Karteikarten zur Geometrie

1. Euklidische Geometrie # 1 1.1. Der axiomatische Zugang 


Inzidenzaxiome 

Anordnungsaxiome 



Satz: Eine Strecke ist nicht leer 

Definition: Charakterisierung von Punkten auf einer Geraden

# 2 Antwort 

Zu jedem Tripel (p, q, r) von Punkten soll die Aussage ” 

q liegt zwischen p und r“ entweder wahr oder 

falsch sein. 

- Axiom A 1 : Falls q zwischen p und r liegt, so sind p, q und r drei paarweise verschiedenen Punkte 

auf einer Geraden. 

- Axiom A 2 : Liegt q zwischen p und r, so liegt q auch zwischen r und p. 

Zu je zwei Punkten p und q nenne wir die Menge aller Punkte, die zwischen p und q liegt, die 

Strecke von p nach q und schreiben dafür pq, d. h. pq = qp. 

- Axiom A 3 : Zu je zwei verschiedenen Punkten p und q gibt es einen Punkt r, sodass q zwischen p 

und r liegt. 

- Axiom A 4 : Unter je drei verschiedenen Punkten liegt höchstens einer zwischen den beiden anderen. 

Haben zwei Geraden L und M einen Punkte p gemein, so sagen wir auch, dass sich L und M 

schneiden, in Symbolen L ∩ M ≠ ∅. Wir sagen, dass sich eine Strecke pr und eine Gerade L 

schneiden, falls es einen Punkt q zwischen p und r gibt mit q ∈ L. 

- Axiom A 5 : Seien p, q und r drei Punkte, dich nicht auf einer Geraden liegen, sei L eine Gerade, die 

keinen dieser drei Punkte enthält. Schneidet L die Strecke pq, so schneidet L auch genau eine der 

Strecken pr oder qr. 

Dies besagt, dass eine Gerade, die in ein Dreieck eintritt, durch eine der beiden anderen Seiten wieder 

heraustritt. Das sagt anschaulich auch, dass unsere Geometrie nicht mehr als zwei Dimensionen hat. 

# 1 Antwort 

Sei P eine Menge, deren Elemente wir Punkte nennen und G eine Menge, deren Elemente wir Geraden 

nennen. Die Aussage ” 

p ∈ P ist enthalten in L ∈ G“, notiert als p ∈ L ist entweder wahr oder falsch. 

- Axiom I 1 : Durch je zwei Punkte geht eine Gerade, 

∀p, q ∈ P ∃L ∈ G : p ∈ L ∧ q ∈ L. (1.1) 

- Axiom I 2 : Durch je zwei verschiedene Punkte geht höchstens eine Gerade, 

∀p, q ∈ P, p ≠ q ∀L, M ∈ G, p ∈ L, q ∈ L, p ∈ M, q ∈ M : L = M. (1.2) 

Gemäß I 1 und I 2 geht durch zwei verschiedenen Punkte p, q genau eine Gerade, die wir fortan mit 

L(p, q) bezeichnen wollen. 

- Axiom I 3 : Jede Gerade enthält mindestens zwei verschiedene Punkte, 

∀L ∈ G ∃p, q ∈ P, p ≠ q : p ∈ L ∧ q ∈ L. (1.3) 

- Axiom I 4 : Es gibt drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, 

∃p, q, r ∈ P :̸ ∃L ∈ G : p ∈ L, q ∈ L, r ∈ L. (1.4) 

Dieses Axiom bringt zum Ausdruck, dass unsere Geometrie wenigstens zwei Dimensionen hat. 

# 4 Antwort 

Definition 1.1.2. Sei L eine Gerade, p ∈ L. Seien q, r zwei Punkte auf L, beide ungleich p. Wir sagen 

q und r liegen auf der selben Seite des Punktes p, falls p nicht zwischen q und r liegt. 

Sei L eine Gerade und p, q zwei Punkte, die nicht auf L liegen. Wir sagen p und q liegen auf derselben 

Seite der Geraden L, falls die Strecke pq die Gerade L nicht schneidet. 

Damit lassen sich zwei Äquivalenzrelationen definieren. 

# 3 Antwort 

Satz 1.1.1. Zu je zwei verschiedenen Punkten p und q gibt es einen Punkt r, der zwischen p und q liegt, 

d. h. die Strecke pq ist nicht leer. 

Beweis. Ein Beweis, der die bisherigen Axiome benutzt, findet sich in [Bär, Seite 4f].



Definition: Winkel 

Kongruenzaxiome 



Lemma: Kongruenz von Strecken 

Satz: Gleichheit von Dreiecken

# 6 Antwort 

Für jedes Paar von Strecken (pq, p 1 q 1 ) ist die Aussagen ” 

pq ist zu p 1 q 1 kongruent“ ist entweder wahr 

oder falsch. Für je zwei Winkel gilt die ähnliche Aussage. 

- Axiom K 1 (Streckenabtragung): Sei pq eine Strecke, sei L 1 eine Gerade, seien p 1 , r 1 ∈ L 1 mit 

r 1 ≠ p 1 . Dann gibt es einen Punkt q 1 ∈ L, auf derselben Seite von p 1 wie r 1 , sodass pq zu p 1 q 1 

kongruent ist. 

- Axiom K 2 : Sind die Strecken p 1 q 1 und p 2 q 2 beide zur Strecke pq kongruent, so ist auch p 1 q 1 zu 

p 2 q 2 kongruent. 

- Axiom K 3 (Addierbarkeit von Strecken): Seien L und L 1 Geraden, seien p, q, r ∈ L und p 1 , q 1 , r 1 ∈ 

L 1 jeweils drei paarweise verschiedene Punkte auf diesen Geraden. Die Strecke pq und qr mögen 

keine gemeinsamen Punkte haben, pq ∩ qr = ∅. Analog sei p 1 q 1 ∩ q 1 r 1 = ∅. 

Sind dann pq ≡ p 1 q 1 und qr ≡ q 1 r 1 , so ist auch pr ≡ p 1 r 1 . 

- Axiom K 4 : Die Kongruenz von Winkeln bildet eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Winkel. 

- Axiom K 5 (Winkelabtragung): Seien p, q, r Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, und seien 

p 1 , q 1 , s 1 ebenfalls Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen. Dann gibt es einen Punkt r 1 auf 

derselben Seite von L(p 1 , q 1 ) wie s 1 , sodass der Winkel ∠(p 1 , q 1 , r 1 ) kongruent ist zu dem WInkel 

∠(p, q, r). 

Ist ferner r 2 ein weiterer Punkt mit denselben Eigenschaften wie r 1 , d. h. liegt r 2 ebenfalls auf 

derselben Seite von L(p 1 , q 1 ) wie s 1 und ∠(p 1 , q 1 , r 2 ) ≡ ∠(p, q, r), so ist ∠(p 1 , q 1 , r 1 ) ≡ ∠(p 1 , q 1 , r 2 ). 

- Axiom K 6 : Seien (p, q, r) und (p 1 , q 1 , r 1 ) zwei Tripel von Punkten, die jeweils nicht auf einer Geraden 

liegen. Gilt pq ≡ p 1 q 1 , pr ≡ p 1 r 1 und ∠(q, p, r) ≡ ∠(q 1 , p 1 , r 1 ), so gilt auch ∠(p, q, r) ≡ ∠(p 1 , q 1 , r 1 ). 

# 5 Antwort 

Definition 1.1.3 (Winkel). Ein Winkel ist eine Äquivalenzklasse von Tripeln von Punkten p, q, r, die 

nicht auf einer Geraden liegen, wobei zwei Tripel (p, q, r) und (p 1 , q 1 , r 1 ) äquivalent sind, falls 

1. q = q 1 

2. L(p, q) = L(p 1 , q) und p und p 1 liegen auf derselben Seite von q 

3. L(r, q) = L(r 1 , q) und r und r 1 liegen auf derselben Seite von q. 

Der Punkt q heißt Scheitel des Winkels. Für die Äquivalenzklasse von (p, q, r) schreiben wir ∠(p, q, r). 

# 8 Antwort 

Satz 1.1.5. Seien (p, q, r) und (p 1 , q 1 , r 1 ) zwei Tripel von Punkten, die jeweils nicht auf einer Geraden 

liegen. Gilt pq ≡ p 1 q 1 , pr ≡ p 1 r 1 und ∠(q, p, r) ≡ ∠(q 1 , p 1 , r 1 ), so gilt auch 

∠(p, q, r) ≡ ∠(p 1 , q 1 , r 1 ), 

∠(p, r, q) ≡ ∠(p 1 , r 1 , q 1 ), 

qr ≡ q 1 r 1 . (1.5) 

# 7 Antwort 

Lemma 1.1.4. Die Kongruenz von Strecken bildet eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Strecken. 

Beweis. Ein Beweis findet sich in [Bär, Seite 9]. 

Beweis. Ein Beweis findet sich in [Bär, Seite 10f].



Satz: Kongruenz der Nebenwinkel 

Satz: Kongruenz der Gegenwinkel 



Satz: Existenz einer Parallelen 

Parallelenaxiom

# 10 Antwort 

Satz 1.1.7 (Kongruenz der Gegenwinkel). Seien L und M verschiedene Geraden, die sich in p schneiden. 

Seien r, q ∈ L auf zwei verschiedenen Seiten von p, und seien s, t ∈ M ebenfalls auf zwei verschiedenen 

Seiten von p. Dann ist ∠(q, p, s) ≡ ∠(r, p, t). 


# 9 Antwort 

Satz 1.1.6 (Kongruenz der Nebenwinkel). Es mögen die paarweise verschiedenen Punkte p, q, s auf einer 

Geraden L liegen, dagegen r /∈ L. Analog seien p 1 , q 1 , s 1 ∈ L 1 paarweise verschieden und r 1 /∈ L 1 . Sind 

∠(p, q, r) und ∠(p 1 , q 1 , r 1 ) kongruent, so sind auch ∠(s, q, r) und ∠(s 1 , q 1 , r 1 ) kongruent. Der Winkel 

∠(s, q, r) wird auch als Nebenwinkel bezeichnet. 

Beweis. Ein Beweis findet sich in [Bär, Seite 11f]. 

# 12 Antwort 

Axiom P (Parallelenaxiom): Sei L eine Gerade, p ein Punkt, p /∈ L. Dann gibt es höchstens eine Gerade, 

die p enthält und die L nicht schneidet. 

# 11 Antwort 

Satz 1.1.8 (Existenz einer Parallelen). Sei L eine Gerade, p ein Punkt, p /∈ L. Dann gibt es eine Gerade 

M, die p enthält und die L nicht schneidet. 

Wir sagen dann, M ist eine Parallele zu L durch p. 



1. Euklidische Geometrie # 14 1.2. Das kartesische Modell 

Vollständigkeitsaxiome 

Von der Axiomatik zum kartesischen Modell 



Definition: Euklidische Bewegung 

Definition: Kongruenz

# 14 Antwort 

Im axiomatischen Ansatz macht sich seine Schwerfälligkeit störend bemerkbar. Wir charakterisieren deshalb 

nun Punkte durch Koordinaten, die die Lage der Punkte in einer Ebene beschreiben. Dies ermöglicht 

es, Methoden aus der Algebra und der Infinitesimalrechnung auch in der Geometrie zu verwenden. Wir 

machen also die Definition 

Geraden werden definiert als Punktmengen der Form 

P := R 2 . (1.6) 

L := L p,v = { x ∈ R 2 : x = p + tv, t ∈ R } , (1.7) 

wobei p, v ∈ R 2 , v ≠ 0 fixiert sind. Die Menge der Geraden ist dann 

G := { L p,v : p, v ∈ R 2 , v ≠ 0 } . (1.8) 

Wir sagen, ein Punkt p ist enthalten in einer Geraden L, wenn p ∈ L im Mengentheoretischen Sinn gilt. 

Ein Punkt q ∈ R 2 liegt zwischen p und r ∈ R 2 , p ≠ r, falls es ein t ∈ (0, 1) gibt, sodass q = tp + (1 − t)q 

gilt. 

# 13 Antwort 

Die Daten die wir zur axiomatischen Formulierung der euklidischen Geometrie benötigen, sind: eine 

Menge P, deren Elemente Punkte heißen; eine Menge G, deren Elemente Geraden heißen; eine Relation 

∈ zwischen P und G; eine dreistellige Realation ” 

zwischen“ auf P; eine Relation ≡ 1 auf der Menge der 

Strecken; eine Relation ≡ 2 auf der Menge der Winkel. 

Unter einer Erweiterung unserer Geometrie verstehen wir ein weiteres 6-Tupel (P ′ , G ′ , ∈ ′ , zwischen ′ , ≡ ′ 1 

, ≡ ′ 2 ), sodass P ⊂ P′ , G ⊂ G ′ und die Relationen des neuen 6-Tupels stimmen nach Einschränkung auf P 

und G mit den entsprechenden Relationen überein. 

- Axiom V 1 (Archimedisches Axiom): Seien pq und rs Strecken. Dann existiert eine natürliche Zahl 

n, sodass die Strecke r 1 s n, die durch n-maliges Abtragen der Strecke rs auf der Geraden L(p, q) 

entsteht, ausgehend von p in Richtung q die Strecke pq enthält. 

- Axiom V 2 (Vollständigkeit): Sei (P ′ , G ′ , ∈ ′ , zwischen ′ , ≡ ′ 1 , ≡′ 2 ) eine Erweiterung unserer Geometrie. 

Dann ist P ′ = P und G ′ = G. 

# 16 Antwort 

Definition 1.2.2 (Kongruenz). Zwei Strecken pq und rs heißen kongruent, falls es eine euklidische 

Bewegung F ∈ E(2) gibt, sodass 

F (p)F (q) = rs. (1.11) 

Analog nennen wir den Winkel ∠(p, q, r) kongruent zu ∠(p 1 , q 1 , r 1 ), falls es ein F ∈ E(2) gibt, sodass 

∠(F (p), F (q), F (r)) = ∠(p 1 , q 1 , r 1 ). (1.12) 

# 15 Antwort 

Definition 1.2.1 (Euklidische Bewegung). Sei A ∈ O(n) eine orthogonale Matrix, d. h. sie erfüllt AA t = 

Id, wobei A t die zu A transponierte Matrix ist. Sei b ∈ R n . Dann nennt man die Abbildung 

F A,b : R n → R n , F A,b (x) = Ax + b, (1.9) 

eine euklidische Bewegung. Der Vektor b wird auch als Translationsanteil bezeichnet. Für eine fixierte 

Dimension n heißt die Menge aller euklidischen Bewegungen 

E(n) := { F A,b : A ∈ O(n), b ∈ R n} (1.10) 

euklidische Bewegungsgruppe.



Satz: Verträglichkeit der Axiomatik mit der euklidischen Geometrie 

Satz: Kosinussatz der euklidischen Geometrie 



Satz von Pythagoras 

Satz: Sinussatz der euklidischen Geometrie

# 18 Antwort 

Satz 1.2.4 (Kosinussatz der euklidischen Geometrie). Seien p, q, r ∈ R 2 . Seien a = ‖p − q‖, b = ‖p − r‖ 

und c = ‖q − r‖ die Seitenlängen des Dreiecks mit den Ecken p, q, r. Sei γ der Innenwinkel in der Ecke 

p, dann gilt 

# 17 Antwort 

Satz 1.2.3. Die Axiome der ebenen euklidischen Geometrie sind für das kartesische Modell gültig. 

c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos(γ). (1.13) 


# 20 Antwort 

Satz 1.2.6 (Sinussatz der euklidischen Geometrie). Bezeichnen wir den Winkel in der Ecke q mit β und 

in der Ecke r mit α, so gilt 

a 

b = sin α 

sin β . (1.15) 

# 19 Antwort 

Korollar 1.2.5 (Satz von Pythagoras). Sind die Bezeichnungen wie in Satz 1.2.4 und ist der Winkel 

ein rechter, γ = π/2, so gilt 

a 2 + b 2 = c 2 . (1.14) 

Beweis. Ein Beweis verwendet den Kosinussatz und findet sich in [Bär, Seite 21].


2. Kurventheorie # 22 2.1. Kurven in R n 

Satz: Winkelsumme im euklidischen Dreieck 

Definition: Parametrisierte Kurve 



Beispiele für parametrisierte Kurven 

Definition: Parametertransformation

# 22 Antwort 

Wir wollen nun die Werkzeuge der Differential- und Integralrechnung benutzen, um Kurven im n- 

dimensionalen Raum zu beschreiben. Unter einer Kurve stellen wir uns anschaulich ein, in der Regel 

verbogenes, in den Raum gelegtes Geradenstück vor. 

Definition 2.1.1 (Parametrisierte Kurve). Sei I ⊂ R ein Intervall. Eine parametrisierte Kurve ist eine 

unendlich oft differenzierbare Abbildung c : I → R n . Eine parametrisierte Kurve heißt regulär, falls ihr 

Geschwindigkeitsvektor nirgends verschwindet, ċ(t) ≠ 0 für alle t ∈ I. 

# 21 Antwort 

Satz 1.2.7 (Winkelsumme im euklidischen Dreieck). Für die Winkelsumme im euklidischen Dreieck gilt 

α + β + γ = π. (1.16) 

Beweis. Ein Beweis, der zunächst den rechtwinkligen Fall und anschließend den allgemeinen Fall betrachtet, 

findet sich in [Bär, Seite 22f]. 

# 24 Antwort 

Definition 2.1.2 (Parametertransformation). Sei c : I → R n eine parametrisierte Kurve. Eine Parametertransformation 

von c ist eine bijektive Abbildung ϕ : J → I, wobei J ⊂ R ein weiteres Intervall 

ist, sodass sowohl ϕ, als auch ϕ −1 : I → J unendlich oft differenzierbar sind. Die parametrisierte Kurve 

˜c = c ◦ ϕ : J → R n heißt Umparametrisierung von c. 

# 23 Antwort 

Beispiel (Parametrisierte Kurven). 

- Gerade: Eine Gerade können wir folgendermaßen als reguläre parametrisierte Kurve schreiben: 

c : R → R n , c(t) = c 0 + t · v, (2.1) 

wobei c 0 ∈ R n und v ∈ R n \ {0}. 

- Kreislinie: Eine Kreislinie in der Ebene um den Mittelpunkt (0, 0) mit Radius r > 0 sieht folgendermaßen 

aus 

( ) 

c : R → R n r · cos t 

, c(t) = 

. (2.2) 

r · sin t 

- Schraubenlinie: Eine Schraubenlinie im 3-dimensionalen Ruam kann so parametrisiert werden 

⎛ 

c : R → R 3 , c(t) = ⎝ r · sin t 

⎞ 

r · cos t⎠ , (2.3) 

h · t 

wobei r > 0 und h > 0. 

- Traktrix: Die folgende reguläre parametrisierte Kurve wird als Traktrix oder Schleppkurve bezeichnet 

( 

) 

c : (0, π/2) → R 2 sin t 

, c(t) = 

. (2.4) 

cos t + ln tan (t/2)



Definition: Orientierungserhaltung 

Definition: Kurve 



Definition: Spur 

Definition: Orientierte Kurve

# 26 Antwort 

Definition 2.1.4 (Kurve). Eine Kurve ist eine Äquivalenzklasse von regulären parametrisierten Kurven, 

wobei diese als äquivalent angesehen werden, wenn sie Umparametrisierungen voneinander sind. 

# 25 Antwort 

Definition 2.1.3 (Orientierungserhaltung). Eine Parametertransformation ϕ heißt orientierungserhaltend, 

falls ˙ϕ(t) > 0 für alle t. Die Parametertransformation ϕ heißt orientierungsumkehrend, falls ˙ϕ(t) < 0 

für alle t. 

# 28 Antwort 

Definition 2.1.6 (Orientierte Kurve). Eine orientierte Kurve ist eine Äquivalenzklasse von parametrisierten 

Kurven, wobei diese als äquivalent angehsehen werden, wenn sie durch orientierungserhaltende 

Parametertransformationen auseinander hervorgehen. 

Jede Kurve besitzt genau zwei Orientierungen. 

# 27 Antwort 

Definition 2.1.5 (Spur). Wird eine Kurve durch eine reguläre parametrisierte Kurve c : I → R n 

repräsentiert, dann nennt man das Bild c(I) auch die Spur der Kurve.



Definition: Nach Bogenlänge parametrisiert 

Proposition: Existenz einer Parametrisierung nach Bogenlänge 



Lemma: Eigenschaft der Parametertransformation 

Definition: Länge

# 30 Antwort 

Proposition 2.1.8. Zu jeder regulären parametrisierten Kurve c gibt es eine orientierungserhaltende 

Parametertransformation ϕ, sodass die Umparametrisierung c ◦ ϕ nach Bogenlänge parametrisiert ist. 


