠ ⎟⎞ ² c –
a = – b 2a ± j
1
s 1,2 = –
2LCj ⎝ ⎜⎛ RCj – L
|r ⎠ ⎟⎞
n |
± j
c
a – ⎝ ⎜⎛
b
2a⎠ ⎟⎞ ²
1
LCj ⎝ ⎜⎛ 1 – R
|r ⎠ ⎟⎞ 1
n |
–
4(LCj)² ⎝ ⎜⎛ RCj – L
|r ⎠ ⎟⎞
²
n | = – δ ± jωe (4.1/9)
δ ω 0
2
δ 2
Schwingung nur möglich für ω 0 > 0 => ω 0 ² = 1
LCj ⎝ ⎜⎛ 1 – R
|r ⎠ ⎟⎞
n |
> 0
=> 1 – R
|r n | > 0 => |r n| – R > 0 => |r n | > R => R < |r n | (4.1/10)
Nach (4.1/9) tritt nur bei positivem Radikand eine Schwingung auf. Hierfür ist zu fordern, dass
(1 – R/|r n |) > 0, d.h. es gilt Ungleichung (4.1/10).
1
Anschwingen nur möglich für δ =
2LCj ⎝ ⎜⎛ RCj – L
|r ⎠ ⎟⎞
n |
< 0
=> RCj – L
|r n | < 0 => R < L
|r n |
(4.1/11)
Cj
4

Anderseits ist für ein Anschwingen aus (4.1/9) entnehmbar, dass (RCj – L/|r n |) < 0 sein muss, d.h
dafür gilt die Ungleichung (4.1/11).
Die Aussage über R nach (4.1/10) wird in [51] als Gleichstrom-Stabilitätsbedingung
bezeichnet. Die Gleichstrom-Lastgerade R muss in jedem Fall steiler verlaufen als die Flanke der
fallenden Tunneldioden-Kennlinie zwischen H und T, sonst ergibt sich kein stabiler Arbeitspunkt
(Bild 4.1-2a).
Die Aussage über R nach (4.1/11) ist in [51] als Wechselstrom-Stabilitätsbedingung bezeichnet.
Beim Nichterfüllen dieser Bedingung würde statt einer dauerhaften Schwingung lediglich eine
gedämpfte Schwingung auftreten.
Nach dem Anschwingen (zunächst δ < 0) wird auf Grund der Kennlinien-Krümmung die
Entdämpfung abnehmen, d.h r n kleiner werden, so dass sich im stationären Zustand eine
ungedämpfte Schwingung (δ ≈ 0) entsprechend (4.1/9) einstellt.
Dann berechnet sich die Schwingfrequenz ƒ 0 des Tunneldioden-Oszillators mit der Gl. (4.1/12).
Ungedämpfte Schwingung (stationärer Schwingungszustand):
=> δ = 0 => aus (4.1/9) ω e = ω 0 =
1
LCj ⎝ ⎜⎛ 1 – R
|r ⎠ ⎟⎞ 1
n |
=> ƒ 0 =
2π LCj
1 – R
|r n |
(4.1/12)
Aus (4.1/12) ist ersichtlich, wie die Frequenz der erzeugten Schwingung eines Tunneldioden-
Oszillators durch die äußere Beschaltung beeinflusst wird. Der Tunneldioden-Oszillator wurde
hier als Beispiel eines einfachen Zweipol-Oszillators vorgestellt, da er rechnerisch einfach
verfolgbar ist und dabei interessante Grundzusammenhänge aufzeigt.
Tunneldioden sind zwar bis in den GHz-Bereich einsetzbar, allerdings ist auf Grund der
niedrigen Betriebsspannung die Leistung auf einige mW begrenzt, was die Anwendung sehr
einschränkt. Eine Oszillator-Schaltung, bei der eine Tunneldiode im GHz-Bereich in einem
koaxialen Resonator eingesetzt wird und dessen Abstimmung mit einem Kurzschluss-Schieber
erfolgt, ist in [51] dargestellt.
Höhere Ausgangsleistungen bei Zweipol-Oszillatoren im Mikrowellenbereich lassen sich mit
Gunn-Elementen, Impatt-Dioden und Laufzeit-Röhren erreichen [44, 51].
Die Impatt-Diode z.B. wird im Sperrbereich bis kurz vor den Avalanche-Effekt vorgespannt.
Eine überlagerte Wechselspannung u (mit der Frequenz ƒ) löst Stoßionisationslawinen aus.
Infolge der endlichen Laufzeit t D der Ladungsträger durch die Driftzone (abhängig von der
Driftzonenweite w und der Sättigungsdriftgeschwindigkeit v S ) tritt eine Phasenverschiebung
φ = 2 π ƒ t D im äußeren Kreis zwischen u (als Ursache) und Strom i auf, wodurch in einem
bestimmten Frequenzbereich ein negativer Realteil der Diodenimpedanz entstehen kann. D.h. die
Impatt-Diode ist ebenfalls zur Entdämpfung in Resonatoren bei Mikrowellen-Oszillatoren
einsetzbar und da die Durchbruchsspannungen bei ca. 10 V...100 V liegen, sind auch wesentlich
höhere Wechselleistungen als bei der Tunneldiode zu erwarten. Als Leistungen sind hiermit
momentan erreichbar bis ca. 10 W bei 10 GHz, einige Watt bei 50 GHz und ca. 0,1 W
bei 100 GHz. Für Zweipol-Oszillatoren mit Leistungen (Dauerleistungen) bis in den kW-Bereich
und bei Frequenzen bis zu mehreren 100 GHz werden Laufzeit-Röhren (z.B. Magnetrons und
Gyrotrons) verwendet [51].
5

4.2 Grundprinzip eines Vierpol-Oszillators
Vor der Darstellung einzelner Transistor-Oszillatoren sei zunächst die allgemeine Betrachtung
eines Vierpol-Oszillators vorangestellt. Hiernach kann man sich einen Vierpol-Oszillator aus
einem Verstärker-Vierpol (aktiv) und einem Rückkopplungs-Vierpol (passiv) zusammengesetzt
denken (Bild 4.2-1a).
1
U 1`
3
1
2
3
U 1 V
U K
U
2
3
a)
Verstärkervierpol
Rückkopplungsvierpol
U 1
V U 2
K U = U
Z einK
Z ein V
3 1
b)
Bild 4.2-1
Allgemeine Darstellung eines Vierpol-Oszillators
a) Kettenschaltung aus Verstärker-Vierpol und Rückkoppel-Vierpol
b) Nachbildung der Belastungs-Einflüsse (offene Kette)
Die Verstärkung V desVerstärker-Vierpols berechnet sich mit Gl.(4.2/1).
V = U 2
U 1
(4.2/1)
Mit der Gl.(4.2/2) lässt sich der Rückkopplungsfaktor K des Rückkopplungs-Vierpols ermitteln.
K = U 3
U
(4.2/2)
2
Aus Bild (4.2-1a): ∑ U = 0 = U `1 + U 3 – U 1
U `1 = U 1 – U 3 = U 1 – K U 2 (4.2/3)
aus (4.2/2)
U 3
U 1
= U 3
U 2
U 2
U 1
= K V (4.2/4)
aus (4.2/2) K V aus (4.2/1)
Ein Umlauf in der Anordnung nach Bild 4.2-1a mit (4.2/2) ergibt die Gl.(4.2/3).
Wenn nach (4.2/3) U `1 = 0 ist, d.h. die rückgeführte Spannung U 3 in Betrag und Phase mit der
gedachten Eingangsspannung U 1 übereinstimmt, dürfen die Klemmen 1-3 verbunden werden. In
diesem Falle wird ein stationärer Zustand aufrechterhalten. Es tritt also eine Ausgangsspannung
U 2 auf, ohne dass eine externe Eingangswechselspannung U 1 angelegt wurde. Somit ist durch
6

