Skript - Frank Reinhold

8.1 Nichtlinearer Oszillator
Allgemein
a = dv
dt = f 1(v, x) (8.23)
v = dx
dt = f 2(v, x) (8.24)
Beschreibe den Zustand des Systems durch N zeitabhängige Größen ζ(t),die zu einem Vektor X(t) im
Phasenraum zusammengefasst werden
Beispiel: gedämfter harmonischer Oszillator
Phasenraum
X(t) = {ζ 1 (t), ζ 2 (t), . . .} (8.25)
hier X(t) = {ω, ϕ} (8.26)
x(t) = Ae −βt cos(ωt) (8.27)
v(t) = −Aωe −βt sin(ωt) β ≪ ω 0 (8.28)
Zeitliche Änderung
Fixpunkt X(t) = 0.
Stangenpendel
Abbildung 8.2: Trajektorie im Phasenraum
{
d d
dt X(t) = dt ζ 1(t), d }
dt ζ 2(t), . . .
Ẋ = { −ω0 2 sin ϕ, ω } { d
=
dt f 1(ω, ϕ), d }
dt f 2(ω, ϕ)
(8.29)
(8.30)
ist ein deterministisches und ein autonomes System. Die Änderung Ẋ von X hängt nur vom Zustand
Xab (vom Ort X im Phasenraum) ⇒ unterschiedliche Trajektorien überschneiden sich nicht.
Trajektorien für Stangenpendel
E kin + E pot = 1 2 ml2 ω 2 − mgl cos ϕ = E ges (8.31)
ω 2 = 2
ml 2 (mgl cos ϕ + E ges) = 2ω0 2 cos ϕ + c (8.32)
√
ω = ± cos ϕ + c (8.33)
2ω 2 0
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