# 29 Antwort 

Definition 2.1.7 (Nach Bogenlänge parametrisiert). Eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve ist 

eine reguläre parametrisierte Kurve c : I → R n , mit ‖ċ(t)‖ = 1 für alle t ∈ I. 

Eine proportional zur Bogenlänge parametrisierte Kurve ist eine reguläre parametrisierte Kurve c : I → 

R n , für die ‖ċ‖ konstant, aber nicht unbedingt gleich 1, ist. 

# 32 Antwort 

Definition 2.1.10 (Länge). Sei c : [a, b] → R n eine parametrisierte Kurve. Dann heißt 

∫ b 

L[c] := ‖ċ(t)‖ dt, (2.5) 

a 

Länge von c. 

# 31 Antwort 

Lemma 2.1.9. Sind c 1 : I 1 → R n und c 2 : I 2 → R n Parametrisierungen nach der Bogenlänge derselben 

Kurve, so ist die zugehörige Parametertransformation ϕ : I 1 → I 2 mit c 1 = c 2 ◦ ϕ von der Form 

ϕ(t) = ±t + t 0 für ein t 0 ∈ R, falls c 1 und c 2 gleich (bzw. entgegengesetzt) orientiert sind. 

Beweis. Ein Beweis findet sich in [Bär, Seite 32].



Lemma: Eigenschaft der Länge 

Korrolar: Länge einer nach Bogenlänge parametrisierten Kurve 



Definition: Periode 

Definition: Einfach geschlossen

# 34 Antwort 

Korollar 2.1.12. Eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve ist gerade so lang, wie das Parameterintervall 

L [ ∫ 

] s 

c| [a,s] = 1 dt = s − a. (2.6) 

a 

# 33 Antwort 

Lemma 2.1.11. Die Länge parametrisierter Kurven ändert sich beim Umparametrisieren nicht . 


# 36 Antwort 

Definition 2.1.14 (Einfach geschlossen). Eine geschlossene Kurve heißt einfach geschlossen, falls sie 

eine periodische reguläre Parametrisierung c mit Periode L hat, sodass c| [0,L] injektiv ist. 

# 35 Antwort 

Definition 2.1.13 (Periode). Eine parametrisierte Kurve c : R → R n heißt periodisch mit Periode L, 

falls für alle t ∈ R gilt c(t+L) = c(t), L > 0, und es kein 0 < L ′ < L gibt, sodass ebenfalls c(t+L ′ ) = c(t) 

für alle t ∈ R. Eine Kurve heißt geschlossen, falls sie eine periodische reguläre Parametrisierung besitzt.

2. Kurventheorie # 37 2.2. Ebene Kurven 


Definition: Ebene Kurve 

Definition: Normalenvektor, Krümmung 



Lemma: Formel für die Krümmung 

Proposition: Frenet-Gleichung

# 38 Antwort 

Definition 2.2.2 (Normalenvektor, Krümmung). Sei c : I → R 2 eine nach Bogenlänge parametrisierte 

Kurve. Wir definieren das Normalenfeld durch 

( ) 0 −1 

n(t) := 

· ċ(t). (2.7) 

1 0 

# 37 Antwort 

Definition 2.2.1 (Ebene Kurve). Eine parametrisierte Kurve c : I → R n heißt ebene parametrisierte 

Kurve. Analog sind ebene reguläre parametrisierte Kurven, ebene Kurven und ebene orientierte Kurven 

definiert. 

Die Definition ist so gemacht, dass (ċ(t), n(t)) stets eine positiv orientierte Orthonormalbasis von R 2 

bilden. Da c noch Bogenlänge parametrisiert ist, gilt 〈ċ, ċ〉 = 1 und nach Differentiation dieser Gleichung 

0 ≡ 〈¨c, ċ〉 + 〈ċ, ¨c〉 = 2 〈¨c, ċ〉 . (2.8) 

Also stehen ċ(t) und ¨c(t) senkrecht aufeinander. Somit ist ¨c(t) ein Vielfaches des Normalenvektors n(t) 

¨c(t) = κ(t) · n(t). (2.9) 

Die Funktion κ : I → R heißt Krümmung von c. Sie ist ein Maß dafür, wie stark eine Kurve von einer 

Geraden abweicht. Ist c nach Bogenlänge parametrisiert, so ist c genau dann eine Gerade, wenn κ ≡ 0. 

Die Krümmung ist positiv, wenn sich die Kurve in Richtung ihres Normalenvektors krümmt, d. h. in 

Durchlaufrichtung nach links und negativ, wenn sie sich nach rechts krümmt. 

# 40 Antwort 

Proposition 2.2.4 (Frenet-Gleichung). Sei c : I → R 2 eine ebene nach Bogenlänge parametrisierte 

Kurve. Wir setzen v := ċ. Sei κ die Krümmung von c, und sei n der Normalenvektor. Dann gilt 

( ) 

0 −κ(t) 

( ˙v(t), ṅ(t)) = (v(t), n(t)) 

. (2.11) 

κ(t) 0 

# 39 Antwort 

Lemma 2.2.3. Sei c eine ebene parametrisierte Kurve. Die Krümmung lässt sich auch berechnen durch 

die Formel 

κ(t) = 

det(ċ(t), ¨c(t)) 

‖ċ(t)‖ 3 . (2.10) 




Definition: Umlaufzahl 

Lemma: Umlaufzahl bei Umparametrisierung 



Satz: Zusammenhang zwischen Umlaufzahl und Krümmung 

Definition: Sternförmig

# 42 Antwort 

Lemma 2.2.6. Seien c 1 , c 2 : R → R 2 zwei ebene nach Bogenlänge parametrisierte Kurven, periodisch 

mit Periode L. Entsteht c 2 aus c 1 durch eine orientierungserhaltende (orientierungsumkehrende) Parametertransformation, 

so gilt 

n c1 = ±n c2 . (2.14) 

# 41 Antwort 

Definition 2.2.5 (Umlaufzahl). Sei c : R → R 2 eine ebene nach Bogenlänge parametrisierte Kurve, 

periodisch mit Periode L. Sei θ : R → R 

( ) cos(θ(t)) 

ċ(t) = 

. (2.12) 

sin(θ(t)) 


Dann heißt 

Umlaufzahl von c. 

n c := 1 (θ(L) − θ(0)) (2.13) 

2π 

# 44 Antwort 

Definition 2.2.8 (Sternförmig). Sei X ⊂ R n und x 0 ∈ X. Dann heißt X sternförmig bezüglich x 0 , falls 

für jeden Punkt x ∈ X auch die ganze Strecke zwischen x und x 0 ganz in X enthalten ist, d. h. für alle 

t ∈ [0, 1] gilt 

tx + (1 − t)x 0 ∈ X. (2.16) 

# 43 Antwort 

Satz 2.2.7. Sei c : R → R 2 eine nach Bogenlänge parametrisierte periodische ebene Kurve mit Periode 

L. Sei κ : R → R die Krümmung von c. Dann gilt 

n c = 1 

2π 

∫ L 

κ(t) dt. (2.15) 

0 




Liftungslemma 

Satz: Umlaufzahl einer ebenen geschlossenen Kurve 



Definition: Konvex 

Satz: Zusammenhang zwischen Krümmung und der Eigenschaft Konvex

# 46 Antwort 

Satz 2.2.10 (Umlaufsatz). Eine einfach geschlossene orientierte ebene Kurve hat Umlaufzahl ±1. 

Beweis. Ein Beweis findet sich in [Bär, Seite 50ff]. 

# 45 Antwort 

Lemma 2.2.9 (Liftungslemma). Sei X ⊂ R n sternförmig bzgl. x 0 . Sei e : X → S 1 ⊂ R 2 eine stetige 

Abbildung. Dann existiert eine stetige Abbildung θ : X → R, sodass 

( ) cos(θ(x)) 

e(x) = 

, (2.17) 

sin(θ(x)) 

für alle x ∈ X. Die Abbildung θ ist durch die Vorgabe θ(x 0 ) = θ 0 eindeutig bestimmt. 


# 48 Antwort 

Satz 2.2.12. Sei c : R → R 2 eine Parametrisierung nach der Bogenlänge einer einfach geschlossenen 

ebenen Kurve. Sei κ : R → R die Krümmung. Die Kurve ist genau dann konvex, wenn κ(t) ≥ 0 für alle 

t ∈ R oder κ(t) ≤ 0 für alle t ∈ R. 

# 47 Antwort 

Definition 2.2.11 (konvex). Eine ebene Kurve heißt konvex, falls für jeden ihrer Punkte gilt: Die Kurve 

liegt ganz auf einer Seite ihrer Tangente durch diesen Punkt. 

Beweis. Ein Beweis findet sich in [Bär, Seite 53ff].



Definition: Scheitel 

Lemma: Schnittpunkte einer konvexen Kurve mit einer Geraden 



Vierscheitelsatz 

Lemma: Flächeninhalt

# 50 Antwort 

Lemma 2.2.14. Schneidet eine einfach geschlossene ebene konvexe Kurve eine Gerade in mehr als zwei 

Punkten, so enthält die Kurve ein ganzes Segment dieser Gerade und hat damit insbesondere unendlich 

viele Schnittpunkte mit der Geraden. 

# 49 Antwort 

Definition 2.2.13 (Scheitel). Sei c : I → R 2 eine nach Bogenlänge parametrisierte ebene Kurve. Wir 

sagen c hat einen Scheitel in t 0 ∈ I, falls ˙κ(t 0 ) = 0. 


Lemma 2.2.15. Schneidet eine einfache geschlossene ebene konvexe Kurve eine Gerade in mehr als 

einem Punkt tangential, so enthält die Kurve ein ganzes Geradensegment. 


# 52 Antwort 

Lemma 2.2.17 (Flächeninhalt). Sei G ⊂ R 2 ein beschränktes Gebiet, berandet von der einfach geschlossenen 

ebenen Kurve c. Sei c(t) = (x(t), y(t)) t eine periodische Parametrisierung von c mit Periode 

L, die das Gebiet im mathematisch positiven Sinn umläuft, d. h. mit Umlaufzahl +1. Dann gilt 

∫ L 

∫ L 

A[G] = − ẋ(t)y(t) dt = x(t)ẏ(t) dt = 

0 

0 

= 1 ∫ L 

(x(t)ẏ(t) − ẋ(t)y(t)) dt. (2.18) 

2 0 

# 51 Antwort 

Satz 2.2.16 (Vierscheitelsatz). Ist c : R → R 2 eine periodische nach Bogenlänge parametrisierte konvexe 

ebene Kurve mit Periode L, dann hat c mindestens vier Scheitel in [0, L]. 





Satz: Isoperimetrische Ungleichung 

Beispiele: Ebene Kurven 



Definition: Krümmungskreis, Evolute 

Hauptsatz der ebenen Kurventheorie

# 54 Antwort 

Beispiel (Ebene Kurven). 

- Ellipse: Betrachten wir die Ellipse, parametrisiert durch 

c : R → R 2 , c(t) = 

mit 0 < a < b. Sie hat genau vier Scheitel in t ∈ {0, π/2, π, 3π/2}. 

- Neilsche Parabel: Die Menge 

( ) a cos(t) 

, (2.20) 

b sin(t) 

# 53 Antwort 

Satz 2.2.18 (Isoperimentrische Ungleichung). Sei G ⊂ R 2 ein beschränktes Gebiet, berandet von der 

einfach geschlossenen ebenen Kurve c. Sei A[G] der Flächeninhalt des Gebietes. Dann gilt 

Gleichheit gilt genau dann, wenn c ein Kreis ist. 


4πA[G] ≤ L[c] 2 . (2.19) 

P = { (x, y) t ∈ R 2 : y 2 = x 3 , y > 0 } (2.21) 

beschreibt den oberen Zweig der Neilschen Parabel. Ihre Krümmung nimmt bei richtiger Wahl der 

Orientierung alle Werte aus (0, ∞) an. 

- Klothoide: Die Klothoide ist gegeben durch die reguläre Parametrisierung 

c(t) = 

(√ ∫ 

π 

t 

0 cos( ) 

πτ 2 /2)dτ 

√ ∫ 

π 

t 

0 sin( πτ 2 . (2.22) 

/2)dτ 

Die Krümmung in jedem Kurvenpunkt stimmt bis auf das Vorzeichen stets mit der Länge des 

Kurvenstücks von diesem Punkt zum Ursprung überein. 

# 56 Antwort 

Satz 2.2.20 (Hauptsatz der ebenen Kurventheorie). Sei I ⊂ R ein Intervall, seien κ : I → R eine 

glatte Funktionen. Dann existiert eine nach Bogenlänge parametrisierte Raumkurve c : I → R 2 mit 

Krümmung κ. Diese ebene Kurve ist bis auf Dahinterschaltung von orientierungserhaltenden euklidischen 

Bewegungen eindeutig. 

# 55 Antwort 

Definition 2.2.19 (Krümmungskreis, Evolute). Sei c : I → R 2 eine nach Bogenlänge parametrisierte 

ebene Kurve. Sei t 0 ∈ I mit κ(t 0 ) ≠ 0. Der Krümmungskreis an c in t 0 ist der Kreis mit Mittelpunkt 

M(t 0 ) und Radius R(t 0 ) 

M(t 0 ) = c(t 0 ) + 1 

κ(t 0 ) n(t 0), R(t 0 ) = 1 

|κ(t 0 )| . (2.23) 

Die Menge der Krümmungsmittelpunkte einer Kurve c nennet man die Evolute von c.

2. Kurventheorie # 57 2.3. Raumkurven 


Definition: Raumkurve 

Definition: Krümmung einer Raumkurve 



Definition: Normalenvektor einer Raumkurve 

Definition: Binormalenvektor

# 58 Antwort 

Definition 2.3.2 (Krümmung (einer Raumkurve)). Sei c : I → R 3 eine nach Bogenlänge parametrisierte 

Raumkurve. Die Funktion κ : I → R, κ(t) := ‖¨c(t)‖ heißt Krümmung von c. 

# 57 Antwort 

Definition 2.3.1 (Raumkurve). Eine parametrisierte Kurve c : I → R 3 heißt parametrisierte Raumkurve. 

Analog sind reguläre parametrisierte Raumkurve, Raumkurven und orientierte Raumkurven definiert. 

# 60 Antwort 

Definition 2.3.4 (Binormalenvektor). Sei c : I → R 3 eine nach Bogenlänge parametrisierte Raumkurve. 

Sei t 0 ∈ I und κ(t 0 ) ≠ 0. Dann heißt 

# 59 Antwort 

Definition 2.3.3 (Normalenvektor (einer Raumkurve)). Sei c : I → R 3 eine nach Bogenlänge parametrisierte 

Raumkurve. Sei t 0 ∈ I und κ(t 0 ) ≠ 0. Dann heißt 

der Binormalenvektor von c in t 0 . 

b(t 0 ) := ċ(t 0 ) × n(t 0 ) (2.25) 

der Normalenvektor von c in t 0 . 

n(t 0 ) := ¨c(t 0) 

κ(t 0 ) = ¨c(t 0) 

‖¨c(t 0 )‖ 

(2.24)



Definition: Begleitendes Dreibein 

Definition: Torsion 



Frenet-Gleichung für Raumkurven 

Beispiel: Schraubenlinie

# 62 Antwort 

Definition 2.3.6 (Torsion). Sei c : I → R 3 eine nach Bogenlänge parametrisierte Raumkurve. Sei t 0 ∈ I 

mit κ(t 0 ) ≠ 0, sei (ċ(t 0 ), n(t 0 ), b(t 0 )) das begleitende Dreibein von c in t 0 . Dann heißt 

# 61 Antwort 

Definition 2.3.5 (Begleitendes Dreibein). Die Orthonormalbasis (ċ(t 0 ), n(t 0 ), b(t 0 )) heißt begleitendes 

Dreibein von c in t 0 . 

die Torsion (oder auch Windung) von c in t 0 . 

τ(t 0 ) := 〈ṅ(t 0 ), b(t 0 )〉 (2.26) 

# 64 Antwort 

Beispiel (Schraubenlinie). Betrachten wir die Schraubenlinie, parametrisiert durch 

⎛ 

c : R → R 3 , c(t) = ⎝ cos( t/ √ ⎞ 

2) 

sin(t/ √ 2) ⎠ . (2.28) 

t/ √ 2 

Sie hat konstante Krümmung κ = 1/2 und konstante Torsion τ = 1/2. 

# 63 Antwort 

Proposition 2.3.7 (Frenet-Gleichungen). Sei c : I → R 3 eine nach Bogenlänge parametrisierte Raumkurve 

mit positiver Krümmung, κ(t) > 0 für alle t ∈ I. Sei (v, n, b) das begleitende Dreibein von c, sei τ 

die Torsion. Dann gilt 

⎛ 

( ˙v(t), ṅ(t), ḃ(t)) = (v(t), n(t), b(t)) ⎝ 0 −κ(t) 0 

⎞ 

κ(t) 0 −τ(t) ⎠ . (2.27) 

0 τ(t) 0 




Hauptsatz der Raumkurventheorie 

Definition: Totalkrümmung 



Satz von Fenchel 

Definition: Isotopie

# 66 Antwort 

Definition 2.3.9 (Totalkrümmung). Wir definieren für eine periodische nach Bogenlänge parametrisierte 

Raumkurve c mit Periode L die Totalkrümmung durch 

∫ L 

κ(c) := κ(t) dt. (2.29) 

0 

# 65 Antwort 

Satz 2.3.8 (Hauptsatz der Raumkurventheorie). Sei I ⊂ R ein Intervall, seien κ, τ : I → R glatte 

Funktionen, κ > 0. Dann existiert eine nach Bogenlänge parametrisierte Raumkurve c : I → R 3 mit 

Krümmung κ und Windung τ. Diese Raumkurve ist bis auf Dahinterschaltung von orientierungserhaltenden 

euklidischen Bewegungen eindeutig. 


# 68 Antwort 

Definition 2.3.11 (Isotopie). Eine Isotopie des R 3 ist eine stetige Abbildung Φ : [0, 1] × R 3 → R 3 , 

sodass für jedes feste t ∈ [0, 1] die Abbildung Φ(t, ·) : R 3 → R 3 ein Homöomorphismus ist. Zwei einfach 

geschlossene Raumkurven c 0 und c 1 heißen ambient isotop, falls es eine Isotopie Φ des R 3 gibt mit 

Φ(0, x) = x für alle x ∈ R 3 und Φ(1, Spur(c 0 )) = Spur(c 1 ). 

Anschaulich interpretieren wir t ∈ [0, 1] als Deformationsparameter. Die Kurve c 0 wird mittels Φ in die 

Kurve c 1 verbogen. Das Wort ambient deutet an, dass nicht nur die Kurven abgebildet werden, sondern 

dass der Homöomorphismus Φ(t, ·) stets den ganzen umgebenden R 3 verbiegt. 

# 67 Antwort 

Satz 2.3.10 (Fenchel). Sei c eine einfach geschlossene Raumkurve. Dann gilt 

κ(c) ≥ 2π, (2.30) 

und Gleichheit gilt genau dann, wenn c eine konvexe ebene Kurve ist. 




Definition: Knoten 

Satz von Fary, Milnor 

3. Klassische Flächentheorie # 71 3.1. Reguläre Flächen 


Definition: Reguläre Fläche 

Definition: Lokale Parametrisierung

# 70 Antwort 

Satz 2.3.13 (Fary, Milnor). Sei c eine verknotete einfach geschlossene Raumkurve. Dann gilt 

κ(c) ≥ 4π. (2.31) 

# 69 Antwort 

Definition 2.3.12 (Knoten). Eine ambiente Isotopieklasse von einfach geschlossenen Raumkurven heißt 

Knoten. Eine einfach geschlossene Raumkurve heißt unverknotet, falls sie ambient isotop zu einer ebenen 

Kreislinie ist. Ansonsten heißt sie verknotet. 


# 72 Antwort 

Definition 3.1.2 (Lokale Parametrisierung). Die Abbildung F : U → S ∩ V aus Definition 3.1 oder 

auch das Tripel (U, F, V ) heißt lokale Parametrisierung von S um p. Die Menge S ∩ V heißt Koordinatenumgebung 

von p. Die Komponenten u 1 und u 2 von u = (u 1 , u 2 ) t heißen dann auch Koordinaten des 

Punktes F (u) ∈ S bzgl. der Parametrisierung F . 

# 71 Antwort 

Flächen im dreidimensionalen Raum sind zweidimensionale Objekte, d. h. die Punkte auf einer Fläche 

können durch zwei unabhängige reelle Parameter beschrieben werden. Im Gegensatz zu Kurven, die wir 

stets als Ganzes parametrisiert haben, verlangen wir bei Flächen nur, dass man jeweils kleine Stücke der 

Fläche durch eine Parametrisierung beschreiben kann. 