die vorliegende Rückkopplung auf den Eingang ein Oszillator entstanden. Betrachtet man das
Verhältnis in (4.2/4), so gilt bei Verbindung der Punkte 1 und 3 mit U `1= 0 bzw. U 1 = U 3
die für eine Schwingschaltung wichtige Beziehung (4.2/5).
U `1 = 0 => Kurzschluss von 1 und 3 => U 1 = U 3 in (4.2/4) eingesetzt:
U 3
1
U 3
= K V => K V = 1 (4.2/5)
K = | K | e jφ k
, V = | V | e jφ v
| K | | V | e j(φ k + φ v ) = 1
Die Schwingbedingung in Gl.(4.2/5) stellt eine komplexe Gleichung dar, sie enthält eine
Betrags- und Phasenbedingung ( Gl.(4.2/6)).
| K | | V | = 1
φk + φv = 0 (bzw. 360°) (4.2/6)
Diese beiden Gleichungen sind die Grundbeziehungen für das Verständnis eines Vierpol-
Oszillators. Liegt z.B. bei einem Verstärker (Emitter-Schaltung) eine Phasendrehung
von φ V = 180° vor, so muss der Rückkopplungs-Vierpol ebenfalls φ K = 180° drehen, um eine
Gleichphasigkeit am Verstärker-Eingang (also 360° bzw. 0°) zu erreichen. Der Betrag des
Rückkoppelfaktors müsste nach (4.2/6) | K | = 1/| V | sein. In der Regel wird man aber | K | etwas
größer als 1/| V | wählen, um beim Einschalten der Gleichspannung ein sicheres Anschwingen
des Oszillators aus dem Rauschen heraus zu gewährleisten. Schematisiert lassen sich folgende
Schritte für die Analyse eines Vierpol-Oszillators angeben:
1) Man trenne den Rückkopplungskreis der Oszillator-Schaltung an geeigneter Stelle auf (d.h.
man öffne die Kette).
2) Man berücksichtige hierbei die Belastungsverhältnisse der Vierpole dadurch, dass man sie
entsprechend Bild 4.2-1b näherungsweise nachbildet. Hierbei ist der Verstärker-Ausgang mit der
Eingangsimpedanz Z einK des Rückkoppel-Vierpols und der Ausgang des Rückkoppel-Vierpols mit
der Eingangsimpedanz Z einV des Verstärkers belastet.
3) Man berechne V = U 2 /U 1 und K = U 3 /U 2 der offenen Kette. Hierbei gelten folgende
Abhängigkeiten:
V = ƒ (Verstärkerparameter, Z einK )
K = ƒ (Rückkopplungsparameter, Z einV ) (4.2/7)
4) Man gewinne aus der Schwingbedingung (4.2/6) die gewünschten Aussagen über | K |, φ und
die Schwingfrequenz ƒ 0 der Schaltung [153].
4.3 Einige Grundtypen von Vierpol-Oszillatoren
4.3.1 RC-Oszillatoren
In tieferen Frequenzbereichen bis zu einigen MHz verwendet man oft RC-Oszillatoren, da hier
Spulen meist relativ groß und teuer sind. Insbesondere bei Einsatz von Operationsverstärkern
und Brückenschaltungen lassen sich auch hier relativ stabile Oszillatoren erreichen.
a) Oszillator mit RC-Phasenschieber-Kette
In Bild 4.3.1-1a ist eine einfache Grundschaltung betrachtet. Der Verstärker-Vierpol ist hier eine
Emitter-Schaltung. Bei Annahme einer Phasendrehung von 180° zwischen Basis und Kollektor
ist nach (4.2/6) auch bei Rückkopplungs-Vierpol eine Phasendrehung von 180° erforderlich. Um
diese Phasendrehung zu erreichen, werden bei der RC-Phasenschieber-Kette 3 Glieder benötigt
7

(auf Grund der gegenseitigen Belastung der RC-Glieder !). Der Widerstand R E soll nur eine
gleichstrommäßige Arbeitspunkt-Stabilisierung bewirken. Zur Vereinfachung seien folgende
Annahmen getroffen:
Die Ein- und Ausgangsimpedanzen des Verstärkers seien reell (Gl. 4.3.1/1), wobei R 1T ≈ 1/Y 11
den Transistor-Eingangswiderstand und R 2T ≈ 1/Y 22 den Transistor-Ausgangswiderstand bei
Vernachlässigung der Transistor-Rückwirkung (Y 12 ) darstellt.
Annahme: reelle Ein- und Ausgangsimpedanzen des Verstärkers
R 1T ^= Transistoreingangswiderstand
R 2T ^= Transistorausgangswiderstand
aus Bild (4.3.1-1a)
Z einV = R ein = R 1 || R 2 || R 1T
Z ausV = R aus = R 2T || R C (4.3.1/1)
+U B
R
R
1 c
Z ein K
C
U
2
R
C
C
Z ein V
Z aus V
U 1
R R
2 E
C >>
R
U 3
C
C
C
U 1
Y 21
U 1
Y R
22 c U 2
R U B
R U A
R=R ein U 3
Z ein K
R aus
Verstärkervierpol
Rückkopplungsvierpol
Bild 4.3.1-1
Oszillator mit RC-Phasenschieber-Kette
a) Schaltung
b) Ersatzschaltung
Um 3 gleiche CR-Glieder zu erhalten, wählt man R nach Gl. (4.3.1/2).
symmetrischer Aufbau des Rückkopplungsvierpols => aus Bild (4.3.1-1b)
R = ! R ein (4.3.1/2)
Damit die Belastung des Verstärker-Ausgangswiderstandes R aus durch die Eingangsimpedanz Z einK
des Rückkoppel-Vierpols gering bleibt, ist zu fordern die Ungleichung (4.3.1/3).
8

Forderung: R aus 0:
Z einK –> ∞
ω –> ∞: Z einK = R || R || R = R 3
in (4.3.1/3) eingesetzt: R aus R >> 3R aus (4.3.1/4)
Zu einer Abschätzung von Z einK kann man durch folgende Überlegungen gelangen: bei ω –> 0
geht Z einK –> ∞, während bei ω –> ∞ der kleinste Wert von Z einK , nämlich
Z einK = R || R || R = R/3 auftritt. Man liegt also nach (4.3.1/3) auf der sicheren Seite, wenn man R
hochohmig genug wählt, also die Ungleichung (4.3.1/4) gilt.
Sollte sich diese Bedingung ungenügend realisieren lassen, könnte man notfalls zwischen
Verstärkerausgang und Phasenschieber-Kette einen Emitterfolger als Impedanzwandler
dazwischenschalten.
Nach obigen Vorüberlegungen lässt sich der Oszillator mit Hilfe der vereinfachten
Ersatzschaltung nach Bild 4.3.1-1b berechnen.
aus Bild (4.3.1-1b) U 2 = – ұ 21 U 1 (R aus || Z einK )
aus (4.3.1/3)
R aus R aus || Z einK ≈ R aus
=> U 2 ≈ – ұ 21 U 1 R aus
V = U 2
U 1
≈ – ұ 21 R aus = – V 0 (4.3.1/5)
mit V 0 = ұ 21 R aus (Leerlaufverstärkung)
K = U 3
U 2
= U 3
U A
U A
U B
U B
U 2
U 3
U A
=
R
1
R+
jωC
=
RjωC
1+jωCR = jωτ
1+jωτ
(4.3.1/6)
mit τ = CR
U A
U B
=
R || (R +
1
jωC )
1
jωC + [R || (R+ 1
=
jωC )]
1
R (R +
jωC )
1
R + R +
jωC
1
=
R (R +
1
jωC + jωC )
1
R + R +
jωC
R (1 + jωCR)
1 + j2ωCR
1 R (1 + jωCR)
jωC
+
1 + j2ωCR
U A
U B
=
1 + j2ωτ
jωCR
R (1 + jωτ) jωτ
+ R (1 + jωτ) jωτ =
jωτ (1 + jωτ)
1 + j2ωτ + jωτ + (jωτ)² = jωτ (1 + jωτ)
1 – (ωτ)² + j3ωτ
(4.3.1/7)
9

