Skript - Frank Reinhold
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8 Nichtlineare Dynamik - Chaos<br />
8.1 Nichtlinearer Oszillator<br />
a) exakte Bewegungsgleichung des Fadenpendels<br />
Taylorentwicklung von sin ϕ um ϕ = 0<br />
d 2 ϕ<br />
dt 2 + ω2 0 sin ϕ = 0 ω 0 =<br />
√ g<br />
l<br />
(8.1)<br />
sin ϕ = ϕ − ϕ3<br />
3! + ϕ5<br />
5! − . . . (8.2)<br />
Abbruch nach 1. Term sin ϕ ≈ ϕ ⇒ harmonischer Oszillator<br />
Abschätzung<br />
ϕ = 5 ◦ ⇒ ϕ3<br />
3!<br />
ϕ = 45 ◦ ⇒ ϕ3<br />
3!<br />
Mitnahme des ϕ 3 -Terms führt zu nichtlinearer DGL<br />
1<br />
ϕ = 10−3 (8.3)<br />
1<br />
= 0, 1 (8.4)<br />
ϕ<br />
d 2 ϕ<br />
dt 2 + ω2 0ϕ − ω2 0<br />
6 ϕ3 = 0 (8.5)<br />
Bewegungsgleichung eines anharmonischen Oszillators<br />
Potentielle Energie<br />
Abbildung 8.1: Stangenpendel und E pot -ϕ-Diagramm<br />
E pot = mgh = mgl(1 − cos ϕ) (8.6)<br />
Taylor-Entwicklung von f(ϕ) = 1 − cos ϕ um ϕ = 0<br />
f(ϕ) = f(0) + 1 df(ϕ)<br />
∣ · ϕ + 1 d 2 f(ϕ)<br />
∣<br />
∣∣ϕ=0<br />
1! dϕ ϕ=0 2! dϕ 2 · ϕ 2 + . . . = (8.7)<br />
= 0 + sin(ϕ = 0)ϕ + 1 2 cos(ϕ = 0)ϕ2 − 1 6 sin(ϕ = 0)ϕ3 − 1 24 cos(ϕ = 0)ϕ4 + . . . (8.8)<br />
{ 1<br />
E pot = mgl<br />
2 ϕ2 − 1 }<br />
24 ϕ4 + . . .<br />
(8.9)<br />
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