Definition 3.1.1 (Reguläre Fläche). Sei S ⊂ R 3 eine Teilmenge. Wir nennen S eine reguläre Fläche, 

falls es zu jedem Punkt p ∈ S eine offene Umgebung C von p im R 3 gibt, sowie eine offene Teilmenge 

U ⊂ R 2 und eine glatte Abbildung F : U → R 3 , derart dass gilt 

1. F (U) = S ∩ V und F : U → S ∩ V ist ein Homöomorphismus. 

2. Die Jacobiematrix D uF hat für jeden Punkt u ∈ U den Rang 2. 

Bedingung 1 besagt, dass die Punkte auf der Fläche S, die nahe bei p liegen, nämlich die, die auch in V 

sind, über die Abbildung F gerade durch die zwei Parameter beschrieben werden, nämlich die Koordinaten 

der Punkte aus U ⊂ R 2 . Bedingung 2 sorgt dafür, dass diese beiden Parameter auch wirklich unabhängig 

voneinander sind.



Beispiele: Reguläre Flächen, ihre Parametrisierungen und 

Koordinatenumgebungen 

Die Stereographischen Projektionen als eine Parametrisierung der 

Sphäre 



Proposition: Hinreichende Bedingung an reguläre Flächen 

Beispiel für die hinreichende Bedingung an eine reguläre Fläche

# 74 Antwort 

Beispiel (Stereographische Porjektionen). Sphäre: Wir betrachten 

S = S 2 = { (x, y, z) t ∈ R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = 1 } . (3.4) 

Die sog. stereographischen Projektionen bieten uns eine Möglichkeit, die Sphäre mit nur zwei Koordinatenumgebungen 

vollständig zu parametrisieren. Sei N = (0, 0, 1) t der Nordpol und sei M = S 2 \ N. 

Die Ebene z = 0 verläuft durch die Mitte der Sphäre, der Äquator ist der Schnitt der Sphäre mit dieser 

Ebene. 

Für alle Punkte p ∈ M gibt es eine eindeutige Gerade durch N und P , und diese Gerade schneidet z = 0 

in genau einem Punkt P . Wir definieren die stereographische Projektion durch genau diesen Punkt P in 

der Ebene und erhalten in kartesischen Koordinaten (x, y, z) auf der Sphäre und (X, Y ) in der Ebene die 

Projektion und ihre Umkehrabbildung durch: 

( x 

(X, Y ) = 

( 

(x, y, z) = 

1 − z , y 

1 − z 

) 

, (3.5) 

2X 

1 + X 2 + Y 2 , 2Y 

1 + X 2 + Y 2 , −1 + X2 + Y 2 ) 

1 + X 2 + Y 2 . (3.6) 

# 73 Antwort 

Beispiel (Koordinatenumgebungen). 

- Affine Ebene: Die affine Ebene durch den Punkt p ∈ R 3 , aufgespannt durch die linear unabhängigen 

Vektoren X, Y ∈ R 3 , ist die Menge 

S = { p + u 1 · X + u 2 · Y : u 1 , u 2 ∈ R 3} . (3.1) 

Wir kommen mit einer einzigen Parametrisierung aus. Wir setzen V := R 3 , U := R 2 und F : U → 

R 3 , F (u 1 , u 2 ) := p + u 1 · X + u 2 · Y . 

- Funktionsgraphen: Sei U ⊂ R 2 offen, f : U → R eine glatte Funktion. Wir betrachten den Graphen 

von f 

S = { (x, y, z) t ∈ R 3 : (x, y) t ∈ U, z = f(x, y) } . (3.2) 

Auch in diesem Fall kommen wir mit einer einzigen Koordinatenumgebung aus. Wir setzen wieder 

V := R 3 und 

F : U → R 3 , F (x, y) := (x, y, f(x, y)) t . (3.3) 

Ein analoges Vorgehen für M ′ = S 2 \ { (0, 0, −1) t} liefert die stereographische Projektion durch den 

Südpol und tatsächlich überdecken M und M ′ die Sphäre vollständig M ∪ M ′ = S 2 . 

# 76 Antwort 

Beispiel (Ellipsoid als reguläre Fläche). Betrachten wir für nicht verschwindende Konstanten a, b, c ∈ R 

S := { (x, y, z) t ∈ R 3 : x 2 /a 2 + y 2 /b 2 + z 2 /c 2 = 1 } . (3.8) 

Wenn wir V 0 := R 3 und f : R 3 → R, f(x, y, z) := x 2 /a 2 + y 2 /b 2 + z 2 /c 2 − 1 setzen, so ist 

S = { (x, y, z) t ∈ R 3 : f(x, y, z) = 0 } . (3.9) 

Nun müssen wir überprüfen, dass der Gradient von f für kein p ∈ S verschwindet. 

# 75 Antwort 

Proposition 3.1.3. Sei V 0 ⊂ R 3 offen, sei f : V 0 → R 3 eine glatte Funktion. Wir setzen S := 

{ 

(x, y, z) t ∈ R 3 : f(x, y, z) = 0 } . Falls für alle p ∈ S gilt 

dann ist S eine reguläre Fläche. 


grad f(p) ≠ (0, 0, 0) t , (3.7) 

grad f(x, y, z) = (2x/a 2 , 2y/b 2 , 2z/c 2 ) t (3.10) 

verschwindet nur für p 0 = (0, 0, 0) t . Aber p 0 /∈ S und damit ist S eine reguläre Fläche. 

Bemerkung. Das Nichtverschwinden von grad f längs S ist lediglich eine hinreichende Bedingung dafür, 

dass S eine reguläre Fläche ist, aber keine notwendige!



Proposition: Differenzierbarkeitsfragen an reguläre Flächen 

Proposition: Charakterisierung der Eigenschaft ” 

glatt nahe“ 



Definition: glatt nahe 

Definition: Diffeomorphismus

# 78 Antwort 

Proposition 3.1.6. Sei S ⊂ R 3 eine reguläre Fläche, p ∈ S und f : S → R n eine Abbildung. Dann sind 

äquivalent: 

1. Es gibt eine offene Umgebung V von p in R 3 und eine Fortsetzung ˜f von F | S∩V auf V , die um p 

glatt ist. 

2. Es gibt eine lokale Parametrisierung (U, F, V ) mit p ∈ V , sodass f ◦ F : U → R n um F −1 (p) glatt 

ist. 

3. Für alle lokalen Parametrisierungen (U, F, V ) mit p ∈ V ist f ◦ F : U → R n glatt um F −1 (p). 

Gelten diese äquivalenten Bedingungen, so nennen wir f glatt nahe p. 


# 77 Antwort 

Proposition 3.1.4. Sei S ⊂ R 3 eine reguläre Fläche. Sei (U, F, V ) eine lokale Parametrisierung von 

S. Sei W ⊂ R n eine offene Menge und ϕ : W → R 3 eine Abbildung mit ϕ(W ) ⊂ S ∩ V . Dann ist ϕ als 

Abbildung von W nach R 3 glatt genau dann, wenn F −1 ◦ ϕ : W → U ⊂ R 2 glatt ist. 

Für Differenzierbarkeitsfragen einer Abbildung mit Werten in einer regulären Fläche S spielt es also 

keine Rolle, ob wir diese Abbildung als eine Abbildung mit Werten in R 3 ansehen, oder aber mittels 

Koordinaten als eine Abbildung mit Werten in R 2 . 


Korollar 3.1.5. Sei S eine reguläre Fläche, seien (U 1 , F 1 , V 1 ) und (U 2 , F 2 , V 2 ) lokale Parametrisierungen. 

Dann ist 

F −1 

2 ◦ F 1 : F −1 

1 (V 1 ∩ V 2 ) → F −1 

2 (V 1 ∩ V 2 ) (3.11) 

glatt. 

# 80 Antwort 

Definition 3.1.8 (Diffeomorphismus). Seien S 1 , S 2 ⊂ R 3 reguläre Flächen. Eine Abbildung f : S 1 → S 2 

heißt Diffeomorphismus, falls f bijektiv ist und sowohl f als auch f −1 glatt sind. Exisitiert ein solcher 

Diffeomorphismus f : S 1 → S 2 , dann heißen die Flächen S 1 → S 2 diffeomorph. 

# 79 Antwort 

Definition 3.1.7 (glatt nahe). Seien S 1 , S 2 ⊂ R 3 reguläre Flächen. Sei p ∈ S 1 und f : S 1 → S 2 eine 

Abbildung. Wir nennen f glatt nahe p, falls es eine lokale Parametrisierung (U 1 , F 1 V 1 ) von S 1 um p gibt 

und eine lokale Parametrisierung (U 2 , F 2 , V 2 ) von S 2 um f(p) derart, dass 

F −1 

2 ◦ f ◦ F 1 : F −1 

1 (f −1 (V 2 ) ∩ V 1 ) → U 2 (3.12) 

nahe p glatt ist. 

Eine Abbildung f zwischen zwei Flächen wir also glatt genannt, falls sie, ausgedrückt in geeigneten 

Koordinaten glatt ist. Da Parametertransformationen stets glatt sind (vgl. Proposition 3.1.4), ist eine 

glatte Abbildung auch bezüglich jeder anderen Parametrisierung glatt.


3. Klassische Flächentheorie # 82 3.2. Die Tangentialebene 

Beispiel: Die Diffeomorphie von Ellipsoid und Sphäre 

Definition: Tangentialebene 



Proposition: Darstellung der Tangentialebenen bzgl. lokaler 

Parametrisierung 

Proposition: Darstellung der Tangentialebene mit Hilfe des Gradienten

# 82 Antwort 

Die einfachsten regulären Flächen sind Ebenen, so wie auch Geraden die einfachsten Kurven darstellen. 

Wir wollen nun möglicherweise sehr komplizierte Flächen durch Ebenen annähern. Dieses Konzept ist 

dem des Differentials einer glatten Abbildung sehr ähnlich. 

Definition 3.2.1 (Tangentialebene). Sei S ⊂ R 3 eine reguläre Fläche, sei p ∈ S. Dann heißt 

{ 

} 

es gibt ein ε > 0 und eine glatte parametrisierte 

Kurve c : (−ε, ε) → S 

T pS = X ∈ R 3 : 

mit c(0) = p und ċ(0) = X 

(3.14) 

# 81 Antwort 

Beispiel (Diffeomorphie von Ellipsoid und Sphäre). Sei S 1 das bereits angesprochene Ellipsoid und 

S 2 = S 2 die Sphäre. Dann sind S 1 und S 2 diffeomorph. Als Diffeomorphismus nehmen wir z. B. 

f : S 1 → S 2 , f(x, y, z) = (x/a, y/b, z/c) t . (3.13) 

die Tangentialebene von S in p. Die Elemente der Tangentialebene heißen Tangentialvektoren. 

# 84 Antwort 

Proposition 3.2.4. Sei V ⊂ R 3 offen, sei f : V → R eine glatte Funktion, sei S = f −1 (0) ⊂ R 3 . 

Es gelte grad f(p) ≠ 0 für alle p ∈ S. Dann steht für p ∈ S der Gradient von f senkrecht auf die 

Tantentialebene 


T pS = grad f(p) ⊥ . (3.16) 

# 83 Antwort 

Proposition 3.2.2. Sei S ⊂ R 3 eine reguläre Fläche, sei p ∈ S. Sei ferner (U, F, V ) eine lokale Parametrisierung 

von S um p. Wir setzen u 0 := F −1 (p) ∈ U. Dann gilt 


T pS = Bild(D u0 F ) = D u0 F (R 2 ). (3.15) 

Korollar 3.2.3. Da D u0 F maximalen Rang 2 hat, bildet T pS ⊂ R 3 einen zweidimensionalen Untervektorraum.



Beispiel: Tangentialebene der Sphäre 

Definition: Differential 


3. Klassische Flächentheorie # 88 3.3. Die erste Fundamentalform 

Proposition: Eigenschaften des Differentials 

Definition: Erste Fundamentalform

# 86 Antwort 

Definition 3.2.5 (Differential). Seien S 1 , S 2 ⊂ R 3 reguläre Flächen, sei f : S 1 → S 2 eine glatte Abbildung, 

und sei p ∈ S 1 . Das Differential von f in p ist die Abbildung 

d pf : T pS 1 → T f(p) S 2 , (3.18) 

die gegeben ist durch folgende Vorschrift: Zu X ∈ T pS 1 wähle eine glatte parametrisierte Kurve c : 

(−ε, ε) → S 1 mit c(0) = p und ċ(0) = X und setze 

# 85 Antwort 

Beispiel (Tangentialebene der Sphäre). Die Sphäre wird beschrieben durch S 2 = f −1 (0), wobei f(x, y, z) = 

x 2 + y 2 + z 2 − 1. Wir berechnen 

grad f(x, y, z) = 2(x, y, z). (3.17) 

Die Tangentialebene T pS 2 ist also gerade das orthogonale Komplement des Fußpunktvektors p. 

d pf(X) := d dt (f ◦ c)| t=0 ∈ T f(p) S 2 . (3.19) 

# 88 Antwort 

Um Geometrie auf einer regulären Fläche S ⊂ R 3 treiben zu können, muss man z. B. Längen von Kurven 

messen können, sie in S verlaufen, oder auch Winkel zwischen zwei Tangentialvektoren an die Fläche. 

Definition 3.3.1 (Erste Fundamentalform). Da für jeden Punkt p ∈ S die Tangentialebene ein 2- 

dimensionaler Untervektorraum von R 3 ist, können wir das Standardskalarprodukt 〈·, ·〉 des R 3 einfach 

auf T pS einschränken und wir erhalten ein euklidisches Skalarprodukt auf T pS. Die Abbildung, die jedem 

Punkt p ∈ S diese Einschränkung 

# 87 Antwort 

Proposition 3.2.6. Das Differential d pf ist wohldefiniert, d. h. d pf(X) hängt nur von X ab, nicht aber 

von der speziellen Wahl der Kurve c. Ferner ist d pf linear. 


g p := 〈·, ·〉 | TpS×T pS (3.20) 

zuordnet, wird erste Fundamentalform von S genannt. Häufig schreiben wir für die erste Fundamentalform 

auch 

wobei X, Y ∈ T pS. 

I p(X, Y ) = g p(X, Y ) = 〈X, Y 〉 , (3.21)



Erste Fundamentalform bzgl. lokaler Parametrisierung 

Beispiel: Erste Fundamentalform des Zylinders 

3. Klassische Flächentheorie # 91 3.4. Normalenfelder und Orientierbarkeit 


Definition: Normalenfeld 

Beispiel: Einheitsnormalenfeld des Zylinders

# 90 Antwort 

Beispiel (Erste Fundamentalform des Zylinders). S = { (x, y, z) t ∈ R 3 : x 2 + y 2 = 1 } beschreibt die 

Zylinderfläche. Wir benutzen die lokale Parametrisierung 

⎛ 

F : (0, 2π) × R → R 3 , F (ϕ, h) = ⎝ cos ϕ 

⎞ 

sin ϕ⎠ . (3.24) 

h 

Für die erste Fundamentalform ergibt sich bzgl. der Koordinaten (u 1 , u 2 ) = (ϕ, h). 

〈〉〈 ⎛ 

∂F ∂F 

g 11 (ϕ, h) = (ϕ, h), 

∂ϕ ∂ϕ (ϕ, h) = ⎝ − sin ϕ 

⎞ ⎛ 

cos ϕ ⎠ , ⎝ − sin ϕ 

⎞〉 

cos ϕ ⎠ = sin 2 ϕ + cos 2 ϕ = 1, (3.25) 

0 

0 

〈〉〈 ⎛ 

∂F ∂F 

g 12 (ϕ, h) = (ϕ, h), 

∂ϕ ∂h (ϕ, h) = ⎝ − sin ϕ 

⎞ ⎛ 

cos ϕ ⎠ , ⎝ 0 ⎞〉 

0⎠ 

= 0 = g 21 (ϕ, h), (3.26) 

0 1 

〈〉〈 ⎛ 

∂F ∂F 

g 22 (ϕ, h) = (ϕ, h), 

∂h ∂h (ϕ, h) = ⎝ 0 ⎞ ⎛ 

0⎠ , ⎝ 0 ⎞〉 

0⎠ 

= 1. (3.27) 

1 1 

(3.28) 

# 89 Antwort 

Eine Basis von T pS verschafft man sich in der Regel durch eine lokale Parametrisierung (U, F, V ) von S 

um p. Sind e 1 , e 2 die Standardbasisvektoren von R 2 , so bilden 

D uF (e 1 ) = ∂F 

∂u 1 (u), 

DuF (e 2) = ∂F 

∂u 2 (u), u = F −1 (p) (3.22) 

eine Basis von T pS. Bezüglich dieser Basis ist die Matrixdarstellung von g p dann gegeben durch 

〈〉 

∂F ∂F 

g ij (u) := g p(D uF (e i ), D uF (e j )) = (u), 

∂ui ∂u j (u) . (3.23) 

Die 2 × 2-Matrix (g ij (u)) i,j=1,2 ist also symmetrisch und positiv definit. Ferner sieht man an obiger 

Formel unmittelbar, dass die Matrixeinträge g ij glatt von u abhängen, d. h. g ij : U → R ist für jedes i 

und j eine glatte Funktion. 

Wir stellen fest, dass die erste Fundamentalform der Zylinderfläche in den von uns gewählten Koordinaten 

dieselbe Gestalt hat, wie die der Ebene in kartesischen Koordinaten, nämlich (g ij ) ij = ( ) 

1 0 

0 1 . Dies deutet 

auf gewisse Gemeinsamkeiten zwischen diesen beiden Flächen hin, auf die wir später noch zurück kommen 

werden. 

# 92 Antwort 

Beispiel (Einheitsnormalenfeld des Zylinders). Sei S = S 1 × R die Zylinderfläche. Dann ist durch 

N(x, y, z) = (x, y, 0) t ein Einheitsnormalenfeld definiert. 

# 91 Antwort 

Definition 3.4.1 (Normalenfeld). Sei S ⊂ R 3 eine reguläre Fläche. Ein Normalenfeld auf S ist eine 

Abbildung 

N : S → R 3 (3.29) 

, sodass N(p)⊥T pS für alle p ∈ S. Ein Normalenfeld auf S heißt Einheitsnormalenfeld, falls zusätzlich 

‖N(p)‖ = 1 gilt für alle p ∈ S.



Definition: Orientierbarkeit 

Beispiel: Nichtorientierbarkeit des Möbiusbandes 


3. Klassische Flächentheorie # 96 3.5. Die zweite Fundamentalform 

Satz: Bedingung an orientierbare Flächen 

Definition: Gauß-Abbildung

# 94 Antwort 

Beispiel (Nichtorientierbarkeit des Möbiusbandes). Sei S das Möbiusband. Man erhält es, indem man 

einen Papierstreifen an seinem linken und rechten Ende verklebt, dabei aber, um nicht die Zylinderfläche 

zu erhalten, das Band vorher einmal verdrillt. Das Möbiusband besitzt kein stetiges Einheitsnormalenfeld 

und ist deshalb nicht orientierbar. Das heißt auch, dass das Möbiusband nur eine Seite hat. Es gibt keine 

# 93 Antwort 

Definition 3.4.2 (Orientierbarkeit). Eine reguläre Fläche S ⊂ R 3 heißt orientierbar, falls es ein glattes 

Einheitsnormalenfeld auf S gibt. 

” Innen-“ oder ” Außenfläche“. # 95 Antwort 

# 96 Antwort 

Definition 3.5.1 (Gauß-Abbildung). Sei S ⊂ R 3 eine orientierbare reguläre Fläche mit glattem Einheitsnormalenfeld 

N. Aufgefasst als Abbildung zwischen Flächen, nämlich N : S → S 2 , heißt N auch 

Gauß-Abbildung. 

Sei p ∈ S. Wir betrachten das Differential von N in p, 

Satz 3.4.3. Eine reguläre Fläche S ⊂ R 3 ist genau dann orientierbar, wenn S derart durch lokale 

Parametrisierungen überdeckt werden kann, dass für alle Parametertransformationen ϕ gilt 

det(Dϕ) > 0. (3.30) 

d pN : T pS → T N(p) S 2 . (3.31) 

Nun ist T N(p) S 2 = N(p) ⊥ = T pS. Also ist d pN ein Endomorphismus von T pS.



Definition: Weingarten-Abbildung 

Beispiel: Weingartenabbildung des Zylinders 



Proposition: Eigenschaft der Weingartenabbildung 

Definition: Zweite Fundamentalform

# 98 Antwort 

Beispiel (Weingartenabbildung des Zylinders). Sei S = S 1 × R der Zylinder, N(x, y, z) = (x, y, 0) t . 