U B
U 2
=
R || {
1
jωC + [R || (R + 1
)]} jωC
1
jωC + R || { 1
jωC + [R || (R + 1
1
R (R +
1
R {
jωC + jωC )
1
}
R + R +
jωC
1
R (R +
1
R +
jωC + jωC )
1
R + R +
)]}
= jωC
1
jωC
R (R +
1
R {
jωC + jωC )
1
R + R +
1
jωC + jωC
R (R +
1
R +
jωC + R + R +
1
jωC )
}
1
jωC
U B
U 2
=
1 R (1 + jωCR)
R {
jωC
+ }
1 + j2ωCR
1 R (1 + jωCR)
R +
jωC
+
1 + j2ωCR
1 R (1 + jωCR)
jωC
+ }
1 + j2ωCR
1 R (1 + jωCR)
R +
jωC
+
1 + j2ωCR
R {
1
jωC +
=
R { 1 + j2ωτ
jωC
+ R (1 + jωτ)}
1
(R +
jωC
) (1 + j2ωτ) + R (1 + jωτ)
R { 1 + j2ωτ
1
jωC +
(R +
+ R (1 + jωτ)}
jωC
1
jωC
) (1 + j2ωτ) + R (1 + jωτ)
U B
U 2
=
U B
U 2
=
R { 1 + j2ωτ
jωCR
+ R (1 +jωτ)}
jωτ
1
jωCR [(R+ 1
1 + j2ωτ
jωCR
) (1 + j2ωτ) + R (1 + jωτ)] + R{
jωCR
+ R (1 + jωτ)} jωτ
1 + j2ωτ + jωτ (1 + jωτ)
jωτ
(1 + 1
jωτ ) (1 + j2ωτ) + (1 + jωτ) +1 + j2ωτ + jωτ (1 + jωτ) jωτ
U B
jωτ (1 + j2ωτ) + (jωτ)² (1 + jωτ)
U
=
2 (jωτ + 1) (1 + j2ωτ) + jωτ (1 + jωτ) + jωτ (1 + j2ωτ) + (jωτ)² (1 + jωτ)
U B
jωτ [1 + j2ωτ + jωτ + (jωτ)²]
U
=
2 jωτ – 2 (ωτ)² + 1 + j2ωτ + jωτ – (ωτ)² + jωτ – 2 (ωτ)² – (ωτ)² – jωτ (ωτ)²
U B jωτ [1 – (ωτ)² + j3ωτ]
U
=
2 1 – 6 (ωτ)² + j5ωτ – jωτ (ωτ)²
(4.3.1/8)
(4.3.1/6) bis (4.3.1/8) in K
10

K =
jωτ
1 + jωτ
jωτ (1 + jωτ)
1 – (ωτ)² + j3ωτ
jωτ [1 – (ωτ)² + j3ωτ]
1 – 6 (ωτ)² + j5ωτ – jωτ (ωτ)² = (jωτ) 3
1 – 6 (ωτ)² + j5ωτ – jωτ (ωτ)²
1
K
=
1 – 6 (ωτ)² + j5ωτ – jωτ (ωτ)²
– jωτ (ωτ)²
= 1 –
5
(ωτ)² + j ( 1
ωτ (ωτ)²
– 6) (4.3.1/9)
Aus der Schwingbedingung (4.2/5) erhält man die Gl.(4.3.1/10).
aus (4.2/5) V K = 1 => V = – V 0 = 1 K = 1 – 5
(ωτ)² + j ( 1
ωτ (ωτ)²
– 6) (4.3.1/10)
aus (4.3.1/5) aus (4.3.1/9)
aus (4.3.1/10) Imaginäranteile: 0 =
Im{ 1 K } ! = 0
2πƒ 0 RC = 1 6
Schwingbedingung
=> ƒ 0 =
1
2π 6 RC
1
(ω 0 τ)² – 6 => ω 0τ = 1 6 => ω 0 =
(4.3.1/11b)
1
6 τ
(4.3.1/11a)
Die Schwingfrequenz ƒ 0 des Oszillators berechnet sich mit Gl.(4.3.1/11b).
aus (4.3.1/10) –V 0 | ω0
= 1 –
5
(ω 0 τ)² = 1 – 5
1
(
6 τ/
τ/) ² = 1 – 5 1
6
= 1 – 30 = –29
Re{ 1 K }
aus (4.3.1/11a)
V 0 | ω0
= 29 (4.3.1/12)
Aus dem Realteil der Gl.(4.3.1/10) gewinnt man bei ω 0 (Im{ 1 K
} = 0 ) die Amplitudenaussage in
Gl.(4.3.1/12), d.h. zum Anschwingen des Oszillators muss die Verstärkung mindestens V 0 = 29
betragen.
Abschließend sei noch angemerkt, dass der gleiche Oszillator natürlich auch mit einem
invertierenden Operationsverstärker (statt des Transistors) aufbaubar ist, wobei die Bedingungen
nach (4.3.1/1) und (4.3.1/4) auf Grund der idealeren Verhältnisse beim Operationsverstärker
einfacher zu realisieren sind.
Von der Steilheit des Phasenverlaufes φ(ω) des frequenzbestimmenden Netzwerkes in der
Gegend der Schwingfrequenz hängt in hohem Maße die Frequenzstabilität eines Oszillators ab.
Tritt nämlich beim Verstärker infolge einer Störung eine Phasendrehung Δφ V auf, so muss diese
auf Grund der Schwingbedingung (4.2/6) in der geschlossenen Schleife durch eine
Phasenänderung Δφ K = – Δφ V des Rückkoppel-Vierpols ausgeglichen werden. Die hierdurch
bedingte Frequenzänderung ist dann geringer, d.h. der Oszillator stabiler, wenn die
Phasensteilheit groß ist. Bessere Phasensteilheiten als bei dem bisher betrachteten Oszillator
erhält man im unteren Frequenzbereich durch Verwendung einer Brückenschaltung als
frequenzbestimmendes Netzwerk.
11

) Wien-Brücken-Oszillator
Die Prinzip-Schaltung eines Wien-Brücken-Oszillators ist in Bild 4.3.1-2a dargestellt. Für den
nichtinvertierenden Verstärker (z.B. einen Operationsverstärker) sind folgende Annahmen
getroffen:
- die Leerlaufspannungs-Verstärkung V 0 sei positiv und reell,
- Eingangswiderstand R ein und Ausgangswiderstand R aus seien ebenfalls reell;
- R ein sei unabhängig von der Last am Ausgang des Verstärkers.
Mit diesen Annahmen lässt sich die in Bild 4.3.1-2b dargestellte Ersatzschaltung angeben.
R ein R aus
U 1
(nicht invertier.)
U 2 U 3
V 0
R 1
C1
R 2
C 2
a)
= R 1`
= `
R R C 1 aus 1
`
C 2
R 2
U 1 V 0 U 1 U 2 U 2 U 3
R 2
R ein
b)
Bild 4.3.1-2
Verstärkervierpol
Wien-Brücken-Oszillator
a) Schaltung
b) Ersatzschaltung
Rückkoppelvierpol
Zusammenfassung
R`1 = R 1 + R aus
R`2 = R 2 || R ein = R 2 R ein
R 2 + R ein
(4.3.1/13)
Aus Bild 4.3.1-2b für Rückkopplungsnetzwerk
1
K = U ұ
3
U 2 ` = 2
Z 1 + 1 ұ
2
1
=
1 + Z 1
ұ
2
1
mit Z 1 = R`1 +
jωC
und ұ = 1
2
1 R`2
+ jωC 2
12

