Skript - Frank Reinhold

7 Schwingungen
Ansatz
x i = A i cos(ωt) (7.101)
d 2 x i
dt 2 = −ω2 x i (7.102)
⎛ ⎞ ⎛
⎞ ⎛ ⎞
x 1 −2d d 0 0 x 1
ω 2 ⎜x 2
⎟
⎝x 3
⎠ = ⎜ d −2d d 0
⎟ ⎜x 2
⎟
⎝ 0 d −2d d ⎠ ⎝x 3
⎠ (7.103)
x 4 0 0 d −2d x 4
⇒ Eigenwertproblem (Eigenwerte: Frequenzen ω, Eigenvektoren: Amplituden A i (ω).
7.5 Parametrisch verstärkte Schwingung
Schiffschaukel:
Verlagerung des Schwerpunktes, Veränderung der effektiven Pendellänge
Abbildung 7.19: Schiffschaukel
Fliehkraft maximal bei ϕ = 0 und Null bei ϕ max .
Aufstehen bei ϕ = 0 ⇒ Leiste Arbeit ∆E = mω 2 l∆x.
In die Knie gehen bei ϕ max ⇒ ohne Arbeit ∆E = 0.
Abschätzung
Energiegewinn pro Periode
E kin (ϕ = 0) = 1 2 mv2 = 1 2 mω2 l 2 (7.104)
∆E
E
= 2mω2 l∆x
1
= 4 ∆x
2 mω2 l 2 l
(7.105)
⇒ Anwachsen der Schwingung
E = E 0 e − t τ τ = T l
4∆x
(7.106)
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