In einem Punkt p = (x, y, z) t ∈ S wird die Tangentialebene T pS aufgespannt durch die Basisvektoren 

(−y, x, 0) t und (0, 0, 1) t . Wir berechnen 

⎛ 

W p ⎝ 0 ⎞ ⎛ 

0⎠ = −d pN ⎝ 0 ⎞ ⎛ 

0⎠ = − d 

1 

1 

dt N ⎝ 

x ⎞ 

y ⎠ ∣ ⎛ 

∣t=0 = − d ⎝ x ⎞ 

y⎠ ∣ ⎛ 

∣t=0 = ⎝ 0 ⎞ 

0⎠ . (3.33) 

z + t 

dt 

0 

0 

# 97 Antwort 

Definition 3.5.2 (Weingarten-Abbildung). Sei S ⊂ R 3 eine reguläre Fläche mit Orientierung gegeben 

durch das Einheitsnormalenfeld N. Der Endomorphismus 

heißt Weingarten-Abbildung. 

W p : T pS → T pS, W p(X) = −d pN(X) (3.32) 

Um das Bild von (−y, x, 0) unter W p zu bestimmen, wählen wir t 0 ∈ R, sodass (cos t 0 , sin t 0 ) = (x, y). 

Dann gilt für c(t) := (cos(t+t 0 ), sin(t+t 0 ), z) t , dass c(0) = (x, y, z) t = p und ċ(0) = (− sin t 0 , cos t 0 , 0) t = 

(−y, x, 0) t . Somit ist 

⎛ 

W p ⎝ −y 

⎞ 

⎛ 

x ⎠ = −d + pN ⎝ −y 

⎞ ⎛ 

x ⎠ = − d 

0 

0 

dt N ⎝ cos(t + t ⎞ 

0) 

sin(t + t 0 ) ⎠ ∣ ∣t=0 = 

z 

⎛ 

= − d ⎝ cos(t + t ⎞ 

0) 

sin(t + t 0 ) ⎠ ∣ ⎛ 

∣t=0 = ⎝ sin t ⎞ ⎛ 

0 

− cos t 0 ⎠ = − ⎝ −y 

⎞ 

x ⎠ . (3.34) 

dt 

0 

0 

0 

In der Basis (−y, x, 0) t und (0, 0, 1) t hat W p also die Matrixdarstellung 

( ) −1 0 

. (3.35) 

0 0 

# 100 Antwort 

Definition 3.5.4 (Zweite Fundamentalform). Die zur Weingarten-Abbildung W p gehörige Bilinearform 

heißt zweite Fundamentalform der Fläche S im Punkt p: 

II p(X, Y ) = I p(W p(X), Y ), X, Y ∈ T pS. (3.36) 

# 99 Antwort 

Proposition 3.5.3. Sei S ⊂ R 3 eine orientierbare reguläre Fläche mit Weingartenabbildung W p : 

T pS → T pS, p ∈ S. Dann ist W p selbstadjungiert bzgl. der ersten Fundamentalform. 



3. Klassische Flächentheorie # 102 3.6. Krümmung 

Korrolar: Zweite Fundamentalform in lokalen Koordinaten 

Definition: Normalenkrümmung 



Satz von Meusnier 

Beispiel: Normalkrümmung des Zylinders

# 102 Antwort 

Sei S ⊂ R 3 eine orientierbare reguläre Fläche mit glattem Einheitsnormalenfeld N, p ∈ S. Sei c : (−ε, ε) → 

S eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve mit c(0) = p. Aufgefasst als Raumkurve in R 3 hat c in 0 die 

Krümmung κ(0), die im Fall κ(0) ≠ 0 durch ¨c(0) = κ(0)·n(0) gegeben ist, wobei n der Normalenvektor an 

c ist. Wir wollen diese Krümmung jetzt aufspalten in einen Teil, der daher kommt, dass sich c innerhalb 

von S krümmt, und einen Teil der die Krümmung von S in R 3 widerpsiegelt. Dazu zerlegen wir n(0) in 

den Teil tangential an S und denjenigen senkrecht zu S: 

wobei n(0) ⊥ = 〈n(0), N(p)〉 N(p). Entsprechend erhalten wir 

n(0) = n(0) ⊤ + n(0) ⊥ , (3.38) 

¨c(0) = κ(0) · n(0) = κ(0) · n(0) ⊤ + κ(0) · 〈n(0), N(p)〉 N(p). (3.39) 

# 101 Antwort 

Korollar 3.5.5 (Zweite Fundamentalform in lokalen Koordinaten). Sei S ⊂ R 3 eine reguläre Fläche, 

p ∈ S. Sei (U, F, V ) eine lokale Parametrisierung von S um p. Wir setzen u := F −1 (p). Wir erhalten 

jetzt 

h ij (u) = II p(D uF (e i ), D uF (e j )) = 

= (I p(W p(D uF (e i )), D uF (e j ))) = 

〈 ∂ 2 〉 

F 

= 

∂u j ∂u i (u), N(p) . (3.37) 

Dann ist (h ij (u)) i,j=1,2 die symmetrische Matrix, die die zweite Fundamentalform in der oben angegebenen 

Basis beschreibt. 

Der tangentiale Anteil, der angibt, wie sich c innerhalb von S krümmt, führt zur geodätischen Krümmung 

von c in S, auf die wir später zurückkommen werden. Im Moment interessiert uns die Krümmung von S 

in R 3 , und daher machen die die Definition 

{ 

κ(0) · 〈n(0), N(p)〉 , falls κ(0) ≠ 0 

κ nor := 〈¨c(0), N(p)〉 = 

(3.40) 

0, falls κ(0) = 0. 

Wir nennen κ nor die Normalkrümmung von S im Punkt p in Richtung ċ(0). Bezeichnet, im Fall κ(0) ≠ 0, 

θ den Winkel zwischen N(p) und n(0), so gilt also 

κ nor = κ(0) · cos θ. (3.41) 

# 104 Antwort 

Beispiel (Normalkrümmung des Zylinders). Sei S = S 1 × R der Zylinder. Sei p ∈ S. Der Durchschnitt 

von S mit der Normalenebene im Punkt p ist entweder ein Kreis, eine Ellipse oder eine Gerade. Die 

Normalenkrümmung schwankt dementsprechend je nach Richtung zwischen 1 und 0. 

# 103 Antwort 

Satz 3.6.1 (Meusnier). Sei S ⊂ R 3 eine orientierbare reguläre Fläche mit Einheitsnormalenfeld N und 

zweiter Fundamentalform II. Sei p ∈ S. Sei c : (−ε, ε) → S eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve 

mit c(0) = p. Dann gilt für die Normalkrümmung κ nor von c: 

κ nor = II(ċ(0), ċ(0)). (3.42) 

Insbesondere haben alle nach Bogenlänge parametrisierten Kurven in S durch p mit demselben Tangentialvektor 

dieselbe Normalkrümmung. 

Die Normalkrümmung hängt also neben S und p nur von ċ(0) ab, nicht aber von der speziellen Wahl der 

Kurve c. 




Definition: Hauptkrümmungen 

Euluer-Formel für die Normalkrümmung 



Beispiel: Hauptkrümmungen des Zylinders 

Definition: Krümmungslinie

# 106 Antwort 

Bemerkung (Euler-Formel für die Normalkrümmung). Einen beliebigen Einheitsvektor X ∈ T pS können 

wir in der Basis X 1 , X 2 ausdrücken durch 

X = X 1 · cos ϕ · +X 2 · sin ϕ. (3.44) 

für ein geeignetes ϕ ∈ R. Durch Einsetzen in die zweite Fundamentalform erhält man die Euler-Formel 

für die Normalkrümmung in Richtung X: 

# 105 Antwort 

Die Weingartenabbildung W p : T pS → T pS ist stets selbstadjungiert. Daher können wir eine Orthonormalbasis 

X 1 , X 2 von T pS finden, die aus Eigenvektoren von W p besteht, 

W p(X i ) = κ i · X i , i = 1, 2. (3.43) 

Definition 3.6.2 (Hauprkrümmungen). Die Eigenwerte κ 1 , κ 2 heißen Hauptkrümmungen von S im 

Punkt p. Die zugehörigen Eigenvektoren ±X 1 und ±X 2 heißen Hauptkrümmungsrichtungen. 

II(X, X) = κ 1 · cos 2 ϕ + κ 2 · sin 2 ϕ. (3.45) 

Insbesondere sehen wir, dass κ 1 und κ 2 Minimum und Maximum aller Normalkrümmungswerte von S in 

p sind, wenn X alle Richtungen durchläuft, d. h. für alle Einheitsvektoren X ∈ T pS. 

# 108 Antwort 

Definition 3.6.3 (Krümmungslinie). Sei S ⊂ R 3 eine reguläre Fläche, sei c : I → S eine nach Bogenlänge 

parametrisierte Kurve. Falls ċ(t) für alle t ∈ I eine Hauptkrümmungsrichtung ist, so heißt c 

Krümmungslinie. 

# 107 Antwort 

Beispiel (Hauptkrümmungen des Zylinders). Sei S = S 1 × R der Zylinder, p = (x, y, z) t . Wie wir 

gesehen haben, hat die Weingarten-Abbildung W p bzgl. des inneren Einheitsnormalenfelds und der Basis 

X 1 = (−y, x, 0) t und X 2 = (0, 0, 1) t die Matrixdarstellung 

( ) 1 0 

. (3.46) 

0 0 

Das heißt gerade, dass X 1 und X 2 die Hauptkrümmungsrichtungen zu den Hauptkrümmungen κ 1 = 1 

und κ 2 = 0 sind.



Beispiel: Krümmungslinie des Zylinders 

Satz von Rodriguez 



Definition: Gauß-Krümmung, mittlere Krümmung 

Definition: Klassifikation von Punkten regulärer Flächen

# 110 Antwort 

Satz 3.6.4 (Rodriguez). Sei S ⊂ R 3 eine orientierbare reguläre Fläche, sei N : S → S 2 die Gauß- 

Abbildung. Sei c : I → S eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve. Dann ist c Krümmungslinie auf 

S genau dann, wenn es eine Funktion λ : I → R gibt mit 

# 109 Antwort 

Beispiel (Krümungslinien des Zylinders). Auf dem Zylinder S = S 1 × R sind die Krümmungslinien 

horizontale Kreislinien oder vertikale Geraden (oder Stücke davon). 

d 

N(x(t)) = λ(t) · ċ(t), 

dt 

t ∈ I. (3.47) 

In diesem Fall ist −λ(t) die entsprechende Hauptkrümmung. 

# 112 Antwort 

Definition 3.6.6 (Klassifikation von Punkten regulärer Flächen). Sei S ⊂ R 3 eine orientierbare reguläre 

Fläche, sei p ∈ S. Man nennt p 

- elliptisch, falls K(p) > 0, 

- hyperbolisch, falls K(p) < 0, 

- parabolisch, falls K(p) = 0, aber W p ≠ 0, d. h. falls eine der beiden Hauptkrümmungen verschwindet, 

die andere aber nicht, 

- Flachpunkt, falls W p = 0, d. h. κ 1 = κ 2 = 0. 

# 111 Antwort 

Definition 3.6.5 (Gauß-Krümmung, mittlere Krümmung). Sei S ⊂ R 3 eine orientierbare reguläre 

Fläche, sei p ∈ S ein Punkt. Seien κ 1 und κ 2 die Hauptkrümmungen von S in p. Dann ist 

die Gauß-Krümmung von S in p. Ferner heißt 

die mittlere Krümmung von S in p. 

K(p) := κ 1 · κ 2 = det(W p) (3.48) 

H(p) := κ 1 + κ 2 

2 

= 1 Spur(Wp) (3.49) 

2



Beispiel: Gauß- und mittlere Krümmung des Zylinders 

Satz: Lokale Darstellung einer Fläche über ihre Tangentialebene 



Geometrische Interpretation der Gauß-Krümmung 

Eigenschaften kompakter regulärer Flächen

# 114 Antwort 

Satz 3.6.7. Sei S ⊂ R 3 eine reguläre Fläche, sei p ∈ S, und sei X 1 , X 2 eine Orthonormalbasis von 

T pS. Sei N ein glattes Einheitsnromalenfeld auf S, definiert in einer Umgebung des Punktes p, sodass 

(X 1 , X 2 , N(p)) eine positiv orientierte Orthonormalbasis von R 3 bilden. 

Dann gibt es eine lokale Parametrisierung (U, F, V ) von S um p, sodass 

1. (0, 0) t ∈ U und F (0, 0) = p, 

2. g ij (0, 0) = δ ij , i, j = 1, 2, 

# 113 Antwort 

Beispiel (Gauß- und mittlere Krümung des Zylinders). Für den Zylinder S = S 1 × R mit der durch 

das innere Einheitsnormalenfeld gegebenen Orientierung haben wir berechnet: κ 1 = 0, κ 2 = 1. Also gilt 

K ≡ 0 wie für die Ebene und H ≡ 1/2. Alle Punkte sind parabolisch. 

3. 

∂g ij 

∂uk (0, 0) = 0, i, j, k = 1, 2, 

4. F (u) − p = u 1 X 1 + u 2 X 2 + 1 2 

∑ 2 

i,j=1 h ij(0, 0)u i u j · N(p) + O(‖u‖ 3 ). 

Dabei sind (g ij ) und (h ij ) die lokalen Darstellungen der ersten bzw. zweiten Fundamentalform bzgl. der 

lokalen Parametrisierung (U, F, V ). Das Symbol O(‖u‖ k ) bezeichnet, wie in der Analysis üblich, eine 

Funktion ϕ mit der Eigenschaft, dass ϕ(u) 

‖u‖ in einer Umgebung von (0, k 

0)t beschränkt ist. 


Korollar 3.6.8. Jede reguläre Fläche kann lokal als Graph über ihrer Tangentialebene dargestellt werden. 


# 116 Antwort 

Satz 3.6.9. Sei S ⊂ R 3 eine kompakte nicht leere reguläre Fläche. Dann besitzt S einen Punkt mit 

K(p) > 0. 


Das bedeutet, dass es kompakte Flächen mit K ≤ 0 in einem noch zu präzisierenden abstrakten Sinne 

zwar durchaus gibt, dass man sie aber nicht in den R 3 legen kann, ohne sie so zu verbiegen, dass die 

Gauß-Krümmung irgendwo positiv wird. 

Korollar 3.6.10. Sei S eine kompakte reguläre Fläche, sei q ∈ R 3 , sei p ∈ S ein Punkt auf S mit 

minimalem Abstand von q. Dann steht q − p senkrecht auf T pS. 

# 115 Antwort 

Bemerkung (Geometrische Interpretation der Gauß-Krümmung). Wenn wir Terme dritter Ordnung vernachlässigen, 

können wir die reguläre Fläche S in der Nähe eines Punktes p ∈ S über die Tangentialebene 

T pS als Graph der Funktion 

angenähert darstellen. 

(u 1 , u 2 ) t ↦→ 1 2∑ 

h ij (0, 0)u i u j (3.50) 

2 

i,j=1 

1. Sei K(p) > 0. Dann ist (h ij (0, 0)) ij positiv oder negativ definiert und somit wird S durch einen 

Paraboloiden angenähert. 

2. Sei K(p) < 0. Dann ist (h ij (0, 0)) ij indefinit, aber nicht ausgeartet. Somit wird S nahe p durch 

eine Sattelfläche approximiert. 

3. p ist parabolisch. Dann ist (h ij (0, 0)) ij ausgeartet, aber nicht 0. Nahe p sieht S wie die Zylinderfläche 

über einer Parabel aus. 

4. p ist Flachpunkt. Dann ist (h ij (0, 0)) = 0 für alle i, j = 1, 2 und somit stimmt die Fläche S bis auf 

Terme dritter Ordnung mit ihrer Tangentialebene überein.

3. Klassische Flächentheorie # 117 3.7. Flächeninhalt und Integration auf Flächen 


Definition: (Lebesgue-) Integrierbarkeit 

Lemma: Integrierbarkeit bzgl. lokaler Paraketrisierung 



Definition: Integrierbarkeit 

Definition: Nullmenge

# 118 Antwort 

Lemma 3.7.2. Sei S ⊂ R 3 eine reguläre Fläche, seien (U, F, V ) und (Ũ, ˜F , Ṽ ) lokale Parametrisierungen 

von S. Sei f : S → R eine Funktion mit f| S\(V ∩ Ṽ ) ≡ 0. Es ist 

√ 

(f ◦ F ) · det(g ij ) : U → R (3.54) 

integrierbar genau dann, wenn 

√ 

(f ◦ ˜F ) · det(˜g ij ) : Ũ → R (3.55) 

integrierbar ist und ist in diesem Falle gilt 

∫ √ 

∫ 

(f ◦ F ) · det(g ij ) du 1 du 2 = (f ◦ ˜F 

√ 

) · det(˜g ij ) dũ 1 dũ 2 . (3.56) 

U 

Ũ 


# 117 Antwort 

Definition 3.7.1 ((Lebesgue-) Integrierbar). Eine Funktion f : S → R mit f| S\V ≡ 0 heißt (Lebesgue-) 

integrierbar, falls die Funktion 

√ 

U → R, (u 1 , u 2 ) t ↦→ f(F (u 1 , u 2 )) det(g ij (u 1 , u 2 )), (3.51) 

(lebesgue-) integrierbar ist. Der Wert des Integrals ist 

∫ ∫ 

√ 

f dA := f(F (u 1 , u 2 )) det(g ij (u 1 , u 2 )) du 1 du 2 . (3.52) 

S 

U 

Man nennt den formalen Ausdruck 

das Flächenelement. 

√ 

dA = det(g ij ) du 1 du 2 (3.53) 

# 120 Antwort 

Definition 3.7.4 (Nullmenge). Eine Teilmenge N ⊂ S einer regulären Fläche heißt Nullmenge, falls für 

jede lokale Parametrisierung (U, F, V ) von S die Menge 

eine Nullmenge in U ⊂ R 2 ist. 

F −1 (V ∩ N) (3.59) 

# 119 Antwort 

Definition 3.7.3 (Integrierbar). Sei S ⊂ R 3 eine reguläre Fläche. Eine Funktion f : S → R heißt 

integrierbar, falls sich f schreiben lässt als endliche Summe 

f = f 1 + . . . + f k , (3.57) 

wobei die f i : S → R integrierbare Funktionen sind, die jeweils außerhalb einer Koordinatenumgebung 

verschwinden. In diesem Fall setzen wir ferner 

∫ 

k∑ 

∫ 

f dA := f i dA. (3.58) 

S 

i=1 S



Definition: Flächeninhalt 

Beispiel: Flächeninhalt des Zylinders 

3. Klassische Flächentheorie # 123 3.8. Einige Klassen von Flächen 


Definition: Regelfläche 

Satz: Eigenschaft von Regelflächen

# 122 Antwort 

Beispiel (Flächeninhalt des Zylinders). Sei I ⊂ R ein offenes Intervall, c : I → R 2 eine ebene parametrisierte 

reguläre Kurve. Sei h > 0. Wir betrachten den verallgemeinerten Zylinder über c: 

S = {c(t) + se 3 : t ∈ I, 0 < s < h} . (3.61) 

Wir erhalten mit der Parametrisierung U = I × (0, h) ⊂ R 2 , V = R 3 , F (t, s) = c(t) + se 3 : 

dA = √ g 11 g 22 − g 12 g 21 = ‖ċ(t)‖ dt ds. (3.62) 

# 121 Antwort 

Definition 3.7.5 (Flächeninhalt). Sei S ⊂ R 3 eine reguläre Fläche. Ist die konstante Funktion f ≡ 1 

integrierbar, so nennen wir 

∫ 

A[S] := dA (3.60) 

S 

den Flächeninhalt von S. 

Für den Flächeninhalt erhalten wir 

∫ ∫ h 

A[S] = ‖ċ(t)‖ ds dt = h · L[c]. (3.63) 

I 0 

# 124 Antwort 

Satz 3.8.2. Sei S ⊂ R 3 eine Regelfläche. Dann gilt für die Gauß-Krümmung 

K ≤ 0. (3.65) 


# 123 Antwort 

Definition 3.8.1 (Regelfläche). Sei I ⊂ R ein offenes Intervall, und sei c : I → R 3 eine parametrisierte 

Raumkurve. Wir wollen nun an jeden Punkt dieser Kurve eine Gerade anheften, um so eine Fläche zu 

erhalten. Sei dazu v : I → R 3 eine glatte Abbildung mit v(t) ≠ (0, 0, 0) t für alle t ∈ I. Sei J ⊂ R ein 

weiteres offenes Intervall. Wir setzen 

F : I × J → R 3 , F (t, s) = c(t) + sv(t). (3.64) 

Eine reguläre Fläche S ⊂ R 3 , die durch eine Parametrisierung der Form (3.64) darstellbar ist, heißt 

Regelfläche.