1
K =
1
1 + (R`1 +
jωC 1
) ( 1 + jωC 2 ) = 1
1 + R`1 + C 2
1
R`2
R`2 C
+ j (ωC 2 R`1 – ) (4.3.1/14)
1 ωC 1 R`2
Der Rückkopplungsvierpol lässt sich mit Gl.(4.3.1/14) berechnen.
aus Bild 4.3.1-2b für Verstärkungsvierpol
V = U 2`
U
= V 0 U 1
1 U
= V 0
1
Aus Anschwingbedingung (4.2/5) K V = 1 => V = V 0 = 1 K
=> V 0 = 1 K = 1 + R 1`
R 2` + C 2
1
C
+ j (ωC 2 R
1
1`–
ωC 1 R 2`) (4.3.1/15)
Realteil von (4.3.1/15), Amplitudenbedingung
Imaginärteil von (4.3.1/15), Schwingfrequenz 0 = ω 0 C 2 R 1` –
V 0 = 1 + R 1`
R 2` + C 2
C 1
(4.3.1/16)
1
ω 0 C 1 R 2`
1
ω 0 C 2 R 1` =
ω 0 C 1 R 2`
2 1
ω 0 =
C 1 R 1`C 2 R 2`
1
ƒ 0 =
(4.3.1/17)
2π C 1 R 1`C 2 R 2`
Zur Erfüllung der komplexen Gleichung (4.3.1/15) muss als Amplitudenbedingung die
Gl.(4.3.1/16) gelten, während der Imaginärteil von (4.3.1/15) bei ω = ω 0 verschwinden muss,
hieraus erhält man die Schwingfrequenz ƒ 0 des Oszillators (Gl.(4.3.1/17)).
4.3.2 LC-Oszillatoren
Ein LC-Oszillator besteht praktisch aus einem Selektivverstärker, von dessen Ausgang mit Hilfe
eines geeigneten passiven Vierpols Signalanteile auf den Verstärker-Eingang im Sinne einer
Mitkopplung rückgekoppelt werden.
Diese Rückkopplung kann z.B. transformatorisch oder durch induktive bzw. kapazitive Teilung
erfolgen. Nachstehend werden die wichtigsten LC-Oszillator-Schaltungen betrachtet. Um zu
einer möglichst anschaulichen Darstellung der verschiedenen Oszillator-Grundtypen zu
kommen, wird zunächst bewusst auf die verallgemeinerte Darstellung mit π-Ersatzbild und
komplexen Y-Parametern verzichtet und statt dessen sehr einfache Ersatzbilder angenommen.
Dies ist natürlich nur für tiefere Frequenzbereiche zulässig, wo die Blindanteile noch relativ
gering sind und die Schwingfrequenz ƒ 0 sehr klein gegenüber der Transitfrequenz ƒ T des
Transistors ist.
a) Meißner-Schaltung
Die Meißner-Schaltung ist eine der ältesten Oszillator-Schaltungen. Den recht einfachen Aufbau
zeigt Bild 4.3.2-1a. Vom Ausgang des Selektivverstärkers wird durch einen Umkehrübertrager
die notwendige Mitkopplung am Verstärker-Eingang erreicht. Die Punkte an den Wicklungen
kennzeichnen die (gleiche) Phasenlage (z.B. Punkt = Wicklungsanfang). Bild 4.3.2-1b zeigt das
wechselmäßige Ersatzschaltbild der Meißner-Schaltung. Vereinfachend sind
Rückwirkungsfreiheit des Transistors (Y 12 ≈ 0), ein Kleinsignal-Ersatzbild mit reellen
Parametern, sowie ein idealisierter Übertrager mit dem Übersetzungsverhältnis ü = n 1 / n 2 > 1
angenommen. Die Ersatzgrößen in Bild 4.3.2-1b haben folgenden Zusammenhang mit den Y-
Parametern (vgl. mit [15]):
13

BE = 1 Y 11
; r CE = 1 Y 22
und die Steilheit S = Y 21
+U B
R 1
C 1
n 2 L, n 1
C
C2
U
U 1
2
a)
B
C
n 1 n 2
U 1
r BE
SU 1
r CE
U 2
C
R P
L
U K
b)
E
E
Bild 4.3.2-1
Z Pges
= 1 Y Pges
Meißner-Oszillator
a) Oszillator in Emitterschaltung
b) Ersatzschaltbild zu a)
aus Bild 4.3.2-1b U 2 = – S U 1 Z pges = – S U 1
1
ұ
pges
(4.3.2/1)
Die Ausgangsspannung U 2 in Bild 4.3.2-1b berechnet sich mit der Gl.(4.3.2/1) und damit die
Verstärkung V mit der Gl.(4.3.2/1a).
V = U 2
U
= – S U 1 1
1 U
= – S
(4.3.2/1a)
1 ұ ұ
pges pges
Der Eingangswiderstand r BE wird auf die Kollektorseite hochtransformiert und bedämpft dabei
mit dem Wert r`BE den Schwingkreis. Das Übersetzungsverhältnis ü wird festgelegt mit der
Gl.(4.3.2/2).
ü = n 1
n 2
> 1 (4.3.2/2)
=> r`BE = r BE ( n 1
n 2
) ² = r BE ü 2
(4.3.2/2a)
Den Gesamtleitwert auf der Kollektorseite erhält man dann mit der Gl.(4.3.2/3), wobei R P den
Verlustwiderstand des Parallelschwingkreises mit der Güte Q P darstellt (Gl.(4.3.2/3a)).
ұ
pges = 1
r
+ 1
CE R
+ 1 + j (ωC – 1 )
P r`BE ωL (4.3.2/3)
analog zu (2.3.1/6b) R P = Q P ω 0 L (4.3.2/3a)
14

Mit der rückgekoppelten Spannung U K in Gl.(4.3.2/4) erhält man den
Rückkoppelfaktor K (Gl.(4.3.2/4a)).
U K = – n 2
n
U 2 = – U 2
1 ü
K = U K
U
= – U 2 1
2 ü U
= – 1
2 ü
(4.3.2/4)
(4.3.2/4a)
aus (4.3.2/4)
Aus der Schwingbedingung folgt mit den Gl.(4.3.2/4a), (4.3.2/1a) und (4.3.2/3) die Gl.(4.3.2/5).
K = 1 V
– 1 ü = – ұ pges
S
= – 1 S [ 1
r
+ 1
CE R
+ 1 + j (ωC – 1
P r`BE ωL ) ] (4.3.2/5)
aus (4.3.2/4a) aus (4.3.2/1a) aus (4.3.2/3)
Ein Vergleich der Realteile in (4.3.2/5) liefert die Amplitudenbedingung (4.3.2/6).
Realteil von (4.3.2/5), Amplitudenbedingung – 1 ü = – 1 S ( 1
r
+ 1
CE R
+ 1 )
P r`BE
1
ü = 1 S ( 1
r
+ 1
CE R
+ 1
P
r`BE
) (4.3.2/6)
Da nach (4.3.2/5) der Imaginärteil in der Schwingbedingung null sein muss, folgt hieraus, dass
die Schwingfrequenz des Oszillators gleich der Resonanzfrequenz des Selektivverstärkers
(Gl.(4.3.2/7)) ist.
Imaginärteil von (4.3.2/5), Schwingfrequenz 0 = 1 S (ω 0C – 1
ω 0 L ) , ω 0C = 1
ω 0 L
ω
² 1
0 =
LC => ƒ 1
0 =
(4.3.2/7)
2π LC
Der Meißner-Oszillator schwingt also auf der Resonanzfrequenz ƒ 0 . Nach dem Einschalten der
Betriebsspannung U B soll der Oszillator sicher anschwingen.
Ein exponentieller Anstieg der Schwingamplitude erfolgt solange, bis auf Grund von
Nichtlinearitäten (z.B. geringe Abflachung der Steuerkennlinie) die Steilheit S und damit die
Verstärkung V 0 abnimmt. Dann schwingt der Oszillator mit konstanter Amplitude und es gilt
K V = 1. Besser sind sicher schaltungsmäßig vorgesehene Maßnahmen für eine Amplituden-
Stabilisierung. So sollte man auf jeden Fall eine gleichstrommäßige Gegenkopplung zur
Arbeitspunktstabilisierung vorsehen, eventuell auch eine geringe wechselmäßige
Stromgegenkopplung zur Verringerung von Verstärkung und Klirrfaktor.
Auch ein zu großes Übersetzungsverhältnis ü sollte man vermeiden, da sich dies ungünstig auf
den Klirrfaktor der Oszillatorschwingung auswirkt.
15

