Skript - Frank Reinhold

8 Nichtlineare Dynamik - Chaos
Für harmonische Näherung: Abbruch nach 1. Term
E pot = m g lϕ2 (8.10)
Kraft
⃗F = −gradE pot (8.11)
für harmonische Näherung gilt
F = − dE pot
ds
= − d ds
( 1
2 mg l s2 )
= −m g s = −mgϕ (8.12)
l
exakt
F = − d ds
( (
mgl 1 − cos s ))
= −mg sin s l
l
= −mg sin ϕ (8.13)
b) Berechnung der Schwingungsperiode
Gesamtenergie
E = E kin + E pot = E pot (ϕ 0 ) ϕ 0 = Maximalauslenkung (8.14)
1
2 mv2 + mgl(1 − cos ϕ) = mgl(1 − cos ϕ 0 ) (8.15)
( ) 2
1 dϕ
2 ml2 = mgl(cos ϕ − cos ϕ 0 ) (8.16)
dt
√
dϕ 2g
dt = l (cos ϕ − cos ϕ 0) (8.17)
Integration über 1 4 Periode
√
l
2g
∫ ϕ0
0
∫ T
1
4
√ dϕ = dt = 1 cos ϕ − cos ϕ0 0 4 T (8.18)
T = √ 4 ∫ ϕ0
1
√ dϕ (8.19)
2ω0 cos ϕ − cos ϕ0
0
Elliptisches Integral, nicht analytisch lösbar!
c) Beschreibung im Phasenraum
Bisher: Bewegungsgleichung 2. Ordnung
Darstellung von ϕ(t), ˙ϕ(t), ¨ϕ(t).
Überführung in ein System aus DGL 1. Ordnung
d 2 ϕ
dt 2 + ω2 0 sin ϕ = 0 (8.20)
dω
dt = −ω2 0 sin ϕ (8.21)
dϕ
dt = ω (8.22)
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