Beispiel: Regelflächen (Rückseite) 

Beispiele: Regelflächen 



Definition: Mittleres Krümmungsfeld 

Satz: Variation des Flächeninhalts

# 126 Antwort 

Beispiel (Einige Regelflächen). 

1. Verallgemeinerter Zylinder: Ist c : I → R 3 eine ebene parametrisierte Kurve ohne Selbstdurchschnitte, 

c(t) = (c 1 (t), c 2 (t), 0) und v(t) = (0, 0, 1), so heißt die zugehörige Regelfläche 

⎛ 

F (t, s) = ⎝ c ⎞ 

1(t) 

c 2 (t) ⎠ (3.70) 

s 

verallgemeinerter Zylinder über c. Als Definitionsbereich können wir U = I × R nehmen. Für ihn 

gilt K ≡ 0. 

2. Verallgemeinerter Kegel: Betrachten wir wieder eine ebene parametrisierte Kurve c : I → R 3 ohne 

Selbstdurchschnitte, c(t) = (c 1 (t), c 2 (t), 0). Zu einem festen Punkt p ∈ R 3 \ (R 2 × {0}) setzen wir 

v(t) = p − c(t). Dann ist 

F : I × (−∞, 1) → R 3 , F (t, s) = (1 − s)c(t) + sp (3.71) 

der verallgemeinerte Kegel über c mit Kegelspitze p. Für ihn gilt K ≡ 0. 

3. Möbiusband: Auch das Möbiusband ist eine Regelfläche. Dazu betrachten wir 

⎛ 

F : R × (−1, 1) → R 3 , F (t, s) = ⎝ cos t + s cos t cos ⎞ 

t/2 

sin t + s sin t cos t/2 ⎠ . (3.72) 

s sin t/2 

# 125 Antwort 

4. Rotationshyperboloid, einschaliges Hyperboloid: Das Rotationshyperboloid 

bildet eine Regelfläche, denn die Regelfläche, die durch 

S = { (x, y, z) t ∈ R 3 : 1 = z 2 = x 2 + y 2} (3.66) 

c(t) = (cos t, sin t, 0) t , v(t) = ċ(t) + e 3 = (− sin t, cos t, 1) t , (3.67) 

gegeben ist, stimmt mit S überein. Es gilt K < 0. 

5. Hyperbolisches Paraboloid: Das hyperbolische Paraboloid 

ist eine Regelfläche. Dies wird realisiert durch 

und es gilt K < 0. 

S = { (x, y, z) t ∈ R 3 : z = xy } (3.68) 

c(t) = (t, 0, 0) t , v(t) = 

1 

√ 

1 + t 2 (0, 1, t)t , (3.69) 

Es gilt K < 0. 

# 128 Antwort 

Satz 3.8.4 (Variation des Flächeninhalts). Sei S eine reguläre Fläche mit endlichem Flächeninhalt. Sei 

H das mittlere Krümmungsfeld. Sei Φ : S → R 3 ein glattes Normalenfeld auf S mit kompaktem Träger. 

Dann ist für |t| hinreichend klein die Menge S t := {p + tΦ(p) : p ∈ S} eine reguläre Fläche mit endlichem 

Flächeninhalt und es gilt 

d 

∣ ∫ 

dt A[St] ∣∣t=0 

= −2 〈Φ, H〉 dA. (3.74) 

S 

# 127 Antwort 

Definition 3.8.3 (Mittleres Krümmungsfeld). Um eine Version der mittleren Krümmung zu erhalten, 

die sich bei Orientierungswechsel nicht ändert und auch auf nichtorientierbaren Flächen definiert ist, 

betrachtet man statt der reellwertigen Funktion H häufig das mittlere Krümmungsfeld H, das durch 

definiert ist. 

H := H · N (3.73) 


Korollar 3.8.5. Sei S ⊂ R 3 eine reguläre Fläche mit kompaktem Abschluss ¯S. Wir nehmen an, dass S 

minimalen Flächeninhalt hat unter allem regulären Flächen ˜S mit demselben Rand ∂ ˜S = ∂S. 

Dann gilt für das mittlere Krümmungsfeld von S 

H ≡ (0, 0, 0) t . (3.75) 




Definition: Minimalfläche 

Beispiele: Minimalflächen 



Satz: Eigenschaft von Minimalflächen 

Definition: Drehfläche

# 130 Antwort 

Beispiel (Minimalflächen). 1. Affine Ebene: Für eine affine Ebene gilt offensichtlich K ≡ H ≡ 0. 

2. Enneper-Fläche: Die Enneper-Fläche kann durch eine einzige Parametrisierung beschrieben werden 

⎛ 

F : R 2 → R 3 , F (u 1 , u 2 ⎜ 

u1 − (u1) 3 

⎞ 

+ u 3 1 (u 2 ) 2 

) = ⎝u 2 − (u2 ) 3 

⎟ 

+ u 3 2 (u 1 ) 2 ⎠ . (3.78) 

(u 1 ) 2 − (u 2 ) 2 

3. Katenoid: Die Kettenfläche oder das Katenoid ist gegeben durch die Parametrisierung 

⎛ 

F (u 1 , u 2 ) = ⎝ cosh(u1 ) cos(u 2 ⎞ 

) 

cosh(u 1 ) sin(u 2 ) ⎠ . (3.79) 

u 1 

Das Katenoid ist ein Beispiel für eine Drehfläche. Sie ist im wesentlichen die einzige Drehfläche, die 

gleichzeitig eine Minimalfläche ist. 

4. Helikoid: Die Wendelfläche oder das Helikoid ist gegeben durch die Parametrisierung 

⎛ 

F (u 1 , u 2 ) = ⎝ u1 sin(u 2 ⎞ 

) 

−u 1 cos(u 2 ) ⎠ . (3.80) 

u 2 

# 129 Antwort 

Definition 3.8.6 (Minimalfläche). Eine reguläre Fläche S ⊂ R 3 heißt Minimalfläche, falls 

H ≡ (0, 0, 0) t . (3.76) 

Man beachte, dass Minimalflächen nicht unbedingt flächenminimierend sein müssen. Es handelt sich bei 

H = (0, 0, 0) t nur um eine notwendige Bedingung. 

Man kann Minimalflächen konkret erzeugen, indem man einen geschlossenen Draht (unsere geschlossene 

Raumkurve) in Seifenlauge hält. Die entstandene Seifenhaut ist dann eine Minimalfläche. 

Bemerkung. Ist die Fläche S orientierbar, so gibt es ein glattes Einheitsnormalenfeld N auf S und wir 

können das mittlere Krümmungsfeld in der Form H = H · N schreiben. Die Minimalflächenbedingung 

lautet dann 

H ≡ 0. (3.77) 

5. Scherksche Fläche: Der Graph der Funktion 

ϕ : (−π/2, π/2) × (−π/2, π/2) → R, ϕ(x, y) = ln(cos(y)) − ln(cos(x)) (3.81) 

heißt Scherksche Fläche und ist eine Minimalfläche. 

# 132 Antwort 

Definition 3.8.8 (Drehfläche). Drehflächen entstehen, wenn man eine ebene Kurve, die in der x-z-Ebene 

liegt, um die z-Achse rotiert. Ist besagte ebene Kurve durch die Parametrisierung t ↦→ (r(t), t) t , t ∈ I 

gegeben, so erhalten wir eine lokale Parametrisierung der zugehörigen Drehfläche durch 

⎛ ⎞ 

r(t) cos(ϕ) 

F (t, ϕ) = ⎝r(t) sin(ϕ) ⎠ , t ∈ I, ϕ ∈ (ϕ 0 , ϕ 0 + 2π). (3.84) 

t 

# 131 Antwort 

Satz 3.8.7. Für jede reguläre Fläche gilt 

K ≤ H 2 . (3.82) 

Insbesondere gilt für die Gauß-Krümmung von Minimalflächen 

K ≤ 0. (3.83) 




Beispiele: Drehflächen 

Definition: Röhrenfläche 


4. Innere Geometrie von Flächen # 136 4.1. Isometrien 

Beispiel: Röhrenfläche 

Definition: Lokale Isometrie

# 134 Antwort 

Definition 3.8.9 (Röhrenfläche). Sei c : I → R 3 eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve mit nicht 

verschwindender Krümmung, κ(t) ≠ 0 für alle t ∈ I. Dann sind die Torsion τ und das Frenet-Freibein 

(ċ, n, b) definiert. Sei r > 0. Wir betrachten 

F : I × R → R 3 , 

F (t, ϕ) = c(t) + r · (cos ϕ · n(t) + sin ϕ · b(t)). (3.87) 

Eine so parametrisierte reguläre Fläche heißt Röhrenfläche. 

# 133 Antwort 

Beispiel (Drehflächen). 1. Rotationsparaboloid: Das Rotationsparaboloid S = { (x, y, z) t ∈ R 3 : z = x 2 + y 

ist eine Drehfläche mit der Funktion r(t) = √ t, t > 0. Es gilt 

K = 

4 

(1 + 4t) 2 , H = 2 + 4t . (3.85) 

3/2 

(1 + 4t) 

2. Katenoid: Eine Drehfläche mit r(t) = c 1 cosh(t+c 2/c 1 ), c 1 > 0, c 2 ∈ R ist eine Kettenfläche. 

3. Pseudosphäre: Sei S die Drehfläche einer Traktrix. Eine Parametrisierung ist dann gegeben durch 

F : (0, 2π) × (ϕ 0 , ϕ 0 + 2π) → R 3 , 

⎛ 

⎞ 

F (t, ϕ) = ⎝ 

sin t sin ϕ 

sin t cos ϕ ⎠ . (3.86) 

cos t + ln tan t/2 

Diese Fläche hat konstante Gauß-Krümmung K ≡ −1. Man nennt sie Pseuodesphäre. 

# 136 Antwort 

Von außen betrachtet erscheinen uns z. B. die Zylinderfläche und die Ebene als sehr verschieden. Wir 

werden aber sehen, dass es für unser zweidimensionales Wesen nicht einfach wäre zu entscheiden, ob es 

nun auf einer Zylinderfläche lebt oder auf einer Ebene. Falls wir nur kleine Stücke von Ebene und Zylinder 

nehmen, wäre es sogar unmöglich, diese Entscheidung mittels Messungen innerhalb der Fläche zu treffen. 

# 135 Antwort 

Beispiel. 1. Drehtorus: Wir betrachten den Drehtorus, der als die Röhrenfläche um die Kreislinie 

c(t) = (cos t, sin t, 0) t mit Dichte 2r < 2 definiert ist. Dann gilt 

κ(t) ≡ 1, τ ≡ 0. (3.88) 

Definition 4.1.1 (Lokale Isometrie). Seien S 1 , S 2 reguläre Flächen im R 3 . Eine glatte Abbildung f : 

S 1 → S 2 heißt lokale Isometrie, falls für jeden Punkt p ∈ S 1 das Differential 

eine lineare Isometrie bezüglich der ersten Fundamentalform ist, d. h. 

für alle X, Y ∈ T pS 1 . 

d pf : T pS 1 → T f(p) S 2 (4.1) 

〈d pf(X), d pf(Y )〉 = 〈X, Y 〉 (4.2) 

Wir nennen geometrische Größen, die sich unter lokalen Isometrien nicht verändern, Größen der inneren 

Geometrie. 

Die mittlere Krümmung H ist keine Größe der inneren Geometrie, denn für die Ebene ist H Ebene ≡ 0, 

während für die Zylinderfläche H Zylinder ≡ 1/2 gilt. Da Eben und Zylinder lokal isometrisch sind, müsste 

H Zylinder = H Ebene ◦ f gelten.



Beispiel: Isometrie zwischen Zylinder und Ebene 

Definition: Isometrie 

4. Innere Geometrie von Flächen # 139 4.2. Vektorfelder und kovariante Abbildungen 


Definition: Vektorfeld 

Beispiel: Gradientenvektorfeld

# 138 Antwort 

Definition 4.1.2 (Isometrie). Eine lokale Isometrie f : S 1 → S 2 , die zusätzlich bijektiv ist, heißt 

Isometrie. Gibt es eine solche Isometrie f : S 1 → S 2 , so heißen die Flächen S 1 und S 2 isometrisch. 

Die Flächen S 1 und S 2 heißen lokal isometrisch, falls es zu jedem Punkt p ∈ S 1 eine offene Umgebung 

U 1 ⊂ S 1 von p gibt, eine offene Teilmenge U 2 ⊂ S 2 und eine Isometrie f : U 1 → U 2 und umgekehrt 

zu jedem Punkt q ∈ S 2 eine offene Umgebung U ′ 2 ⊂ S 2 von q, eine offene Teilmenge U ′ 1 ⊂ S 1 und eine 

# 137 Antwort 

Beispiel (Isometrie zwischen Zylinder und Ebene). Sei S 1 = R 2 × {0} die x-y-Ebene, S 2 = S 1 × R die 

Zylinderfläche. Dann ist 

eine lokale Isometrie. 

f : S 1 → S 2 , f(x, y, 0) = (cos x, sin x, y) t (4.3) 

Isometrie f : U ′ 2 → U ′ 1 . # 139 Antwort 

# 140 Antwort 

Beispiel (Gradientenvektorfeld). Sei f : S → R eine glatte Funktion. Da die erste Fundamentalform nicht 

ausgeartet ist, existiert, bei festgehaltenem Punkt p, genau ein Vektor v(p) ∈ T pS mit der Eigenschaft 

d pf(X) = I(v(p), X) (4.4) 

für alle X ∈ T pS. Dadurch wird das glatte Gradientenvektorfeld v := grad f definiert. 

Ein Vektorfeld ordnet jedem Punkt auf der Fläche einen Vektor zu, der in diesem Punkt tangential an 

die Fläche ist. 

Definition 4.2.1 (Vektorfeld). Sei S ⊂ R 3 eine reguläre Fläche. Ein Vektorfeld auf S ist eine Abbildung 

v : S → R 3 , sodass v(p) ∈ T pS für alle p ∈ S.



Definition: Richtungsableitung 

Definition: Lie-Klammer 



Definition: Vektorfeld längs einer Kurve 

Definition: Kovariante Ableitung

# 142 Antwort 

Definition 4.2.3 (Lie-Klammer). Das Vektorfeld 

Z := [X, Y ] (4.7) 

heißt Lie-Klammer von X und Y . Es ist durch die Bedingung 

∂ X (∂ Y f) − ∂ Y (∂ X f) = ∂ [X,Y ] f (4.8) 

für alle f charakterisiert. 

# 141 Antwort 

Definition 4.2.2 (Richtungsableitung). Sei S eine reguläre Fläche, p ∈ S ein Punkt X p ∈ T pS ein 

Tangentialvektor und f : S → R eine glatte Funktion. Dann heißt 

∂ Xp f := d pf(X p) = I(grad f, X p) ∈ R (4.5) 

Richtungsableitung von f nach X p. Ist X ein Vektorfeld auf S, so heißt auch die Funktion 

∂ X f : S → R, ∂ X f(p) := ∂ X(p) f (4.6) 

Richtungsableitung von f nach dem Vektorfeld X. 

# 144 Antwort 

Definition 4.2.5 (Kovariante Ableitung). Sei S ⊂ R 3 eine reguläre Fläche, sei c : I → S eine parametrisierte 

Kurve und sei v : I → R 3 ein differenzierbares Vektorfeld an S längs c. Für jeden Punkt p ∈ S 

sei Π p : R 3 → T pS die Orthogonalprojektion, d. h. ist N(p) einer der beiden Einheitsnormalenvektoren 

an S im Punkt p, so ist 

# 143 Antwort 

Definition 4.2.4 (Vektorfeld längs einer Kurve). Sei S ⊂ R 3 eine reguläre Fläche, sei c : I → S eine 

parametrisierte Kurve. Ein Vektorfeld an S längs c ist eine Abbildung v : I → R 3 , sodass v(t) ∈ T c(t) S 

ist für alle t ∈ I. 

Π p(X) = X − 〈X, N(p)〉 N(p). (4.9) 

Dann heißt 

t ∈ I, die kovariante Ableitung von v. 

∇ 

dt v(t) := Π c(t)( ˙v(t)), (4.10) 

Mit v ist also auch ∇ v ein Vektorfeld an S längs c. 

dt



Lemma: Rechenregeln für die kovariante Ableitung 

Kovariante Ableitung bzgl. lokaler Parametrisierung 

Definition: Christoffel-Symbole 



Lemma: Formel für die Christoffel-Symbole 

Definition: Kovariante Ableitung in Richtung eines Tangentialvektors

# 146 Antwort 

Bemerkung (Kovariante Ableitung bzgl. lokaler Parametrisierung). Man kann die kovariante Ableitung 

auch mit Hilfe lokaler Parametrisierungen berechnen. Dazu drücken wir für eine lokale Parametrisierung 

(U, F, V ) von S die Vektoren 

∂2 F 

∂u i ∂u j (u) ∈ R 3 in der Basis ∂F 

∂u 1 (u), ∂F 

∂u 2 (u) und N(F (u)) aus: 

∂ 2 F 

∂u i ∂u j (u) = ∂F 

Γ1 i,j (u) 

∂u 1 (u) + ∂F 

Γ2 i,j (u) 

∂u 2 (u) + h i,j(u)N(F (u)). (4.15) 

Definition 4.2.7 (Christoffel-Symbole). Die Koeffizientenfunktionen 

1 ≤ i, j, k ≤ 2 heißen Christoffel-Symbole. 

Γ k i,j : U → R, (4.16) 

# 145 Antwort 

Lemma 4.2.6 (Rechenregeln für die kovariante Ableitung). Sei S eine reguläre Fläche, c : I → S 

eine parametrisierte Kurve, sei f : I → R eine differenzierbare Funktion und sei ϕ : J → I eine 

Umparametrisierung von c. Seien ferner v, w Vektorfelder an S längs c. Dann sind auch v + w und fv 

Vektorfelder an S längs c und es gilt 

1. Additivität: 

2. Produktregel I: 

∇ 

dt (v + w)(t) = ∇ dt v(t) + ∇ w(t), (4.11) 

dt 

∇ 

dt (fv)(t) = f(t)v(t) ˙ + f(t) ∇ v(t), (4.12) 

dt 

3. Produktregel II: 

4. Umparametrisierung: 

( ) 

∇ 

∇ 

dt I(v, w)(t) = I dt v(t), w(t) + I 

(v(t), ∇ ) 

dt w(t) , (4.13) 

(( ) ) 

∇ 

∇ 

dt (v ◦ ϕ)(t) = ˙ϕ · dt v ◦ ϕ . (4.14) 

# 148 Antwort 

Definition 4.2.9 (Kovariante Ableitung in Richtung eines Tangentialvektors). Sei S eine reguläre Fläche, 

v ein Vektorfeld auf S, w p ∈ T pS ein Tangentialvektor. Dann ist die kovariante Ableitung ∇ wp v ∈ T pS 

von v in Richtung w p wie folgt definiert: 

Wähle eine Kurve c : (−ε, ε) → S mit ċ(0) = w p und setze 

∇ wp v := ∇ (v ◦ c)(0). (4.18) 

dt 

# 147 Antwort 

Lemma 4.2.8 (Formel für die Christoffel-Symbole). Für die Christoffel-Symbole gilt die Formel 

Γ k ij = 1 2 

m=1 

2∑ 

( ∂gjm 

∂u i 


+ ∂g im 

∂u j 

+ ∂g ) 

ij 

∂u m g mk . (4.17) 

Diese Definition ist wohldefiniert, also unabhängig von der Wahl der Kurve c mit ċ(0) = w p. 

Sind v, w zwei Vektorfelder auf S, so definieren wir ein neues Vektorfeld ∇ wv durch 

(∇ wv)(p) := ∇ w(p) v. (4.19)


4. Innere Geometrie von Flächen # 1504.3. Krümmungstensor und Theorema Egregium 

Lemma: Rechenregeln für die kovariante Ableitung in Richtung eines 

Tangentialvektors 

Definition: Zweite kovariante Ableitung 



Lemma: Zweite kovariante Ableitung bzgl. lokaler Parametrisierung 

Korollar: Zweites Kovariantes Diffenretial

# 150 Antwort 

Sind v, w, z Vektorfelder auf einer regulären Fläche S, so kann man natürlich das Vektorfeld ∇ wz noch 

einmal nach v kovariant differenzieren. Dabei werden jedoch auch Ableitungen von w nach v auftreten. 