) Hartley-Oszillator
Beim Hartley-Oszillator wird der Schwingkreis eines Resonanz-Verstärkers induktiv angezapft
(induktive Dreipunkt-Schaltung). Bild 4.3.2-2a zeigt eine Ausführung in Basisschaltung. Die
abgegriffene Teilspannung wird als Rückkoppel-Signal dem Verstärker-Eingang (hier Emitter)
zugeführt.
a)
+U B
+U B
n1
R 2
C L
n 2
R E R 1
C >>
C >>
E
L n 2
R E r EB SU 1
r CB R C P U 2
U 1
–
n 1
U K
b)
B
re
B
Z P
= 1
Y P
Bild 4.3.2-2 Hartley-Oszillator
a) Schaltung
b) Ersatzschaltung
In Bild 4.3.2-2b ist das wechselstrommäßige Ersatzschalbild des Hartley-Oszillators dargestellt,
hier mit den Parametern der Basis-Schaltung. Aufgrund des höheren Eingangsstromes ist der
Eingangswiderstand der Basisschaltung wesentlich niederohmiger als bei der Emitter-Schaltung.
Den nicht invertierenden Charakter der Basis-Schaltung berücksichtigt man bei tieferen
Frequenzen durch das negative Vorzeichen der reellen Steilheit, bei höheren Frequenzen rechnet
man dann allgemein mit einer komplexen Steilheit.
Für die Ersatzgrößen in Bild 4.3.2-2b gilt mit dem Stromverstärkungsfaktor β >> 1
r EB = 1
Y 11b
≈ r EB
β ;
und r CB = 1
Y 22b
>> r CE .
Y 21b = – Y 21e = – S
Der Rückkopplungsfaktor K lässt sich mit der Gl.(4.3.2/8) und die Ausgangsspannung U 2 mit der
Gl.(4.3.2/9) berechnen.
Aus Bild 4.3.2-2b
K = U K
U 2
=
n 1
n 1 + n 2
= 1 ü`
(4.3.2/8)
U 2 = – ( – S U 1 ) Z p = S U 1 1 ұ
p
(4.3.2/9)
16

V = U 2
U 1
= S U 1 1 ұ
p
1
U 1
= S ұ
p
(4.3.2/10)
aus (4.3.2/9)
Der Schwingkreis wird wieder durch den transformierten Eingangswiderstand r`e belastet
(Gl.(4.3.2/11)).
ұ
p = 1
r CB
+
r e = R E || r EB = R E r EB
R E + r EB
R E >> r EB => r e ≈ r EB
r`e= ü`² r e ≈ ü`² r EB (4.3.2/11)
1
ü`² r
+ 1
EB R
+ j (ωC – 1
p ωL ) (4.3.2/12)
Den Gesamtleitwert ұ p erhält man mit der Gl.(4.3.2/12), wobei R P den Verlustwiderstand des
Parallelschwingkreises mit der Güte Q P darstellt (Gl.(4.3.2/13)).
analog zu (2.3.1/6b) R P = Q P ω 0 L (4.3.2/13)
Aus der Schwingbedingung folgt mit den Gl.(4.3.2/8), (4.3.2/10) und (4.3.2/12) die
Gl.(4.3.2/14).
K = 1 V
1 ұ ü` = P
S = 1 S [ 1 1
r
+
CB ü`² r
+ 1
EB R
+ j (ωC – 1
P ωL
)] (4.3.2/14)
aus (4.3.2/8) aus (4.3.2/10) aus (4.3.2/12)
Ein Vergleich der Realteile in (4.3.2/14) liefert die Amplitudenbedingung (4.3.2/15).
1
Realteil von (4.3.2/14), Amplitudenbedingung
ü` = 1 S [ 1 1
r
+
CB ü`² r
+ 1
EB R
] (4.3.2/15)
P
Da nach (4.3.2/14) der Imaginärteil in der Schwingbedingung null sein muss, erhält man mit
Gl.(4.3.2/16) die Schwing-(Resonanz)-Frequenz ƒ 0 des Hartley-Oszillators.
Imaginärteil von (4.3.2/14), Schwingfrequenz 0 = 1 S ( ω 0C – 1
ω 0 L )
ω 0 C = 1
ω 0 L
ω 0
² =
1
L C => ƒ 0 =
1
2π L C
(4.3.2/16)
c) Colpitts-Oszillator
Beim Colpitts-Oszillator wird aus dem Schwingkreis eines Selektiv-Verstärkers kapazitiv ein
Rückkoppelsignal ausgekoppelt und auf den Verstärker-Eingang rückgeführt (kapazitive
Dreipunkt-Schaltung). Bild 4.3.2-3a zeigt eine typische Ausführung in Emitter-Schaltung und
Bild 4.3.2-3b das dazugehörige wechselstrommäßige Ersatzschaltbild. Die Kondensatoren C»
sind wieder als wechselstrommäßige Kurzschlüsse aufzufassen und daher im Ersatzbild nicht
enthalten. Sie verhindern zwischen Kollektor und Basis einen gleichspannungsmäßigen
Kurzschluss durch L und heben die wechselstrommäßige Strom-Gegenkopplung durch R E auf
(nur Arbeitspunktstabilisierung).
17

Zur rückgekoppelten Spannung (Bild 4.3.2-3b) gelangt man, wenn man den kapazitiven Teiler
C 2 , C 1 als nahezu „unbelastet“ auffasst. Dann gilt für das Spannungsverhältnis die Gl.(4.3.2/17).
1
| U C1 | ωC 1
| U C2 |
≈
1
≈ C 2
C
(4.3.2/17)
1
ωC 2
Die erforderliche Phasenumkehr von 180° wird dadurch erreicht, dass die Verbindung zwischen
C 2 und C 1 an Masse gelegt ist (Punkt 2). Der Rückkoppelfaktor K ergibt sich mit Gl.(4.3.2/17a).
K = U K
U 2
= –U C1
U C2
= – | U C1 |
| U C2 |
≈ – C 2
C 1
(4.3.2/17a)
aus (4.3.2/17)
U
+
B
+
U
B
1
C >>
R
C
R
2
L
2
C
2
C
1
R
1
3
R
E
C
>>
a)
U
B
1
U C
U
R
2
B C
1
R ||
1 R2
r E S 1
rC
E
2
U
C2
re
E
r
2
U
K
2
C
1
U
C1
U
P
R
P
L
b)
3
SU 1
rC
E R C
r R`P
è U 2
c)
Bild 4.3.2-3
R P0
Colpitts-Oszillator
a) Schaltung
b) Ersatzbild zu a)
c) Ersatzbild zur Berechnung von V 0
18