Wenn wir also nur an der zweiten Ableitung von z in Richtung v und w interessiert sind, müssen wir 

diesen Effekt kompensieren. 

Definition 4.3.1 (Zweite Kovariante Ableitung). Die zweite kovariante Ableitung von z nach v und w 

ist durch 

# 149 Antwort 

Lemma 4.2.10 (Rechenregeln für die kovariante Ableitung in Richtung eines Tangentialvektors). Sei 

S eine reguläre Fläche, seien c 1 , c 2 ∈ R, v, v 1 , v 2 , w, w 1 , w 2 Vektorfelder auf S, und sei f : S → R eine 

glatte Funktion. Dann gilt: 

1. Linearität im zu differenzierenden Vektorfeld: 

∇ w(c 1 v 1 + c 2 v 2 ) = c 1 ∇ wv 1 + c 2 ∇ wv 2 , (4.20) 

definiert. 

∇ 2 v,w z := ∇v(∇wz) − ∇ ∇ vwz (4.25) 

2. Produktregel I: 

∇ w(fv) = df(w)v + f∇ wv, (4.21) 

3. Produktregel II: 

d(I(v 1 , v 2 ))(w) = I(∇ wv 1 , v 2 ) + I(v 1 , ∇ wv 2 ), (4.22) 

4. Linearität in dem Vektorfeld, nach dem differenziert wird: 

∇ (c1 w 1 +c 2 w 2 )v = c 1 ∇ w1 v + c 2 ∇ w2 v, (4.23) 

5. Funktionen-Linearität in dem Vektorfeld, nach dem differenziert wird: 

∇ (fw) v = f∇ wv. (4.24) 

# 152 Antwort 

Korollar 4.3.3 (Zweites Kovariantes Differential). Der Wert der zweiten kovarianten Ableitung ∇ 2 v,wz 

hängt im Punkte p ∈ S nur von v(p), w(p) und den Ableitungen von z in p bis zur Ordnung 2 ab. 

Damit können wir für ein Vektorfeld z auf S das zweite kovariante Differential von z definieren als 

∇ 2 : T pS × T pS → T pS, (v p, w p) ↦→ (∇ 2 v,wz)(p), (4.27) 

wobei v, w beliebige Vektorfelder auf S mit v(p) = v p und w(p) = w p sind. 

# 151 Antwort 

Lemma 4.3.2 (Zweite Kovariante Ableitung bzgl. Lokaler Parametrisierung). Sei S eine reguläre Fläche 

und v, w, z Vektorfelder auf S. Sei (U, F, V ) eine lokale Parametrisierung von S. Wir drücken wie üblich 

v in der durch die Parametrisierung gegebenen Basis aus, v = ∑ 2 ∂F 

i=1 

vi 

∂u i , und analog für alle anderen 

Vektorfelder. 

Dann ist ∇ 2 v,wz in der Basis 

∂F 

∂u m gegeben durch die Koeffizienten 

⎛ 

⎝ ∑ ∂ 2 z m 

∂u 

ij 

i ∂u j vi w j + ∑ Γ m ∂z i 

ij 

∂u k (vi w k + v k w j ) − ∑ 

ijk 

ijk 

Γ k ∂z m 

ij 

∂u k vi w j + 

+ ∑ ijk 

( 

∂Γ m 

kj 

∂u i 

+ ∑ l 

) 

( 

) 

⎞ 

Γ m li Γl kj − Γm kl Γl ij v i w j z k ⎠ 

m=1,2 

(4.26) 




Definition: Riemannscher Krümmungstensor 

Lemma: Riemannscher Krümmungstensor bzgl. lokaler Parametrisierung 



Korollar: Eigenschaften des Riemannschen Krümmungstensors 

Satz: Gauß-Gleichung

# 154 Antwort 

Lemma 4.3.5 (Riemannscher Krümmungstensor bzgl. Lokaler Parametrisierung). Sei (U, F, V ) eine 

lokale Parametrisierung unserer regulären Fläche, p = F (u 0 ). Wir drücken v p, w p, z in der lokalen 

Parametrisierung aus: 

v p = ∑ i 

v i ∂F 

∂u i (u 0), 

w p = ∑ j 

w j ∂F 

∂u j (u 0), 

z = ∑ k 

Der riemannsche Krümmungstensor hat bezüglich der lokalen Parametrisierung die Form 

R(v p, w p)z = 

2∑ 

ijkl=1 

z k ∂F 

∂u k . (4.29) 

R l ijk (u 0)v i w j z k ∂F 

∂u l (u 0), (4.30) 

# 153 Antwort 

Definition 4.3.4 (Riemannscher Krümmungstensor). Sei S eine reguläre Fläche, p ∈ S ein Punkt, 

v p, w p ∈ T pS Tangentialvektoren und z ein Vektorfeld auf S. Dann ist der riemannsche Krümmungstensor 

R definiert durch 

R(v p, w p)z := ∇ 2 v p,w p 

z − ∇ 2 w p,v p 

z. (4.28) 

Der Krümmungstensor misst also gerade den Fehler, der bei der Vertauschung der beiden Ableitungen 

auftritt. 

wobei 

R l ijk = ∂Γl kj 

∂u i 

− ∂Γl ki 

∂u j 

+ ∑ m 

( 

) 

Γ l mi Γm kj − Γl mj Γm ki . (4.31) 


# 156 Antwort 

Satz 4.3.7 (Gauß-Gleichung). Sei S ⊂ R 3 eine orientierte reguläre Fläche, p ∈ S. Dann gilt für 

v, w, z ∈ T pS: 

R(v, w)z = II(w, z) · W (v) − II(v, z) · W (w). (4.35) 

Bezüglich einer lokalen Parametrisierung drückt sich dies folgendermaßen aus: 

Rijk l = h jkwi l − h ikwj l . (4.36) 


# 155 Antwort 

Korollar 4.3.6 (Eigenschaften des Riemannschen Krümmungstensors). 

1. Der Tangentialvektor R(w p, w p)z hängt an der Stelle p ∈ S nur von z(p) ab, nicht aber von den 

Werten des Vektorfeldes z auf S \ {p}. Daher ist die Abbildung 

R p : T pS × T pS × T pS =→ T pS (4.32) 

R p(v p, w p)z p := R(v p, w p)z, (4.33) 

wohldefiniert, wobei z ein beliebiges Vektorfeld auf S mit z(p) = z p ist. 

2. R p ist linear in jedem Argument. 

3. R p ist schiefsymmetrisch in den ersten beiden Argumenten, 

R p(v p, w p)z p = −R p(w p, v p)z p. (4.34)



Satz: Theorema Egregium 

Beispiel zur Anwendung des Theorema Egregium 



Lemma: Symmetrien des Riemannschen Krümmungstensors 

Lemma: Darstellung des Riemannschen Krümmungstensors in lokale 

Koordinaten

# 158 Antwort 

Beispiel (Landkarten). Vergleicht man eine Kreisscheibe mit Gauß-Krümmung K ≡ 0 und eine Sphäre 

mit K ≡ 1, so fällt sofort auf, dass es keine Isometrie zwischen diesen beiden Flächen geben kann. 

Das zeigt, dass es prinzipiell nicht möglich ist, wirklich befriedigende Landkarten zu erstellen, da jede 

Landkarte bestimmte Längen verzerrt. 

# 157 Antwort 

Satz 4.3.8 (Theorema Egregium). Die Gauß-Krümmung kann folgendermaßen aus dem riemannschen 

Krümmungstensor berechnet werden: Sei p ∈ S ein Punkt. Wähle eine Orthonormalbasis v, w von T pS. 

Dann gilt 

K(p) = I(R p(v, w)w, v). (4.37) 

Insbesondere ist die Gauß-Krümmung eine Größe der inneren Geometrie. 

Beweis. Gemäß der Gauß-Gleichung gilt 

I(R(v, w)w, v) = I(II(w, w) · W (v) − II(v, w) · W (w), v) = 

= II(w, w)II(v, v) − II(v, w)II(w, v) = 

= det(W ) = K. (4.38) 

# 160 Antwort 

Lemma 4.3.10 (Darstellung des Riemannschen Krümmungstensors in lokalen Koordinaten). Sei S eine 

reguläre Fläche, sei p ∈ S. Für alle v, w, x ∈ T pS gilt 

In lokalen Koordinaten gilt 

R(v, w)x = K(p) · (I(w, x)v − I(v, x)w) . (4.40) 

R l ijk = K · (g jk δ l i − g ikδ l j 


) 

. (4.41) 

# 159 Antwort 

Lemma 4.3.9 (Symmetrien des Riemannschen Krümmungstensors). Sei S eine reguläre Fläche, sei 

p ∈ S, seien v, w, x, y ∈ T pS. Der Krümmungstensor hat die folgenden Symmetrien: 

1. R(v, w)x = −R(w, v)x, 

2. I(R(v, w)x, y) = −I(R(v, w)y, x), 

3. I(R(v, w)x, y) = I(R(x, y)v, w), 

4. Bianchi-Identität: 

R(v, w)x + R(x, v)w + R(w, x)v = 0. (4.39) 




Größen der inneren Geometrie 

Größen, die nicht unter lokalen Isometrien invariant sind 

4. Innere Geometrie von Flächen # 163 4.4. Riemannsche Metriken 


Definition: Riemannsche Metrik 

Alternative Herangehensweise an die Definition von Größen der inneren 

Geometrie mittels einer Riemannschen Metrik, die nicht zwingend die 

erste Fundamentalform ist

# 162 Antwort 

geometrische Größe Symbol 

2. Fundamentalform II 

Weingarten-Abbildung W 

Hauptkrümmungen κ i 

mittlere Krümmung H 

Tabelle 2: Größen, die nicht unter lokalen Isometrien invariant sind 

# 161 Antwort 

geometrische Größe Symbol 

1. Fundamentalform I 

Flächenelement 

dA 

kovariante Ableitung 

∇ 

riemannscher Krümmungstensor R 

Gauß-Krümmung 

K 

Tabelle 1: Größen der inneren Geometrie 

# 164 Antwort 

Alle Größen der inneren Geometrie sind auch für reguläre Flächen mit einer riemannschen Metrik definiert, 

die nicht die erste Fundamentalform ist. Dazu definieren wir z. B. die Christoffel-Symbole durch die Formel 

Γ k ij := 1 2 

m=1 

2∑ 

( ∂gjm 

∂u i 

+ ∂g im 

∂u j 

und anschließend die kovariante Ableitung für Vektorfelder 

durch 

v = ∑ i 

v i ∂F 

∂u i , 

+ ∂g ) 

ij 

∂u m g mk (4.43) 

w = 

∑ 

j 

w j ∂F 

∂u j (4.44) 

⎛ 

⎞ 

∇ wv(F (u)) := ∑ ( 

⎝d uv k w 1 ) 

(u) 

w 2 + ∑ Γ k (u) 

ij (u)vi (u)w j (u) ⎠ ∂F (u). (4.45) 

∂uk k 

ij 

# 163 Antwort 

Wir verallgemeinern das Konzept der ersten Fundamentalform. Sie ordnet jeder Tangentialebene ein 

euklidisches Skalarprodukt zu. Dass dieses Skalarprodukt die Einschränkung des Standardskalarproduktes 

auf dem R 3 ist, ist für die Größen der inneren Geometrie ohne Belang. 

Definition 4.4.1 (Riemannsche Metrik). Sei S ⊂ R 3 eine reguläre Fläche. Eine riemannsche Metrik 

g auf S ordnet jedem Punkt p ∈ S ein euklidisches Skalarprodukt g p auf der Tangentialebene T pS zu, 

sodass für jede lokale Parametrisierung (U, F, V ) von S die Funktionen 

( ) 

∂F ∂F 

g ij : U → R, 

g ij (u) := g F (u) (u), 

∂ui ∂u j (u) (4.42) 

glatt sind.


4. Innere Geometrie von Flächen # 166 4.5. Geodätische 

Definition: Zurückgezogene Riemannsche Metrik 

Definition: Länge 



Definition: Energie 

Lemma: Zusammenhang zwischen Länge und Energie

# 166 Antwort 

In der Ebene ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten das entsprechende Geradensegment. 

Wie sehen die kürzesten Verbindungskurven auf einer regulären Fläche aus? 

Definition 4.5.1 (Länge). Sei S eine reguläre Fläche mit riemannscher Metrik g. Sei c : I → S eine 

parametrisierte Kurve. Dann ist die Länge von c bzgl. (S, g) definiert durch 

∫ √ 

L[c] := g c(t) (ċ(t), ċ(t)) dt. (4.47) 

I 

# 165 Antwort 

Definition 4.4.2 (Zurückgezogene Riemannsche Metrik). Seien S 1 , S 2 reguläre Flächen, sei Φ : S 1 → S 2 

ein Diffeomorphismus. Sei g eine riemannsche Metrik auf S 2 . Die zurückgezogene riemannsche Metrik 

Φ ∗ g auf S 1 ist definiert durch 

für alle p ∈ S 1 , X, Y ∈ T pS 1 . 

(Φ ∗ g) p(X, Y ) := g Φ(p) (d pΦ(X), d pΦ(Y )) (4.46) 

# 168 Antwort 

Lemma 4.5.3 (Zusammenhang zwischen Länge und Energie). Sei S eine reguläre Fläche mit riemannscher 

Metrik g. Sei c : [a, b] → S eine parametrisierte Kurve. Dann ist 

L[c] 2 ≤ 2(b − a)E[c], (4.49) 

und Gleichheit gilt genau dann, wenn c proportional zur Bogenlänge parametrisiert ist, d. h. wenn 

# 167 Antwort 

Definition 4.5.2 (Energie). Sei S eine reguläre Fläche mit riemannscher Metrik g. Sei c : I → S eine 

parametrisierte Kurve. Dann ist die Energie von c bzgl. (S, g) definiert durch 

E[c] := 1 ∫ 

g c(t) (ċ(t), ċ(t)) dt. (4.48) 

2 I 

g c(t) (ċ(t), ċ(t)) ≡ const . (4.50) 




Lemma: Variation der Energie 

Notwendige Bedingung für Minimale Energie 



Definition: Geodätische 

Beispiele: Geodätische

# 170 Antwort 

Korollar 4.5.6 (Notwendige Bedingung für Minimale Energie). Sei S eine reguläre Fläche mit riemannscher 

Metrik g. Seien p, q ∈ S. Ist c : [a, b] → S eine Verbindungskurve von p nach q mit minimaler 

Energie, so gilt 

für alle t ∈ [a, b]. 


∇ 

dt ċ0(t) = 0 (4.54) 

# 169 Antwort 

Lemma 4.5.4 (Hilfslemma zur Variation der Energie). Sei S eine reguläre Fläche mit riemannscher 

Metrik g. Sei c : I × J → S, (s, t) ↦→ c(s, t), eine glatte Abbildung. Dann gilt 

∇ ∂c 

∂s ∂t = ∇ ∂t 


∂c 

∂s . (4.51) 

Satz 4.5.5 (Variation der Energie). Sei S eine reguläre Fläche mit riemannscher Metrik g. Seien p, q ∈ 

S. Sei c : (−ε, ε) × [a, b] → S eine glatte Abbildung, sodass für c s : [a, b] → S, c s(t) := c(s, t) gilt 

c s(a) = p, c s(b) = q. (4.52) 

Sei V (t) := ∂c (0, t) das so genannte Variationsvektorfeld. Dann gilt 

∂s 

∫ b 

d 

ds E[cs] ∣ ∣∣s=0 

= − 


a 

g c0 (t) 

( 

V (t), ∇ ) 

dt ċ0(t) dt. (4.53) 

# 172 Antwort 

Beispiel (Geodätische). 

- Ebene: Sei S ⊂ R 3 die x-y-Ebene mit der ersten Fundamentalform als riemannsche Metrik. Dann 

stimmt die kovariante Ableitung mit der gewöhnlichen Ableitung überein, 

∇ ċ(t) = ¨c(t). (4.56) 

dt 

Die Geodätischen sind also genau die mit konstanter Geschwindigkeit durchlaufenen Geraden 

# 171 Antwort 

Definition 4.5.7 (Geodätische). Sei S eine reguläre Fläche, I ein Intervall. Eine parametrisierte Kurve 

C : I → S heißt Geodätische, falls 

fuur alle t ∈ I. 

∇ ċ(t) = 0 (4.55) 

dt 

c(t) = p + t · v. (4.57) 

- Spähre: Sei S = S 2 ⊂ R 3 die Spähre. Von den Breitenkreisen 

⎛ ⎞ 

cos t cos θ 

c(t) = ⎝sin t cos θ⎠ , (4.58) 

sin θ 

θ fest, erfüllt lediglich der Äquator θ = 0 die Geodätengleichung.



Lemma: Parametrisierung von Geodätischen 

Satz: Existenz von Geodätischen 



Satz: Eindeutigkeit von Geodätischen 

Satz von Clairaut

# 174 Antwort 

Satz 4.5.9 (Existenz von Geodätischen). Sei S ⊂ R 3 eine reguläre Fläche mit riemannscher Metrik g. 

Sei p ∈ S, v ∈ T pS und t 0 ∈ R. 

Dann gibt es ein Intervall i ⊂ R mit t 0 ∈ I und eine Geodtätische c : I → S mit den Anfangsbedingungen 

c(t 0 ) = p, ċ(t 0 ) = v. (4.59) 

# 173 Antwort 

Lemma 4.5.8 (Parametrisierung von Geodätischen). Geodätische sind proportional zur Bogenlänge 

parametrisiert. 



# 176 Antwort 

Satz 4.5.11 (Clairaut). 

Sei S eine Derhfläche, gegeben durch die Parametrisierung F (t, ϕ) = (r(t) cos ϕ, r(t) sin ϕ, t) t . Wir 

nehmen die erste Fundamentalform als riemannsche Metrik. Sei c : I → S eine Geodätische, c(t) = 

F (r(t), ϕ(t)). Sei θ(t) der Winkel zwischen ċ(t) und dem Breitenkreis durch c(t). Dann ist 

r(t) cos(θ(t)) = const . (4.60) 

# 175 Antwort 

Satz 4.5.10 (Eindeutigkeit von Geodätischen). Sei S ⊂ R 3 eine reguläre Fläche mit riemannscher 

Metrik g. Sei I ein Intervall, t 0 ∈ I. Sei c : I → S eine Geodätische. 

Dann ist c durch c(t 0 ) ∈ S und ċ(t 0 ) ∈ T c(t0 )S eindeutig festgelegt. 





Definition: Geodätische Krümmung 

Lemma: Frenet-Gleichung mit riemannscher Metrik 

4. Innere Geometrie von Flächen # 179 4.6. Exponentialabbildung 


Definition: Exponentialabbildung 

Beispiele: Exponentialabbildungen

# 178 Antwort 

Lemma 4.5.13 (Frenet-Gleichung). Sei S eine orientierte reguläre Fläche mit riemannscher Metrik g, 

sei c : I → S eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve, sei n wie oben. Dann gilt die Frenet-Gleichung 

( ∇ 

dt ċ(t), ∇ ) 

( ) 0 

dt n −κg 

= (ċ(t), n) 

. (4.62) 

κ g 0 

# 177 Antwort 

Definition 4.5.12 (Geodätische Krümmung). Sei S eine orientierte reguläre Fläche mit riemannscher 

Metrik g. Sei c : I → S eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve. Sei n : I → R 3 das Einheitsnormalenfeld 

längs c, das ċ zu positiv orientierten Orthonormalbasen ergänzt, d. h. für jedes t ∈ I ist 

(ċ(t), n(t)) eine positiv orientierte Orthonormalbasis von T c(t) S. Wie bei ebenen Kurven sieht man durch 

Differentiation der Funktion t ↦→ g c(t) (ċ(t), ċ(t)), dass ∇ ċ(t) senkrecht auf ċ(t) steht. Es gibt also eine 

dt 

eindeutige Funktion κ g : I → R, derart dass 

Die Funktion κ g heißt geodätische Krümmung von c in S bzgl. g. 

Bemerkung. 

1. c ist genau dann eine Geodätische, wenn κ g ≡ 0. 

∇ ċ(t) = κg · n(t). (4.61) 

dt 

2. Die geodätische Krümmung verallgemeinert die Krümmung ebener Kurven. Ist nämlich S die x-y- 

Ebene mit der ersten Fundamentalform als riemannsche Metrik, so ist κ g gerade die Krümmung 

von c aufgefasst als ebene Kurve. 

# 180 Antwort 

Beispiel (Exponentialabbildung). 

- Ebene: Sei S = R 2 × {0} die x-y-Ebene mit der ersten Fundamentalform als riemannsche Metrik. 

Sei p ∈ S und v ∈ T pS = R 2 × {0}. Die Geodätische c in S mit c(0) = p und ċ(0) = v ist die Gerade 

c(t) = p + tv. Also gilt D p = T pS = R 2 × {0} und 

exp p (v) = p + v. (4.66) 

- Sphäre: Sei S = S 2 die Sphäre, wiederum mit der ersten Fundamentalform als riemannsche Metrik. 

Sei p ∈ S und v ∈ T pS = p ⊥ . Wir schreiben v = δw, wobei w ∈ T pS ein Einheitsvektor ist, ‖w‖ = 1 

und δ = ‖v‖ ≥ 0. Die Geodätische c in S mit c(0) = p und ċ(0) = v ist gegeben durch den Großkreis 

Also gilt D p = T pS und 

exp p (v) = 

c(t) = cos(δt) · p + sin(δt) · w. (4.67) 

{ 

cos(‖v‖) · p + sin(‖v‖) · v/‖v‖, v ≠ 0, 

p, v = 0. 

(4.68) 

# 179 Antwort 

Da Flächen im Kleinen durch ihre Tangentialebenen angenähert werden, werden wir versuchen, die auf 

Ebenen am häufigsten verwendeten Koordinaten, nämlich kartesische und Polarkoordinaten, von der 

Tangentialebene auf die Fläche zu übertragen. Dazu konstruieren wir, unter Benutzung von Geodätischen, 

geometrisch natürliche Abbildungen von den Tangentialebenen auf die Fläche. 

Definition 4.6.1 (Exponentialabbildung). Sei S eine reguläre Fläche mit riemannscher Metrik g. Sei 

p ∈ S ein Punkt. Zu einem Tangentialvektor v ∈ T pS betrachten wir die eindeutige Geodätische c : I → S 

mit c(0) = p, ċ(0) = v und maximalem Definitionsintervall I. Falls c noch zur Zeit t = 1 definiert ist, 

d. h. falls 1 ∈ I ist, setzen wir 

exp p (v) := c(1). (4.63) 

Ist exp p für v ∈ T pS definiert und δ ∈ [0, 1], so ist exp p auch für δv ∈ T pS definiert, denn ist c v die 

Geodätische mit c v(0) = p, ċ v(0) = v und c δv analog die Geodätische mit c δv (0) = p, ċ δv (0) = δv, so gilt 

c δv (t) = c v(δt). Also ist c δv in t = 1 definiert, da c v(0) = p auf ganz [0, 1] erklärt ist. Diese Überlegung 

zeigt, dass der Definitionsbereich D p ⊂ T pS von exp p eine bzgl. 0 sternförmige Teilmenge von T pS ist. 

Die Überlegung zeigt auch 

c v(t) = exp p (tv). (4.64) 

Die glatte Abbildung 

exp p : D p → S (4.65) 

heißt Exponentialabbildung.



Lemma: Differential der Exponentialabbildung 

Definition: Riemannsche Normalkoordinaten 



Satz: Eigenschaften der Riemannschen Normalkoordinaten 

Definition: Geodätische Polarkoordinaten

# 182 Antwort 

Definition 4.6.3 (Riemannsche Normalkoordinaten). Sei S eine beliebige reguläre Fläche mit einer 

riemannschen Metrik. Sei p ∈ S, und sei X 1 , X 2 eine Orthonormalbasis der Tangentialebene T pS. Wir 

nehmen 

∑ 

die Parametrisierung durch kartesische Koordinaten für T pS, nämlich U 1 = R 2 und F 1 (u 1 , u 2 ) = 

i ui X i . Die entsprechende lokale Parametrisierung von S, 

( ) ∑ 

F (u 1 , u 2 ) = exp p u i X i , (4.70) 

i 

# 181 Antwort 

Lemma 4.6.2 (Differential der Exponentialabbildung). Das Differential der Exponentialabbildung an 

der Stelle 0 ist die Identität, 


d 0 exp p = id : T pS → T pS. (4.69) 

heißt Parametrisierung durch riemannsche Normalkoordinaten um den Punkt p. 

# 184 Antwort 

Definition 4.6.5 (Geodätische Polarkoordinaten). Sei S eine beliebige reguläre Fläche mit einer riemannschen 

Metrik, sei p ∈ S, und sei X 1 , X 2 eine Orthonormalbasis von T pS. Wir nehmen die Polarkoordinaten 

für T pS, F 1 (r, ϕ) = r · (cos ϕ · X 1 + sin ϕ · X 2 ). Die zugehörige lokale Parametrisierung von 

S 

F (r, ϕ) = exp p (r · (cos ϕ · X 1 + sin ϕ · X 2 )) (4.71) 

# 183 Antwort 

Satz 4.6.4 (Eigenschaften der Riemannschen Normalkoordinaten). Sei S eine reguläre Fläche, sei p ∈ S, 

sei F eine lokale Parametrisierung durch riemannsche Normalkoordinaten um den Punkt p. Dann gilt 

für die zugehörigen Komponentenfunktionen der Metrik und die Christoffel-Symbole: 

1. F (0, 0) = p, 

2. g ij (0, 0) = δ ij , i, j = 1, 2, 

ist die Parametrisierung durch geodätische Polarkoordinaten um den Punkt p. 

3. 

∂g ij 

∂u (0, 0) = 0 und k Γk ij (0, 0) = 0, i, j, k = 1, 2. 




Satz: Gauß-Lemma 

Lemma: Gauß-Krümmung in geodätischen Polarkoordinaten 


4. Innere Geometrie von Flächen # 188 4.7. Parallelverschiebung 

Definition: Fermi-Koordinaten 

Definition: Parallel

# 186 Antwort 

Lemma 4.6.7 (Gauß-Krümmung). Seien die Bezeichnungen wie in Satz 4.6.6. Dann gilt für die Gauß- 

Krümmung 


K(F (r, ϕ)) = − 1 ∂ 2 f 

(r, ϕ). (4.74) 

f(r, ϕ) ∂r2 Korollar 4.6.8. Sind S 1 , S 2 zwei reguläre Flächen mit derselben konstanten Gauß-Krümmung κ, so 

sind S 1 und S 2 lokal isometrisch. 

Lemma 4.6.9. Seien die Bezeichnungen wie in Satz 4.6.6. Sei r > 0 so, dass 

{ 

} 

∃c : [0, 1] → S Geodätische, 

¯D(p, r) := q ∈ S : 

c(0) = p, c(1) = q, L[c] ≤ r 

(4.75) 

bis auf eine Nullmenge vom Koordinatenbereich der geodätischen Polarkoordinaten überdeckt wird. Dann 

gilt 

∫ 

∫ ϕ0 +2π ∂f 

K dA = 2π − 

(r, ϕ) dϕ. (4.76) 

¯D(p,r) 

ϕ 0 

∂r 

# 185 Antwort 

Satz 4.6.6 (Gauß-Lemma). Sei S eine reguläre Fläche mit riemannscher Metrik g. Sei p ∈ S, und sie 

F eine lokale Parametrisierung durch geodätische Polarkoordinaten (r, ϕ). 

Dann hat bzgl. dieser lokalen Parametrisierung die riemannsche Metrik die Form 

( ) 

1 0 

(g ij (r, ϕ)) ij = 

0 f(r, ϕ) 2 

mit einer positiven Funktion f, die 

erfüllt. 

lim f(r, ϕ) = 0, 

lim 

r→0 


(4.72) 

∂f 

(r, ϕ) = 1, (4.73) 

r→0 ∂r 


# 188 Antwort 

Haben wir in einer Ebene E ⊂ R 3 zwei Punkte p, q, so können wir Tangentialvektoren aus T pE mit 

solchen aus T qE identifizieren, da T pE = T qE = E. Ersetzen wir nun E durch eine allgemeine reguläre 

Fläche S ⊂ R 3 , so ist das nicht mehr ohne weiteres möglich, da i. A. T pS ≠ T qS. 

Um trotzdem Tangentialebenen in verschiedenen Punkten auch auf allgemeinen Flächen miteinander in 

Verbindung bringen zu können, analysieren wir das Konzept paralleler Vektoren in der Ebene etwas 

genauer. 

Definition 4.7.1 (Parallel). Sei S eine reguläre Fläche mit riemannscher Metrik g. Sei c : I → S eine 

glatte Kurve und v : I → R 3 ein Vektorfeld längs c. Dann heißt v parallel, falls 

∇ 

v ≡ 0. (4.79) 

dt 

# 187 Antwort 

Nach riemannschen Normalkoordinaten und den geodätischen Polarkoordinaten betrachten wir nun noch 

Koordinaten, die besonders gut an eine vorgegebene Kurve auf der Fläche angepasst sind. 

Lemma 4.6.10 (Fermi-Koordinaten). Sei S eine reguläre Fläche mit riemannscher Metrik g. Sei c : I → 

S eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve, definiert auf einem offenen Intervall I. Sei n : I → R 3 

ein Vektorfeld längs c mit konstanter Länge 1 und 〈ċ, n〉 ≡ 0. Dann gibt es zu jedem t 0 ∈ I ein ε > 0, 

sodass 

F : (−ε, ε) × (−ε, ε) → S, F (t, s) := exp c(t) (sn(t)), (4.77) 

eine lokale Parametrisierung von S ist. Längs c hat die riemannsche Metrik bzgl. dieser Parametrisierung 

die Gestalt 

( ) 1 0 

(g ij (t, 0)) ij = . (4.78) 

0 1 


Definition 4.6.11 (Fermi-Koordinaten). Die Koordinaten zu einer solchen Parametrisierung heißen 

Fermi-Koordinaten.



Satz: Existenz und Eindeutigkeit des parallelen Vektorfeldes 

Definition: Parallelverschiebung 


4. Innere Geometrie von Flächen # 192 4.8. Jacobi-Felder 

Proposition: Eigenschaften der Parallelverschiebung 

Definition: Jacobi-Feld

# 190 Antwort 

Definition 4.7.3 (Parallelverschiebung). Sei S eine reguläre Fläche mit riemannscher Metrik g. Sei 

c : [t 0 , t 1 ] → S eine glatte Kurve. Die Abbildung P c : T c(t0 )S → T c(t1 )S, die v 0 auf v(t 1 ) abbildet, wobei 

v das eindeutige parallele Vektorfeld längs c mit v(t 0 ) = v 0 ist, heißt Parallelverschiebung längs c. 

# 189 Antwort 

Satz 4.7.2 (Existenz und Eindeutigkeit des parallelen Vektorfeldes). Sei S einre reguläre Fläche mit 

riemannscher Metrik g. Sei c : I → S eine glatte Kurve, t 0 ∈ I, v 0 ∈ T c(t0 )S. Dann existiert genau ein 

paralleles Vektorfeld längs c mit v(t 0 ) = v 0 . 

# 192 Antwort 

Wir haben die geometrische Bedeutung der Gauß-Krümmung diskutiert. Sie gab uns Auskunft darüber, 

wie sich die Fläche nahe eines Punktes relativ zur Tangentialebene verhält, und zwar in Abhängigkeit 

vom Vorzeichen der Gauß-Krümmung in diesem Punkt. Diese Untersuchungen sind allerdings nur für die 

erste Fundamentalform gültig. 

Im Falle einer allgemeinen riemannschen Metrik wollen wir verstehen, was die Gauß-Krümmung über die 

innere Geometrie einer Fläche aussagt. 

Definition 4.8.1 (Jacobi-Feld). Sei S eine reguläre Fläche mit riemannscher Metrik g. Sei c eine 

Geodätische auf S. Ein glattes Vektorfeld J längs c heißt Jacobi-Feld, falls 

∇ ∇ 

J = −R(J, ċ)ċ. (4.80) 

dt dt 

# 191 Antwort 

Proposition 4.7.4 (Eigenschaften der Parallelverschiebung). Sei S eine reguläre Fläche mit riemannscher 

Metrik g. Sei c : [t 0 , t 1 ] → S eine glatte Kurve. Dann gilt: 

1. Ist v 0 ∈ T c(t0 )S, dann ist das parallele Vektorfeld v längs c mit v(t 0 ) = v 0 gegeben durch v(t) = 

P c|[t0 ,t](v 0 ). 

2. Die Parallelverschiebung P c : T c(t0 )S → T c(t1 )S ist eine lineare Isometrie. 

3. Die Parallelverschiebung ist verträglich mit Umparametrisieren von Kurven, d. h. ist v parallel 

längs c und ϕ : J → [t 0 , t] eine Umparametrisierung von c, so ist v ◦ ϕ parallel längs c ◦ ϕ. 




Definition: Geodätische Variation 

Aussage der Gauß-Krümmung über die innere Geometrie einer Fläche 

4. Innere Geometrie von Flächen # 195 4.9. Sphärische und hyperbolische Geometrie 


Hinführung und Begründung für die Notwendigkeit der hyperbolischen 

Geometrie 

Definition: Minkowski-Skalarprodukt

# 194 Antwort 

Bemerkung. Uninteressante Jacobi-Felder liegen dann vor, wenn die zugehörige geodätische Variation 

einfach durch Umparametrisierung der Geodätischen c 0 zustande kommt. Diese Jacobi-Felder geben uns 

keinerlei Informationen über die Geometrie der Fläche. 

Sei n(t 0 ) ∈ T c0 (t 0 )S einer der beiden Einheitstangentialvektoren, die auf ċ 0 (t 0 ) senkrecht stehen. Interessant 

sind nun die Jacobi-Felder, deren Anfangswerte J(t 0 ) und ∇ dt J(t 0) beide Vielfache von n(t 0 ) sind. 

Wir können sie in der Form 

J(t) = χ(t) · n(t) (4.81) 

schreiben. Für die interessanten Jacobi-Felder ist die Jacobi-Feld-Gleichung äquivalent zur gewöhnlichen 

Differentialgleichung 

# 193 Antwort 

Definition 4.8.2 (Geodätische Variation). Sei S eine reguläre Fläche mit riemannscher Metrik g. Sei 

c 0 : I → S eine Geodätische auf S. Eine geodätische Variation von c 0 ist eine glatte Abbildung c : 

(−ε, ε) × I → S, ε > 0, sodass jede Kurve c s : I → S, c s(t) := c(s, t), eine Geodätische ist, s ∈ (−ε, ε). 

Proposition 4.8.3. Ist c eine geodätische Variation auf S, so ist das zugehörige Variationsfeld J(t) := 

∂c 

(0, t) ein Jacobi-Feld. 

∂s 

Ist umgekehrt J ein Jacobi-Feld längs einer Geodätischen c 0 , und hat c 0 ein kompaktes Definitionsintervall, 

so gibt es eine geodätische Variation von c 0 mit Variationsfeld J. 


¨χ = −χ · (K ◦ c 0 ), (4.82) 

in die die Gauß-Krümmung ganz wesentlich eingeht. Diese Jacobi-Felder geben uns tatsächlich Informationen 

über die Fläche, da sie näherungsweise angeben, wie stark sich benachbarte Geodätische (aus 

unserer geodätischen Variation) voneinander entfernen. 

# 196 Antwort 

Definition 4.9.1 (Minkowski-Skalarprodukt). Falls κ = −1, so ist diese symmetrische Bilinearform zwar 

nicht ausgeartet, aber indefinit. Man nennt 〈·, ·〉 −1 das Minkowski-Skalarprodukt auf R 3 . Es spielt unter 

anderem in Einsteins spezieller Relativitätstheorie eine wichtige Rolle. Als Lichtkegel bezeichnet man die 

Menge aller Vektoren verschwindender Länge, 

{ 

} 

X ∈ R 3 : 〈X, X〉 −1 = 0 = { (x, y, z) t ∈ R 3 : z 2 = x 2 + y 2} . (4.86) 

Die riemannsche Metrik auf M κ definieren wir dadurch, dass wir für jeden Punkt p ∈ M κ die symmetrische 

Bilinearform 〈·, ·〉 κ auf T pM κ einschränken. Die Konstruktion ist somit ähnlich wie die der ersten 

Fundamentalform, nur dass wir das übliche euklidische Skalarprodukt auf R 3 durch 〈·, ·〉 κ ersetzen. 

# 195 Antwort 

Wir definieren folgende Fläche 

ˆM κ := { (x, y, z) t ∈ R 3 : κ(x 2 + y 2 ) + z 2 = 1 } . (4.83) 

Im Fall κ = 1 ist dies einfach die Sphäre ˆM 1 = S 2 . Im Fall κ = 0 dagegebn erhalten wir die Vereinigung 

zweier paralleler Ebenen durch die Punkte (0, 0, 1) und (0, 0, −1). Uns interessiert jetzt vor allem der Fall 

κ = −1. Die Fläche ˆM −1 ist das zweischalige Hyperboloid, bestehend aus den beiden Schalen, die die 

Graphen der Funktionen z = ± √ 1 + x 2 + y 2 sind. Als Graphen sind sie insbesondere reguläre Flächen. 

Da wir nicht mit mehreren Schalen arbeiten wollen, definieren wir noch 

{ ˆMκ, κ > 0, 

M κ := { 

(x, y, z) t ∈ ˆM 

} 

κ : z > 0 , κ ≤ 0. 

(4.84) 

Wir nehmen also nur die obere Ebene bzw. Schale. Wir wissen bereits, dass M 1 konstante Gauß- 

Krümmung K ≡ 1 hat, die Ebene K ≡ 0, jeweils mit der ersten Fundamentalform als riemannsche 

Metrik. Wenn wir nun die erste Fundamentalform auf M −1 nehmen, so hat sie allerdings keineswegs 

Krümmung −1, wie wir uns das eigentlich wünschen. 

Daher nehmen wir auf M −1 eine andere riemannsche Metrik. In der Tat ist dieses Beispiel so wichtig, 

dass wir allein deswegen schon allgemeine riemannsche Metriken eingeführt haben. 

Zur Konstruktion der riemannschen Metrik definieren wir folgende symmetrische Bilinearform auf R 3 : 

〈 ⎛ ⎝ x ⎞ ⎛ ⎞〉 

y⎠ , ⎝ x′ 

y ′ ⎠ := xx ′ + yy ′ + zz′ 

z z ′ κ . (4.85) 

κ 

Im Falle κ = 1 ist dies das übliche euklidische Skalarprodukt.



Definition: Verallgemeinerte Sinus- und Kosinusfunktion 

Theorem: Riemannsche Metrik auf M κ 



Definition: Hyperbolische Ebene 

Lemma: Gauß-Krümmung

# 198 Antwort 

Theorem 4.9.3 (Riemannsche Metrik auf M κ). Wir erhalten mit der Parametrisierung 

⎛ ⎞ 

sκ(r) cos ϕ 

F κ : R × R → R 3 , F κ(r, ϕ) := ⎝s κ(r) sin ϕ⎠ (4.89) 

c κ(r) 

die riemannsche Metrik in der Form: 

(g ij (r, ϕ)) ij = 

( ) 

1 0 

0 s κ(r) 2 . (4.90) 

Diese Matrix ist für r ∈ (0, π/ √ κ) bzw. r ∈ (0, ∞) in der Tat positiv definit. Wir haben also auf M κ eine 

riemannsche Metrik erhalten. 

# 197 Antwort 

Definition 4.9.2 (Verallgemeinerte Sinus- und Cosinusfunktion). Wir definieren die verallgemeinerte 

Sinus- und Cosinusfunktion durch 

⎧ 

sin( √ κt) 

√ 

⎪⎨ κ 

, κ > 0 

s κ(t) := t, κ = 0 

sinh( ⎪⎩ 

√ (4.87) 

|κ|t) 

√ , κ < 0, 

|κ| 

⎧ 

⎪⎨ cos( √ κt), κ > 0 

c κ(t) := 1, κ = 0 

⎪⎩ 

cosh( √ (4.88) 

|κ|t), κ < 0. 


# 200 Antwort 

Lemma 4.9.5 (Gauß-Krümmung). Die spezielle Form der riemannschen Metrik 

( ) 

1 0 

(g ij (r, ϕ)) ij = 

0 s κ(r) 2 

(4.91) 

# 199 Antwort 

Definition 4.9.4 (Hyperbolische Ebene). Die reguläre Fläche M −1 zusammen mit der riemannschen 

Metrik, die durch Einschränkung von 〈·, ·〉 −1 erklärt ist, heißt hyperbolische Ebene. 

zeigt, dass wir mit F κ eine Parametrisierung in geodätischen Polarkoordinaten um den Punkt (0, 0, 1) t 

erwischt haben. Also gilt für die Gauß-Krümmung 

K = −¨sκ(r) = κ. (4.92) 

s κ(r)


Geodätische in M κ 


Isometrien auf M κ 



Definition: Geodätisches Dreieck 

Satz: Sphärische und hyperbolische Trigonometrie

# 202 Antwort 

Bemerkung (Isometrien auf M κ). Wir untersuchen, welche linearen Abbildungen des R 3 nach Einschränkung 

auf M κ zu einer Isometrie werden und erhalten die Gruppe der Isometrien auf M κ: 

⎧{ 

L ∈ GL(3) : 

⎪⎨ 

〈LX, LY 〉 κ = 〈X, Y 〉 } 

κ , κ < 0 

{ 

und L 33 > 0 

G κ := 

L ∈ GL(3) : L } 

31 = L 32 = 0, L 33 = 1, 

(L ij ) i,j=1,2 ∈ O(2) 

, κ = 0 

(4.93) 

⎪⎩ { } 

L ∈ GL(3) : 〈LX, LY 〉κ = 〈X, Y 〉 κ , κ > 0. 