Auch im vorliegenden Fall ist aus dem Ersatzbild erkennbar, dass die Schwingfrequenz wieder
mit der Resonanzfrequenz übereinstimmen muss. Dies führt auf schnellstem Wege zur
Schwingfrequenz des Colpitts-Oszillators (Gl.(4.3.2/18)).
C ges = C 1 C 2
C 1 + C 2
1
ƒ 0 =
(4.3.2/18)
2π L C ges
Die Amplitudenbedingung erhält man dann aus K (reell) und der Verstärkung V 0 bei ƒ 0 (d.h. dem
Realteil von V). Die Berechnung von V 0 kann man mit dem etwas umgezeichneten Ersatzbild
(Bild 4.3.2-3c) vornehmen, das die Transformation bezüglich der Klemmen C-E bei Resonanz
berücksichtigt (vgl. Bild 4.3.2-3b). Hierin bedeutet R p` den transformierten Verlustwiderstand R p
des Schwingkreises.
Damit berechnet sich die Verstärkung V 0 bei der Resonanzfrequenz ƒ 0 mit Gl.(4.3.2/19).
aus Bild 4.3.2-3c
U 2 = – S U 1 R P0
V 0 = U 2
U 1
| = – S R P0 = – S
ƒ0
G
(4.3.2/19)
P0
mit G p0 = 1
r
+ 1
CE R
+ 1
C R P` + 1
r e`
Ersetzt man die Spule L durch einen Reihenschwingkreis, dessen Reaktanz-Summe bei ƒ 0
induktiv ist, erhält man einen Clapp-Oszillator, der eine recht gute Frequenzstabilität besitzt.
+U B
L
R 2 >>
2
C
L
L
C`2 C 22
a)
C >>
R 1
R E
C
1
C
b)
C`1 C 11
L
C 2 C 22
L
C 2 C 22
X K
=^
C 1 C 11
c)
C
C 1 C 11
C
Bild 4.3.2-4 Clapp-Oszillator
a) Schaltung
b) Colpitts-Oszillator in Basisschaltung (Prinzip)
c) Rückführung des Clapp-Oszillators auf Colpits-Oszillator
19

Bei freischwingenden LC-Oszillatoren lässt sich eine Frequenzkonstanz von ƒ / ƒ 0 ≈ (0,1 ....1)
×10 –3 erreichen. Ein sorgfältiger Oszillator-Aufbau (z.B. Arbeitspunktstabilisierung, gute
Schirmung, lose Lastankopplung) wirkt sich hierbei günstig auf eine optimale Stabilität der
Schwingfrequenz aus.
Im Falle höherer Anforderungen hinsichtlich der Frequenzstabilität sind in Oszillator-
Schaltungen Quarze als Resonatoren mit wesentlich besseren Gütewerten (Q ≈ 10 4 ....10 6 ) als bei
üblichen LC-Kreisen (Q ≈ 30 ...300) einzusetzen [51, 12].
4.3.3 Quarz-Oszillatoren
Bei einem Schwingquarz wird der reziproke Piezzo-Effekt ausgenutzt, d.h. eine angelegte
Wechselspannung regt den Quarz zu mechanischen Schwingungen an.
Abhängig von der Schnittführung (bezogen auf die Kristallachsen) sowie von der Form
(Scheiben oder Stäbe) sind Schwinger mit unterschiedlichen Eigenschaften herstellbar. So
werden z.B. bei tieferen Frequenzen ( < 100 kHz) überwiegend Biegeschwinger als
Grundwellenquarze verwendet, d.h. der Quarz wird in der Oszillator-Schaltung in seiner
Grundschwingung angeregt.
Im Anwendungsbereich zwischen ca. 300 kHz und 25 MHz werden Quarze meist als
Dickenscherschwinger hergestellt und dabei als Grundwellenquarze betrieben.
Für Anwendungsbereiche oberhalb 25 MHz verwendet man Dickenscherschwinger als
Oberwellenquarze. Hier wird der Quarz durch geeignete Anregung in der Oszillator-Schaltung
bei einer ungeraden Oberwelle (3., 5. oder 7. Harmonische) betrieben. Grundwellenquarze für
höhere Frequenzen stellt man i.a. nicht her, da im Hinblick auf die mechanische Stabilität die
Dicke des Quarzscheibchens nicht beliebig zu verringern ist. Näheres über besondere
Quarzschnitte sowie deren Frequenzstabilität bei Temperaturänderungen sind in [51] dargestellt.
a) Quarz-Ersatzschaltbild
Da bei der Anregung eines Quarzes frequenzmäßig sehr selektive mechanische Resonanzen
auftreten, entspricht der Schwingquarz somit einem Resonanzkreis mit sehr hoher Güte Q. Das
elektrische Ersatzschaltbild hierfür zeigt Bild 4.3.3-1a. Die Ersatzschaltung besteht aus einem
Reihenschwingkreis mit einer großen Induktivität L 1 , einer sehr kleinen Kapazität C 1 und dem
Verlustwiderstand R 1 (dynamische Ersatzgrößen), sowie aus der hierzu parallelen Kapazität C 0
(C 0 >> C 1 ), die durch die Anregungselektroden bzw. die Halterung bedingt ist (statische
Ersatzgröße).Um eine Aussage über das elektrische Verhalten eines Quarzes in der Umgebung
der zu erwartenden Resonanzstellen (Reihenresonanz, Parallelresonanz) zu erhalten, setzt man
im Ersatzbild (Bild 4.3.3-1a) den Gesamt-Leitwert an.
C 1
a)
C 0
R 1
L 1
Bild 4.3.3-1
Schwingquarz
a) Elektrisches Ersatzbild
b) Verlauf von G = Re {Y ges } und B = Im {Y ges }
20

ұ
ges =
1
R 1 + j( ωL 1 –
R 1
1
+ jωC 0 =
ωC 1
) 2
ұ
ges =
2 1
+ j[ωC 0 –
R 1 + (ωL 1 –
ωC 1
) 2
1
R 1 – j( ωL 1 –
ωC 1
)
2 1
R 1 + ( ωL 1 –
ωC 1
) 2 + jωC 0 (4.3.3/1)
1
ωL 1 –
ωC 1
R 1
2
+ (ωL 1 –
1
] (4.3.3/2)
ωC 1
) 2
Zur Ermittlung der beiden Resonanzfrequenzen ƒ S und ƒ P sind in Gl.(4.3.3/2) die Nullstellen des
Im{ ұ
ges} zu suchen.
Im { ұ !
ges} = 0
1
ω r L 1 –
ω r C 1
ω r C 0 –
!
2 1 = 0
R 1 + (ω r L 1 –
ω r C 1
) 2
ω r
2
C0 [R 1
2
+ (ω r L 1 –
2 2 L 1 1
ω r L1 – 2
C
+ 2 2
1 ω r C1
1
ω r C 1
) 2 ] = ω r
2
L1 – 1 C 1
Beim Ausmultiplizieren des Imaginärteils ergibt sich eine biquadratische Gleichung. Mit der
2
Substitution ω
~ = ωr erhält man die Gl.(4.3.3/3).
2
C0 L 1
2 2 4
ω r C0 R 1 + ωr L1 C 0 – 2ω r
C
+ C 0 2
2 = ω r L1 – 1
1 C 1
C 1
ω r
4
L1
2
C0 + ω r
2
[C0 R 1
2
– L1 – 2C 0L 1
C 1
] = – C 0
C 1
2 – 1 C 1
ω r
4
+ ωr
2
[
R 1
2
2
ω
~ = ωr
L 1
2 –
2
ω
~ 2 + ω
~ R 1
[ 2 –
L 1
ω
~
1,2 =
1
L 1 C 1
+
1
L 1 C 0
–
1
L 1 C 0
–
2
C 1 L 1
] = –
2
C 1 L 1
] +
1
2L 1 C
– R 1
2 ±
0
(
2L 1
2
1
C 1
2
L1
2 –
1
C 1
2
L 1
2 +
1
L 1 C 1
+
1
2
C 1 L 1 C0
1
C 0 C 1 L 1
2 = 0
1
2L 1 C
– R 1
0
2
2L 1
2) 2 –
1 1
2 2 –
2 (4.3.3/3)
C 1 L 1 C 0 C 1 L 1
1
L 1
2
C1
2 +
2
1
2L 1
2
C0 C 1
–
R 1
2
2L 1
3
C1
+
R 1
2
1
2L 1
2
C0 C 1
+
4
1
4L 1
2
C0
2 –
R 1
2
4L 1
3
C0
–
R 1
2
2L 1
3
C1
–
R 1
2
3 + R 1
4 –
4L 1 C0 4L 1
– R 1 1
3 + 2 2 – 3 + R 1 1
4 =
L 1 C1 4L 1 C0 2L 1 C0 4L 1
4L 2 2 [ 1 + R 1
2 – 4R 1
1 C 0 L 1 L 1 C
– 2R 2
1
1 L
]
1
4C 0
2
2C 0
2
C 0
4
1
C 1
2
L1
2 –
1
C 0 C 1 L 1
2
21