# 201 Antwort 

Bemerkung (Geodätische in M κ). Die Kurven r ↦→ F κ(r, ϕ) sind die nach Bogenlänge parametrisierten 

Geodätischen, die in (0, 0, 1) t loslaufen. Die Spuren dieser Geodätischen haben eine besonders einfache 

geometrische Charakterisierung. Sie sind gerade der Durchnschnitt der Fläche M κ mit der Ebene durch 

den Nullpunkt, durch (0, 0, 1) t und durch (cos ϕ, sin ϕ, 0) t . 

Im Falle der Sphäre M 1 liefert dies die Großkreise durch den Nordpol (0, 0, 1) t , im Falle der Ebene die 

Geraden durch diesen Punkt. Im Fall der hyperbolischen Ebene erhalten wir Hyperbeln. 

Für κ = 1 haben wir G 1 = O(3). Im Fall κ = 0 ist G 0 isomorph zur euklidischen Bewegungsgruppe E(2). 

In der Tat bildet L ∈ G 0 den Vektor (x, y, 1) t auf (L 11 x + L 12 y + L 13 , L 21 x + L 22 y + L 23 , 1) t ab, d. h. 

L wirkt wie die euklidische Bewegung F A,b mit A = (L ij ) i,j=1,2 und Translationsanteil b = (L 13 , L 23 ) t . 

Definition 4.9.6 (Zeitorienterungserhaltende Lorentz-Transformationen). Die Elemente der Gruppe 

G −1 nennt man auch die zeitorienterungserhaltenden Lorentz-Transformationen, eine Sprechweise, die 

ihren Ursprung in der Relativitätstheorie hat. 

Satz 4.9.7. Die Spuren der Geodätischen von M κ mit der riemannschen Metrik, die durch Einschränkung 

von 〈·, ·〉 κ definiert ist, sind genau die nicht leeren Durchschnitte von M κ mit den zweidimensionalen 

Untervektorräumen von R 3 . 

# 204 Antwort 

Satz 4.9.9 (Sphärische und hyperbolische Trigonometrie). Sei ABC ein geodätisches Dreieck mit den 

Seitenlängen a, b, c und den Innenwinkeln α, β, γ in M κ. Dann gilt 

1. der Sinussatz 

s κ(a) 

sin(α) = sκ(b) 

sin(β) = sκ(c) 

sin(γ) , (4.94) 

# 203 Antwort 

Definition 4.9.8 (Geodätisches Dreieck). Ein geodätisches Dreieck auf M κ besteht aus drei Punkten 

A, B, C ∈ M κ, die durch Geodätische verbunden sind. 

2. der Seitenkosinussatz 

c κ(a) = c κ(b)c κ(c) + κs κ(b)s κ(c) cos(α), 

c κ(b) = c κ(a)c κ(c) + κs κ(a)s κ(c) cos(β), 

c κ(c) = c κ(a)c κ(b) + κs κ(a)s κ(b) cos(γ), (4.95) 

3. der Winkelkosinussatz 

cos(α) = c κ(a) sin(β) sin(γ) − cos(β) cos(γ), 

cos(β) = c κ(b) sin(α) sin(γ) − cos(α) cos(γ), 

cos(γ) = c κ(c) sin(α) sin(β) − cos(α) cos(β). (4.96) 

Insbesondere sind hyperbolische Dreeicke schmal im Vergleich zu euklidischen und sphärische fett.


4. Innere Geometrie von Flächen # 206 4.10. Der Divergenzsatz 

Korollar: Höhenformel 

Definition: Fläche mit Rand 



Beispiel: Fläche mit Rand 

Definition: Einheitsnormalenvektor an den Rand

# 206 Antwort 

Der Divergenzsatz ist ein zweidimensionales Analogon zum Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. 

Er drückt das Integral einer Ableitung eines Vektorfeldes über eine Fläche aus als eindimensionales 

Randintegral. 

Definition 4.10.1 (Fläche mit Rand). Unter einer Fläche mit Rand verstehen wir eine abgeschlossene 

Teilmenge S einer regulären Fläche S reg ⊂ R 3 , sodass es zu jedem Punkt p ∈ S eine lokale Parametrisierung 

F : U → S reg von S reg gibt mit p ∈ F (U), sodass entweder 

- F (U) ⊂ S, dann heißt p innerer Punkt von S oder, 

- F −1 (p) = (x, 0) t für ein x ∈ R und F −1 (S) = { (x, y) t ∈ U : y ≥ 0 } , dann heißt p Randpunkt von 

S. 

Die Menge der inneren Punkte bildet das Innere von S, die Menge der Randpunkte den Rand ∂S. 

# 205 Antwort 

Korollar 4.9.10 (Höhenformel). Aus dem Sinussatz für geodätische Dreiecke in M κ erhält man sofort 

die Höhenformel 

Dabei ist h c die Höhe des Dreiecks über der Seite AB. 

s κ(h c) = s κ(b) sin(α) = s κ(a) sin(β). (4.97) 

# 208 Antwort 

Definition 4.10.2 (Einheitsnormalenvektor an den Rand). Ist p Randpunkt einer Fläche mit Rand, 

so kann der Rand nahe p durch eine reguläre Kurve parametrisiert werden. Ist nämlich F eine lokale 

Parametrisierung um p von S reg wie in Definition 4.10.1, so ist c(t) := F (t, 0) eine solche reguläre Kurve. 

Für c(t 0 ) = p ist ċ(t 0 ) ∈ T pS reg. Somit gibt es genau zwei Einheitsvektoren ±ν(p) ∈ T pS reg, die auf ċ(t 0 ) 

senkrecht stehen. Diese nennen wir Einheitsnormalenvektoren an den Rand von S. 

Es gilt (d uF ) −1 (ċ(t 0 )) = (1, 0) t für u = F −1 (p), und daher können (d uF ) −1 (±ν(p)) nicht ebenfalls 

verschwindende y-Komponenten haben, 〈 (d uF ) −1 (±ν(p)), (0, 1) t〉 ≠ 0. Wählen wir ν(p) so, dass 

〈 

(duF ) −1 (ν(p)), (0, 1) t〉 < 0, so heißt ν(p) äußerer Einheitsnormalenvektor an den Rand im Punkt p, 

−ν(p) dagegen innerer Einheitsnormalenvektor. 

# 207 Antwort 

Beispiel (Kreisscheibe). Die abgeschlossene Kreisscheibe S = { (x, y, 0) t : x 2 + y 2 ≤ 1 } ist eine Fläche 

mit Rand. Als reguläre Fläche können wir die x-y-Ebene S reg = R 2 × {0} nehmen. 

Die Punkte (x, y, 0) t mit x 2 + y 2 < 1 sind innere Punkte, denn für r := √ 1 − (x 2 + y 2 ) > 0 ist durch 

U := { (ξ, η) t ∈ R 2 : (ξ − x) 2 + (η − y) 2 < r 2} und F (ξ, η) = (ξ, η, 0) t eine lokale Parametrisierung von 

S reg gegeben, deren Bild ganz in S enthalten ist. 

Die Punkte (x, y, 0) t mit x 2 + y 2 = 1 dagegen sind Randpunkte. Zum Beispiel für den Punkt (0, −1, 0) t 

ist durch 

( 

F : (−1/2, 1/2) × (−∞, 1) → R 3 , F (ξ, η) = ξ, η − √ t 

1 − ξ 2 , 0) 

(4.98) 

eine lokale Parametrisierung von S reg gegeben mit F (0, 0) = (0, −1, 0) t und F (ξ, η) ∈ S genau dann, 

wenn η ≥ 0. Für die anderen Randpunkte erhält man eine solche Parametrisierung, indem man dieses F 

mit einer geeigneten Drehung verkettet.



Definition: Randintegral 

Definition: Divergenz 



Lemma: Divergenz bzgl. lokaler Parametrisierung 

Lemma: Ableitung der Determinante

# 210 Antwort 

Definition 4.10.4 (Divergenz). Sei S eine reguläre Fläche mit riemannscher Metrik g. Sei X ein differenzierbares 

Vektorfeld auf S. Für p ∈ S können wir das kovariante Differential von X als Endomorphismus 

von T pS auffassen 

∇.X : T pS → T pS, Y p ↦→ ∇ Yp X. (4.100) 

Die Spur des Endomorphismus ∇.X nennen wir Divergenz von X im Punkt p, 

div X(p) := Spur(Y p ↦→ ∇ Yp X). (4.101) 

# 209 Antwort 

Definition 4.10.3 (Randintegral). Sei S eine Fläche mit Rand, sei f : ∂S → R eine stetige Funktion 

mit kompaktem Träger. Wir schreiben ∂S ∩ supp f = C 1 ˙∪ . . . ˙∪C n als disjunkte Vereinigung, wobei 

jedes C j ein Stück des Randes ist, das sich durch eine reguläre Kurve parametrisieren lässt. Wir wählen 

Parametrisierungen nach der Bogenlänge c j : I j → R 3 mit c j (I j ) = C j und definieren das Randintegral 

∫ 

n∑ 

∫ 

f dS := f ◦ c j (t) dt. (4.99) 

∂S 

j=1 I j 

# 212 Antwort 

Lemma 4.10.6 (Ableitung der Determinante). Sei t ↦→ g(t) eine differenzierbare Kurve von invertierbaren 

reellen n × n-Matrizen. Dann gilt 

( 

d 

dt ln det g = Spur g −1 d ) 

dt g . (4.103) 


# 211 Antwort 

Lemma 4.10.5 (Divergenz bzgl. Lokaler Parametrisierung). Schreiben wir das Vektorfeld X bzgl. einer 

lokalen Parametrisierung F als X = ∑ ∂F 

i 

ξi 

∂u i , so gilt für die Divergenz 

div X = ∑ ( 

∂ξ j 

∂u 

j 

j + ∑ ) 

Γ j ij ξi = 

i 

1 ∑ ∂ 

(√ 

= √ det(gkl 

det(gkl ) ∂u 

j 

j )ξ j) . (4.102) 

Beweis. Ein Beweis findet sich in [Bär, Seite 228f]



Gaußscher Divergenzsatz 

Definition: Laplace-Operator 



Beispiel: Harmonische Funktion 

Korollar: Divergenzsatz für ∂S = ∅

# 214 Antwort 

Definition 4.10.8 (Laplace-Operator). Sei S eine reguläre Fläche mit riemannscher Metrik g. Für eine 

wenigstens zweimal stetig differenzierbare Funktion f : S → R setzen wir 

∆f : S → R, ∆f := div grad f. (4.105) 

Wir nennen ∆ den Laplace-Operator. Eine Funktion, die 

erfüllt, heißt harmonisch. 

∆f = 0 (4.106) 

# 213 Antwort 

Satz 4.10.7 (Gaußscher Divergenzsatz). Sei S reg eine reguläre Fläche mit riemannscher Metrik g. Sei 

X ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf S reg mit kompaktem Träger. Sei S ⊂ S reg eine Fläche mit 

Rand. Sei ν das äußere Einheitsnormalenfeld von S. Dann gilt 

∫ 

∫ 

div X dA = g(X, ν) ds. (4.104) 

S 

∂S 


# 216 Antwort 

Korollar 4.10.9 (Divergenzsatz im Spezialfall ∂S = ∅). Sei S eine kompakte reguläre Fläche mit 

riemannscher Metrik g. Dann gilt für jedes stetig differenzierbare Vektorfeld X und jede zweimal stetig 

differenzierbare Funktion f auf S 

∫ 

∫ 

div X dA = 0 = ∆f dA. (4.108) 

S 

S 

# 215 Antwort 

Beispiel (Harmonische Funktion). Sei S ⊂ R 3 eine Minimalfläche mit der ersten Fundamentalform als 

riemannsche Metrik. Sei l : R 3 → R eine lineare Funktion, z. B. eine der drei kartesischen Koordinatenfunktionen. 

Dann ist 

harmonisch. 

f := l| S : S → R (4.107)



Lemma: Greensche Formeln 

Definition: Symmetrisches (2, 0)-Tensorfeld 


4. Innere Geometrie von Flächen # 220 4.11. Variation der Metrik 

Definition: Spur und Divergenz von symmetrischen (2, 0)-Tensorfeldern 

Definition: 1-Parameter-Familie riemannscher Metriken

# 218 Antwort 

Definition 4.10.11 (Symmetrisches (2, 0)-Tensorfeld). Sei S eine reguläre Fläche. Ein symmetrisches 

(2, 0)-Tensorfeld auf S ist eine Zuordnung, die jedem Punkt p ∈ S eine symmetrische Bilinearform b p auf 

T pS zuordnet, sodass bzgl. lokaler Parametrisierungen F : U → S die Funktionen 

( ) 

∂F ∂F 

b ij : U → R, 

b ij (u) := b F (u) (u), 

∂ui ∂u j (u) , (4.111) 

stets glatt sind. 

Riemannsche Metriken sind gerade diejenigen symmetrischen (2, 0)-Tensorfelder, die in jedem Punkt 

p ∈ S positiv definit sind. 

# 217 Antwort 

Lemma 4.10.10 (Greensche Formeln). Sei S eine kompakte Fläche mit Rand, und seien f 1 , f 2 : S → R 

hinreichend oft differenzierbare Funktionen. Dann gelten die greenschen Formeln: 

1. 

2. Falls ∂S = ∅: 

∫ 

S 

∫ 

∆f 1 · f 2 dA = − g(grad f 1 , grad f 2 ) dA 

S 

∫ 

+ ∂ vf 1 · f 2 ds, (4.109) 

∂S 

∫ 

S 

∫ 

∆f 1 · f 2 dA = f 1 · ∆f 2 dA. (4.110) 

S 

# 220 Antwort 

Wir untersuchen, wie sich geometrische Größen, z. B. das Flächenelement oder die Gauß-Krümmung, 

verändern, wenn man die riemannsche Metrik verbiegt. 

Definition 4.11.1 (1-Parameter-Familie riemannscher Metriken). Sei S eine reguläre Fläche, sei I ⊂ R 

ein intervall. Eine 1-Parameter-Familie riemannscher Metriken auf S ist eine Zuordnung, die jedem 

t ∈ I und jedem p ∈ S ein euklidisches Skalarprodukt g t,p auf T pS zuordnet, sodass für jede lokale 

Parametrisierung (U, F, V ) von S die Abbildungen 

glatt sind. 

I × U → R, (t, u 1 , u 2 ) ↦→ g ij (t, u 1 , u 2 ) := 

( ) 

∂F ∂F 

g t,F (u) (u), 

∂ui ∂u j (u) 

(4.114) 

# 219 Antwort 

Definition 4.10.12 (Spur und Divergenz von symmetrischen (2, 0)-Tensorfeldern). Sei S eine reguläre 

Fläche mit einer riemannschen Metrik g und einem weiteren symmetrischen (2, 0)-Tensorfeld b. Die Spur 

von b ist die Funktion Spur b : S → R, die bzgl. einer lokalen Parametrisierung F gegeben ist durch 

(Spur b) ◦ F = ∑ ij 

g ij b ij . (4.112) 

Die Divergenz von b ist das Vektorfeld div b auf S, das bzgl. einer lokalen Parametrisierung gegeben ist 

durch 

(div b) l = ∑ ijk 

g kl g ij ( 

∂bjk 

∂u i 

− ∑ α 

( 

Γ 

α 

ij b αk + Γ α ik b ) ) 

αj . (4.113)



Beispiel: 1-Parameter-Familie riemannscher Metriken 

Satz über die Zahl ∫ S K dA 



Taylorentwicklung einer 1-Parameter-Familie riemannscher Metriken 

(Rückseite) 

Taylorentwicklung einer 1-Parameter-Familie riemannscher Metriken

# 222 Antwort 

Satz 4.11.2. Sei S eine kompakte reguläre Fläche. Dann ist die Zahl 

∫ 

K dA (4.117) 

S 

unabhängig von der riemannschen Metrik. 

Dieser Satz ist erstaunlich, da die Gauß-Krümmung K als Funktion auf S ganz erheblich von der Wahl 

der riemannschen Metrik abhängt. 


# 221 Antwort 

Beispiel (1-Parameter-Familien riemannscher Metriken). 

- Überführung einer riemannscher Metrik in eine andere: Sind auf einer regulären Fläche zwei riemannsche 

Metriken g 0 und g 1 gegeben, so ist durch 

g t,p := (1 − t)g 0,p + tg 1,p , t ∈ [0, 1] (4.115) 

eine 1-Parameter-Familie riemannscher Metriken definiert die g 0 in g 1 überführt. 

- Reskalierung einer riemannschen Metrik: Ist g eine riemannsche Metrik auf S, so wird durch 

g t,p := tg p, t ∈ (0, ∞) (4.116) 

eine 1-Parameter-Familie riemannscher Metriken definiert, die einfach durch Reskalierung der ursprünglichen 

Metrik zustande kommt. 

# 224 Antwort 

Bemerkung (Taylorentwicklung einer 1-Parameter-Familie riemannscher Metriken). Ist eine 1-Parameter- 

Familie riemannscher Metrike mit t 0 ∈ I gegeben, so können wir bzgl. t eine Taylor-Entwicklung an der 

Stelle t = t 0 machen und schreiben 

g ij (t, u 1 , u 2 ) = g ij (u 2 , u 2 ) + (t − t 0 ) · ġ ij (u 1 , u 2 ) + O((t − t 0 ) 2 ). (4.122) 

In analoger Weise definieren wir ġ ij , ˙Γ k ij , Ṙl ijk , ˙K, ˙ dA, usw. Durch diese Definition der ġ ij wird ein (2, 0)- 

Tensorfeld g festgelegt, die Ableitung der 1-Parameter-Familie nach t an der Stelle t = t 0 . Für alle Größen 

der inneren Geometrie lassen sich die Ableitungen durch diejenigen Metriken bestimmen. 

# 223 Antwort 

Lemma 4.11.3. Mit den oben gemachten Definitionen gilt: 

1. Die Variation von g ij der Inversen der Metrik ergibt sich zu 

ġ jk = − ∑ il 

2. Die Variation der Christoffel-Symbole ist gegeben durch 

˙Γ k ij = 1 2 

∑ 

α 

g kα ( ∂ġjα 

∂u i 

+ ∂ġ iα 

∂u j 

g ij ġ il g lk , (4.118) 

− ∂ġ ) 

ij 

∂u α − ∑ Γ β ij glk ġ βl . (4.119) 

β,l 

3. Die Variation des Flächenelementes ergibt sich zu 

dA ˙ = 1 Spur(ġ) dA. (4.120) 

2 

4. Die Variation der Gauß-Krümmung ist gegeben durch 

2 ˙K = div(div(ġ)) − ∆(Spur(ġ)) − K · Spur(ġ). (4.121) 

Beweis. Ein Beweis findet sich in [Bär, Seite 237ff].



Korollar: Unterscheidung nicht diffeomorpher Flächen 

Beispiel: Nicht diffeomorphe Flächen 

Anhang # 227 Literaturverzeichnis 

Literaturverzeichnis

# 226 Antwort 

Beispiel (Nicht diffeomorphe Flächen). Die Sphäre und der Torus können nicht diffeomorph sein, da 

∫ 

∫ 

K dA = 0 ≠ 4π = K dA. (4.124) 

Torus 

S 2 

# 225 Antwort 

Korollar 4.11.4. Seien S 1 , S 2 reguläre Flächen mit riemannschen Metriken. Sind S 1 und S 2 diffeomorph, 

so gilt 

∫ 

∫ 

K da = K dA. (4.123) 

S 1 S 2 

Die Zahl ∫ S K dA liefert uns die Möglichkeit, nicht diffeomorphe Flächen zu unterscheiden, z. B. die 

Sphäre und den Torus. 


# 227 Antwort 

[Bär] Bär, C.: Elementare Differentialgeometrie. Walter de Gruyter Verlag: Berlin 2001

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