ω
~
1,2 = ω r
21,2 =
1
L 1 C 1
+
2
4
C0
2
2
C0
2
1
2L 1 C
– R 1 1
2 ±
0 2L 1
2L 1 C
1 + R 1
2 – 4R 1
0 L 1
L 1 C
– 2R 1
1
L 1
2
C0
(4.3.3/3a)
vernachlässigbar
Da im Allgemeinen L 1 sehr groß und R 1 sowie C 0 klein sind, ist der Ausdruck R 1
2

aus (4.3.3/5)
mit ω P |
R1 =0 ≈ 1
L1C1
1 + C 1
C 0
(4.3.3/6a)
2
C0
ω S ≈ L 1 C 1 1 + R 1
L
≈ ω S
1
| [ 1 + 1 R1 =0 2
R 1
2
C0
L 1
] (4.3.3/7)
aus (4.3.3/5a) ω S |
R1 =0
1 + x ≈ 1 + 1 2 x
mit ω S |
R1 =0 ≈ 1
L 1 C 1
(4.3.3/7a)
Die Güten des Quarzes lassen sich angeben, wenn man wie üblich ein Blindelement des
Reihenkreises (z.B. L 1 ) bei Resonanz auf den Verlustwiderstand R 1
bezieht (Gl.(4.3.3/8) + (4.3.3/9)).
Q S =
1
tan(δ S ) = ω ω
SL S
1
| L R1 =0
1
R
≈
1 R
=
1
1
C 1 L 1
L 1
R 1
= 1 R 1
L 1
C 1
(4.3.3/8)
aus (4.3.3/7a)
Q P =
1
tan(δ P ) = ω PL 1
R 1
≈ ω P |
R1 =0
L 1
R 1
=
1
L 1 C 1
1 + C 1
C 0
L 1
R 1
aus (4.3.3/6a)
Q P ≈ 1 R 1
L 1
C 1
1 + C 1
C 0
= Q S 1+ C 1
C 0
(4.3.3/9)
aus (4.3.3/8) Q S
In (4.3.3/8) ist der Kennwiderstand des Quarzes aus den dynamischen Ersatzgrößen (also das
L/C-Verhältnis) sehr groß gegenüber dem Verlustwiderstand R 1 und damit die Güte sehr groß. In
Bild 4.3.3-1b sind die Verläufe von G = Re{Y ges } und B = Im{Y ges } nach (4.3.3/2) qualitativ
aufgetragen. Man erkennt hieraus, dass der Quarz bei ƒ S niederohmig ist, d.h. einem
Reihenschwingkreis mit dem Verlustwiderstand R 1 und der hohen Güte Q S entspricht (bis auf den
kleinen Blindanteil jω S C 0 ). Bei ƒ P ist der Quarz hochohmig, entspricht also einem
Parallelschwingkreis mit dem Verlustwiderstand R P [51].
Zwischen ƒ S und ƒ P hat Y ges einen negativen und somit Z ges = 1/Y ges einen positiven Blindanteil. Der
Quarz entspricht also in diesem Bereich einer Impedanz mit induktivem Charakter. Somit lässt
sich z.B. im Colpitts-Oszillator die Spule L durch einen Quarz ersetzen, der in obigem
Frequenzbereich schwingt.
Zur Veranschaulichung der Größenverhältnisse sind für einen Quarz mit seinen Ersatzgrößen
(nach Herstellerangabe) nochmals die wichtigsten Kenngrößen verfolgt (Beispiel 4.3.3/1).
23

Bsp. 4.3.3/1: Vom Hersteller liegen über einen Grundton-Quarz die folgenden Ersatzgrößen vor:
L 1 = 37,2 mH; C 1 = 16 fF = 0,016 pF; R 1 = 38 Ω;
C 0 = 5 pF + 30 pF = 35 pF (hiervon 30 pF Lastkapazität).
a) Wie groß sind ƒ S| und ƒ R1 =0 P| R1
=0
beim Quarz?
b) Wie groß sind ƒ S und ƒ P bei R 1 ?
c) Wie groß ist der absolute und prozentuale Abstand zwischen ƒ P und ƒ S ?
d) Wie groß sind die Güten Q S und Q P ?
a) aus (4.3.3/5a) ƒ S| ≈ 1
R1
=
=0
2π L 1 C 1
aus (4.3.3/6a) ƒ P| ≈ 1 R1 =0 2π
2π
1
37,2 · 10 –3 Vsec
A
· 10–15 Asec
V
= 6,523620 MHz
1
1 + C 1
L 1 C 1
C
= 6,523620 MHz 1 + 0,016
0 35
= 6,525111 MHz
b) aus (4.3.3/5) ƒ S ≈ 1 2π
1
1 + R 1
L 1 C 1
2
C0
L 1
= ƒ S| R1
=0 1 + R 1
2
C0
L 1
ƒ S = 6,523620 MHz
1 + 382 V 2 · 35 ·10 –12 Asec
A 2 –3 Vsec
= 6,523624 MHz
· 37,2 · 10
A · V
aus (4.3.3/6) ƒ P ≈ ƒ P| R1
2
C0
1,3586 · 10 –6
1 – R 1
=0 L
= 6,525111 MHz 1 – 1,3586 · 10 –6
1
ƒ P ≈ 6,525106 MHz
c) absoluter Frequenzabstand ∆ƒ = ƒ P – ƒ S = (6,525106 – 6,523624) MHz
∆ƒ = 1482 Hz
prozentualer Frequenzabstand ƒ P – ƒ S 1482
ƒ
=
6 = 0,2272 %o
S 6,523624 · 10
d) aus (4.3.3/8) Q S ≈ 1 L 1
R 1 C
= 1 A
1 38 V
37,2 · 10 –3 Vsec
–15 Asec
= 40.126
16 · 10
V A
aus (4.3.3/9) Q P ≈ Q S 1 + C 1
C
= 40.126 · 1 + 0,016
0 35 = 40.135
Oft ist man daran interessiert, die Schwingfrequenz eines Quarzes geringfügig zu verändern.
Dieses „Ziehen“ des Quarzes lässt sich durch eine Reihen- oder Parallelschaltung von
Kapazitäten bzw. Induktivitäten erreichen (Bild 4.3.3-2).Nachteilig ist hierbei, dass die Güte des
gezogenen Quarzes durch die wesentlich höheren Verlustfaktoren der Zusatzreaktanzen
abnimmt. Ist ein Ziehen erforderlich, bevorzugt man daher i.a. kleine Kapazitäten, da diese
geringere Verlustfaktoren besitzen als Spulen. Besser ist es allerdings, die im Oszillator (z.B. bei
kapazitiver Dreipunkt-Schaltung) zu erwartende kapazitive Last gleich dem Quarz-Hersteller
mitzuteilen. Durch Berücksichtigung dieser Angabe bei Schleifen des Quarzes ist später kaum
24

noch ein Ziehen erforderlich. Erfolgt keine eigene Mitteilung, wird meistens vom Hersteller
ersatzweise eine Lastkapazität angenommen (z.B. C L = 30 pF).
Bild 4.3.3-2
Ziehen eines Quarzes
durch Kapazität bzw. Induktivität
b) Pierce-Oszillator im Grundton-Betrieb
Ersetzt man bei der kapazitiven Dreipunkt-Schaltung (Colpitts-Oszillator, vgl. Bild 4.3.2-3) die
Spule L durch einen Quarz, so erhält man den Pierce-Oszillator, dessen Schaltung in
Bild 4.3.3-3a dargestellt ist. Die zugehörige wechselmäßige Ersatzschaltung zeigt Bild 4.3.3-3b.
Zur Unterscheidung von den übrigen Bauelementen sind die dynamischen Ersatzgrößen des
(verlustlos angenommenen) Quarzes mit dem Index Q versehen.
Die Schwingfrequenz des Quarzes erhält man wiederum aus der Resonanzbedingung, d.h. aus
dem Verschwinden des gesamten Blindanteils. Mit der Last- oder Bürdenkapazität C L für den
Quarz ergibt sich die Gl.(4.3.3/10).
C L = C 1* C 2 *
C 1 * + C 2 *
(4.3.3/10)
mit C 1 * = C 1 + C BE C 2 * = C 2 + C CE (4.3.3/11)
25

+ U B
Q
C >>
C 2
R 2
C 1
C >>
R 1
L >>
RE
a)
Bild 4.3.3-3
Pierce-Oszillator in Emitterschaltung
a) Schaltung
b) Ersatzschaltung
Der Gesamt-Blindanteil beträgt
1
jB ges (ω) = jω (C 0 + C L ) +
1
(4.3.3/12)
jωL 1Q – j
ωC 1Q
Bei Resonanz gilt B ges (ω r ) = 0 ( Im{ ұ ges(ω r )} = 0)
1
==> ω 0 (C 0 + C L ) =
1
ω 0 L 1Q –
ω 0 C 1Q
ω 0 2 L 1Q (C 0 + C L ) – C 0 + C L
C 1Q
= 1 | ·
C 1Q
C 1Q
C 0 + C L
ω 2 0 L 1Q C 1Q – 1 =
C 0 + C L
Damit beträgt die Schwingfrequenz ƒ 0 des Pierce-Oszillators
1
C 1Q
ƒ 0 =
1 +
2π L 1Q C 1Q
C 0 + C
(4.3.3/13)
L
Wie zu erwarten war, wird die Schwingfrequenz des Oszillators durch die Lastkapazität C L
, sondern auf einer
=0
Frequenz ƒ 0 zwischen diesen beiden Werten. Hier stellt der Quarz die erforderliche Impedanz mit
beeinflusst. Der Oszillator schwingt also weder bei ƒ S| noch bei ƒ R1 =0 P| R1
26

induktiven Charakter dar. Man spricht auch davon, dass der Oszillator auf seiner „gezogenen“
Parallelresonanz schwingt.
Wie schon angemerkt, empfiehlt sich bei Bestellung eines Quarzes die Angabe der Lastkapazität
C L , wodurch später der Quarz in der Schwingschaltung nur noch geringfügig auf die gewünschte
Frequenz ƒ 0 gezogen werden muss. Bei dem eben betrachteten Pierce-Oszillator in Emitter-
Schaltung handelt es sich um einen Grundton-Oszillator, d.h. der Quarz schwingt auf seiner
Grundfrequenz. Der gleiche Oszillator lässt sich auch in Basis- oder Kollektor-Schaltung
aufbauen (Bild 4.3.3-4).
+ U B
C >>
C 1
R 2 T
Q
C K
C 2
R 1 T
R E
R L
a)
R 1T
||
R 2T
B
Y .
21C U 1
r e
E
r a
C 1
L 1Q
U P C
U 0
C 2
CE
RE R C 2
C 1Q L
b)
C
Bild 4.3.3-4
Pierce-Oszillator in Kollektor-Schaltung
a) Schaltung
b) Ersatzschaltbild
c) Quarz-Oberton-Oszillatoren
Wird der Quarz bei einer ungeraden Harmonischen, im sog. Oberton-Betrieb, angeregt, so ist die
dynamische Kapazität C 1Q viel kleiner als bei Grundton-Betrieb und trotz größeren
Verlustwiderstandes R 1Q die Güte Q nach (4.3.3/8) i.a. höher als bei Grundton-Betrieb.
Bild 4.3.3-5a zeigt als Beispiel die Schaltung eines Quarz-Oszillators, der bei ƒ 0 = 50 MHz im
3.Oberton betrieben wird [51]. Der Parallelschwingkreis wird hierbei auf die 3.Harmonische
(ƒ 0 = 50 MHz) abgestimmt. Der Quarz schwingt in Serienresonanz (niederohmig und ≈ reell) und
bewirkt dadurch, dass bei Schwingfrequenz ƒ 0 der Verstärker praktisch in Basis-Schaltung
arbeitet. Durch die innere Kapazität C CE (sowie die Steilheitsphase) erfolgt die zur Rückkopplung
notwendige Phasendrehung zwischen Ausgang und Eingang. D.h. bei ƒ 0 ist die Schaltung
vergleichbar mit der Oszillator-Schaltung von Bild 4.3.2-4. Schwingbedingung und
Schwingsicherheit (Betrag und Phase) sind durch L und C 2 einstellbar (C 2 ist hier kein
wechselmäßiger Kurzschluss).
Ein weiterer oft benutzter Oszillator in Basisschaltung mit Oberton-Quarzen
(5., 7., 9. Harmonische) für den Frequenzbereich von ca. 70...200 MHz ist in Bild 4.3.3-5b
dargestellt. Hier wird der Quarz ebenfalls in seiner Serienresonanz betrieben und liegt mit
seinem niederohmigen reellen Widerstand im Rückkopplungszweig der kapazitiven Dreipunkt-
Schaltung.
27

+ U B
C >>
R 2
C 1
L
Q
R 1
RE
C S
C 2
a)
+U B
C >>
C >>
C 1
L
R
P
2
Q
R E
R 1
C 2
L
b)
Bild 4.3.3-5 Quarz-Oberton-Oszillator
a) für Frequenzbereich von ca. 30...80 MHz
b) für Frequenzbereich von ca. 70...200 MHz
Durch Kompensation der statischen Kapazität C 0 mit einer Zusatzinduktivität
L P = 1 / (ω 0
2C 0 ) wird erreicht, dass die Schwingfrequenz des Oszillators ƒ 0 exakt mit der
Serienresonanzfrequenz des Quarzes übereinstimmt. Die Kompensation mit L P sowie der
Schaltungsaufbau müssen sehr sorgfältig erfolgen, damit nicht eine ungewollte Frequenz
angeregt wird. Der Parallelschwingkreis ist auf die Frequenz des Oberton-Quarzes ausgelegt. Die
restliche Dimensionierung erfolgt ähnlich wie bei einem Colpitts-Oszillator im Grundton-
Betrieb.
28